ELEKTROMAGNETICKÝCH POLÍ

MATEMATICKÉ MODELOVÁNÍ ELEKTROMAGNETICKÝCH POLÍ Dalibor Lukáš Text byl vytvořen v rámci realizace projektu Matematika pro inženýry 2. století (reg. č. CZ..7/2.2./7.332), na kterém se společně podílela Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava a Západočeská univerzita v Plzni

Dalibor Lukáš MATEMATICKÉ MODELOVÁNÍ ELEKTROMAGNETICKÝCH POLÍ c Dalibor Lukáš, 2

Mé rodině. iii

Předmluva O modulu,,matematické modelování elektromagnetických polí Cílem tohoto textu je uvést čtenáře do problematiky modelování elektromagnetických polí a jejich následného řešení moderními numerickými metodami. Čtenář by měl získat představu o základních fyzikálních zákonech v elektromagnetismu, o jejich kompaktní podobě ve formě Maxwellových rovnic, o matematické klasifikaci případů těchto rovnic, o nutnosti správné volby Sobolevových prostorů, o výhodách a nevýhodách metody konečných a hraničních prvků a o jejich efektivní implementaci na počítači. Je zřejmé, že není možné proniknout do hloubky všech vyjmenovaných oblastí. Věřím však, že je dobré zabývat se jimi současně, byt jen zprvu velmi povrchně, nebot moderní metody řešení, které maximálně využívají dostupné výpočetní techniky, jsou založeny právě na souladu fyziky, variačních metod, numerických metod, lineární algebry i programovacích technik. Na tomto místě chci velmi poděkovat Ing. Marii Sadowské, Ph.D. za pečlivou korekci kapitoly Elektrostatika a doc. RNDr. Jaroslavu Vlčkovi, CSc. za recenzi celého textu. V Ostravě a na Vrablovci, záři 2 Dalibor Lukáš email: dalibor.lukas@vsb.cz iv

O projektu Vážený čtenáři, text, který právě čtete vznikl v rámci řešení projektu,,matematika pro inženýry 2. století inovace výuky matematiky na technických školách v nových podmínkách rychle se rozvíjející informační a technické společnosti. Projekt je řešen na Vysoké škole báňské Technické univerzity v Ostravě a Západočeské univerzitě v Plzni v období 29 22. Hlavní motivací projektu je potřeba reagovat na změny významu jednotlivých partií matematiky při řešení praktických problémů, způsobenou zejména velkým pokrokem v matematickém modelování, dramatickým zlepšováním software a rychlým zvyšováním výpočetních kapacit moderních počítačů. Inženýři nyní běžně využívají stále se vyvíjející komplikované softwarové produkty založené na matematických pojmech, se kterými se v kurzech matematiky bud to nesetkají vůbec nebo v nevhodné formě. Na druhé straně prezentace některých pojmů v základních kurzech neodráží z nejrůznějších důvodů potřeby jednotlivých kateder. Bohužel tento stav stěžuje studentům aktivní používání získaných vědomostí v odborných předmětech i orientaci v rychle se vyvíjejících metodách inženýrské praxe. Cílem projektu je inovace matematických a některých odborných kurzů na technických vysokých školách s cílem získat zájem studentů, zvýšit efektivnost výuky, zpřístupnit prakticky aplikovatelné výsledky moderní matematiky a vytvořit předpoklady pro efektivní výuku inženýrských předmětů. Zkvalitnění výuky matematiky budoucích inženýrů chceme dosáhnout po stránce formální využitím nových informačních technologií přípravy elektronických studijních materiálů a po stránce věcné pečlivým výběrem vyučované látky s důsledným využíváním zavedených pojmů v celém kurzu matematiky s promyšlenou integrací moderního matematického aparátu do vybraných inženýrských předmětů. Metodiku výuky a její atraktivnost pro studenty chceme zlepšit důrazem na motivaci a důsledným používáním postupu,,od problému k řešení. V rámci projektu vytváříme 4 nových výukových materiálů z oblastí matematické analýzy, lineární algebry, numerických metod, metod optimalizace, diskrétní matematiky, teorie grafů, statistiky a několika odborných kurzů. Všechny hotové výukové materiály budou volně k dispozici na webových stránkách projektu http://mi2.vsb.cz. Autoři předem děkují za všechny případné nápady a návrhy k vylepšení textu i za upozornění na chyby. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. v

Obsah Předmluva iv Úvod 2 Elektrostatika 2 2. Fyzikální podstata............................ 2 2.2 Modelová úloha, 2d redukce....................... 6 2.3 2d elektrostatika............................. 7 2.3. Variační formulace........................ 7 2.3.2 Uzlová metoda konečných prvků................. 2.3.3 Hraniční integrální formulace.................. 4 2.3.4 Metoda hraničních prvků..................... 6 3 Magnetostatika 2 3. Fyzikální podstata............................ 2 3.2 Modelová úloha, 2d redukce....................... 24 3.3 2d magnetostatika............................ 25 3.3. Variační formulace........................ 25 3.3.2 Uzlová metoda konečných prvků................. 27 3.3.3 Hraniční integrální formulace.................. 29 3.3.4 Metoda hraničních prvků..................... 3 3.3.5 Párování metody konečných a hraničních prvků........ 32 3.4 3d magnetostatika............................ 36 3.4. Variační formulace........................ 36 3.4.2 Hranově uzlová metoda konečných prvků............ 39 4 Elektromagnetické záření 45 4. Fyzikální podstata............................ 45 4.2 Modelová úloha.............................. 5 4.3 3d elektromagnetické záření....................... 52 4.3. Hraniční integrální formulace.................. 52 4.3.2 Metoda hraničních prvků..................... 53 Literatura 56 vi

Kapitola Úvod Budiž elektromagnetismus. A bylo světlo. (Richard P. Feynman) Tento text sestává ze tří kapitol: Elektrostatika, Magnetostatika a Elektromagnetické záření. V každé kapitole si nejdříve připomeneme základy fyziky, pak zformulujeme modelovou úlohu, kterou ve zbytku kapitoly budeme řešit metodou konečných prvků, metodou hraničních prvků, případně jejich párováním. V každé kapitole částečně zopakujeme techniky modelování a numerických metod z předchozích kapitol a pak tyto znalosti rozšíříme. V kapitole Elektrostatika se výhradně zaměříme na 2-dimenzionální (2d) případ, na němž si názorně představíme principy metod konečných a hraničních prvků. V kapitole Magnetostatika si nejprve ve 2d oživíme metody konečných i hraničních prvků. Poté si ukážeme techniku párování obou metod. Nakonec uvedeme metodu konečných prvků ve 3 dimenzích (3d) konstruovanou specificky pro magnetostatiku. V poslední kapitole Elektromagnetické záření se zaměříme výhradně na 3d metodu hraničních prvků a nově se naučíme počítat singulární integrály numericky.

2 Kapitola 2 Elektrostatika 2. Fyzikální podstata Elektrostatika popisuje časově neměnná silová pole nabitých těles. Základní veličinou je zde (elektrický) náboj, jehož fyzikální jednotkou je Coulomb [C]. Silová interakce mezi dvěma náboji ve vakuu je popsána Coulombovým zákonem, viz Obr. 2., F = q q 2 4πε x 2 x 2 e 2 = F 2, kde q, q 2 R jsou náboje, x, x 2 R 3, x x 2, jsou jejich polohy, ε 8, 854 2 [F m ] je permitivita vakua a kde e 2 := (x x 2 )/ x x 2 je jednotkový směrový vektor. Uvažujme n nábojů rozmístěných v R 3 a vložme na pozici x R 3 jednotkový náboj. Intenzita elektrického pole se značí E a má fyzikální jednotku Volt [V] na metr, tj. [V m. Je to síla, kterou působí n nábojů na jednotkový náboj, přičemž platí princip superpozice sil. Uvažujme dále, že rozložení nábojů lze popsat funkcí hustoty rozložení náboje ρ(y), která je nulová mimo omezenou oblast R 3. Pak intenzita elektrického pole je, viz též Obr. 2.2, E(x) = 4πε ρ(y) (x y) x y 3 dy. (2.) Poznamenejme, že integrál (2.) je singulární pro x, je však většinou konečný. Např. pro ρ(y) PSfrag replacements C < substituujeme y := x PSfrag + r(sin replacements θ cos ϕ, sin θ sin ϕ, cos θ) a q 2 q F F 2 F q q 2 F 2 Obrázek 2.: Vzájemná interakce dvou opačných (vlevo) a stejných (vpravo) nábojů.

2.. FYZIKÁLNÍ PODSTATA 3.2.2.8.8.6.4 +.6.4 +.2.2.2.2.2.4.6.8.2.2.5.5 2 Obrázek 2.2: Pole jednoho náboje (vlevo) a dvou nesouhlasných nábojů (vpravo). zvolme τ > tak, že B τ (x) := {y R 3 : x y τ}, pak E(x) C ( 4πε \B τ (x) x y dy+ 2 + τ π 2π C 4πε ( τ 2 ( sin θ cos ϕ, sin θ sin ϕ, cos θ) r r ) 3 + 4πτ <, přičemž nejlepší odhad dává τ := 3 /(2π). Pro (2.) platí Gaussův zákon E(x) n(x) ds(x) = ε ω ω ) r 2 sin θ dϕ dθ dr ρ(x) dx, (2.2) který říká, že tok elektrického pole přes povrch libovolné oblasti ω R 3 je určen náboji v této oblasti. Použijeme-li z matematiky Gaussovu větu E(x) n(x) ds(x) = div(e(x)) dx, ω pak např. pro ω := B τ (x) a spojitě diferencovatelnou funkci E(x) dostáváme pro τ diferenciální tvar Gaussova zákona v elektrostatice pro vakuum: ω div(e(x)) = ρ(x) ε. (2.3) Příklad 2.. Uvažujme nekonečně dlouhou tyč nabitou konstantní hustotou náboje ρ > o průřezu S, viz Obr. 2.3, a předpokládejme, že intenzita el. pole pak má pouze radiální složku, která je konstantní na povrchu souosých válců ω, tj. E = E(r). Pak rovnice (2.2) má tvar E(r)2π r l = ρ S l/ε a dostáváme elektrické pole ve tvaru E(r) = ρ S/(2π r ε ).

