Stavební mechanika 1 (132SM01) Přednáší: Ing. Jiří Němeček, Ph.D. Kateda stavební mechanik K132 místnost 331a e-mail: jii.nemecek@fsv.cvut.c http://mech.fsv.cvut.c/ Liteatua: Kabele a kol., Stavební mechanika 1. Příklad, ES ČVUT (2009) Kufne, Kuklík: Stavební mechanika 10, ES ČVUT Kufne, Kuklík: Stavební mechanika 20, ES ČVUT (Kufne, Katěnová, Kuklík, Teoetická mechanika, Příklad, ES ČVUT) (ee, Johnston, Vecto nalsis fo Enginees, McGaw-Hill) 1
1. Úvod Co je to mechanika? Nauka o chování těles vstavených působení sil. de chováním oumíme: pohb, měn tvau a objemu (defomace) Stavební mechanika: studuje defomace, pohb, poušení,... stavebních konstukcí vstavených účinkům atížení 2
3
Poč je nutno studovat (stavební) mechaniku? 1) epečnost a spolehlivost stavebních konstukcí Specifika stavebních konstukcí: požadovaná životnost: desítk až stovk let vážné společenské a hmotné následk případné chb v pojektu či haváie inžený musí umět navhnout stavební konstukci tak, ab bla bepečná a spolehlivá po celou dobu její životnosti Pokud se to nepodaří => katastofa 4
Vážné případ: studie příčin, poučení, někd též evie teoie Haváie mostu Tacoma Naows idge (US) avěšený most, délka 1810 m dán do povou 1. čevence 1940 řítil se 7. listopadu 1940 v důsledku vibací vbuených větem o chlosti 70 km/h příčina - malá tuhost mostovk 5
Velké emětřesení v Kóbe (Japonsko) 17. ledna 1995, před 6. hodinou áno intenita 5-7 na sedmistupňové japonské stupnici chlení na povchu až 800 gal (8 m/s 2 ) kolaps mnoha stavebních konstukcí, ejm. postavených podle staých noem 6
Kolaps WTC (Twin towes) v New Yok (US) 11. áří 2001, teoistický útok lavinovité houcení ocelových sloupů v důsledku požáu a tíh honích pate 7
Poč je nutno studovat (stavební) mechaniku? 2) Vůstající náok na stavební konstukce všší, delší, větší... levnější kvalitnější konstukce Spávné mechanické (statické) řešení konstukce je kitickým faktoem po splnění těchto požadavků. Příklad: Podemní přečepávací elektána Kaunogawa (Japonsko) Etémní podmínk: v opaskané skále hloubka ~500 m, délka 224 m, šířka 35 m, výška 56 m nutno ajistit stabilitu stěn a stopu 8
Metoda mechanik Fická úloha modelování Matematická úloha řešení Výsledek: předpověď, epodukce chování kce. 56 m Soustava ovnic 35 m 9
Modelování: idealiace, jednodušení - identifikace dominantního mechanismu chování definice veličin popisujících působení atížení, jeho přenášení v konstukci a následné chování konstukce (síla, přemístění, napětí, defomace,...) definice vtahů mei těmito veličinami: vcháí obecně platných fikálních ákonů a aiomů (ákon achování enegie, hmot, hbnosti, ákon síl,...) Řešení: podle tpu matematické úloh vužíváme ůných matematických a výpočetních technik (analtické, numeické - vhodné po počítač,...) 10
V tomto předmětu (SM1): konstukce či jejíčásti budou idealiován jako bod či tuhá tělesa budeme studovat ovnováhu konstukce a jejích částí, přenášení sil v konstukci 11
2. Přehled někteých ákladní nalostí matematik 2.1 Tigonometie Pavoúhlý tojúhelník sin α = a/c cos α = b/c tan α = a/b α c b a Obecný tojúhelník Sinová věta: a /sin α = b / sin β = c / sin γ Kosinová věta: a 2 = b 2 + c 2 2bc cos α b 2 = a 2 + c 2 2ac cos β c 2 = a 2 + b 2 2ab cos γ α b c γ β a 12
