Příklady k přednášce 25 Dopravní zpoždění Michael Šebek Automatické řízení 28 5-5-8
L { } Dopravní zpoždění v Laplaceově tranformaci v ( + τ ) { } t f(): t f() t = t <, L f() t = e f() t dt = f() { } f( t τ), τ > : f( t τ) = ( t τ) <, L f( t τ) =? t f( t τ) = e f( t τ) dt t τ = v = e τ τ e τ f () f () v dv τ v = e e f () v dv τ v = e e f() v dv = Michael Šebek ARI-25-22 2 τ τ e L { δ( t τ) } = e,l { ( t τ) } =,
Příklad: Válcovací tolice dopravní zpoždění na výtupu přeno τ H(, e ) = G() e τ tedy obahuje dynamiku bez zpoždění + zpoždění 3
Příklad: Páový dopravník Těžba fofátu v Bou Craa, Západní Sahara: km ytém dopravníků Bangladéš: pá 7 km 4
Příklad: Regulace v buňce x () t = λ x () t + c x ( t τ ) 2 ( τ ) x () t = λ x () t + g x ( t ) 2 2 2 5
Příklad: Hematologie 6
Příklad: Mechanimu aktivace enzymu 7
Příklady: Operační výzkum 8
Příklad: Tepelný ytém Michael Šebek ARI-Pr-25-26 9
Příklad: Síťové řídicí ytémy
Příklad:
Čité zpoždění v Matlabu >> D = tf(,,'inputdelay',) Tranfer function: exp(-*) * () >> = tf(''); D = exp(-) Tranfer function: exp(-) * () D () = e >> tep(tf(),d) >> bode(d) >> nyquit(d).5.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 Amplitude.5.5 Step Repone Time (econd) Nyquit Diagram Magnitude (db).5 -.5 - Bode Diagram Imaginary Axi.8.6.4.2 -.2 Phae (deg) -9-8 -27-36 -45-54 -63 Frequency (rad/) - -.8 -.6 -.4 -.2.2.4.6.8 2 -.4 -.6 -.8 - Real Axi
Sytém e zpožděním na vtupu/výtupu v Matlabu >> G = tf(,[ ],'InputDelay',2.) Tranfer function: exp(-2.*) * ------ + >> G = tf(,[ ],'OutputDelay',2.); >> = tf('');gg= /(+); G = exp(-2.*)*gg; G () Amplitude.2..8.6.4 = + e 2..2 Magnitude (db) -2-2.5-2 -2.5-22 -22.5-23 -23.5-8 Bode Diagram Imaginary Axi..8.6.4.2 -.2 -.4.5.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 Time (econd) Nyquit Diagram Phae (deg) -36-54 -72-9 3 - Frequency (rad/) -.6 -.8 -. -.2 -.5 -. -.5.5..5.2 Real Axi
Sytém vnitřním zpožděním v Matlabu >> = tf('');gg= /(+); >> G = exp(-2.*)*gg; >> T=G/(+G)... Output delay (econd): 2. Internal delay(econd):2. Continuou-time model. >> tep(t) e T() = + + e + 2. e = + + e 2. 2. 2. p tude.2..8.6.4.2 Step Repone 2 3 4 5 6 7 Time (econd) Magnitude (db) -9-9.5-2 -2.5-2 -2.5-22 -22.5-23 -23.5-8 Bode Diagram Imaginary Axi.5..5 Nyquit Diagram Phae (deg) -36-54 -72-9 -8-26 - Frequency (rad/) -. -.8 -.6 -.4 -.2.2.4.6.8. 4 -.5 -. Real Axi
Složitější ytémy H(, e ) e = + + Step Repone.4 e >> delay=tf();et(delay,'iodelay',) >> E=tf(delay),S=tf(); Tranfer function: exp(-*) * () >> H=E/(S+a+S*b*E),tep(H,2) Amplitude.2.8.6.4.2 4 2 4 6 8 2 4 6 8 2 3 Time (econd) Imaginary Axi 9 8 7 6 5 2 Nyquit Diagram db 2 db-2 db Phae (deg) Magnitude (db) 5 4 3 2 - -2-3 -4-5 -72-44 -26-288 -36-432 -54-576 Bode Diagram -648-2 - 2 - -5-4 -3-2 - 2 3 4 5 Real Axi 5