4 KAPITOLA 2. ELEKTROSTATIKA PSfrag replacements ρ E E E E E r l ω ω S E E Obrázek 2.3: Pole nabité nekonečně dlouhé tyče. E E E σ σ E E E E E E PSfrag replacements E ω E E PSfrag replacements σ σ σe E E P σ P E E σ σ E E E E ω E E E E Obrázek 2.4: Pole deskového kondenzátoru (vlevo), pole dvou vnořených deskových kondenzátorů (vpravo). Příklad 2.2. Uvažujme rovinnou elektrodu nabitou konstantní povrchovou hustotou náboje σ >, viz Obr. 2.4 (vlevo, pouze levá deska), a předpokládejme, že intenzita el. pole pak má pouze horizontální složku, která je konstantní; označme ji E +. Pak rovnice (2.2) má tvar 2E + S = σ S/ε a dostáváme elektrické pole ve tvaru E + = σ/(2ε ). Umístěme poblíž rovinnou elektrodu nabitou povrchovou hustotou náboje σ, viz Obr. 2.4 (vlevo, obě desky). Pak z principu superpozice dostáváme pro celkové pole vzorec E = 2E + = σ/ε. Nakonec vložme do tohoto deskového kondenzátoru jiný opačně orientovaný deskový kondenzátor s povrchovou hustotou náboje σ P >, viz Obr. 2.4 (vpravo), pak z principu superpozice má výsledné pole velikost E = E E P = (σ σ P )/ε. Výše zmíněný příklad dobře modeluje dielektrické materiály, v nichž se po vložení do elektrostatického pole natočí molekuly v souladu s vnějším polem podle Coulombova zákona. Označme ρ P (x) := div( P(x)) hustotu polarizovaného náboje v dielek-

2.. FYZIKÁLNÍ PODSTATA 5 triku, kde P je elektrostatická polarizace. Pak z (2.3) div(e(x)) = ρ(x) + ρ P(x) ε ( div(ε r (x) E(x)) := div E(x) + P(x) ) = ρ(x), ε ε kde ε r (x) := + P(x) /(ε E(x) ) je relativní permitivita, předpokládáme-li lineární závislost P(x) a E(x). Zavedeme-li D(x) := ε ε r (x) E(x) jako elektrickou indukci, pak diferenciální, resp. integrální tvar Gaussova zákona v dielektriku je div(d(x)) = ρ(x), resp. D(x) n(x) ds(x) = ρ(x) dx. (2.4) ω Elektrostatické pole je potenciální, tj. E(x) = u(x), kde např. u(x) := ρ(y) 4πε x y dy v případě (2.). Všimněme si, že u(x) pro x. (2.5) V potenciálním poli práce, kterou pole vykoná při přemístění jednotkového náboje z polohy a R 3 do polohy b R 3, nezávisí na dráze W a b = E(x) dl(x) = u(b) u(a), a b a tedy pro libovolnou uzavřenou křivku k E(x) dl(x) =. (2.6) Použijeme-li z matematiky Stokesovu větu E(x) dl(x) = rot(e(x)) n(x) ds(x), Σ pak pro Σ dostáváme k Σ rot(e(x)) =. (2.7) Rovnice (2.4) (2.7) vyžadují diferencovatelné, resp. spojité funkce ε r (x) a E(x). V případě rozhraní dvou různých materiálů, viz Obr. 2.5, dostáváme z integrálních tvarů rovnic (2.4) a (2.6) pro ω, resp. Σ, kde k := Σ, podmínky na rozhraní (D (x) D 2 (x)) n (x) = σ(x), (2.8) (E (x) E 2 (x)) n (x) =, (2.9) kde σ je případný povrchový náboj na rozhraní a x Γ. ω

PSfrag replacements 6 KAPITOLA 2. ELEKTROSTATIKA Γ, σ Γ D D 2 ε ε ε 2 ε 2 n k n E E 2 Obrázek 2.5: Podmínky přechodu na rozhraní dvou dielektrik. 2.2 Modelová úloha, 2d redukce Modelová úloha pro elektrostatiku je načrtnuta na Obr. 2.6 (vlevo). Budeme u- važovat dva materiály: vzduch (vakuum), v němž je vloženo v oblasti r dielektrikum o relativní permitivitě ε r >. Oblastí zde rozumíme omezenou a otevřenou podmnožinu R d, kde d := 3. Dále mějme ve vzduchu v oblastech + a vloženy dvě nabité desky, o nichž víme, že je na jejich povrchu konstantní potenciál U >, resp. U. Pole elektrostatického potenciálu pak popisuje následující systém u r (x) = x r, u (x) = x := R d \ r +, u (x)/ n(x) ε r u r (x)/ n(x) = x r, u (x) u r (x) = x r, u (x) = U x +, u (x) = U x, u (x) x, (2.) kde první dvě rovnice jsou přepisem (2.4), třetí je (2.8), ze čtvrté plyne platnost (2.9), další dvě předepisují napětí na elektrodách a poslední rovnice je vlastnost (2.5). Hledané potenciály u a u r jsou dvakrát spojitě diferencovatelné funkce na, resp. na r, které navíc mají spojité derivace až do hranice, což značíme u C 2 ( ) C ( ), u r C 2 ( r ) C ( r ). V případě, že rozměry elektrod a dielektrika ve směru x 3 jsou dostatečné, lze úlohu (2.) redukovat do R 2, a to tak, že budeme uvažovat typický řez x 3 := a předpokládat, že závislost veličin na souřadnici x 3 lze zanedbat. Formulace úlohy pak zůstává formálně shodná s (2.) s rozdílem, že dimenze je d := 2, x R 2 a oblasti r, + a jsou znázorněny na Obr. 2.6 (vpravo).

2.3. 2D ELEKTROSTATIKA 7 x 2 x 2 PSfrag replacements + r r x x + x 3 Obrázek 2.6: Modelová úloha elektrostatiky: deskový kondenzátor (vlevo), redukce do R 2 (vpravo). 2.3 2d elektrostatika 2.3. Variační formulace Uvažujme úlohu (2.) v libovolné dimenzi d {2, 3}. Data úlohy, tj. geometrii a konstanty ε r zahrňme do následující materiálové funkce { ε ε r, x r, ε(x) := ε, x R d \ r, Dále uvažujme dostatečně velkou oblast R d tak, že r, + = = a předpokládejme, že u je vně oblasti + zanedbatelně malá. Předpokládáme proto, že u(x) = pro x \ ( + ), čímž vnášíme do řešení chybu. Ta bude sice klesat se zvětšujícím se poloměrem (vepsané koule v) oblasti, bohužel ji však neumíme předem dobře odhadnout. Příbližné řešení úlohy (2.) hledáme jako funkci u : R, která nahrazuje neznámé v (2.) takto { u r (x), x r, u(x) = (2.) u (x), x := \ r +, kde jsme změnili význam. Vezměme diferencovatelnou funkci v : R tak, že v(x) = pro x. Přenásobme první rovnici v (2.) funkcí v a konstantou ε ε r a zintegrujme přes r. Dostáváme ε ε r u r (x) v(x) dx =. r

8 KAPITOLA 2. ELEKTROSTATIKA Nyní použijeme z matematiky Greenovu větu q(x) v(x) dx = q(x) v(x) dx + x i x i ω ω ω q(x) v(x) n i (x) ds(x), (2.2) kde n i (x) značí i tou složku vnějšího normálového vektoru k ω v bodě x ω, a dostáváme u r (x) ε ε r u r (x) v(x) dx ε ε r v(x) ds(x) =. r r n(x) Podobně přenásobíme druhou rovnici v (2.) funkcí v a konstantou ε, zintegrujeme přes, aplikujeme Greenovu formuli (2.2) a dostáváme u (x) ε u (x) v(x) dx ε v(x) ds(x) =. n(x) r ε Uvědomme si, že vnější normály k r a jsou na r navzájem opačné. Sečtením posledních dvou rovnic s využitím třetí rovnice v (2.), definic ε a v dává u (x) ε(x) u(x) v(x) dx ε v(x) ds(x)+ n(x) ( ) u (x) + n(x) ε u r (x) r v(x) ds(x) = ε(x) u(x) v(x) dx =, n(x) kde poslední rovnost je variační rovnice pro úlohu (2.). Nyní si řekneme, v jaké množině funkcí budeme hledat řešení u a co mají splňovat testovací funkce v. Aby měla variační rovnice smysl, musí pro řešení u i testovací funkce v platit, že integrály w(x) 2 dx mají smysl a jsou konečné, že v jistém smyslu v(x) = pro x a že hraniční hodnoty u jsou jako v (2.). Z teorie variačních metod prvnímu požadavku vyhovuje Sobolevův prostor V := H () := {v(x) L 2 () : v(x) [L 2 ()] d }, kde L 2 () je prostor všech reálných funkcí, které jsou Lebesgueovsky integrovatelné s kvadrátem na a je zobecněný gradient. Pro námi uvažovanou (s lipschitzovskou hranicí) lze tento vektorový prostor také definovat následujícím zúplněním prostoru nekonečně diferencovatelných funkcí v H () := C ( )., v := v(x) 2 + v(x) 2 dx, čímž rozumějme, že v H () jsou nejen všechny funkce z C (), ale i všechny jejich posloupnosti, které jsou cauchyovské v normě.. Analogii této definice již dobře Posloupnost (a n ) je cauchyovská v normě., pokud ε > n N m, n n : a m a n ε.

2.3. 2D ELEKTROSTATIKA 9 známe v případě reálných čísel, které obsahují nejen všechny racionální čísla, tj. celočíselné zlomky, ale i jejich cauchyovské posloupnosti, jejichž neracionální limity, n např. e, nazýváme iracionální čísla. Testovací funkce v budeme vybírat k! k= ze Sobolevova prostoru V := H () := C ()., kde v C (), právě když v C () a supp v := {x : v(x) }. Konečně řešení u hledáme v prostoru V U := C U ()., kde C U () := {v C () : supp v +, v(x) = U na + a v(x) = U na }. Variační formulace úlohy (2.) je tedy následující: najdi u V U tak, že ε(x) u(x) v(x) dx = v V. (2.3) Pro tuto úlohu lze dokázat existenci jednoznačného řešení a jeho spojitou závislost na změnách geometrie i materiálové funkce ε. K variační formulaci (2.) lze dojít i fyzikálně srozumitelnějším způsobem, a to z principu minima funkcionálu elektrostatické potenciální energie úlohy (2.) ϕ(v) := 2 ε(x) v(x) 2 dx. Totiž minimum ϕ může nastat pouze v bodě u V U, který je stacionární, tj. splňuje právě variační rovnicí ϕ (u, v) = v V, kde ϕ (u, v) je Fréchetova derivace ϕ v bodě u a ve směru v ϕ (u, v) := lim t ϕ(u + tv) ϕ(u) t = ε(x) u(x) v(x) dx. Ve variační formulaci (2.3) je nepraktické to, že řešení je z jiného prostoru než testovací funkce. Ukážeme si tři způsoby, jak to napravit. Za prvé můžeme řešení rozložit na homogenní a partikulární u := u H + u P, kde u H V a u P V U, viz Obr. 2.7. Pak řešíme úlohu: najdi u H V tak, že ε(x) u H (x) v(x) dx = ε(x) u P (x) v(x) dx v V. (2.4)

