Saika 1 Saika 1 2. přednáška ové veličin Saický momen Těžišě Momen servačnosi Hlavní ěžiš ové os a hlavní cenrální momen servačnosi Elipsa servačnosi Miroslav Vokáč miroslav.vokac@klok.cvu.cz Konrolní oázk ČVUT v Praze, Fakula archiekur 7. března 2016
Saika 1 Pru je konsrukční prvek, u kerého je délka L mnohem věší než šířka b i výška h. Pruem je např. rám, sloup, průvlak nebo prvek příhradové sousav. je var příčného řezu pruu. Saický momen Těžišě Momen servačnosi Hlavní ěžiš ové os a hlavní cenrální momen servačnosi Elipsa servačnosi Konrolní oázk D h L L b
průřezu Základní jednoka: m 2 ȳ da ȳ A 3 Saika 1 Saický momen Těžišě Momen servačnosi Hlavní ěžiš ové os a hlavní cenrální momen servačnosi Elipsa servačnosi Konrolní oázk A 2 A 1 A = da A = i A i A
Saický momen průřezu Saika 1 Základní jednoka: m 3 ȳ ȳ Saický momen Těžišě Momen servačnosi ȳ da 3 3 Hlavní ěžiš ové os a hlavní cenrální momen servačnosi Elipsa servačnosi ȳ ȳ 2 1 2 1 1 3 2 Konrolní oázk S = A ȳ = A ȳ da S = A ȳ = i A i ȳ i Sȳ = A = A da Sȳ = A = i A i i
Těžišě průřezu Saika 1 ȳ Poloha ěžišě se u složeného průřezu vpoče: Saický momen Těžišě Momen servačnosi Hlavní ěžiš ové os a hlavní cenrální momen servačnosi 3 3 = Sȳ A = Ai i Ai Elipsa servačnosi Konrolní oázk ȳ 2 1 2 1 1 3 2 ȳ = S A = Ai ȳ i Ai Do ěžišě umis ujeme počáek ěžiš ového ssému souřadnic.
Těžišě průřezu Saika 1 Saický momen k ěžiš ové ose je nulový. Pokud má průřez 1 osu smerie, leží ěžišě na éo ose. Pokud má průřez 2 a více os smerie, leží ěžišě v průsečíku ěcho os. U průřezu sředově smerického leží ěžišě ve sředu smerie. Saický momen Těžišě Momen servačnosi Hlavní ěžiš ové os a hlavní cenrální momen servačnosi Elipsa servačnosi Konrolní oázk
Momen servačnosi průřezu Základní jednoka: m 4 da Momen servačnosi: I = 2 da A I = 2 da A Deviační momen: D = da A Momen servačnosi ploch (A > 0) k ěžiš ovým osám je vžd kladný (I R +, I R + ). Deviační momen k ěžiš ovým osám může bý kladný, záporný i nulový (D R). Saika 1 Saický momen Těžišě Pro základní geomerické obrazce (čverec, obdélník, rojúhelník, kruh, půlkruh, čvrkruh,... ) jsou inegrál spočíán a abelován. Viz odborná lieraura nebo viz hp://15122.fa.cvu.cz. Momen servačnosi Hlavní ěžiš ové os a hlavní cenrální momen servačnosi Elipsa servačnosi Konrolní oázk
Momen servačnosi Saika 1 Čverec a ȳ ȳ A = a 2 = ȳ = 1 2 a I = I = 1 12 a4 D = 0 Saický momen Těžišě Momen servačnosi Hlavní ěžiš ové os a hlavní cenrální momen servačnosi Elipsa servačnosi Konrolní oázk a Při naočení průřezu nebo souřadného ssému o 90 je řeba zaměni výraz pro I a I a změni znaménko výrazu pro D!
Momen servačnosi Saika 1 Obdélník ȳ Saický momen Těžišě Momen servačnosi h ȳ A = bh = 1 2 b ȳ = 1 2 h I = 1 12 bh3 I = 1 12 hb3 D = 0 Hlavní ěžiš ové os a hlavní cenrální momen servačnosi Elipsa servačnosi Konrolní oázk b Při naočení průřezu nebo souřadného ssému o 90 je řeba zaměni výraz pro I a I a změni znaménko výrazu pro D!
Momen servačnosi Saika 1 Kruh r d A = πr 2 = 1 4 πd 2 I = I = 1 4 πr 4 = 1 64 πd 4 D = 0 Saický momen Těžišě Momen servačnosi Hlavní ěžiš ové os a hlavní cenrální momen servačnosi Elipsa servačnosi Konrolní oázk Při naočení průřezu nebo souřadného ssému o 90 je řeba zaměni výraz pro I a I a změni znaménko výrazu pro D!
