Učební text k přednášce UFY Fourierov nlýz, Fourierov trnsforce nhronické periodické vlny Fourierov nlýz Fourierův teoré: Funkce f ( x ) s prostorovou periodou ůže být rozvinut do řdy hronických funkcí s vlnovýi délki,, 3,,... etc. C + Ccos x+ ε + Ccos x+ ε + C3cos x+ ε3 +... 3 () kde veličiny C i jsou konstnty. Je vhodné uprvit () poocí trigonoetrické identity ( + ε ) ( ) + ( ) C cos kx cos kx B sin kx kde k, C cosε B C sinε. Poto f x kx B kx () ( ) + cos( ) + sin ( ) kde jse první člen npsli jko z důvodů, které budou zřejé později. Proces určování koeficientů, B pro dnou periodickou funkci f ( ) x se nzývá Fourierov nlýz. Odvoďe nyní výrzy pro tyto koeficienty. Integruje nejprve obě strny vzthu () n libovolné intervlu rovnéu, npříkld od do nebo od do + nebo obecně od x do x +. Protože n tkovéto intervlu bude ( kx) dx ( ) sin. cos kx. dx pouze jeden člen bude nenulový, to tedy. dx. dx. dx bycho nlezli sin kx cos bkx. dx cos kx cos bkx. dx δ B, budee uset použít ortogonlity sinusodiálních funkcí, tj. b sin kx sin bkx. dx δ b
Učební text k přednášce UFY Fourierov nlýz, Fourierov trnsforce kde b jsou nenulová celá kldná čísl δ b je Kronekerovo delt, které je rovno nule pokud b rovno pokud b. bycho určili, vynásobe nyní obě strny vzthu () coslkx, kde l je kldné celé číslo, poto integruje přes prostorovou periodu. Pouze jeden člen bude nenulový, to člen z první suy, který odpovídá l levá strn: ( ) prvá strn: f x cos lkxdx. cos lkx. dx + cos kx.cos lkx. dx + B sin kx.cos lkx. dx δ l l Tedy cos kxdx.. Podobně vynásobíe-li vzth () sin lkx prointegrujee, dostnee B sin kxdx. Periodickou funkci f(x) s periodou lze tedy rozvést do Fourierovy řdy + coskx + B sin kx () kde k (vlnové číslo, prostorová frekvence) kde jsou koeficienty rozvoje, B definovány vzthy.cos kx. dx (3) B.sin kx. dx () dx. (5) Je zřejé, že bude-li f(x) sudá funkce, tj. f(-x) f(x), poto B Fourierův rozvoj bude obshovt pouze kosinové členy.
Učební text k přednášce UFY Fourierov nlýz, Fourierov trnsforce Bude-li nopk f(x) lichá funkce, tj. f(-x) - f(x), poto, Fourierův rozvoj bude obshovt pouze sinové členy. Příkld : Rozvoj liché funkce x definovné n intervlu <,) s periodou ( k ) f ( x + ) f(x) Fourierův rozvoj - prvních 5 členů Fourierův rozvoj - prvních členů Fourierův rozvoj - prvních členů f(x) - - 3 x Obr.. Funkce x, definovná n intervlu <,), s periodou, f ( x + ), její rozvoj do prvních pěti, deseti st členů Fourierovy řdy. x ( ) ( ) x dx x ( x)cosx. dx cosx. dx x.cosx. dx sin x cosx ( + x.sin x ) B ( x)sin x. dx sin x. dx x.sin x. dx cosx sin x ( + x.cosx ) 3
Učební text k přednášce UFY Fourierov nlýz, Fourierov trnsforce sin sin3 sin čili ( ) x x x f x sin x (sin x + + + +...) 3 Příkld : Rozvoj sudé funkce definovné n intervlu, pro x kde je kldné celé číslo pro x < s periodický rozšíření f ( x + ) dx dx x B coskx. dx coskx. dx sin x sin sin x sin kx. dx sin kx. dx cos cos cos Čili + kde koeficienty rozvoje jsou sin( ) sin( ).cos kx Konkrétně npříkld pro, (c) bude k rozvoj nbude tvru (viz. obr. ) + cos kx cos3kx + cos5kx... 3 5