KAPITOLA 2. ELEKTROSTATIKA.5 u P.5 5 PSfrag replacements 5 x 2 5 5 x Obrázek 2.7: Příklad partikulárního řešení u P (x) okrajových hodnot variační formulace (2.3) pro d := 2. Partikulární řešení u P však úzce souvisí s geometrií a už pro náš příklad jeho nalezení není triviální. Druhým a nejpoužívanějším způsobem je penalizovaná variační formulace: hledáme u ρ V tak, že v V ε(x) u ρ (x) v(x) dx + ρ u ρ (x) v(x) dl(x) + ρ u ρ (x) v(x) dl(x)+ + + ρ u ρ (x) v(x) dl(x) = ρ U v(x) dl(x) ρ U v(x) dl(x), (2.5) Γ + kde Γ := \ +, ρ je penalizační parametr, přičemž u ρ u pro ρ. Třetí způsob je založen na minimalizaci energetického funkcionálu ϕ na prostoru V s lineárními rovnostními omezeními u(x) = U na +, u(x) = U na a u(x) = na Γ. Hledáme tedy vázaný extrém. Ten nastane ve stacionárním bodě lagrangeovského funkcionálu L(u; λ +, λ ) := ϕ(u) + λ + (x)(u(x) U) dl(x)+ + + λ (x)(u(x) + U) dl(x) + Γ λ(x)u(x) dl(x) a je řešením úlohy: hledáme (u; λ +, λ, λ) V L 2 ( + ) L 2 ( ) L 2 (Γ) tak,

2.3. 2D ELEKTROSTATIKA že ε u v dx + λ + v dl(x) + λ v dl(x) + λ v dl(x) = v V, + Γ u q + dl(x) = U q + dl(x) q + L 2 ( + ), + + u q dl(x) = U q dl(x) q L 2 ( ), u q dl(x) = q L 2 (Γ). Γ (2.6) Pozamenejme, že formulace (2.6) dává jednoznačné řešení u, které spojitě závisí na datech, tj., +,, ε a U, ale lagrangeovské multiplikátory λ +, λ a λ jsou nejednoznačné. 2.3.2 Uzlová metoda konečných prvků Je zřejmé, že žádnou z variačních formulací (2.3) (2.6) neumíme řešit analyticky, ale můžeme je diskretizovat a nahradit soustavami lineárních rovnic. To uděláme tak, že prostory V, V, nebo V U nahradíme vhodnými konečně dimenzionálními podprostory, což vede na Galerkinovu formulaci. Metoda konečných prvků je speciálním případem, kdy bázi konečně dimenzionálních podprostorů volíme tak, že výsledná soustava má řídkou matici, tj. většina prvků je v matici nulová. Uvažujme nyní redukovanou dimenzi d := 2. Prvním krokem v metodě konečných prvků je diskretizace, v našem případě do m trojúhelníků, jejichž vnitřky (otevřené oblasti) značíme T k, viz Obr. 2.8, = m T k, T i T j = pro i j, k= tak, že dva sousední trojúhelníky mají společnou pouze hranu nebo bod. Zároveň chceme, aby hranice trojúhelníků zahrnuly všechny hranice a rozhraní v geometrii, tj. m T k ( r ). k= Konečně chceme, aby nejostřejší úhel, který trojúhelníky svírají, byl zdola omezený konstantou. Definujeme diskretizační parametr h > jako délku nejkratší hrany v diskretizaci. Nad každým uzlem diskretizace x i, i =, 2,..., n definujeme konečně prvkovou bázovou funkcí e i (x) : R tak, že { i k : e i (x) T k = a i k + bi k x + c i k x 2 a e i (x j, i = j, ) = δ ij :=, i j,

2 KAPITOLA 2. ELEKTROSTATIKA 5 4 3 2 x2 2 3 4 5 PSfrag replacements x 6 4 2 2 4 6 Obrázek 2.8: Triangulace oblasti. kde a i k, bi k, ci k R. Takto získáváme aproximaci V h := e (x),..., e n (x) prostoru V. Galerkinova aproximace variační formulace (2.5) je následující: hledáme u h ρ(x) := n u i e i (x) V h : a ρ (u h ρ, e i ) = b ρ (e i ) i {, 2,..., n}, i= kde a ρ (u ρ, v) je bilineární forma na levé straně variační rovnice (2.5) a b ρ (v) je lineární forma na pravé straně. Galerkinova aproximace je ekvivaletní se soustavou n lineárních rovnic o n neznámých A ρ u ρ = b ρ, (2.7) kde u ρ := (u, u 2,..., u n ), (A ρ ) ij := a ρ (e j, e i ), (b ρ ) j = b ρ (e j ). Pro Galerkinovu aproximaci variační formulace (2.6) je třeba ještě aproximovat Sobolevovy prostory L 2 ( + ), L 2 ( ) a L 2 (Γ). Necht naše diskretizace pokrývá hranici + úsečkami (segmenty) S+ k, tj. m + k= Sk + = +, podobně pro hranici : m k= Sk = a pro hranici Γ: m k= Sk = Γ Definujme nad nimi po částech konstantní bázové funkce f+, i f, i resp. f i tak, že f i + (x) S j + = δ ij pro i, j =,..., m +, f i (x) S j = δ ij pro i, j =,..., m a f i (x) S j = δ ij pro i, j =,..., m. Takto získáváme aproximaci Q h + := f +,..., f m + + prostoru L 2 ( + ), aproximaci Q h := f,..., f m prostoru L 2 ( ) a aproximaci Q h := f,..., f m prostoru L 2 (Γ). Galerkinova aproximace (2.6) je pak ekvivalentní se soustavou lineárních

2.3. 2D ELEKTROSTATIKA 3 rovnic o n + m + + m + m neznámých A B T + BT BT u B + B λ + λ = c + c, (2.8) B λ kde u := (u,..., u n ), u h (x) := n i= u i e i (x), λ + := (λ +,..., λ +m + ), λ h +(x) := m+ i= λ +i f + i (x), λ := (λ,..., λ m + ), λ h (x) := m i= λ i f i (x), λ := (λ,..., λ m ), λ h (x) := m i= λ i f i (x), (A) ij := ε ej e i dx, (B + ) ij := e j dl(x), (B S+ i ) ij := e j dl(x), (B) S i ij := e j dl(x), (c S i + ) i := U S+ i a (c ) i := U S, i kde. značí délku úsečky. Pro efektivní sestavení matic A ρ, A a pravých stran b ρ není výhodné postupovat přes jednotlivé prvky matic a vektorů, nebot bychom pro každou bázovou funkci e i museli iterovat přes všechny trojúhelníky obsažené v jejím nosiči. Raději využijeme toho, že integraci přes lze rozdělit na součet integrací přes jednotlivé trojúhelníky, přičemž každý trojúhelník T k je vázán k právě třem bázovým funkcím s indexy k, k 2, k 3, kde x k, x k 2 a x k 3 jsou rohy trojúhelníka T k seřazeny proti směru hodinových ručiček. Budeme tedy iterovat přes trojúhelníky a sčítat lokální matice a vektory pravých stran, tj. např. A = m m + m G k (A k ), B + = G+ k (Bk + ), c + + = H+ k (ck + ), k= k= k= kde A k R 3 3, B k + R 2, c k + R, G k : R 3 3 R n n, G k + : R 2 R m + n, zobrazují lokální matice na globální, H k + : R Rm + zobrazuje lokální vektory na globální. Zbývá si odvodit lokální matice a vektory. Zvolme afinní substituci x := R k ( x) := R k x + x k, kde R k := ( x k 2 x k, x k 3 x k ), která zobrazuje referenční trojúhelník T s vrcholy (, ), (, ) a (, ) na T k. Zaved me referenční bázové funkce, viz Obr. 2.9, ê ( x) := x x 2, ê 2 ( x) := x, ê 3 ( x) := x 2, přičemž ê i ( x) = e k i (R k ( x)) pro i =, 2, 3 a x T. Pak lze ukázat, že např. kde ε k := ε(x) T k a kde A k := ε ( ) k B k T B k det(r k ), 2 B k := ( e k (x), e k 2 (x), e k 3 (x) ) = ( R k) T ( ) (2.9)

4 KAPITOLA 2. ELEKTROSTATIKA PSfrag replacements v R k v ê ( x) e k (x) T x 2 x 2 T k x x Obrázek 2.9: Transformace referenčních tvarových funkcí. obsahuje gradienty bázových funkcí, přičemž první matice jsou derivace vnitřní funkce v ê(r k ( x)), tedy substituce R k, a druhá číselná matice je derivace vnější funkce, tedy gradienty referenčních bázových funkcí. Zbývající lokální matice a vektory pro úlohu (2.8) jsou např. B k + := (/2, /2) Sk +, ck + := U Sk +. Na Obr. 2. je vykresleno řešení úlohy (2.8) pro volbu ε r := 2, U :=, := ( 7, 7) ( 5, 5), := ( 5, 3) ( 3, 3), + := (3, 5) ( 3, 3), r := (, ) 2, s diskretizačním parametrem h :=.25 vedoucím na n := 25, m + := m := 64, m := 92. Úloha byla naprogramována a řešena v prostředí MATLAB [5]. 2.3.3 Hraniční integrální formulace Uvažujme opět modelovou úlohu elektrostatiky (2.) redukovanou do d := 2 dimenzí. Ve 2d případě musíme navíc předpokládat, že diametr oblasti r + je menší než jedna, neboli že lze tuto oblast vnořit dovnitř kruhu o poloměru /2. To nás však neomezuje, nebot stačí zvolit pouze vhodné délkové jednotky. Toto přeškálování geometrie je nutné pro regularitu hraničně prvkových matic, které popíšeme v následující kapitole. Řešení budeme nyní hledat pomocí poteciálů jednoduché vrstvy u r (x) := w r (y) g(x, y) dl(y), x r, Γ r u (x) := w (y) g(x, y) dl(y) + w + (y) g(x, y) dl(y)+ (2.2) Γ r Γ + w (y) g(x, y) dl(y), x, Γ

