Vybrané kapitoly z matematiky VŠB-TU Ostrava 2017-2018 Vybrané kapitoly z matematiky 2017-2018 1 / 19
Základní informace předmět: 714-0513, 5 kreditů přednáší: Radek Kučera kontakt: radek.kucera@vsb.cz, A826 Organizace předmětu 20 bodů na cvičeních (písemné testy 14, program 6) test na každém cvičení za dva body, započítává se 7 nejlepších cvičení jsou povinná, 20%-ní neúčast lze omluvit 80 bodů na zkoušce (písemka 60, ústní část 20) Literatura skripta Matematika I, II, III jsou na adrese: mdg.vsb.cz/portal prezentace z přednášek: homel.vsb.cz/ kuc14/teach VKM Vybrané kapitoly z matematiky 2017-2018 2 / 19
Základy vektorového počtu v R 3 Vybrané kapitoly z matematiky 2017-2018 3 / 19
Připomenutí některých značení Přirozená čísla: N = {1, 2,... } Celá čísla: Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Reálná čísla: R = čísla s nekonečným desetinným rozvojem Uspořádané dvojice reálných čísel: R 2 = {v = [v 1, v 2 ] : v 1, v 2 R} Uspořádané trojice reálných čísel: R 3 = {v = [v 1, v 2, v 3 ] : v 1, v 2, v 3 R} Uspořádané n-tice reálných čísel: R n = {v = [v 1,..., v n ] : v i R i} Nulový prvek: 0 = 0 = [0,..., 0] Vybrané kapitoly z matematiky 2017-2018 4 / 19
Připomenutí determinantu Pro matici 2x2 a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21 Pro matici 3x3 a 11 a 12 a 13 { a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 21 a 32 a 13 a 13 a 22 a 31 a 12 a 21 a 33 a 23 a 32 a 11 Pro větší matice se používá Laplaceův rozvoj. Je-li determinant nulový jsou řádky lineárně závislé vektory. Je-li determinant nenulový jsou řádky lineárně nezávislé vektory.... a co je to vlastně vektor? Vybrané kapitoly z matematiky 2017-2018 5 / 19
Vektor ve fyzice Vektor u je množina souhlasně orientovaných úseček stejné délky. Každé umístění téhož vektoru AB u určené počátečním a koncovým bodem A = [a 1, a 2, a 3 ] a B = [b 1, b 2, b 3 ] má stejný rozdíl: B A = [b 1 a 1, b 2 a 2, b 3 a 3 ] Vektor ztotožňujeme proto s uspořádanou trojicí reálných čísel. Definice vektoru (v matematice) Vektor u je uspořádaná trojice reálných čísel: u = [u 1, u 2, u 3 ], u R 3 Vektor kreslíme jako šipku. Rozlišujeme: vektor u R 3, skalár nebo-li číslo u R Vybrané kapitoly z matematiky 2017-2018 6 / 19
Základní operace s vektory Násobení vektoru skalárem: ku = [ku 1, ku 2, ku 3 ], k R, u R 3 u = ( 1)u je opačný vektor Sčítání vektorů: u + v = [u 1 + v 1, u 2 + v 2, u 3 + v 3 ], u, v R 3 u v = u + ( v) je rozdíl vektorů Výpočet délky vektoru (Euklidovská norma): u = u1 2 + u2 2 + u2 3, u R3 Platí: ku = k u, u + v u + v Vybrané kapitoly z matematiky 2017-2018 7 / 19
Lineární závislost vektorů Vektory u 1,..., u m R 3 jsou lineárně závislé (LZ), jestliže existují skaláry k 1,..., k m R ne všechny nulové takové, že platí k 1 u 1 + + k m u m = 0 (t.j. některý vektor lze vyjádřit pomocí ostatních vektorů). V opačném případě jsou vektory lineárně nezávislé (LNZ). Kdy jsou vektory LZ v R 3? 1 vektor : je-li nulový 2 vektory: leží-li na stejné přímce (kolineární vektory) 3 vektory: leží-li v jedné rovině (komplanární vektory) 4 vektory: jsou LZ vždy (v R 3 ) Vybrané kapitoly z matematiky 2017-2018 8 / 19
Definice Skalárním součinem vektorů u, v R 3 je skalár: u v = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 Vlastnosti skalárního součinu 1 u = u u, u v = v u, u (v + w) = u v + u w 2 ϕ je úhel, který svírají vektory u a v. Platí: u v = u v cos ϕ 3 skalární součin vektorů na sebe kolmých se rovná nule 4 cos ϕ 1 u v u v (Cauchyova nerovnost) Vybrané kapitoly z matematiky 2017-2018 9 / 19