Učební text k přednášce UFY Fourierov nlýz, Fourierov trnsforce. f(x) koeficinety Fourierov rozvoje.8.6... / / Α 3 Α 7 Α Α Α 5 Α 9 c k -. k k k 3k k 5k 6k 7k 8k 9k k k k 3k k 5k 6k 7k 8k 9k 6 6 3 k Obr.. Obdélníkový puls jko liitní přípd,, (c). pro 8, (c) bude k rozvoj nbude tvru (viz. obr. b) + cos kx + cos kx + cos3kx cos5kx cos6kx cos7kx + cos9kx +... 3 5 3 7 9.5 f(x) koeficinety Fourierov rozvoje..3... Α Α Α Α 3 /8 /8 Α 5 Α 6 Α 7 Α 9 8 c Α Α Α 3 k -. k k k 3k k 5k 6k 7k 8k 9k k k k 3k k 5k 6k 7k 8k 9k 6 8 6 k Obr. b. Obdélníkový puls jko liitní přípd, 8, (c). 5
Učební text k přednášce UFY Fourierov nlýz, Fourierov trnsforce.5 f(x) koeficinety Fourierov rozvoje..5..5. Α Α Α 3 Α 7 6 c /6 /6 Α 9 Α Α Α Α 3 Α Α 5 Α Α Α 5 Α 6 k / Α 7 Α 8 -.5 k k k 3k k 5k 6k 7k 8k 9k k k k 3k k 5k 6k 7k 8k 9k 3 6 8 k Obr. c. Obdélníkový puls jko liitní přípd, 6, (c). Fourierov řd v koplexní tvru: + coskx + B sin kx + ikx e + e ikx + B e ikx e i ikx ( ib ). e ( ib ). e ikx + + + Poto ( ) ikx ikx f x e (6) kde ( ib ) pro > (7) Zřejě (8) * ( + ib ) pro < (9) ( pro < je koplexně sdružené k pro > ), proto je f(x) vždy reálné. Koeficienty rozvoje řdy funkce f(x) nzýváe spektru funkce f(x). 6
Učební text k přednášce UFY Fourierov nlýz, Fourierov trnsforce Zobecnění: S rostoucí periodou se hustot koponent podél osy k n Obr. zvyšuje, ztíco tvr obálkové funkce se neění. S rostoucí periodou se vzdálenost jednotlivých koponent (k) zenšuje, ž při přestnou být jednotlivé koponenty rozlišitelné. Jk se s rostoucí zenšuje k, usí růst i, by hodnot k nbývl zntelných hodnot. Jestliže k nhrdíe k (nbývjící diskrétních hodnot), jež se v liitě trnsforuje n k (tj. spojitou distribuci frekvencí). V liitě se tedy (k ) stne obálkovou funkcí uvedenou n Obr.. Vzrůst periody nde všechny eze prkticky znená, že nše funkce f(x) předstvuje jediný obdélníkový puls je tedy neperiodická. Integrál je vlstně liitní přípde součtu nekonečného počtu infiniteziálních eleentů. V liitní přípdě periody rostoucí nde všechny eze tedy usí být Fourierov řd nhrzen Fourierový integrále ( k)coskxdk + B( k)sin kxdk z předpokldu že () ( k) coskxdx B( k) sin kxdx () Podobnost s Fourierovou řdou je zřejá. Veličiny (k) B(k) jsou interpretovány jko kosinové sinové příspěvky s prostorovou frekvencí ezi k k+dk. Obecně hovoříe o Fourierově sinové či kosinové trnsforci. V přípdě obdélníkového pulsu ukážee, že je to kosinová trnsforce že (k) odpovídá obálkové funkci z obr.. Měje obdélníkový puls popsný funkcí f ( x) E pro x < L pro x > L Protože f ( x ) je sudá funkce, sinová trnsforce, B ( k ) bude nulová ( ) ( ) L L cos cos sin sin k L L k E E kl k f x kxdx E kxdx kx po vynásobení čittele i jenovtele L dostáváe sin kl k ( ) EL kl 7
Učební text k přednášce UFY Fourierov nlýz, Fourierov trnsforce E f(x) -L/ L/ x (k) E L 3 5 kl/ Obr. 3. Obdélníkový puls jeho trnsforce. Dosďe () do rovnice () Protože ( ) ( k)cos kxdk B( k)sinkxdk + cos kx f ( x ) cos kx dx dk sin kx f ( x ) sin kx dx dk + cos k x x cos kx cos kx+ sin kx sin kx ůžee vzth () uprvit do tvru () f ( x ) cos k ( x x) dx dk (3) Veličin v hrnté závorce je sudou funkcí k, proto zěn integrčních ezí vnějšího integrálu vede n f ( x ) cos k ( x x) dx dk Zřejě pltí (integrujee lichou funkci k ) i () f ( x ) sin k( x x) dx dk (5) 8
