M - Příprava na 1. čtvrtletku - třída ODK Souhrnný studijní materiál k přípravě na čtvrtletní písemnou práci. Obsahuje učivo října až prosince 007. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu nalenete na www.dosli.c.
± Exponenciální funkce Exponenciální funkce Definice: Exponenciální funkce je funkce, která je dána rovnicí y = a x, kde a > 0 a ároveň a ¹ 1 Grafem exponenciální funkce je křivka, kterou naýváme exponenciála (exponenciální křivka). její průběh je velmi ávislý na velikosti čísla a. Je-li a > 1, pak je průběh následující: Je-li 0 < a < 1, pak je průběh následující: Je-li áklad exponenciální funkce číslo 10, pak ji naýváme dekadickou exponenciální funkcí. Má rovnici y = 10 x Je-li ákladem exponenciální funkce číslo e (Eulerovo číslo), pak se funkce naývá přiroená exponenciální funkce. Má rovnici y = e x. Pon.: Eulerovo číslo e =,718 8... Vlastnosti exponenciální funkce: 1 7
± Exponenciální funkce - procvičovací příklady 1. 10. 100. 189 7
4. 194 5. 187 6. 19 7
7. 10 8. Je dána funkce f: y = 0,5 x-. Narýsujte graf funkce f(x) 197 9. Narýsujte graf funkce y = 0,5 x+ 196 4 7
10. 104 11. Narýsujte graf funkce y = 0,5 x- 195 1. 101 5 7
1. 188 14. Je dána funkce f: y = 0,5 x-. Narýsujte graf funkce f( x ). 198 15. 186 16. 191 a > 1 6 7
17. 19 18. 185 19. 190 a > 0. Je dána funkce f: y = 0,5 x-. Narýsujte graf funkce f( x ) 199 7 7
± Logaritmická funkce Logaritmická funkce Definice: Logaritmická funkce je funkce, která je dána rovnicí y = log ax. Jedná se o funkci inverní k exponenciální funkci o stejném ákladu. Pon.: Inverní funkci ískáme áměnou x a y v předpisu funkce. Grafy funkce a funkce k této funkci inverní jsou souměrné podle osy I. a III. kvadrantu. Pon.: Zápis y = log ax vyjadřuje totéž jako ápis x = a y Graf logaritmické funkce se naývá logaritmická křivka (logaritma). Průběh grafu logaritmické funkce v ávislosti na velikosti a: Funkční hodnoty logaritmické funkce se naývají logaritmy. Vlastnosti logaritmické funkce: 8 7
Při konstrukci grafu logaritmické funkce postupujeme pravidla tak, že k adané rovnici logaritmické funkce vytvoříme rovnici funkce k ní exponenciální. Graf vniklé exponenciální funkce snadno narýsujeme a pak sestrojíme graf souměrný podle osy I. a III. kvadrantu. ± Logaritmická funkce - procvičovací příklady 1. Určete definiční obor funkce a narýsujte její graf. f: y = log4x 16. 11. 114 9 7
4. 115 5. 19 6. 14 7. Určete definiční obor funkce a narýsujte její graf. f: y = log4 x 17 8. 105 10 7
9. 111 10. Je dána funkce f: y = log1/(x + ). Narýsuj graf funkce f(x). 10 11. 106 1. 109 1. 17 11 7
14. Určete definiční obor funkce a narýsujte její graf. f: y = log4(-x) 15 15. 1 16. Narýsuj graf funkce y = log1/(x + ) 119 1 7
17. 10 18. 11 19. Určete definiční obor funkce a narýsujte její graf. f: y = log4 x 18 1 7
0. 11 1. 16. 117. 107 14 7