2.3. 2D ELEKTROSTATIKA 5 6.8 4.6.4 2.2 x2.2 2.4 4 6 x 6 4 2 2 4 6.6 PSfrag.8 replacements Obrázek 2.: Řešení u, E := u úlohy (2.8). kde Γ r := r, Γ + := +, Γ :=, g(x, y) := ln x y je Greenova funkce 2π nebo též fundamentální řešení Laplaceovy rovnice a kde funkce w r, w : Γ r R, w + : Γ + R a w : Γ R jsou hustoty potenciálů. Takto zvolené řešení již splňuje první, druhý a poslední řádek z formulace (2.). Našim cílem bude najít w r, w, w + a w tak, aby byly splněny i ostatní rovnice v (2.). Poznamenejme, že hledané funkce mají fyzikální smysl jsou to povrchové hustoty náboje, které by vytvořily stejné pole jako v (2.). Jsou-li hustoty potenciálů spojité funkce, pak např. pro každý bod x Γ r, v jehož okolí je Γ hladká, tj. kromě rohů, platí, že pro r x x Γ r : w r (y) g( x, y) dl(y) w r (y) g(x, y) dl(y), Γ r Γ r n r (x) ex w r (y) g( x, y) dl(y) Γ (2.2) r 2 w g(x, y) r(x) + w r (y) Γ r n(x) dl(y). přičemž / n(x) je derivace podle vnější jednotkové normály k r. Podobně platí pro x x Γ r : w (y) g( x, y) dl(y) w (y) g(x, y) dl(y), Γ r Γ r n r (x) ex w (y) g( x, y) dl(y) Γ r 2 w g(x, y) (x) + w (y) Γ r n(x) dl(y). Stejné vlastnosti, tj. spojitost a skok normálové derivace platí i pro zbývající dva potenciály jednoduché vrstvy, tj. členy s w + a w, přičemž / n(x) má pak význam derivace podle vnější jednotkové normály k +, resp. a skok w(x) v normálové 2

6 KAPITOLA 2. ELEKTROSTATIKA derivaci je s kladným znaménkem, jdeme-li k x z vnitřku, a se záporným znaménkem, jdeme-li k x z vnějšku. Je zřejmé, že pokud bod x leží na jiné křivce než na té, přes níž se integruje, pak jsou v x příslušný potenciál i jeho normálová derivace spojité. Zaved me následující operátory tak, že pro x Γ r Γ + Γ (až na příslušné rohy): [V r w](x) := w(y) g(x, y) dl(y), [L r w](x) := w(y) Γ r Γ r [V + w + ](x) := w + (y) g(x, y) dl(y), [L + w + ](x) := w + (y) Γ + Γ + [V w ](x) := w (y) g(x, y) dl(y), [L w ](x) := w (y) Γ Γ g(x, y) n(x) dl(y), g(x, y) n(x) dl(y), g(x, y) n(x) dl(y). Pak třetí až šestá rovnice v (2.) dávají následující hraničně integrální formulaci ε r ( I + L 2 r) w r + ( I + L 2 r) w + L + w + + L w =, x Γ r, V r w r + V r w + V + w + + V w =, x Γ r, V r w + V + w + + V w = U, x Γ +, V r w + V + w + + V w = U, x Γ, (2.22) kde I značí identické zobrazení. Otázkou zůstává, jaké prostory funkcí volit, aby formulace (2.22) dala jednoznačné řešení, které spojitě závisí na vstupních datech. Volba vhodných (Sobolevových zlomkových) prostorů a matematicky korektní Galerkinova formulace úlohy (2.22) však vyžaduje použití složitého matematického aparátu a je nad rámec záměru těchto skript. Přesto intuitivní pochopení formulace (2.22) a následná diskretizace metodou hraničních prvků má dobré využití. 2.3.4 Metoda hraničních prvků Podobně jako v (2.8) uvažujme diskretizaci hranic oblastí Γ r, Γ + a Γ do disjunktních otevřených úseček, tj. m r k= S k r = Γ r, m + k= S k + = Γ +, m k= S k = Γ a uvažujme po úsečkách konstantní bázové funkce f i r, f i + a f i tak, že f i r (x) S j r = δ ij pro i, j =,..., m r, f i + (x) S j + = δ ij pro i, j =,..., m + a f (x) i S j = δ ij pro i, j =,..., m.

2.3. 2D ELEKTROSTATIKA 7 V lineárních obalech těchto bází hledejme neznámé hustoty poteciálů m r w r (x) := w rk fr i (x), w m r (x) := w k fr i (x), k= m + k= m w + (x) := w + k f +(x), i w (x) := w k f (x), i k= přičemž hledané vektory označíme w r := (w r,..., w rm ), w := (w,..., w m ), w + := (w +,..., w +m + ) a w := (w,..., w m ). Poznamenejme, že jsme porušili předpoklad na spojitost. Vyhneme-li se však s body x krajním bodům úseček, pak vlastnosti (2.2) stále platí. Metoda hraničních prvků, resp. její kolokační verze, nyní spočívá v aproximaci formulace (2.22), a to tak, že vyžadujeme splnění rovnic (2.22) pouze ve středech úseček, které označíme x k r Sr k, xk + Sk +, resp. xk Sk. To vede na soustavu 2m + m + + m lineárních rovnic o stejném počtu neznámých ε r ( I 2 r + L r,r ) I 2 r + L r,r L r,+ L r, w r V r,r V r,r V r,+ V r, V +,r V +,+ V +, w w + = V,r V,+ V, w k= U + U, (2.23) kde I r R mr mr je jednotková matice a kde pro p, q {r, +, } definujeme vektory pravé strany U p := (U,..., U) R mp a prvky matic V p,q, L p,q R mp mq následovně: (V p,q ) ij := Sq j g(xi p, y) dl(y), (L p,q) ij := S xg(x i q j p, y) ni p dl(y), přičemž ni r, ni + a n i značí jednotkové normály k Si r, Si + a Si směřující ven z r, +, resp.. Zatímco velkou výhodou metody hraničních prvků proti metodě konečných prvků je to, že diskretizujeme pouze hranici a že se nedopouštíme chyby ořezáním výpočetní oblasti, jednou z jejích nevýhod je pracnost odvození integrálů. Sestavování matic V p,q zahrnuje následující integrály: S j q S j q ln x i p y dl(y) = b j q a j ( q ln ) b j q a j q ln 2 pro S i p = Sq, j ln x i p y dl(y) = b j q a j q ([ x i p ( ) a j q b j q + a j q bq] j A ij pq + ) ln x i p bq j ]) + ( b j q [( ( q) aj x i p aq) j ln x i p a j q x i p b j q pro S i p S j q, kde uvažujeme parametrizaci S j q : y(t) := a j q + t ( b j q a j q), t,, kde (b j q pq := arctg aj q ) (xi p aj q ) a j q (b j q x i p ) + bj q x i p A ij (b j q arctg aj q ) (xi p bj q ) a j q (b j q x i p ) + bj q x i p

8 KAPITOLA 2. ELEKTROSTATIKA.8.6.4.2 w.2.4.6.8.4.2 x 2.2.4 PSfrag replacements.5.4.3.2...2.3.4.5 x Obrázek 2.: Geometrie (černě) a řešení w r (modře), w, w +, w (červeně) úlohy (2.23). a kde pro u, v R 2 definujeme součiny u v := u v + u 2 v 2 a u v := u v 2 u 2 v. Sestavování matic L p,q zahrnuje tyto integrály: x ln x i p y n i p dl(y) = pro Si p = Sj q, S j q S j q x ln x i p y ( n i p dl(y) = b j q a j n i p ( b j q ) aj q A ij pq + q +n i p (a ) j q ) x i p a j bj q q ln x i p pro S bj p i Sj q. q Na Obr. 2. a 2.2 je vykresleno řešení úlohy (2.23) pro volbu ε r := 2, U :=, := (.5,.3) (.3,.3), + := (.3,.5) (.3,.3), r := (.,.) 2, s diskretizačním parametrem h :=.25 vedoucím na m r := 32, m + := m := 64. Úloha byla naprogramována a řešena v prostředí MATLAB [5]. Porovnáním Obr. 2. a 2.2, můžeme vidět, že chyba která vznikla ořezáním výpočetní oblasti v metodě konečných prvků není malá.

2.3. 2D ELEKTROSTATIKA 9.6.4.8.6 x2.2.4.2.2.2.4.4.6 x.6.4.2.2.4.6.6 PSfrag replacements.8 Obrázek 2.2: Řešení u, E := u úlohy (2.23) pomocí (2.2).

2 Kapitola 3 Magnetostatika 3. Fyzikální podstata Magnetostatika popisuje silová pole vznikající mezi elektrickými náboji pohybující se v čase neměnnou rychlostí. Pak jsou magnetické síly také časově neměnné. Základní budící veličinou je tok nábojů zvaný elektrický proud, jehož jednotkou je Ampér [A]. Magnetostatika tedy popisuje silové účinky ustálených proudů. Prostorovou hustotu elektrického proudu definujeme jako j(x) := ρ(x) v(x), kde v značí rychlostní pole nábojů o hustotě ρ. Platí zákon zachování elektrického náboje, tj. pro každou omezenou oblast R 3 jeho úbytku uvnitř: ρ(x) ρ(x) v(x) n(x) ds(x) = dx. t Pomocí Gaussovy věty získáme diferenciální tvar tohoto zákona: je tok nábojů z povrchu roven div(j(x)) = ρ(x). (3.) t Elektrický proud I v bodě x Σ je definován jako tok elektrického náboje trubicí o průřezu Σ takto: I(x) := j(y) n(y) ds(y). Σ Magnetická pole se popisují magnetickou indukcí B, jejíž jednotka je Tesla [T]. Magnetické pole B působí na náboj q pohybující se rychlostí v Lorentzovou silou, viz Obr. 3. (vlevo), F = q v B, což je další složka k případné Coulombovské síle F = q E. Podobně působí magnetické pole na vodič protékaný proudem I o proudové hustotě j silou F = j(x) B(y) ds(x) dl(y) = I(y) n(y) B(y) dl(y). (3.2) l Σ Pohybující se náboje vytváří také magnetické silové pole, které zpětně ovlivňuje vnější pole B, což však často zanedbáváme. l

3.. FYZIKÁLNÍ PODSTATA 2 B PSfrag replacements B q v l j, I F Σ Obrázek 3.: Lorentzova síla působící na pohybující se náboj (vlevo) a na proudovodič (vpravo). Zbývá popsat zákony rozložení magnetického pole B budících proudů j. První zákon říká, že neexistují zdroje ani nory magnetického pole, tj. neexistuje magnetický analog k elektrickému náboji. To lze pro omezenou oblast R 3 vyjádřit jako B(x) n(x) ds(x) =, (3.3) což s použitím Gaussovy věty dává diferenciální rovnici div(b(x)) =. (3.4) Druhý, Ampérův zákon, říká, že magnetické pole vzniká jako vír kolem proudovodičů a jeho velikost je úměrná elektrickému proudu procházejícímu tímto vírem B(x) dl(x) = µ j(x) n(x) ds(x), (3.5) Σ kde µ := 4π 7 [H m ] je permeabilita vakua a, jak uvidíme v kapitole 4, platí, že ε µ = /c 2, kde c je rychlost světla ve vakuu. Aplikace Stokesovy věty na poslední rovnici dává diferenciální tvar Ampérova zákona Σ rot(b(x)) = µ j(x). (3.6) Příklad 3.. Uvažujme tenký nekonečně dlouhý vodič protékaný proudem I, viz Obr. 3.2, a předpokládejme, že intenzita mag. pole má pouze angulární složku, která je funkcí poloměru, tj. B(r). Pak rovnice (3.5) má tvar B(r)2π r = µ I a dostáváme magnetické pole ve tvaru B(r) = µ I/(2π r). Příklad 3.2. Uvažujme dále, že rovnoběžně s vodičem z předchozího příkladu položíme do vzdálenosti r vodič tentokrát konečné délky l protékaný opět proudem I. Pak z předchozího příkladu a ze vzorce (3.2) plyne, že vodiče na sebe navzájem působí magnetickou silou F = µ I 2 l/(2 π r). Tato síla je přitažlivá v případě stejného směru obou proudů a odpudivá při opačných směrech. To také vysvětluje, proč se závity v cívce k sobě přitahují.