2. Přehled někteých ákladní nalostí matematik 2.2 Vektoový počet 2.2.1 Katéský souřadnicový sstém Souřadnicový sstém v postou: soustava tří vájemně kolmých os,, pavotočivá soustava: pootočení v kladném smslu kolem v kladném smslu kolem v kladném smslu kolem (klaný smsl - poti směu hodin. učiček ) Souřadnicový sstém v ovině: 13
2.2.2 Vekto Skalá: veličina daná poue velikostí, neávisí na volbě souřadnicového sstému Vekto V: veličina daná velikostí, směem a oientací vžd se vtahuje k souřadnicovému sstému áové vekto (souřadnicové vekto) e 1, e 2, e 3 : jednotkové vekto v kladných směech souřadnicových os e 3 γ β α e 2 e 1 V Směové úhl α, β, γ: úhl mei vektoem V a kladnými souřadnicovými poloosami platí cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1 14
Vjádření vektou postřednictvím složek: složk: kolmé půmět vektou do směů souřadnicových os = { V ; V ; V } s použitím směových úhlů: V = V cos α V e 3 γ V = V cos β β V V = V cos γ V... délka (velikost) vektou : V α e 2 e 1 V= = (V 2 + V 2 + V 2 ) 1/2 báové vekto: 1 = {1; 0; 0} 2 = {0; 1; 0} 3 = {0; 0; 1} 15
... velikost (délka) vektou : = (V 2 + V 2 + V 2 ) 1/2 0 samotný smbol V... může nabývat áponých i neáponých hodnot, Např: nese infomaci o velikosti vektou a jeho oientaci: kladná hodnota... oientace shodná s předpokládanou áponá hodnota... oientace opačná s předpokládanou předpokládaná oientace vektou: výsledek výpočtu: skutečná oientace vektou : V = -5 =5 V V = 3 = 3 16
Vekto učený dvěma bod: K [ K, K, K ] a L [ L, L, L ] L = KL = { L - K, L - K, L - K } K K K K L L L 17
2.2.3 Opeace s vekto Součet vektoůa je vekto, po kteý platí: = { + ; + ; + } načení: = + vlastnosti: + = + geometický výnam: C C 18
Součinem skaláu s a vektouje vekto, po kteý platí: = {s, s, s } s = načení:= s vlastnosti: * s = s * vekto jsou ovnoběžné s = * velikost = (s 2 2 + s 2 2 +s 2 2 ) 1/2 = s 19
Použití: Vjádření složek jednotkového vektouležícího v papsku daném dvěma bod K [ K, K, K ] a L [ L, L, L ]: = { f ; f ; f }; = 1 KL = { L - K, L - K, L - K } uu KL = + + 2 2 2 ( L K ) ( L K ) ( L K ) 1 KL L bchom ískali jednotkový vekto, přenásobíme KL skaláem uu 1 KL uu f = uu 1 KL KL K K K K L L L f = uu ; f = uu ; f = uu KL KL KL L K L K L K 20
Použití: Vjádření složek vektou s použitím jednotkového vektou ve směu : = { f ; f ; f }; = f = 1 V = V f V = V f f V = V f V = V f f Také f = cos α f = cos β f = cos γ f 21
Skaláním součinem vektoůa je skalá s, po kteý platí: s = cos ϕ = + + ϕ načení: s =. vlastnosti: *. =. * po : cos ϕ = 0, s = 0 geometický výnam a použití: * např. vjádření složek vektou V = V cos α =. 1 V = V cos β =. 2 V = V cos γ =. 3. * skalání součin. vjadřuje půmět vektou do os učené jednotkovým vektoem.. 22
23 ( ) ( ) ( ) } C, C, {C e C e C e C e e e e e e C 3 2 1 3 2 1 3 2 1 = + + = + + = = = Vektoovým součinem vektoůa je vekto kteý má následující vlastnosti: 1. velikost C = sin ϕ (plocha ovnoběžníka) 2. vektoje kolmý k vektoům a 3. vekto,, tvoří pavotočivou soustavu ϕ C.. načení: = vlastnosti: * = - * s ( ) = (s ) = (s ) * ( + ) = + vjádření složek
24 načení: s = ( ). geometický výnam: objem ovnoběžnostěnu učeného vekto,, vlastnosti: * ( ). > 0 jestliže vekto,, neleží v jedné ovině a tvoří pavotočivou soustavu * ( ). = 0 leží-li vekto,, v jedné ovině nebo je-li aspoň jeden nich nulový * ( ). =. ( ) * ( ). = -( ). ( ). = ( ). = ( ). C C C - C C C C C C s + + = = smíšeným součinem vektoů, a je skalá s definovaný deteminantem:..