4. 116 5. Určete definiční obor funkce a narýsujte její graf. f: y = -log4x 14 6. 118 15 7
7. 1 8. Je dána funkce f: y = log1/(x + ). Narýsuj graf funkce f( x ). 1 9. 110 0. 108 1. 15 16 7
. Určete definiční obor funkce a narýsujte její graf. f: y = log4x 1. Je dána funkce f: y = log1/(x + ). Narýsuj graf funkce f( x ). 11 ± Logaritmy Logaritmy a jejich vlastnosti Definice logaritmu daného čísla: Logaritmus daného kladného čísla při ákladu a > 0 a ároveň a ¹ 1 je takové číslo y, kterým musíme umocnit áklad, abychom dostali logaritmované číslo x. Zapisujeme: log a x = y Û x = a y [Čteme logaritmus čísla x při ákladu a] Určování logaritmů daných kladných čísel se naývá logaritmování. Obrácená operace se naývá odlogaritmování. Vlastnosti logaritmů: Logaritmus jedné při libovolném ákladu a > 0, a ¹ 1 je roven nule. Logaritmus čísla stejného, jakým je i áklad, je roven jedné. Logaritmus čísla většího než jedna je kladný, logaritmus čísla menšího než jedna je áporný. Logaritmus při ákladu 10 se naývá logaritmus dekadický. Logaritmus při ákladu e se naývá logaritmus přiroený. 17 7
Příklad 1: Vypočtěte log 5 5 Řešení: Podle definice převedeme na výpočet 5 = 5 y Odtud snadno jistíme, že y = Příklad : Vypočtěte áklad logaritmu, jestliže platí log 16 = Řešení Podle definice převedeme na výpočet = 16 Protože platí 16 = 6, pak = 6 a odtud = 6 Příklad : Určete, jaké číslo musíme logaritmovat, abychom při ákladu logaritmu 0,1 dostali číslo -1 Řešení: Podle definice převedeme výpočet log 0,1x = -1 na tvar 0,1-1 = x. Odtud snadno vypočteme, že x = 10. ± Logaritmy - procvičovací příklady 18 7
1. 187. 188 6. 176 0,75 4. 177 0,5 5. 186 6. 18 6 7. 185 4 8. 175 0,5 9. 190 0, 10. 17 0,15 19 7
11. 17 0,5 1. 189 4 1. 180 14. 18 16 15. 184 1/ 16. 19 1 17. 174 0,5 18. Stanovte číslo x, platí-li log10 x = -1 19 0,1 19. 179 6 0. Stanovte číslo x, platí-li log1/10 x = -1 195 10 1. 178 0 7
. Určete log4 (log4 4) 181 0. 171 0,5 4. 194 5. 191 / ± Věty o logaritmech Věty o logaritmech Podle definice logaritmů platí: log a x = y loga x x = a (1) Logaritmus daného kladného čísla x je takové číslo (log a x), kterým musíme umocnit áklad - vi pravá strana výrau (1), abychom dostali logaritmované číslo - tj. x. x = a y = a xy = a log log log a a a x y xy 1. Nele logaritmovat součet log (a + b) ¹ log a + log b. Logaritmus součinu je roven součtu logaritmů jednotlivých činitelů Důka: a = b = ab = log log a b log ab vše pro a > 0, b > 0, > 0, ¹ 1 1 7
ab = log ab = log a. log b = log a+ log b Protože mocniny jsou si rovny a mají shodné áklady, musí se rovnat i příslušné exponenty. Proto: log ab = log a + log b Např.:. Logaritmus podílu je roven rodílu logaritmů dělence a dělitele Důka: a = b = a = b log a log b log a b vše pro a > 0, b > 0, > 0, ¹ 1 a b = a log b = log a log b = log a-log b a log = log a - log b Např.: b 4. Logaritmus mocniny je roven součinu exponentu a logaritmu ákladu dané mocniny Důka: a = a n = log a log a n = log n a n.log a ( ) = log a n = n. log a 7