Momen servačnosi Saika 1 Pravoúhlý rojúhelník ȳ Saický momen Těžišě Momen servačnosi h ȳ b A = 1 2 bh = 1 3 b ȳ = 1 3 h I = 1 36 bh3 I = 1 36 hb3 D = 1 72 b2 h 2 Hlavní ěžiš ové os a hlavní cenrální momen servačnosi Elipsa servačnosi Konrolní oázk Při naočení průřezu nebo souřadného ssému o 90 je řeba zaměni výraz pro I a I a změni znaménko výrazu pro D!
Momen servačnosi Saika 1 h Rovnoramenný rojúhelník ȳ ȳ b A = 1 2 bh = 1 2 b ȳ = 1 3 h I = 1 36 bh3 I = 1 48 hb3 D = 0 Saický momen Těžišě Momen servačnosi Hlavní ěžiš ové os a hlavní cenrální momen servačnosi Elipsa servačnosi Konrolní oázk Při naočení průřezu nebo souřadného ssému o 90 je řeba zaměni výraz pro I a I a změni znaménko výrazu pro D!
Momen servačnosi Saika 1 r Půlkruh ȳ ȳ r d A = 1 2 πr 2 = 1 2 d = r ȳ = 4r 3π I = r 4 ( π 8 8 I = 1 8 πr 4 D = 0 9π ) Při naočení průřezu nebo souřadného ssému o 90 je řeba zaměni výraz pro I a I a změni znaménko výrazu pro D! Saický momen Těžišě Momen servačnosi Hlavní ěžiš ové os a hlavní cenrální momen servačnosi Elipsa servačnosi Konrolní oázk
Momen servačnosi Saika 1 Čvrkruh ȳ r ȳ r r A = 1 4 πr 2 = r(1 4 3π ) ȳ = 4r 3π I = I = 1 2 r 4 ( π 8 8 D = +r 4 ( 4 9π 1 8 ) 9π ) Saický momen Těžišě Momen servačnosi Hlavní ěžiš ové os a hlavní cenrální momen servačnosi Elipsa servačnosi Konrolní oázk Při naočení průřezu nebo souřadného ssému o 90 je řeba zaměni výraz pro I a I a změni znaménko výrazu pro D!
Momen servačnosi Saika 1 Ocelové válcované průřez Saický momen Těžišě Momen servačnosi Hlavní ěžiš ové os a hlavní cenrální momen servačnosi Elipsa servačnosi Konrolní oázk Pro ocelové válcované průřez jsou abulk s polohou ěžišě, plochou a momen servačnosi v odpovídajících normách, saických abulkách nebo ocelářských abulkách.
Momen servačnosi průřezu Seinerova věa Saika 1 Seinerova věa: Momen servačnosi k mimoěžiš ové ose rovnoběžné s ěžiš ovou osou se rovná ěžiš ovému momenu servačnosi I zvěšenému o součin ploch A a čverce vzdálenosi obou os ỹ 2. Saický momen Těžišě Momen servačnosi Hlavní ěžiš ové os a hlavní cenrální momen servačnosi ỹ Elipsa servačnosi Konrolní oázk ỹ ỹ da I = I + Aỹ 2 Analogick plaí: Iỹ = I + A 2 D ỹ = D + A ỹ
Momen servačnosi průřezu Seinerova věa - důkaz ỹ Saika 1 Saický momen ỹ ỹ da Transformační vzah při posunu souřadných os: = + ỹ = + ỹ Těžišě Momen servačnosi Hlavní ěžiš ové os a hlavní cenrální momen servačnosi Elipsa servačnosi Konrolní oázk Důkaz Seinerov vě: I = ỹ 2 da = ( + ỹ ) 2 da = A A = 2 2 da+2ỹ da+ỹ A A A da = = I + 2ỹ S + Aỹ 2 = I + Aỹ 2 Podobně lze odvodi: Iỹ = I + A 2 a D ỹ = D + A ỹ
Momen servačnosi průřezu Těžiš ové momen servačnosi složeného průřezu Saika 1 Saický momen Těžišě Momen servačnosi 3 3 3 [ 3, 3 ] 2 1 2 1 2 [ 2, 2 ] 1 [ 1, 1 ] Podle Seinerov vě plaí: I = (I i + A i 2 i ) i I = (I i + A i 2 i ) i D = (D i i + A i i i ) i Hlavní ěžiš ové os a hlavní cenrální momen servačnosi Elipsa servačnosi Konrolní oázk Při výpoču D pozor na znaménka D i i, i a i!