Důkaz druhé vlastnosti Použijeme kosinovou větu: u 2 + v 2 2 u v cos ϕ = u v 2 = (u v) (u v) = u u 2u v + v v = u 2 2u v + v 2 Odečetním stejných výrazů dostaneme: 2 u v cos ϕ = 2u v Úloha za domácí úkol Pomocí Cauchyovy nerovnosti dokažte podobným postupem trojúhelníkovou nerovnost: u + v u + v Návod: dokažte u + v 2 ( u + v ) 2 0 Vybrané kapitoly z matematiky 2017-2018 10 / 19
Příklady a) Jaký úhel svírají vektory u = [1, 1, 0], v = [0, 1, 0]. cos ϕ = u v u v = 1 2 = 2 1 2 ϕ = π 4 (45 ) b) Jsou na sebe kolmé vektory p = [1, 2, 3], q = [ 3, 0, 1]? p q = 3 + 0 + 3 = 0 jsou kolmé c) Jsou na sebe kolmé vektory r = [1, 1, 1], s = [2, 2, 2]? r s = 2 + 2 + 2 = 6 nejsou kolmé Vybrané kapitoly z matematiky 2017-2018 11 / 19
Definice Vektorovým součinem vektorů u, v R 3 nazýváme vektor: [ ] u u v = 2 u 3 v 2 v 3, u 3 u 1 v 3 v 1, u 1 u 2 v 1 v 2 Vlastnosti 1 Vektor u v je kolmý na vektory u, v (nebo je nulový). 2 u v = u v sin ϕ 3... a proto u v vyjadřuje velikost rovnoběžníka, který kreslíme, když graficky sčítáme u + v. Vybrané kapitoly z matematiky 2017-2018 12 / 19
Důkaz první vlastnosti Použijeme: jsou-li dva řádky shodné, pak je determinant nulový, a rozvoj. u 1 u 2 u 3 0 = u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 u = u 2 u 3 1 v 2 v 3 u 2 u 1 u 3 v 1 v 3 + u 3 u 1 u 2 v 1 v 2 u = u 2 u 3 1 v 2 v 3 + u 2 u 3 u 1 v 3 v 1 + u 3 u 1 u 2 v 1 v 2 = u (u v) Důkaz druhé vlastnosti Výrazy na obou stranách se umocní na druhou, dosadí se složky vektorů a po úpravě se zjistí, že levá i pravá strana jsou shodné. Vybrané kapitoly z matematiky 2017-2018 13 / 19
Formální definice - vhodná pro ruční výpočet i j k i = [1, 0, 0] u v = u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3, kde j = [0, 1, 0] k = [0, 0, 1] Příklad Necht u = [2, 1, 1], v = [1, 2, 0]. Vypočtěte kolmý vektor. i j k u v = 2 1 1 = (0 2)i + ( 1 0)j + ( 4 1)k 1 2 0 = [ 2, 1, 5] Vybrané kapitoly z matematiky 2017-2018 14 / 19
Příklad Vypočtěte velikost trojúhelníka o vrcholech: A = [1, 0, 1], B = [2, 1, 1], C = [1, 1, 1]. Řešení: u = B A = [1, 1, 0], v = C A = [0, 1, 2] u v = i j k 1 1 0 0 1 2 = [2, 2, 1] Velikost trojúhelníka je 3/2. u v = 4 + 4 + 1 = 3 Vybrané kapitoly z matematiky 2017-2018 15 / 19
Definice Smíšený součin vektorů u, v, w R 3 je skalár: Vlastnosti 1 Platí: u (v w) u (v w) = (plyne z rozvoje podle prvního řádku) u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 w 1 w 2 w 3 2 Velikost smíšeného součinu je objem rovnoběžnostěnu určeného vektory u, v, w (nakreslíme si obrázek). Vybrané kapitoly z matematiky 2017-2018 16 / 19
Důkaz druhé vlastnosti Viz obrázek: Objem = Podstava krát Výška Podstava = v w Výška = u (v w) u cos ϕ = u u v w kde ϕ je úhel, který svírají vektory u a v w. Dosadíme do první rovnosti a dostaneme: Objem = u (v w) Vybrané kapitoly z matematiky 2017-2018 17 / 19
Příklad Vypočtěte objem rovnoběžnostěnu určeného vrcholy: A = [0, 0, 0], B = [1, 1, 1], C = [2, 1, 0], D = [4, 0, 1]. Řešení: u = B A = [1, 1, 1], v = C A = [2, 1, 0], w = D A = [4, 0, 1] u (v w) = 1 1 1 2 1 0 4 0 1 = 7 Objem rovnoběžnostěnu je 7 = 7. Vybrané kapitoly z matematiky 2017-2018 18 / 19
Shrnutí Zdroj vektory v R 3 (jsou šipky) skalární součin umožňuje určit úhel mezi dvěma vektory vektorový součin umožňuje spočítat kolmý vektor na dva vektory smíšený součin umožňuje spočítat objem rovnoběžnostěnu určeného třemi vektory skripta Matematika I str. 128 146 Vybrané kapitoly z matematiky 2017-2018 19 / 19