3. Geometie sil 3.1 Síl působící v jednom bodě 3.1.1 Zadání úloh, předpoklad Úloha této kapitol: matematick popsat mechanické účink atížení na konstukci a účink částí kostukce navájem. Zjednodušující předpoklad: konstukci (jejíčásti) můžeme idealiovat jako bod. Účink budeme popisovat postřednictvím vektoové veličin -- síl. 25
3.1.2 Síla načení, definice, např. e ákona síl: Změna hbnosti hmotného bodu a jednotku času je ovna síle působící na hmotný bod: dh dt d( mv) = dt = F při konstantní hmotnosti bodu: dv m = ma dt = F ákladní jednotka: N (Newton) 1N = 1 kg m s -2 26
síla je vekto váaný na bod ve kteém působí (působiště) (opeace se silami = opeace s vekto) * složk = { F ; F ; F } F =. 1 = F cos α = F f F =. 2 = F cos β = F f F =. 3 = F cos γ = F f F F α γ β F papsek síl * velikost síl: F = (F 2 + F 2 + F 2 ) 1/2 27
3.1.3 Základní aiom vcháejí vektoového chaakteu síl iom o ovnováe sil: + (-) = { F +(-F ); F +(-F ); F +(-F ) } = { 0; 0; 0 } = Věta o posunu působiště síl po jejím papsku: Účinek síl na tuhé těleso se nemění, posune-ĺi se její působiště po papsku, v němž síla působí. = - (tuhá tělesa... síla je vekto váaný na papsek) 28
iom o ovnoběžníku sil: výslednice dvou sil 1 a 2 = 1 + 2 = { F 1 +F 2 ; F 1 +F 2 } 2 (komutitativnost sčítání sil) kosinové vět: ϕ 2 ϕ ϕ 1 π ϕ 1 F = cos( π ϕ) F = F F 2 1 2 1 + F = cosϕ + F 2 2 2 2 2F 1 1 F 2 + 2F F 2 cos( π ϕ) cosϕ ϕ 2 2 sinová věta: sin ϕ1 sin( π ϕ) sin ϕ2 sin( π ϕ) = = F F 2 F F 1 sin ϕ1 = sin ϕ sin ϕ2 = sin( ϕ) ϕ 1 π ϕ 1 29
3.1.4 Svaek sil Soustava sil = seskupení sil působících na těleso { i } = { 1, 2, 3,..., n } Svaek sil = soustava sil, jejichž papsk se potínají v jednom bodě - postoový - ovinný: všechn papsk leží v jedné ovině 30
Úloh: výsledný účinek svaku sil: nahaení svaku sil jedinou silou se stejným účinkem- výslednicí { i } = úloha o ovnováe: ušení účinku svaku sil { i } přidáním svaku { i } { i } + = { i } úloha o ekvivalenci: nahaení účinku svaku sil { i } svakem { i } { i } = { i } 31
3.1.5 Postoový svaek sil Př.1: Učete výsledný účinek svaku sil 1. Učit složk 2. Výslednice kchle o haně 3m O F i = i f i = 1 + 2 + 3 F i = i f i F =F 1 +F 2 +F 3 F F i = i f i 3 =3kN F =F 1 +F 2 +F 3 F 1 =5kN i=1,2,3 F =F 1 +F 2 +F 3 C F 2 =10kN 3. Velikost výslednice 2 2 2 F = F + F + F = 7.290 kn poč kon vekto jednot. vekto vekto síl b b vel fi fi fi Fi Fi Fi 3 3 3 0 3 0-3 0-3 4.243-0.707 0-0.707-3.536 0-3.536 C 0 3 3 3 3 3 3 0 0 3 1 0 0 10 0 0 3 3 3 O 0 0 0-3 -3-3 5.196-0.577-0.577-0.577-1.732-1.732-1.732 4.7324-1.732-5.268 32
4.732 kn F = 7.290 kn 33 1.732 kn 5.268 kn