22 KAPITOLA 3. MAGNETOSTATIKA B r B Σ I PSfrag replacements B B Obrázek 3.2: Pole tenkého nekonečně dlouhého vodiče. B = Σ PSfrag replacements I, n B I, n Obrázek 3.3: Pole nekonečně dlouhé cívky. Příklad 3.3. Uvažujme nekonečně dlouhou válcovou cívku, na níž je s hustotou závitů n navinut vodič protékaný proudem I, viz Obr. 3.3. Předpokládejme, že intenzita mag. pole je nenulová pouze uvnitř cívky a má pouze konstantní axiální složku B. Pak rovnice (3.5) má tvar B l = µ n l I a dostáváme velikost magnetického pole B = µ n I. Zatím jsme uvažovali pouze proudovodiče ve vakuu. Ve feromagnetických materiálech se nacházejí domény náhodně orientovaných proudových smyček, dipólů. Po vložení do vnějšího magnetického pole je Lorentzova síla natáčí tak, aby magnetické pole zesílily, viz Obr. 3.4. Označme hustotu zmagnetizovaných dipólů j mag := rot(m), kde M je magnetizace. Pak z (3.6) rot(b(x)) = µ (j(x) + j mag (x)) ( ) ( rot µ r (x) B(x) := rot B(x) M(x) ) = µ j(x), µ kde µ r (x) := { M(x) /(µ B(x) )} je relativní permeabilita, předpokládáme-li lineární závislost M a B. Zaved me H(x) := µ µ r(x) B(x) magnetickou intenzitu, pak diferenciální, resp. integrální tvar Ampérova zákona ve feromagnetiku je rot(h(x)) = j(x), resp. H(x) dl(x) = j(x) n(x) ds(x). (3.7) Σ Σ

3.. FYZIKÁLNÍ PODSTATA 23 B B PSfrag replacements PSfrag replacements Obrázek 3.4: Vnitřní struktura feromagnetika. B B 2 Γ Γ, j Γ µ µ µ 2 µ 2 n Σ n H H 2 Obrázek 3.5: Podmínky přechodu na rozhraní dvou feromagnetik. Poznamenejme, že z hlediska teorie relativity je Lorentzova síla a magnetické pole pouze důsledkem Coulombovy síly a elektrického pole pohybujících se nábojů. Jelikož je magnetické pole solenoidální, viz (3.4), můžeme jej vyjádřit pomocí magnetického vektorového potenciálu u B(x) = rot(u(x)). (3.8) Vektorový potenciál popisující pole B je bohužel nejednoznačný, nebot rot(u) = rot(u + ϕ). Jednoznačnost můžeme vynutit Coulombovou kalibrační podmínkou a podmínkou div(u(x)) = (3.9) u(x) pro x. (3.) Rovnice (3.3), (3.4), (3.7) vyžadují diferencovatelné, resp. spojité funkce µ r a B. V případě rozhraní dvou různých materiálů, viz Obr. 3.5, dostáváme z integrálních tvarů rovnic (3.3) a (3.7) pro Σ podmínky na rozhraní (B (x) B 2 (x)) n (x) =, (3.) (H (x) H 2 (x)) n (x) = j Γ (x), (3.2) kde j Γ je případná povrchová hustota proudu na rozhraní.

24 KAPITOLA 3. MAGNETOSTATIKA 3.2 Modelová úloha, 2d redukce Modelová úloha pro magnetostatiku je načrtnuta na Obr. 3.6. Budeme uvažovat dva materiály: vzduch (vakuum), v němž je vloženo v oblasti r feromagnetické jádro cívky o relativní permeabilitě µ r >. Oblastí zde rozumíme omezenou a otevřenou podmnožinu R 3. Dále mějme ve vzduchu oblast j, která reprezentuje závity cívky tak, že v ní je po částech konstantní hustota elektrického proudu j. Pole magnetického vektorového potenciálu pak popisuje následující systém: rot(rot(u r (x))) =, x r, rot(rot(u (x))) = µ j(x), x := R 3 \ r, div(u k (x)) =, x k, k {, r}, ( (u (x) u r (x)) ) n r (x) =, x r, rot(u (x)) µ r rot(u r (x)) n r (x) =, x r, u (x), x, (3.3) kde první dva řádky jsou přepisem (3.7) a (3.8), třetí je (3.9), čtvrtý zajišt uje platnost (3.), pátý je (3.2) a poslední je vlastnost (3.), přičemž n r značí jednotkovou vnější normálu k r a j je definována, viz Obr. 3.6 (vlevo), následovně: (,, j), x left j, ( j,, ), x front j, j(x) := (,, j), x right. j, (j,, ), x back j,, jinde. Hledané potenciály u a u r jsou dvakrát spojitě diferencovatelné vektorové funkce na, resp. r, které navíc mají spojité derivace až do hranice, což značíme u k (C 2 ( k )) 3 ( C ( k ) ) 3 pro k {, r}. Poznamenejme, že pro dvakrát spojitě diferencovatelnou funkci u takovou, že div(u) =, platí, že rot(rot(u)) = u, což je Laplaceův operátor aplikovaný po složkách. V případě, že rozměry elektrod a dielektrika ve směru x 3 jsou dostatečné, lze úlohu (3.3) redukovat do R 2, a to tak, že budeme uvažovat typický řez x 3 := a předpokládat, že závislost veličin na souřadnici x 3 lze zanedbat. Vektorový potenciál u má pak pouze nenulovou třetí složku u(x, x 2 ), redukuje se tedy na potenciál skalární. Magnetická indukce je pak tato: B(x, x 2, x 3 ) = ( u(x, x 2 ), u(x ), x 2 ), x 2 x

3.3. 2D MAGNETOSTATIKA 25 r x 2 back x 2 PSfrag replacements left + x r x right front x 3 Obrázek 3.6: Modelová úloha magnetostatiky (vlevo), 2d redukce (vpravo). Formulace úlohy 2d magnetostatiky je následující: u r (x) =, x r, u (x) = µ j(x), x := R 2 \ r, u (x) u r (x) =, x r, u (x)/ n(x) µ r u r (x)/ n(x) =, x r, u (x), x, (3.4) kde dimenze je d := 2, x R 2 a oblasti r, j := + jsou znázorněny na Obr. 3.6 (vpravo). Proudová hustota se redukuje takto: j, x, j(x) := j, x +,, jinde. Je vidět, že úloha 2d magnetostatiky je formálně shodná (až na nosič budící veličiny) s úlohou 2d elektrostatiky. 3.3 2d magnetostatika 3.3. Variační formulace Uvažujme úlohu 2d magnetostatiky (3.4). Geometrii feromagnetika a jeho permeabilitu µ r zahrňme do následující materiálové funkce { µ µ r, x r, µ(x) := µ, x,

26 KAPITOLA 3. MAGNETOSTATIKA Dále uvažujme dostatečně velkou oblast R 2 tak, že r j, a předpokládejme, že u je vně oblasti zanedbatelně malá. Předpokládáme proto, že u (x) = pro x. Příbližné řešení úlohy (3.4) hledáme jako funkci u : R, která nahrazuje neznámé v (3.4) takto { u r (x), x r, u(x) = u (x), x := \ r, kde jsme změnili význam. Vezměme diferencovatelnou funkci v : R tak, že v(x) = pro x. Přenásobme první rovnici v (3.4) funkcí v a konstantou /(µ µ r ) a zintegrujme přes r. Dostáváme u r (x) v(x) dx =. r µ µ r Přenásobme druhou rovnici v (3.4) funkcí v a konstantou /µ přes. Dostáváme u (x) v(x) dx = j(x) v(x) dx. µ j a zintegrujme Nyní na levých stranách předchozích dvou rovnic použijeme Greenovu větu a rovnice sečteme. Užitím definic funkcí µ, j a u dostáváme u(x) u(x) v(x) dx v(x) dl(x)+ µ(x) µ n(x) + ( u (x) µ n(x) ) u r (x) v(x) dl(x) = j(x) v(x) dx. µ r n(x) r Na levé straně je díky v(x) = na druhý člen nulový a díky čtvrté rovnici v (3.4) je nulový i třetí člen. Dostáváme tedy následující variační formulaci: najdi u V : u(x) v(x) dx = j(x) v(x) dx v V, (3.5) µ(x) kde V := H () := C ()., v := v(x)2 + v(x) 2 dx, což je, podobně jako v kapitole 2.3., zúplnění (obohacení o limity cauchyovských posloupností) prostoru nekonečněkrát spojitě diferencovatelných funkcí s kompaktním nosičem v. Pro námi uvažovanou (s lipschitzovsky spojitou hranicí) je tato definice ekvivalentní s H () := { v L 2 () : v (L 2 ()) 2 a v(x) = (ve smyslu stop) na }.