Složitější ytémy H.2. 3 (,, ) e e.2 e = + e + 2e.3. 2 >> delay2=tf();et(delay2,'iodelay',.2) >> delay3=tf();et(delay3,'iodelay',.3) >> H=E2/(S+E3+2*E2);tep(H,2) >> E2=tf(delay2),E3=delay3,S=tf(); Tranfer function: exp(-.2*) * () Tranfer function: exp(-.3*) * () >> H=E2*S/(S+E3+2*E2);tep(H,2) 2 Nyquit Diagram.5.2 Step Repone Bode Diagram Amplitude.8.6.4 Imaginary Axi.5 -.5 - -.5 Magnitude (db) - -2-3 4.68 x 4.2-2 -.5 - -.5.5.5 2 Real Axi -4.68-9.26 -.2.2.4.6.8.2.4.6.8 2 Time (econd) -3.824-2 3 4 Frequency (rad/) 6
Retardovaný a neutrální ytém Retardovaný ytém: nemá zpoždění u nejvyšší mocniny c () = + e CL 8 6 4 >> olve('exp(-tau*x)+x=') an = lambertw(, -tau)/tau >> tau=, r=lambertw(-:,-tau)./tau; >> plot(real(r),imag(r),'+r') 2 Neutrální ytém: má zpoždění u nejvyšší mocniny -2-4 -6 c () = e + CL -8-5 -4-3 -2-2 3 4 5 >> olve('+exp(-tau*x)*x=') an = -lambertw(, tau)/tau >> tau=, r=-lambertw(-:,tau)./tau; >> plot(real(r),imag(r),'+b') Michael Šebek ARI-Pr-25-28 7
Podmínky tability jednoduchého kvazipolynomu (Kharitonov et al., 24, p. 4) Sytém charakteritickým kvazipolynomem a (, e τ ) = + a + be τ kde a + b > (pokud ne, pak není tabilní ani bez zpoždění) je Stabilní nezávile na velikoti zpoždění ( iod ) právě když a b. Jinak b Pokud je a >, b >, je tabilní 3 τ < π arcco ( a b ) 2 b2 a 2 Pokud je a <, b >, je tabilní τ < Michael Šebek arcco ( a b ) - -2 b2 a 2-3 -3 ARI-Pr-25-22 -2 - a 2 3 8
Příklad: Detabilizující efekt zpoždění G() =, C() = Ke τ c () = + Ke CL τ τ = : = K { i} { } + τ = : max Re <<< τ = : max Re i 8 x 4 6 4 2 τ =, τ =, τ = ++ + -2 >> olve('x+k*exp(-tau*x)=') an = lambertw(, -k*tau)/tau >> k=,tau=.5 >> r=lambertw(-:,-k*tau)/tau; >> plot(real(r),imag(r),'+r') max.5re -.5 - -.5-2 { } i 4 3 2 - -2-3 -4 τ =.5-6 -2 - -8-6 -4-2 τ c =.578 τ = τ c -2.5 2 4 6 8 2 τ -4-3.5-3 -2.5-2 -.5 - -.5.5 9
2 CL( ) = + 9 +.5 c e τ je netabilní pro τ =, ale tabilní pro malá nenulová zpoždění Někdy může malé zpoždění tabilizovat Srovnej jeho odezvu použitím PD regulátoru 2
Soutava rovnicí yt (). yt () + yt () = ut () je netabilní. Můžeme ji tabilizovat derivační ZV zeílením u() t = ky () t Alternativně ji můžeme tabilizovat zpožděnou ZV ut () = yt ( τ ) yt () Což můžeme interpretovat jako ZV konečnou diferencí yt () yt ( τ ) ut () = τ τ Aproximujícím derivaci Zpoždění jako derivační ZV k = τ =.2 τ =.5 k >. Step Repone k = τ 2 3 4 5 6 7 8 9 2
Padého Aproximace Henri Eugene Padé - francouzký matematik (863-953) dne znám hlavně jako autor aproximace obecné funkce pomocí racionální funkce, která je čato lepší než Taylorova Padého aproximace pro danou funkci f a přirozená číla m,n je Padého aproximant řádu (m,n) Rx ( ) = 2 m p + px + px 2 + + pmx 2 n + qx + qx 2 + + qx n kde f() = R() f () = R () f () = R () () = R () ( m + n) ( m + n) oučet prvních m+n+ členů Taylorových řad f a R je tejný f 22