Př.2: Uveďte svaek sil př.1 do ovnováh 3 silami 1, 2, 3 kchle o haně 3m E R 3 O D R 2 R 1 Pon.: Vnačené oientace sil 1, 2, 3 předpokládáme. Potože skutečné oientace jsou nenámé, do výpočtu avádíme R 1, R 2, R 3 namísto velikostí 1, 2, 3. Znaménka R 1, R 2, R 3 pak učí skutečnou oientaci. Podmínk ovnováh + 1 + 2 + 3 = : F +R 1 +R 2 +R 3 =0 : F +R 1 +R 2 +R 3 =0 : F +R 1 +R 2 +R 3 =0 : F +R 1 f 1 +R 2 f 2 +R 3 f 3 =0 : F +R 1 f 1 +R 2 f 2 +R 3 f 3 =0 : F +R 1 f 1 +R 2 f 2 +R 3 f 3 =0 i poč kon vekto jednot. vekto b b vel fi fi fi 1 E 3 0 0 3 3 3 0 3 3 4.243 0 0.707 0.707 2 D 0 0 3 3 3 3 3 3 0 4.243 0.707 0.707 0 3 0 3 0 3 3 3 3 0 3 4.243 0.707 0 0.707 34
: 4.732 + 0 R 1 + 0.707 R 2 + 0.707 R 3 = 0 : -1.732 + 0.707 R 1 + 0.707 R 2 +0 R 3 = 0 : -5.268 + 0.707 R 1 +0 R 2 + 0.707 R 3 = 0 R 1 = 8.297 kn R 2 = -5.847 kn R 3 = -0.846 kn O E nebo O E D 1 =8.297 kn D R 1 =8.297 kn 3 = 0.846 kn 2 =5.847 kn R 3 = -0.846 kn R 2 =-5.847 kn 35
Př.3: Nahaďte svaek sil př.1 třemi silami 4, 5, 6 (ekvivalence) kchle o haně 3m 6 D 5 G 4 Pon.: Vnačené oientace sil 4, 5, 6 předpokládáme. Potože skutečné oientace jsou nenámé, do výpočtu avádíme R 4, R 5, R 6 namísto velikostí 4, 5, 6. Znaménka R 4, R 5, R 6 pak učí skutečnou oientaci. Podmínk ekvivalence = 4 + 5 + 6 : F =R 4 +R 5 +R 6 : F =R 4 +R 5 +R 6 : F =R 4 +R 5 +R 6 : F =R 4 f 4 +R 5 f 5 +R 6 f 6 : F =R 4 f 4 +R 5 f 5 +R 6 f 6 : F =R 4 f 4 +R 5 f 5 +R 6 f 6 i poč kon vekto jednot. vekto b b vel fi fi fi 4 3 3 3 G 3 3 0 0 0-3 3 0 0-1 5 D 0 0 3 3 3 3 3 3 0 4.243 0.707 0.707 0 6 0 3 0 3 3 3 3 0 3 4.243 0.707 0 0.707 36
: 4.732 = 0 R 4 + 0.707 R 5 + 0.707 R 6 : -1.732 = 0 R 4 + 0.707 R 5 + 0 R 6 : -5.268 = -1 R 4 +0 R 5 + 0.707 R 6 R 4 = 11.732 kn R 5 = -2.450 kn R 6 = 9.143 kn 6 = 9.143 kn D G 4 = 11.732 kn 5 = 2.450 kn nebo R 6 = 9.143 kn D G R 4 = 11.732 kn R 5 = -2.450 kn 37
3.1.6 Rovinný svaek sil Př.4: Učete výsledný účinek svaku sil i F α β i F i 1 2 6 4 45 90 α i Pon.: f i = cos β=sin α 3 4 4 2 210 300 a) Gafickéřešení F 2 F 1 F R F 3 F 4 38
b) Početnířešení i F α fi=cosα fi=sinα Fi Fi 1 6 45 0.707 0.707 4.243 4.243 2 4 90 0.000 1.000 0.000 4.000 3 4 210-0.866-0.500-3.464-2.000 4 2 300 0.500-0.866 1.000-1.732 suma F= 1.779 4.511 =F F 2 = F 2 + F 2 F = 4.848 kn cos α = F / F = 1.779/4.848 = 0.367 α =68.5 o Výslednice svaku: 4.848 kn 68.5 ο 39
Př.5 Uveďte svaek př.4 do ovnováh pomocí dvou sil na daných papscích a,b a 110 ο 30 ο b Řešení: a) gafick, pomocí ovnoběžníka sil F R -F R 40
b) Početně b R 2 R 1 110 ο a 30 ο Předpoklad kladných směů + 1 + 2 = : F +R 1 +R 2 =0 : F +R 1 +R 2 =0 : F + R 1 cos30 + R 2 cos110=0 : F + R 1 sin30 + R 2 sin110=0 Řešení F R R 1 =-4.027 kn R 2 =-4.995 kn 4.027 4.995 41