3.3. 2D MAGNETOSTATIKA 27 Fyzikálně srozumitelnější náhled na úlohu (3.5) nám dává potenciální energie našeho systému, což je funkcionál ϕ(v) := 2 µ(x) v(x) 2 dx j(x) v(x) dx, jehož stacionární bod u V, který je v našem případě zároveň globálním minimem na prostoru V, je charakterizován rovnicí ϕ (u, v) = v V, v níž figuruje fréchetovská derivace. Tato rovnice však není nic jiného než variační formulace (3.5). 3.3.2 Uzlová metoda konečných prvků Podobně jako v kapitole 2.3.2 nejdříve diskretizujeme do m trojúhelníků, jejichž vnitřky (otevřené oblasti) značíme T k, viz Obr. 3.7, = m T k, T i T j = pro i j, k= tak, že dva sousední trojúhelníky mají společnou pouze hranu nebo bod. Zároveň chceme, aby hranice trojúhelníků zahrnuly všechny hranice a rozhraní v geometrii, tj. m T k ( r + ). k= Konečně chceme, aby nejostřejší úhel, který trojúhelníky svírají, byl zdola omezený konstantou. Definujeme diskretizační parametr h > jako délku nejkratší hrany v diskretizaci. Zapomeňme nejprve na nulovou okrajovou podmínku u(x) = na. Nad každým uzlem diskretizace x i, i =, 2,..., n, definujeme konečně prvkovou bázovou funkcí e i (x) : R tak, že { k : e i (x) T k = a i k + b i kx + c i kx 2 a e i (x j, i = j, ) = δ ij :=, i j, kde a i k, bi k, ci k R. Takto získáváme aproximaci V h := e (x),..., e n (x) prostoru V := H (). Galerkinova aproximace variační formulace (3.5) na prostoru V by byla následující: hledáme ũ h (x) := n ũ i e i (x) V h : a(ũ h, e i ) = b(e i ) i {, 2,..., n}, i=

28 KAPITOLA 3. MAGNETOSTATIKA 6 4 2 x2 2 4 6 x PSfrag replacements 6 4 2 2 4 6 Obrázek 3.7: Triangulace oblasti. kde a(u, v) je bilineární forma na levé straně variační rovnice (3.5) a b(v) je lineární forma na pravé straně. Tato Galerkinova aproximace je ekvivaletní se soustavou n lineárních rovnic o n neznámých à ũ = b, (3.6) kde ũ := (ũ, ũ 2,..., ũ n ), (Ã) ij := a(e j, e i ), ( b) j = b(e j ). Matici à a vektor b efektivně sestavíme po prvcích (trojúhelnících) technikou referenčního trojúhelníku jako v kapitole 2.3.2. Tedy m m à = G k (A k ), b = H k (b k ), k= kde Ãk R 3 3, b k R 3, G k : R 3 3 R n n zobrazuje lokální matice na globální a H k : R 3 R n zobrazuje lokální vektory na globální. Lokální příspěvky jsou s využitím (2.9) tyto: k= A k := ( ) B k T µ k B k det(r k ), 2 b k := j k det(rk ), 2 2 (3.7) kde µ k := µ(x) T k, j k := j(x) T k, R k := ( x k 2 x k, x k 3 x k ) a x k, x k 2, x k 3 jsou uzly trojúhelníku T k uspořádané v pravotočivém smyslu. Řešení úlohy (3.6) je nejednoznačné až na konstantu. Tu právě dourčíme předepsáním nulovostí potenciálu na hranici výpočetní oblasti. Bud I := {i, i 2,..., i n }

3.3. 2D MAGNETOSTATIKA 29 6 x 7 6 4 4 2 2 x2 2 2 4 4 6 PSfrag replacements 6 x 6 4 2 2 4 6 Obrázek 3.8: Řešení u, B úlohy (3.39). množina indexů uzlů neležících na hranici. Pak Galerkinovská aproximace úlohy (3.5) na prostoru V je: n hledáme u h (x) := u k e i k (x) V h : a(u h, e i k ) = b(e i k ) i k I k= a odpovídající soustava lineárních rovnic vznikne restrikcí soustavy (3.6) na indexovou množinu I A u = b, kde A := ÃI,I, b := b I a u := (u, u 2..., u n ). (3.8) Na Obr. 3.8 je vykresleno řešení úlohy (3.39) pro volbu µ r := 5, J :=.25, := ( 6, 6) ( 6, 6), := ( 3, 2) ( 3, 3), + := (2, 3) ( 3, 3), r := ( 2, 2) ( 4, 4), s diskretizačním parametrem h :=.25 vedoucím na n := 24 uzlů a m := 468 trojúhelníků. Úloha byla naprogramována a řešena v prostředí MATLAB [5]. 3.3.3 Hraniční integrální formulace Uvažujme modelovou úlohu magnetostatiky (3.3). Podobně jako v kapitole 2.3.3 předpokládáme, že diametr oblasti r + je menší než jedna, neboli že lze tuto oblast vnořit dovnitř kruhu o poloměru /2. Řešení budeme hledat pomocí

3 KAPITOLA 3. MAGNETOSTATIKA poteciálů jednoduché vrstvy a Newtonova potenciálu u r (x) := w r (y) g(x, y) dl(y), x r, Γ r ( ) u (x) := w (y) g(x, y) dl(y) + µ j g(x, y) dy g(x, y) dy, x, Γ r + (3.9) kde Γ r := r, g(x, y) := ln x y je fundamentální řešení Laplaceovy rovnice a 2π kde funkce w r, w : Γ r R jsou hustoty potenciálů. Takto zvolené řešení již splňuje první, druhý a poslední řádek z formulace (3.3). Našim cílem bude najít w r a w tak, aby byly splněny i ostatní rovnice v (3.3). Jsou-li hustoty potenciálů spojité funkce, pak např. pro každý bod x Γ r, v jehož okolí je Γ hladká, tj. kromě rohů, platí, že pro r x x Γ r : w r (y) g( x, y) dl(y) w r (y) g(x, y) dl(y), Γ r Γ r n r (x) ex w r (y) g( x, y) dl(y) Γ (3.2) r 2 w g(x, y) r(x) + w r (y) Γ r n(x) dl(y). přičemž / n(x) je derivace podle vnější jednotkové normály k r. Podobně platí pro x x Γ r : w (y) g( x, y) dl(y) w (y) g(x, y) dl(y), Γ r Γ r n r (x) ex w (y) g( x, y) dl(y) Γ (3.2) r 2 w g(x, y) (x) + w (y) Γ r n(x) dl(y). Newtonův objemový potenciál je dokonce spojitý i se svou normálovou derivací nezávisle, zda se k hranici blížíme zevnitř, či zvenku, tedy pro Γ r x x Γ r : g( x, y) dl(x) g(x, y) dl(x), ± ± g(x, y) n r (x) ex g( x, y) dl(x) ± ± n(x) dl(x) Je zřejmé, že pokud bod x leží mimo křivku, přes níž se integruje, pak jsou v x příslušný potenciál i jeho normálová derivace spojité. Pro x R 2, resp. x Γ r (až na rohy), zaved me operátory g(x, y) [V r w](x) := w(y) g(x, y) dl(y), [L r w](x) := w(y) dl(y) (3.22) Γ r Γ r n(x) a funkce ( ) N(x) := µ j g(x, y) dy g(x, y) dy, + ( ) (3.23) g(x, y) M(x) := µ j + n(x) dy g(x, y) n(x) dy

3.3. 2D MAGNETOSTATIKA 3 Pak třetí a čtvrtá rovnice v (3.3) dávají následující hraničně integrální formulaci { V r w r V r w = N, x Γ r, µ r ( I + L 2 r) w r ( I + L 2 r) w = M, x Γ r, kde I značí identické zobrazení. (3.24) 3.3.4 Metoda hraničních prvků Uvažujme diskretizaci Γ r do disjunktních otevřených úseček, tj. m r k= S k r = Γ r a uvažujme po úsečkách konstantní bázové funkce f i r tak, že f i r (x) S j r = δ ij pro i, j =,..., m r. Neznámé hustoty potenciálů hledáme v lineárním obalu této báze m r m r w r (x) := w rk fr k (x), w (x) := w k fr k (x), k= přičemž hledané souřadnicové vektory označíme w r := (w r,..., w rm ) a w := (w,..., w m ). V kolokační metodě hraničních prvků vyžadujeme splnění rovnic (3.24) pouze ve středech úseček, které označíme x k r Sr k. To vede na soustavu 2m r lineárních rovnic o stejném počtu neznámých ( V r,r µ r ( 2 I r + L r,r ) ) V r,r I 2 r L r,r k= ( wr w ) = ( ) N, (3.25) M kde I r R mr mr je jednotková matice a kde (V r,r ) ij := S j r g(xi r, y) dl(y), (L r,r) ij := S j r xg(x i r, y) n j r dl(y), (N) i := N(x i r), (M) i := M(x i r), přičemž n j r značí jednotkovou normálu k S j r směřující ven z r. Při sestavování matic V r,r a L r,r použijeme integrály z kapitoly 2.3.4. Navíc je nutno vyčíslit prvky vektorů N a M. Uvažujme obdélníkové oblasti + a, např. + := (a, b) (c, d), pak při výpočtu pravé strany N použijeme následující integrál: b d a c ln x y 2 dy 2 dy = F (a) F (b) F 2 (a, c)+f 2 (a, d)+f 2 (b, c) F 2 (b, d)+ + F 3 (a, c) F 3 (a, d) F 3 (b, c) + F 3 (b, d) 3(b a)(d c),

32 KAPITOLA 3. MAGNETOSTATIKA kde F (y ) := π 2 sgn(y x ) y (y 2x ) (sgn(c x 2 ) sgn(d x 2 )), F 2 (y, y 2 ) := ( (y x ) 2 (y 2 x 2 ) 2) arctg y x y 2 x 2, F 3 (y, y 2 ) := (y x )(y 2 x 2 ) ln x y 2 a při výpočtu M použijeme tento integrál: b d a c x ln x y n dy 2 dy = b d a c (x y) n x y 2 dy 2 dy = G (a) G (b)+ +G 2 (a, c) G 2 (a, d) G 2 (b, c)+g 2 (b, d) G 3 (a, c)+g 3 (a, d)+g 3 (b, c) G 3 (b, d), kde G (y ) := π 2 y x n (sgn(d x 2 ) sgn(c x 2 )), G 2 (y, y 2 ) := ((y x )n (y 2 x 2 )n 2 ) arctg y x y 2 x 2, G 3 (y, y 2 ) := 2 ((y x )n 2 + (y 2 x 2 )n )) ln x y 2. Na Obr. 3.9 a 3. je vykresleno řešení úlohy (3.25) pro volbu µ r := 5, J :=.25, := (.6,.6) (.6,.6), := (.3,.2) (.3,.3), + := (.2,.3) (.3,.3), r := (.2,.2) (.4,.4), s diskretizačním parametrem h :=.25 vedoucím na m r := 96 úseček. Úloha byla naprogramována a řešena v prostředí MATLAB [5]. Porovnáním Obr. 3.6 a 3., můžeme vidět, že chyba, která vznikla ořezáním výpočetní oblasti v metodě konečných prvků, není malá. 3.3.5 Párování metody konečných a hraničních prvků Užití metody konečných prvků je vhodné např. v oblastech s nelineární odezvou materiálu, kde permeabilita je navíc funkcí řešení (materiál se saturuje a začíná se chovat jako vzduch). Naopak metoda hraničních prvků najde uplatnění při popisu pole ve vzuchu nebo cívkách vně feromagnetika, nebot nezavádí chybu ořezáním výpočetní oblasti. Velmi populárním přístupem je párování obou metod tak, že feromagnetikum diskretizujeme metodou konečných prvků a magnetické pole v cívce a okolním vzduchu reprezentujeme pomocí hraničních potenciálů. Metoda pochází od profesora Costabela [2]. Základem párování je následující variační rovnice na oblasti r : µ r u r (x) v(x) dx = u r (x) v(x) dx r r µ r u r (x) v(x) dl(x) =, Γ r µ r n(x)

3.3. 2D MAGNETOSTATIKA 33 w x 8 3 2 2 3 4.5 PSfrag replacements x 2.5.3.2. x..2.3 Obrázek 3.9: Geometrie (černě) a řešení w r (modře), w (červeně) úlohy (3.25)..6 x 2.4.5.2.5 x2.5.2.4.5 PSfrag replacements 2.6 x.6.4.2.2.4.6 Obrázek 3.: Řešení u, B úlohy (3.25) pomocí (3.9).