Např.: ± Věty o logaritmech - procvičovací příklady 1. 1406. Určete logx, je-li a x = a 1404. Určete log x, je-li a. tga x = b. c 196 4. 1418 7
5. 1414 x = 6 ab. ab 4 5 6. 1410 x = a b (n+) / 7. 1415 x = a + 8. 140 9. 140 10. Určete log x, je-li x = - 1 a. 4 b 1401 11. 1419 4 7
1. Určete log x, je-li x = a 1/ b / 1400 1. 199 14. 1405 15. 141 16. 198 17. 1408 x = ab/c 18. 1407 x = abc 19. Určete log x, je-li x =. a. a 7 140 0. 141 x = a c b 4. 6 5 5 7
1. 1417. 1411. 1416 x = ( a - b). a. b 4. 1409 x = a.b. 5. Určete log x, je-li x = a -. b - 197 ± Exponenciální rovnice Exponenciální rovnice Exponenciální rovnice je taková rovnice, která má nenámou v exponentu. Exponenciální rovnici můžeme řešit pravidla třemi postupy (využíváme v uvedeném pořadí): 1. Převodem obou stran rovnice na mocniny o stejném ákladu - v tomto případě využijeme vlastnost, že pokud má platit rovnost a mocniny na obou stranách mají stejné áklady, musí se sobě rovnat i exponenty. Získáme tak většinou lineární nebo kvadratickou rovnici, kterou už umíme snadno vyřešit. Příklad 1: Řešte rovnici: 6 7
x æ ö ç è 4 ø = 81 56 Řešení: æ ö ç è 4 ø æ ö ç è 4 ø x x = 4 4 4 æ ö = ç è 4 ø 4 Závěr: x = 4 Příklad : Řešte rovnici: = 0,5 x- 7 -x Řešení: x- x- = 7 x- x- 7 = x - x - = 7 14x - 1 = x - 9 11x = 1 Závěr: x = 1/11 Příklad : Řešte rovnici: x-1 x- x + + x -1 -.( + + - - = 448 ) = 448 x æ 1 1 1 ö. ç + + = 448 è 4 8 ø x 7 6. = 7. 8 x 6 = 8. x 9 = Závěr: x = 9. Substitucí Substituce nám usnadní řešení, většinou dostaneme kvadratickou rovnici, výjimečně i lineární. 7 7
Příklad 4: Řešte rovnici v oboru reálných čísel: x x 9 +. - = 0 Řešení: x ( ) x +. - = 0 Zavedeme substituci y = x Dostaneme rovnici: y + y - = 0 (y - 1). (y + ) = 0 y 1 = 1 y = - Vrátíme se pět k avedené substituci: a) x = 1 x = 0 x 1 = 0 b) x = - V tomto případě není řešení, protože x je vždy větší než 0. Závěr: Rovnice má jediné řešení, a to x = 0.. Logaritmováním Tento postup používáme tehdy, pokud ani jedním předchoích dvou postupů nele řešení dosáhnout. Výsledek většinou pak obsahuje logaritmus. Příklad 5: Řešte rovnici: 5x = 5 x Řešení: Vhledem k tomu, že nejsme schopni převést obě strany rovnice na stejný áklad, použijeme postup, kdy celou rovnici logaritmujeme: log 5x = log 5 x 5x. log = x. log 5 x. (5log - log 5) = 0 Součin je roven nule tehdy, když aspoň jeden činitelů je roven nule, proto x = 0 (ávorka být rovna nule nemůže). Ponámka: V některých případech se použije i kombinace substitučního postupu s postupem logaritmování. ± Exponenciální rovnice - procvičovací příklady 8 7