Příklad: Padého aproximace >> del=tf(); >> et(del,'iodelay',5); del Tranfer function: exp(-5*) * >> pade=pade(del,) Tranfer function: - +.4 -------- +.4 >> pade2=pade(del,2) Tranfer function: ^2 -.2 +.48 ------------------ ^2 +.2 +.48 >> pade3=pade(del,3) Tranfer function: -^3 + 2.4 ^2-2.4 +.96 ----------------------------- ^3 + 2.4 ^2 + 2.4 +.96 >> tep(del,pade,pade2,pade3) >> bode(del,pade,pade2,pade3) exp(t) (,) (2,2) (3,3) 23
Příklad na přený návrh: P regulátor K T + τ pro G () = e, C () = K je a pro hodnoty = = τ =, = 2 je K T K P CL charakteritický kvazipolynom je c () = + + 2e CL Pro K = 5 je c () = + + 5e P CL p τ KK pe T() = ( T + ) + KK e 2e T() = + + 2e p τ >> olve('x++5*exp(-x)=') an = -+lambertw(-5*exp()) >> r=-+lambertw(-:,-5*exp()); >> plot(real(r),imag(r),'*') >> olve('x++2*exp(-x)=') an = -+lambertw(-2*exp()) >> r=-+lambertw(-:,-2*exp()); >> plot(real(r),imag(r),'*') 24
Příklad: CL tabilita G () C () T() b = e + a = k τ GC () () = + GC () () kb e τ = + a kb e + + a τ kbe = + a + kbe τ τ Michael Šebek ARI-25-22 25
Příklad na přený návrh I regulátorem Pro je a pro hodnoty K G () =, C () = T + T() = T() = T I τ Ke T ( T + ) + Ke I τ K = TI = T = τ = e ( + ) + e.e+2 * -.92253246554+.3575262969i -.99632745852+.94655777892i -.89587753636+.877724563632i -.8856322665+.84782589439i -.865559672926+.75822288484i -.84782363884+.6888443659229i -.82884566943+.62584246447846i -.87875873529+.562897999973i -.784445544783+.4997366685227i -.7578973834359+.43668649652i -.72726782825+.373439845989i -.69597375+.382936469i -.646746845853+.246583733i -.5895295773482+.82758728892i -.5894474996+.828269472765i -.364327894+.523342976426i -.3725765679+.8993774i CL charakteritický kvazipolynom 2 c () = + + e CL má nekonečně mnoho kořenů čát kořenů nad reálnou oou 26
Příklad: Smithův prediktor P regulátor e zeílením 2 T() 2 = + + 2e e T() 2 = e + 3 27
Příklad: Smithův prediktor P regulátor e zeílením 5 T() 5 = + + 5e e 5 5 T() 5 = + 6 e po odpojení větve bez prediktoru 28
Příklad: Smithův prediktor I regulátor a Smithův prediktor 29
Příklad: Netabilní outava Smithův prediktor nefunguje pro netabilní outavu! Proč?.5 Ale např. b () e přeto můžeme tabilizovat Pro toto konkrétní zpoždění, iod to nejde P-regulátor e zeílením k =.5 dává tabilní c ( ) = +.5e CL T() = G ().5e +.5e = = a ().5.5.5 >> G=(/(-)); >> et(g,'iodelay',.5) >> T=feedback(.5*G,) >> tep(g,t,9) >> olve('x + 3/(2*exp(x/2)) - = ') an = 2*lambertw(, -3/(4*exp(/2))) + >> pol=2*lambertw(-:,-3/(4*exp(/2)))+; >> plot(real(pol),imag(pol),'+r'),grid 3