34 KAPITOLA 3. MAGNETOSTATIKA v níž nahradíme tok u r přes Γ r tokem u podle čtvrté rovnice v (3.3) u (x) u r (x) v(x) dx v(x) dl(x) =. r µ r Γ r n(x) Řešení u hledáme opět ve tvaru součtu potenciálu jednoduché vrstvy a Newtonova potenciálu, který představuje budící cívku, ( ) u (x) := w (y) g(x, y) dl(y) + µ j g(x, y) dy g(x, y) dy, Γ r + kde x R 2 \ r. Poslední rovnicí z (3.3), kterou zbývá splnit, je spojitost řešení u r (x) u (x) =, x Γ r. S využitím symbolů operátoru jednoduché vrstvy V r, dvojvrstvy L r, viz (3.22), jeho skoku (3.2) a definic Newtonových operátorů N a M, viz (3.23), je formulace úlohy následující: hledáme u r V r := H ( r ) a w : Γ r R tak, že { (( ar (u r, v) b r I + L 2 r) w, v ) = b r (M, v) v V r, (3.26) u r V r w = N x Γ r, kde I je identita a kde a r (u r, v) := u r v dx, b r (u, v) := u v dl(x). r µ r Γ r Poznamenejme, že zatímco první rovnice v (3.26) odpovídá tzv. Galerkinově přístupu, který dobře funguje i pro nehladké geometrie (rohy) a nespojité hustoty hledaných potenciálů, druhá rovnice představuje kolokační přístup s horšími aproximačními vlastnostmi. Zavedeme-li (bez bližší specifikace ) prostor W r, v němž hledáme hraniční potenciál w, pak Galerkinova formulace párování MKP a MHP pro 2d magnetostatiku je následující: hledáme u r V r a w W r tak, že { (( ar (u r, v) b r I + L 2 r) w, v ) = b r (M, v) v V r, (3.27) b r (u r, q) b r (V r w, q) = b r (N, q) q W r. Diskretizace prostoru V r metodou konečných prvků nyní vede na triangulaci r, viz Obr. 3., do m r trojúhelníků T k, v jejichž uzlech x i, i {, 2,..., n r }, definujeme konečně prvkové bázové funkce e i. Takto získáváme aproximaci Vr h V r. Diskretizace MKP bilineární formy a r (.,.) vede na matici A r R nr nr, jejíž lokální příspěvky A k r spočteme technikou referenčního elementu podle vzorce (3.7). Diskretizace prostoru W r metodou hraničních prvků je indukována předchozí triangulací r, viz Obr. 3.. To vede na s r hraničních úseček Sr i a p r hraničních uzlů x i,..., x ipr, kde i k {, 2,..., n r }. Nad úsečkami Sr i definujeme hraničně-prvkové W r := H /2 (Γ r ) je Sobolevův prostor stop na Γ r.

3.3. 2D MAGNETOSTATIKA 35.4.3.2. x2..2.3 PSfrag replacements.4.5.5 x Obrázek 3.: Triangulace oblasti r. nespojité po částech konstantní bázové funkce fr i, jejichž lineární obal nám dá prostor Wr h W r. Při diskretizaci MHP bilineární formy b r (.,.) použijeme nejhrubší kvadraturní formuli, a to obdélníkové pravidlo f(x) dx f(x k r ) Sr k, S k r kde x k r je střed úsečky Sk r a Sk r je její délka. To nám umožní využít již napočítané prvky matic V r,r, L r,r a vektorů N, M z kapitol 2.3.4 a 3.3.4. Formulace (3.27) po diskretizaci párováním MKP a MHP vede na následující soustavu n r + s r lineárních rovnic o stejném počtu neznámých: ( ) ( ) ( ) Ar B r ur br =. (3.28) C r D r w c r V této soustavě je matice B r R nr sr sestavena tak, že řádek i této matice je (B r ) i, := 2 ( ) 2 Si r 2 I r L r,r, k= přičemž i, i 2 {, 2,..., p r } jsou hraniční indexy uzlů úsečky Sr. i Podobně b R nr má prvky (b r ) i := 2 2 Si r (M) ik. Ve druhém řádku (3.28) vystupuje matice C r R sr nr sestavená z prvků { 2 (C r ) i,j := Si r, pokud x j, j {, 2,..., n r }, je jeden ze dvou uzlů Sr, i, jinak. k= i k,

36 KAPITOLA 3. MAGNETOSTATIKA.6 x 2.4.5.2.5 x2.5.2.4.6 x.6.4.2.2.4.6.5 PSfrag replacements 2 Obrázek 3.2: Řešení u, B úlohy (3.25) pomocí párování FEM a BEM, viz (3.28). Konečně matice D r R sr sr a vektor d r R sr jsou definovány po řádcích takto: (D r ) i, := S i r (V r,r) i,, (c r ) i := S i r (N) i. Na Obr. 3.2 je vykresleno řešení úlohy (3.27) pro volbu µ r := 5, J :=.25, r := (.2,.2) (.4,.4), := (.3,.2) (.3,.3), + := (.2,.3) (.3,.3), s diskretizačním parametrem h :=.25 vedoucím na n r := 544 MKP uzlů a s r := 96 MHP úseček. Úloha byla naprogramována a řešena v prostředí MATLAB [5]. Nepřesnosti v řešení na rozhraní feromagnetika a cívky lze odstranit při použití vyššího řádu numerické kvadratury a spojitými po částech afinními bázovými funkcemi MHP prostoru W h r. Obě tato vylepšení však vyžadují více práce s analytickou integrací a pro účel tohoto textu nejsou podstatné. 3.4 3d magnetostatika 3.4. Variační formulace Uvažujme nyní úlohu 3d magnetostatiky (3.3). Geometrii feromagnetika a jeho permeabilitu µ r zahrňme do následující materiálové funkce { µ µ r, x r, µ(x) := µ, x := R 3 \ r. Uvažujme dostatečně velkou oblast R 3 tak, že r j, a předpokládejme, že tok B := rot(u ) z oblasti je zanedbatelný. To ve 3d magnetostatice nahrazu-

3.4. 3D MAGNETOSTATIKA 37 jeme podmínkou na nulovost tečných složek vektorového potenciálu u(x) n(x) =, x. (3.29) Příbližné řešení úlohy (3.3) hledáme jako funkci u : R 3, která nahrazuje neznámé v (3.3) takto { u r (x), x r, u(x) = u (x), x := \ r, kde jsme změnili význam. Vezměme diferencovatelnou funkci v : R 3 tak, že v n = na. Přenásobme první rovnici v (3.3) funkcí v a konstantou /(µ µ r ) a zintegrujme přes r. Dostáváme rot (rot (u r (x))) v(x) dx =. (3.3) r µ µ r Přenásobme druhou rovnici v (3.3) funkcí v a konstantou /µ a zintegrujme přes. Dostáváme rot (rot (u (x))) v(x) dx = j(x) v(x) dx. (3.3) µ Připomeňme si Greenovu formuli ϕ(x) ψ(x) dx = ϕ(x) ψ(x) dx + x i x i ϕ(x) ψ(x) n i (x) ds(x), kde n := (n, n 2, n 3 ) je jednotková vnější normála k. Jejím opakovaným použitím si odvodíme analogii Greenovy formule pro operátor rot rot(w) v = [( ) ( ) ( ) ] w3 w w2 = v + v 2 + v 3 = w 2 w 3 w x 2 x 3 x 3 x x x 2 [( ) ( ) ( v v v 2 v 2 v 3 v 3 = w 3 w 2 + w w 3 + w 2 w x 2 x 3 x 3 x x x 2 + [(w 3 n 2 w 2 n 3 ) v + (w n 3 w 3 n ) v 2 + (w 2 n w n 2 ) v 3 ] = = w ( rot(v)) (w n) v = = w rot(v) + w (v n). )] + (3.32)

38 KAPITOLA 3. MAGNETOSTATIKA Nyní na levých stranách rovnic (3.3) a (3.3) použijeme (3.32) a rovnice sečteme. Užitím definic funkcí µ, j a u dostáváme µ rot(u) rot(v) + rot(u) (v n) µ (( rot(u ) ) ) rot(u r ) n v = j v. µ µ r r Na levé straně je díky v n = na druhý člen nulový a díky páté rovnici v (3.3) je nulový i třetí člen. Dostáváme tedy následující variační formulaci: najdi ũ V : rot(ũ(x)) rot(v(x)) dx = j(x) v(x) dx v V, µ(x) (3.33) kde V := H (rot; ) := (C, v ())3. rot rot := v(x) 2 + rot(v(x)) 2 dx. Pro námi uvažovanou je tato definice ekvivalentní s { H (rot; ) := v ( L 2 () ) } 3 : rot(v) (L 2 ()) 3 a v(x) n(x) = na. Bohužel, jak jsme zmínili už v kapitole 3., je vektorový potenciál nejednoznačný až na libovolné gradientní pole ϕ. Podívejme se nejdříve na úlohu (3.33) jako na úlohu minimalizaci magnetostatické potenciální energie, což je funkcionál E(v) := 2 µ(x) rot(v(x)) 2 dx j(x) v(x) dx, jehož nekonečně mnoho stacionárních bodů ũ = u + ϕ V jsou řešením rovnice E (u + ϕ, v) = v V, což není nic jiného než variační formulace (3.33). Jednoznačné řešení u získáme dodáním Coulombovy kalibrační podmínky div(u) = v, což nás vede na hledání vázaného extrému: hledáme u V tak, že v V : E(u) E(v) vzhledem k div(u) =, (3.34) přičemž kalibrační podmínku chápeme v následujícím slabém smyslu: ϕ H() : u(x) ϕ(x) dx =. Pomocí formalismu lagrangeových multiplikátorů pro podmínky minima lze minimalizační úlohu (3.34) ekvivalentně přepsat na následující variační formulaci úlohy 3d magnetostatiky (3.3): hledáme u V a λ V := H() tak, že { rot(u) rot(v) + λ v = µ j v v V, u ϕ = ϕ V (3.35).