1. 14. 1455. Řešte v oboru reálných čísel rovnici: æ 5 ö ç1 - è 9 ø -x æ 9 ö = ç è 4 ø -0,5 x-5 1459 4. 14 5. 1456 6. Řešte rovnici: 10 = 5-x 7-x 148 7. Řešte rovnici: æ ç è 4 5 ö ø x+ 4x-1 æ15 ö. ç è 8 ø 1 = 5 1445 8. 145 6 9. 147 1 10. 14 11. 145 9 7
1. 145 1. 145 14. 146-4 15. 1449 1 16. 144 17. V oboru reálných čísel řešte rovnici: 4 x + x+ = 4 x+ - x+ 1447 18. 1444 x 1 = x = log / log 5 19. 144 0. 1457 1 0 7
1. Řešte rovnici v oboru reálných čísel: x. x 1 = 4 x- 1448. Řešte rovnici: æ ö ç è 5 ø x æ 5 ö = ç è ø - 144. 1440 4. Řešte rovnici: 140 x. x+ m x x-m = 7 Nemá řešení 5. V oboru reálných čísel řešte rovnici: 6..8 x 9 = x+ x+ - 7-x x-1-1 6. V oboru reálných čísel řešte rovnici: 5 x-6 -x 4 log 7 = log 1451 1446 7. 146 8. Řešte rovnici: x+ 1 x+ 5x+ 1. =. 1 9. Řešte rovnici: -x 56 0,5 = + x x+ 148 141 1 7
0. 147 1 1. 1454. Řešte rovnici v oboru reálných čísel:. x + -x = 10 1450. Řešte rovnici: 1 x.4 x- = 8 x+ 4. Řešte rovnici: x x+ 4 x+ 4 + = 4 - x+ 149 1441 5. 1458 6. 149 7. 144,5 ± Logaritmické rovnice Logaritmické rovnice Logaritmická rovnice je taková rovnice, v níž se vyskytují logaritmy výraů s nenámou x, přičemž x patří do množiny reálných čísel. 7
Základní logaritmickou rovnicí je rovnice typu a > 0, a ¹ 1 Tato rovnice má pro libovolné b jediné řešení tvaru Logaritmické rovnice složitějších typů se nejprve upraví na tvar kde a > 0, a ¹ 1, přičemž f(x) a g(x) nabývají kladných hodnot. K úpravám využijeme věty o logaritmování. Za těchto předpokladů pak platí: a dále řešíme rovnici be logaritmů (protože jsme provedli odlogaritmování rovnice). Příklad 1: Řešte logaritmickou rovnici log x - log x 4 + log x 5 = 8 Řešení: log x - log x 4 + log x 5 = 8 log x - 4 log x + 5 log x = 8 4 log x = 8 log x = x = 100 Příklad : log x 1 + log x + 7 log x 4 + 64 = 0 7
Řešení: log x 1 + log x + 7 log x 4 + 64 = 0 log x + 0,5.. log x + 7. 4. log x + 64 = 0 log x + log x + 8 log x + 64 = 0 log x = -64 log x = - x = 0,01 Příklad : 4 log x + log x - log x Řešení: 4 log x + log x - log x = 5 = 5 log x + 4log x - (1/)log x = 5 (0/)log x = 5 log x = 0,75 x = 4 1000 ± Logaritmické rovnice - procvičovací příklady 1. 1488. 1487. 1501 4. 1491 4 7
5. 1490 6. 1485 7. 1505 8. 1484 9. 150 10. 1486 11. 1498 1. 1504 1. 1495 14. Řešte rovnici: 5 1 log x 4 - log 5 x = 11 148 5 7
15. 1496 16. 149 17. 1+ log x = 10 log x 1497 18. Řešte rovnici: 148 19. 150 0. 1489 1. log log log x 4 = 1 1500. 1506. 1499 4. 1494 6 7
5. 149 7 7
Obsah Exponenciální funkce 1 Exponenciální funkce - procvičovací příklady Logaritmická funkce 8 Logaritmická funkce - procvičovací příklady 9 Logaritmy 17 Logaritmy - procvičovací příklady 18 Věty o logaritmech 1 Věty o logaritmech - procvičovací příklady Exponenciální rovnice 6 Exponenciální rovnice - procvičovací příklady 8 Logaritmické rovnice Logaritmické rovnice - procvičovací příklady 4 0.1.007 15:16:56 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.c)