Netabilní outava b () + e G () = = a () e Char. kvazipolynom ( ) ( ) Regulátor a CL Příklad: Přiřazení konečného počtu pólů e p () + + e q () = + >> olve('+exp(-x)=') an = pi*i >> zer=(pi.*(-:)); >> olve('x-exp(-x)=') an = lambertw(, ) >> pol=lambertw(-:,); >> plot(real(zer),imag(zer), 'ob',real(pol),imag(pol),'+r') q () = p ( ) T () = + e + Pro imulace pade(3,3) 2 6+ 2 e = 2 + 6+ 2 + 2 3 2 3 >> del=tf();et(del,'iodelay',); >> pade3=df(pade(del,3)); >> G=(+pade3)./(-pade3); >> T=(+pade3)./(+); >> tep(tf(g),tf(l),:.:8) Michael Šebek ARI-Pr-25-2 3
Příklady k přednášce 25 Sytémy proměnné v čae Michael Šebek Automatické řízení 22 5-5-8
Příklad: Houpačka dětká houpačka je kyvadlo rovnicí (tandardní předpoklady): d 2 ( ml ϕ) + mgl inϕ = dt + + ale délka je zde proměnná l= lt ( ) [ l, l ], L= ½( l + l ) tedy celkem (pozor při derivaci!) d 2 wing.mdl (() lt ϕ) + glt ()inϕ = dt 2l ϕ ginϕ ϕ + + = l l 33
Pro teoretické zkoumání označ. a zjednodušíme rovnici Pokračování: Parametrická rezonance 2l ϕ ginϕ ϕ + + = l l ν= lϕν, = l ϕ+ l ϕν, = lϕ+ 2l ϕ+ l ϕ inϕ ϕ ( g l) ν + ν = l Doadíme lt ( ) L(+εco ωt), označíme a dotaneme δ + εco t Použijeme aproximaci. řádu v ε a dotaneme tzv. Mathieuovu rovnici Ta má neomezené řešení pokud ε = δ = ¼ ω = t ωt x = dx dt = ωx 2 2 x = ω x, δ g ( Lω ) ν + ν = + ε co t 2 2 δ+ εco t ( δε ) co = δ+ ( δε ) co t + + εco t + εco t ( t ) ν + δ + ε( δ) co ν =., 2 g L wingmat.mdl = 2x přirozená frekvence kyvadla 34 t
Stabilita LTV Pro lineární ytém proměnný v čae x = A() tx+ B() tu, x( t) y= C() tx+ Dtu () Je řešení je dáno tavovou maticí přechodu počáteční hodnotou x() t = Φ(, tt) x( t) t t Φ( t, t ) = I Definice tability je podobná jako u LTI, přeněji ekvilibrium v počátku je globálně tejnoměrně aymptoticky tabilní právě když Φ ( t t (, t t ) ke γ ), t t Stabilitu ale nelze charakterizovat vlatními číly matice A ani v případě, že jou tato číla kontantní! 35
Příklad: Stabilita LTV ytému LTV ytém 2. řádu A (otatní matice jou nulové) A() t 2 +.5co t.5in tcot = 2.5in tcot +.5in t má vlatní číla nezávilá na t a ležící v levé polorovině» ym t» A=[-+.5*co(t)^2,-.5*in(t)*co(t);--.5*in(t)*co(t),-+.5*in(t)^2] A = [ -+3/2*co(t)^2, -3/2*in(t)*co(t)] [ --3/2*in(t)*co(t), -+3/2*in(t)^2]» eig(a) an = [ -/4+/4*i*7^(/2)] [ -/4-/4*i*7^(/2)] Tedy by e zdálo, že je ytém tabilní? 36
Přitom ale je neboť Φ( t,) Příklad: Stabilita LTV ytému.5t t e cot e in t =.5t t e in t e cot» PHI=[exp(t/2)*co(t),exp(-t)*in(t);-exp(t/2)*in(t),exp(-t)*co(t)] PHI =[ exp(/2*t)*co(t), exp(-t)*in(t)] [ -exp(/2*t)*in(t), exp(-t)*co(t)]» [implify(a*phi(:,)-diff(phi(:,),t)), implify(a*phi(:,2)-diff(phi(:,2),t))] an = [, ] [, ] Jelikož x( t) = Φ( t,) x() Tak zřejmě pp. libovolně blízko počátku, pro které řešení uteče do nekonečna - ytém je tedy netabilní Pro čaově proměnné ytémy vlatní číla nefungují! 37