3.4. 3D MAGNETOSTATIKA 39 Jelikož navíc proudové hustoty jsou ve slabém smyslu bezdivergentní, výsledné lagrangeovské multiplikátory λ jsou nulové a úlohu (3.35) lze ještě zjednodušit. Poznamenejme, že mezi inženýry je oblíbenější následující formulace: hledáme u ε V tak, že µ rot(u ε) rot(v) + ε u ε v = j v v V, kde ε > je regularizační parametr, přičemž platí, že pro ε konverguje přibližné řešení u ε ke správnému řešení u úlohy (3.35) v normě. rot. Vztah posledně zmíněné formulace a smíšené formulace (3.35) je podobný jako byl v kapitole 2.3. vztah formulací (2.5) a (2.6). 3.4.2 Hranově uzlová metoda konečných prvků Diskretizujeme do m čtyřstěnů, jejichž vnitřky (otevřené oblasti) značíme T k = m T k, T i T j = pro i j, k= tak, že dva sousední čtyřstěny mají společnou bud právě jednu stěnu, nebo hranu, nebo bod. Zároveň chceme, aby povrchy čtyřstěnů zahrnuly všechny hranice a rozhraní v geometrii, tj. m T k ( r left right front back ). k= Konečně chceme, aby nejostřejší úhel, který stěny svírají, byl zdola omezený konstantou. Definujeme diskretizační parametr h > jako délku nejkratší hrany v diskretizaci. Budeme se zabývat MKP diskretizací dvou prostorů, a to V := H (rot; ) a V := H (). Začněme tím jednodušším, druhým. Zapomeňme zatím na nulovou okrajovou podmínku ϕ = na. Nad každým uzlem diskretizace x i, i =, 2,..., n, definujeme uzlovou konečně prvkovou bázovou funkcí e i (x) : R tak, že e i (x) T k = a i k + bi k x + c i k x 2 + d i k x 3 a e i (x j ) = δ ij, kde a i k, bi k, ci k, di k R. Takto získáváme aproximaci V h := e (x),..., e n (x) prostoru V := H (). Bázové funkce budeme konstruovat technikou referenčního čtyřstěnu (elementu) lokálními příspěvky z jednotlivých čtyřstěnů. Zvolme afinní substituci x := R k ( x) := R k x + x k, kde R k := ( x k 2 x k, x k 3 x k, x k 4 x k ), která zobrazuje referenční čtyřstěn T s vrcholy (uzly) x := (,, ), x 2 := (,, ), x 3 := (,, ) a x 4 := (,, ) na T k s vrcholy x k, x k 2, x k 3 a x k 4 orientované

PSfrag replacements 4 KAPITOLA 3. MAGNETOSTATIKA x 3 R k x 3 x 4 x k 4 x 2 x x 3 x 2 x k x k 3 x 2 x x x k 2 Obrázek 3.3: Transformace referenčního čtyřstěnu T na T k. ve stejném smyslu jako referenční uzly, viz Obr. 3.3. Referenční uzlové bázové funkce pro konstrukci prostoru V h jsou pak tyto: ê ( x) := x x 2 x 3, ê 2 ( x) := x, ê 3 ( x) := x 2, ê 4 ( x) := x 3 a splňují ê i ( x j ) = δ ij. Bázové funkce prostoru V h jsou e k i (x) := ê i ( x) pro i {, 2, 3, 4} a x T při substituci x := R k ( x). Pro smíšenou bilineární formu u ϕ ve formulaci (3.35) potřebujeme spočítat gradienty bázových funkcí, pro něž lze ukázat platnost analogického vzorce jako ve 2 dimenzích, viz (2.9), B k := ( e k (x), e k 2 (x), e k 3 (x), e k 4 (x) ) = ( R k) T, (3.36) kde matice (R k ) T obsahuje derivace vnitřní funkce, tedy afinního zobrazení R k, a sloupce druhé matice jsou gradienty referenčních bázových funkcí. Nyní se podívejme na MKP diskretizaci prostoru V := H (rot; ). Okrajovou podmínku v n = nechme opět zatím stranou. Zatímco v elektrostatice, resp. při aproximaci prostoru H (), vyžadujeme jistou existenci všech parciálních derivací 2, což zajistíme požadavkem na spojitost konečně-prvkových funkcí, v magnetostatice, tedy při aproximaci prostoru H(rot; ), vyžadujeme pouze jistou existenci 2 Chceme, aby slabé derivace funkce ϕ L 2 () byly lebesgueovsky integrovatelné s kvadrátem ( i {, 2, 3}) ( Ψ i L 2 () ) ( η C ()) : Ψ i η = ϕ η, x i a označíme ϕ/ x i := Ψ i.

3.4. 3D MAGNETOSTATIKA 4 x x 3 R k Ê 5 Ê 3 Ê x 2 Ê 4 x x 3 E k 3 E k 5 E k 6 E k 2 Ê 6 Ê 2 E k x 2 E k 4 Obrázek 3.4: Transformace z referenčního Nédélecova hranového prvku T na T k. aplikací operátoru rotace 3, což zajistíme požadavkem na spojitost tečných složek konečně prvkových funkcí. Jedním z možných tvarů těchto funkcí jsou následující Nédélecovy [7] hranové funkce, které jsou definovány nad každou orientovanou hranou E i : x i x i 2, i {, 2,..., n e } diskretizace: ξ i (x) T k = a i k + bi k x a E j ξ i (x) t j dl(x) = δ ij, kde t j := (x j 2 x j ) / x j 2 x j je tečný vektor k hraně E j. Jednoznačné přiřazení orientace hran v diskretizaci dává jednoznačnou hranovou MKP bázi. Uvažujme opět referenční čtyřstěn s orientovanými hranami Ê : x x 2, Ê 2 : x x 3, Ê 3 : x x 4, Ê4 : x 2 x 3, Ê5 : x 3 x 4, Ê6 : x 4 x 2, viz Obr. 3.4. Referenční bázové funkce jsou pak tyto: ξ ( x) := + x, ξ3 ( x) := + x, ξ5 ( x) := x, ξ2 ( x) := + ξ4 ( x) := x, ξ6 ( x) := x, x, 3 Chceme, aby slabá rotace funkce v ( L 2 () ) 3 byla lebesgueovsky integrovatelná s kvadrátem ( w ( L 2 () ) ) ( 3 z (C ())3) : w z = v rot(z), a označíme rot(v) := w.

42 KAPITOLA 3. MAGNETOSTATIKA které splňují be j ξ i t j dl( x) = δ ij. Jim odpovídající konečně prvkové bázové funkce jsou tyto: ξ k i (x) = sign k (E k i ) ( R k) T ξ( x), kde k, k 2,..., k 6 jsou indexy orientovaných hran čtyřstěnu T k při transformaci x := R k ( x), přičemž { sign k (E k i, orientace E k i je shodná s orientací ) := Êi, orientace E k i je opačná k orientaci Ê i. Navíc potřebujeme rotace těchto funkcí. Díky rot(a + b x) = 2 b, dostáváme B k rot := ( rot(ξ ), rot(ξ 2 ), rot(ξ 3 ), rot(ξ 4 ), rot(ξ 5 ), rot(ξ 6 ) ) 2 2 2 = det(r k ) Rk 2 2 2 diag ( sign k (E k i ) ) 6. (3.37) i= 2 2 2 Konečně potřebujeme hodnoty bázových funkcí v těžišti x k c := (/4) 4 i= xki čtyřstěnu T k, dostáváme B k Id := ( ξ (x k c ), ξ2 (x k c ), ξ3 (x k c ), ξ4 (x k c ), ξ5 (x k c ), ξ6 (x k c )) = ( R k) 2 T 2 diag ( sign 4 k (E k i ) ) 6. (3.38) i= 2 Lokální příspěvek do matice bilineární formy (/µ)rot(u) v je A k := ( ) B k T µ k rot B k det(r k ) rot, 6 kde µ k := µ(x) T k. Lokální příspěvek do matice bilineární formy u ϕ je B k := ( ) B k T B k det(r k ) Id. 6 Lokální příspěvek vektoru lineární formy j v je b k := ( ) B k T Id j k det(rk ), 6 kde j k := j(x) T k. Dále sestavíme globální matice a vektory à := m G k (A k ), m B := L k (B k ), m b := H k (b k ), k= k= k=

3.4. 3D MAGNETOSTATIKA 43 kde G k : R 6 6 R ne ne zobrazuje lokální hranové matice na globální, L k : R 4 6 R n ne zobrazuje lokální smíšené uzlově hranové matice na globální a H k : R 6 R ne zobrazuje lokální hranové vektory na globální. Ty nakonec restringujeme na vnitřní stupně volnosti A := ÃI e,i e, B := B I,I e, b := b I e, { } kde I e := i e, i e 2,..., i e n je množina globálních indexů hran neležících na a e I := {i, i 2,..., i n } je množina globálních indexů uzlů taktéž neležících na. MKP diskretizace úlohy (3.35) dává následující soustavu n e + n lineárních rovnic o stejném počtu neznámých: ( ) ( ) ( ) A B T u b =. (3.39) B λ Přibližné řešení úlohy (3.35) je n e u h (x) := u k ξ i k (x). k= Pole magnetické indukce je na každém čtyřstěnu konstantní B h (x) T k = B k rot u k, kde u k je lokální vektor řešení doplněný o nuly pro hrany čtyřstěnu T k ležící na. Na Obr. 3.5 je vykreslena diskretizace geometrie := ( 6, 6) 3, j := ( 3, 3) 3 \ ( 2, 2 3, 3 2, 2 ), r := ( 2, 2) ( 4, 4) ( 2, 2), s diskretizačním parametrem h := vedoucím na n := 24 uzlů a m := 468 trojúhelníků. Diskretizace byla vytvořena programem NETGEN [?]. Řešení úlohy (3.39) pro volbu µ r := 5, J :=.25 je vykresleno na Obr. 3.6. Úloha byla naprogramována a řešena v prostředí MATLAB [5].

44 KAPITOLA 3. MAGNETOSTATIKA Obrázek 3.5: Diskretizace geometrie cívky programem NETGEN [?]. Obrázek 3.6: Řešení B úlohy (3.39) metodou smíšených konečných prvků.