Učební text k přednášce UFY Fourierov nlýz, Fourierov trnsforce proto ůžee vzth () s uvážení (5) Eulerov vzorce vyjádřit jko koplexní tvr Fourierov integrálu Poto ikx ikx f ( x ) e dx e dk (6) ikx F( k) e dk (7) kde (při náhrdě integrční proěnné x x ) F k f x e dx (8) ( ) ( ) ikx O funkci F( k ) říkáe, že je Fourierovou trnsforcí (obrze) funkce f ( ) sybolicky vyjdřuje vzthe ( ) { ( )} x, což se F k F f x (9) Všiněte si, že ( k ) je reálnou částí F ( k ) B ( k ) její iginární částí, tedy F( k) ( k) + ib( k) () Koplexní veličinu F( k ) ůžee tké vyjádřit ve tvru ( ) ( ) F k ( k) i F k e φ () kde F( k ) je tzv. spektru reálných plitud (plitudové spektru) ( k ) (fázové spektru). Jko je F( k ) příou Fourierovou trnsforcí f ( x ), je f ( ) trnsforcí F( k ), což lze sybolicky vyjádřit jko - { F( k) } - { } { } φ reálná fáze x inverzní Fourierovou F F F () o funkcích f ( x ) F( k ) hovoříe jko o funkcích fourierovsky sdružených (Fourierův pár). Je-li funkce f funkcí čsu nísto prostorové souřdnice, poto ve vztzích výše zěníe x z t k, prostorovou frekvenci ( k x) z ω, úhlovou frekvenci. Poto bude iωt f () t F( ω) e dω (3) ( ) ( ) i ω ω t F f t e dt () 9
Učební text k přednášce UFY Fourierov nlýz, Fourierov trnsforce Je dobré poznent, že pokud funkci f ( x ) ůžee vyjádřit jko součet funkcí, její Fourierov trnsforce (8) bude součte trnsforcí jednotlivých složek (jko ilustrci viz obr. ). Je-li tedy f( x) + f( x) poto F ( k) F{ } F{ f( x) } + F { f( x) } F( k) + F( k) f (x) 5 3 - - f (x) 5 3 - - f 3 (x)f (x)+f (x) 5.. 3.... - - x x x F (k) 8 6 F (k) 8 6 F 3 (k)f (k)+f (k) 8 6 k k k Obr.. Fourierov trnsforce součtu funkcí. Dvojdienzionální Fourierov trnsforce Dosud jse se oezili pouze n jednodienzionální funkce (funkce jedné proěnné), le v optice se čsto zbýváe dvojdienzionálníi funkcei popisujícíi npříkld rozložení pole n
Učební text k přednášce UFY Fourierov nlýz, Fourierov trnsforce pertuře nebo rozložení hustoty toku energie (intenzity) n stínítku. Fourierovský pár ůže být zobecněn pro dvojdienzionální funkce tkto ikx ( x + kyy) f x, y F k, k e dk dk (5) ( ) ( ) ( ) ikx (, ) (, ) ( ) x + kyy x y x y x y F k k f x y e dx dy (6) Zbýveje se ještě funkcí popisující čsově oezenou onochrotickou vlnu (puls trvání τ ) o frekvenci ω () E t Ee iωt pro t pro t τ > τ (7) Vlnu ůžee vyjádřit poocí (3) jko kde iωt E() t F( ω) e dω ( ) ( ) i ω ω t F f t e dt je rozdělovcí funkce plitud onochrotických složek podle frekvence ω. Poto ( ω ) po úprvě Funkce τ τ i( ωω) t i( ωω) τ i( ωω) τ i( ωω ) t e e e F E e dt E E E F F ( ) ( ) i( ωω) i τ ( ω ω) ω ω ( ω) ( ω) ( ) ( ) sin ω ω τ Eτ ω ω τ ( ) ( ) sin ω ω τ ω ω τ τ E určuje spektrální rozdělení energie vlnění neboli výkonové spektru (viz obr. 5). Funkce ( ) ( ) sin ω ω τ ω ω τ ( ) τ nbývá hlvního xi pro ω ω ini pro ω ω τ,,3... sin ω ω τ (8) (9)
Učební text k přednášce UFY Fourierov nlýz, Fourierov trnsforce Hlvní xiu je ohrničeno první inus první inie, tedy á pološířku ( ) ( ) ν ν ν ω ω τ ν ν τ (3) τ Vidíe tedy, že pološířk centrálního xi je nepřío úěrná délce pulsu. Čí je puls delší, tí je jeho výkonové spektru užší tí éně se puls liší od onochrotické vlny. Čsově ohrničený puls již tedy nelze povžovt z onochrotickou (hronickou) vlnu, le z kvzionochrotický "blík" vln o spektrální pološířce nepřío úěrné době trvání pulsu. Z (3) je zřejé, že součin délky trvání pulsu t τ frekvenční šířky ν je konstntní ν. t (3) F(ν) ν ν /τ ν ν +/τ ν ν Obr. 5. Spektrální rozdělení energie pulsu délky τ.