MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021) za přispění finančních prostředků EU a státního rozpočtu České republiky. Mgr. Radka SMÝKALOVÁ, Ph.D. smyky@seznam.cz
MT MATEMATIKA Hodnost a determinant matice, inverzní matice 2 Hodnost matice DEFINICE (Hodnost matice). Hodnost nenulové matice je přirozené číslo, které udává počet lineárně nezávislých řádků matice. Hodnost matice A značíme h(a). Hodnost nulové matice je rovna nule. DEFINICE (Ekvivalentní řádkové úpravy matice). Ekvivalentní řádkové úpravy matice, které nemění hodnost matice, jsou libovolná záměna pořadí řádků vynásobení nebo vydělení všech prvků řádku nenulovým číslem přičtení k libovolnému řádku nenulový násobek jiného řádku vynechání nulového řádku vynechání řádku, který je násobkem jiného řádku Ekvivalentními řádkovými úpravami převedeme matici A na matici B. Tyto matice jsou navzájem ekvivalentní, píšeme A B. Postup při zjišťování hodnosti matice: 1. matici převedeme pomocí ekvivalentních řádkových úprav na matici schodovitou 2. lineárně závislé řádky se vynulují!!! 3. hodnost matice se pak rovná počtu nenulových řádků ve schodovité matici (tyto nenulové řádky jsou lineárně nezávislé!!!) Věta (Vztah mezi hodností matice a hodností matice transponované). Hodnost matice A se transponováním matice nezmění. Pro A tedy platí h(a) = h(a T ).
MT MATEMATIKA Hodnost a determinant matice, inverzní matice 3 Cvičení 1. Vypočítejte hodnost matice. 1 2 1 2 3 1. A = 2 1 4 1 2 1 1 2 1 3 2. B = 3 2 6 2 1 0 4 10 1 4 8 18 7 10 18 40 17 1 7 17 3 Poznámka (Lineární závislost a nezávislost vektorů). Mějme m vektorů stejného rozměru, které zapíšeme do řádků matice A. Vektory jsou lineárně závislé, jestliže h(a) < m lineárně nezávislé, jestliže h(a) = m Cvičení 2. Určete lineární závislost či nezávislost vektorů: 1. u 1 = (6,3,2,3),u 2 = (4,2,1,2),u 3 = (4,2,3,2),u 4 = (2,1,7,3) 2. u 1 = (3,4, 1,2, 9),u 2 = (1, 2,3, 4,19),u 3 = (1, 1,1, 3,7), u 4 = ( 2,3,2,1, 2) Determinant matice Čtvercová matice (počet řádků m = počet sloupců n) se nazývá čtvercová matice řádu n. DEFINICE (Determinant matice). Determinant čtvercové matice A řádu n je reálné číslo, které je určitým způsobem přiřazeno matici A. Píšeme a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n deta = A =....... a n1 a n2... a nn
MT MATEMATIKA Hodnost a determinant matice, inverzní matice 4 Výpočet determinantů matic Determinant 1. řádu Determinant 2. řádu (křížové pravidlo) A = a 11 = a 11 A = a 11 a 12 a 21 a 22 = (a 11a 22 ) (a 12 a 21 ) Determinant 3. řádu (Sarrusovo pravidlo) a 11 a 12 a 13 A = a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = = (a 11 a 22 a 33 )+(a 12 a 23 a 31 )+(a 13 a 21 a 32 ) (a 11 a 23 a 32 ) (a 12 a 21 a 33 ) (a 13 a 22 a 31 ) Cvičení 3. Vypočítejte determinanty: 1. A = 2 2. B = 2 3 1 0 3 4 1 3. C = 2 3 0 0 2 1 3 2 4 4. D = 2 0 1 1 2 2 Determinant 4. a vyšších řádů (Laplaceův rozvoj - rozvoj podle libovolného řádku nebo libovolného sloupce) Rozvoj podle i-tého řádku: Rozvoj podle j-tého sloupce: A = ( 1) i+1 a i1 M i1 +( 1) i+2 a i2 M i2 + +( 1) i+n a in M in A = ( 1) 1+j a 1j M 1j +( 1) 2+j a 2j M 2j + +( 1) n+j a nj M nj Nejvýhodnější výpočet je rozvoj podle řádku nebo sloupce s největším počtem nul!!!
MT MATEMATIKA Hodnost a determinant matice, inverzní matice 5 Cvičení 4. Vypočítejte determinanty: 1 2 3 4 1 2 5 1 1. A = 1 0 3 4 1 2 0 4 2. B = 1 2 4 2 2 0 1 0 1 2 3 4 3 3 7 1 Věta (Úprava, která nezmění hodnotu determinantu). Jestliže k libovolnému řádku matice přičteme libovolný násobek jiného řádku matice, hodnota determinantu se nezmění. Cvičení 5. Vypočítejte determinanty z předchozího cvičení pomocí úpravy, která nezmění hodnotu determinantu. (Upravte si matici do tvaru s více nulami, pak bude výpočet jednodušší.) DEFINICE (Regulární matice, singulární matice). Inverzní matice čtvercová matice A se nazývá regulární, když je její determinant různý od nuly. Tedy A 0. čtvercová matice A se nazývá singulární, když je její determinant roven nule. Tedy A = 0. DEFINICE (Inverzní matice). Matice A je regulární čtvercová matice. Matice A 1 se nazývá inverzní matice k matici A, jestliže platí kde I je jednotková matice. A A 1 = A 1 A = I,
MT MATEMATIKA Hodnost a determinant matice, inverzní matice 6 Postup při výpočtu inverzní matice A 1 k matici A: 1. vytvoříme matici (A I). Je to matice, která je složená z matice A a jednotkové matice. Mezi nimi vyznačíme svislou čáru. 2. matici (A I) upravíme pomocí ekvivalentních řádkových úprav na tvar (I A 1 ). Cvičení 6. Vypočítejte inverzní matici k maticím: 1 1 0 1 1 1 1. A = 2 0 1 2. B = 2 0 1 1 3 1 0 2 2