Hlavní ěžiš ové os průřezu Saika 1 Saický momen Těžišě Těžiš ových souřadných ssémů je nekonečně mnoho. Nejdůležiější jsou ěžiš ové os, ke kerým je momen servačnosi maimální a minimální. To os nazýváme hlavní ěžiš ové (cenrální) os servačnosi a budeme je označova c a c. Je řeba nají úhel naočení ěžiš ových os α 0, pro kerý jsou momen servačnosi maimální, resp. minimální. Momen servačnosi Hlavní ěžiš ové os a hlavní cenrální momen servačnosi Elipsa servačnosi Konrolní oázk
Hlavní ěžiš ové os průřezu Transformace momenů při naočení ěžiš ových os v v da u +α u S vužiím ransformačních vzorců u = cosα+ sinα v = cosα sinα Saika 1 Saický momen Těžišě Momen servačnosi Hlavní ěžiš ové os a hlavní cenrální momen servačnosi Elipsa servačnosi Konrolní oázk plaí: I u = v 2 da = ( cosα sinα) 2 da = A A = cos 2 α 2 da 2 sinαcosα da+sin 2 α 2 da = A A A = I cos 2 α+i sin 2 α D sin 2α Podobně lze odvodi vzorce pro I v a D uv.
Hlavní ěžiš ové os průřezu Transformace momenů při naočení ěžiš ových os v Saika 1 Saický momen v da u +α u Těžišě Momen servačnosi Hlavní ěžiš ové os a hlavní cenrální momen servačnosi Elipsa servačnosi Konrolní oázk Pro naočené os u a v plaí: I u = I cos 2 α+i sin 2 α D sin 2α I v = I sin 2 α+i cos 2 α+d sin 2α D uv = 1 2 (I I ) sin 2α+D cos 2α
Hlavní ěžiš ové os průřezu Maimalizace, resp. minimalizace, momenu servačnosi I v Úhel naočení hlavních cenrálních os servačnosi α 0 se určí např. maimalizací, resp. minimalizací, ransformačního vzahu pro I v, kerý derivujeme podle α a položíme rovno nule. I v = I sin 2 α+i cos 2 α+d sin 2α I v(α) = 2I sinαcosα 2I cosαsinα+2d cos 2α = 0 I v(α) = 2 { 1 2 (I I ) sin 2α+D cos 2α } = 2D uv (α) = 0 Řešením éo rovnice získáme úhel naočení hlavních ěžiš ových os servačnosi α 0. Saika 1 Saický momen Těžišě Momen servačnosi Hlavní ěžiš ové os a hlavní cenrální momen servačnosi Elipsa servačnosi Konrolní oázk g 2α 0 = 2D I I Z rovnice I v(α) = 2D uv (α) = 0 aké plne, že deviační momen k hlavním ěžiš ovým osám je nulový.
Hlavní ěžiš ové os a hlavní cenrální momen servačnosi c Úhel naočení hlavních cenrálních os servačnosi: Saika 1 Saický momen Těžišě Momen servačnosi Hlavní ěžiš ové os a hlavní cenrální momen servačnosi α 0 g 2α 0 = 2D I I Elipsa servačnosi Konrolní oázk c Hlavní cenrální momen servačnosi: I c = I cos 2 α 0 + I sin 2 α 0 D sin 2α 0 I c = I sin 2 α 0 + I cos 2 α 0 + D sin 2α 0 D c c = 0
Hlavní ěžiš ové os a momen servačnosi α 0 c c Pokud plaí I c I c a I I, poom musí plai I c I I I c. Souče momenů servačnosi je invarianní veličina, proo se oočením souřadného ssému jeho hodnoa nemění. Musí ed plai I c + I c = I + I. Deviační momen k hlavním ěžiš ovým osám je nulový (D c c = 0). Hlavní cenrální momen servačnosi lze vpočía i podle vzorce I c, c = I (I ) 2 + I I ± + D 2 2 2 Saika 1 Saický momen Těžišě Momen servačnosi Hlavní ěžiš ové os a hlavní cenrální momen servačnosi Elipsa servačnosi Konrolní oázk
Hlavní ěžiš ové os a momen servačnosi Saika 1 Pokud má průřez 1 osu smerie, leží na éo ose jedna hlavní ěžiš ová osa průřezu. Pokud má průřez 2 os smerie, jsou o os aké hlavní cenrální os servačnosi. Pokud má průřez 3 a více os smerie, je každý ěžiš ový souřadný ssém aké hlavní cenrální. Saický momen Těžišě Momen servačnosi Hlavní ěžiš ové os a hlavní cenrální momen servačnosi Elipsa servačnosi Konrolní oázk c c c c c c c c c c c c c c c c
Elipsa servačnosi průřezu Saika 1 Poloměr servačnosi průřezu i k ěžiš ové ose je definován jako vzdálenos od ěžišě, kde má hmoný bod, do kerého je sousředěna veškerá hmoa průřezu, sejný momen servačnosi k ose jako průřez. Množina akových bodů pro všechn ěžiš ové os průřezu je nazývána elipsa servačnosi. Saický momen Těžišě Momen servačnosi Hlavní ěžiš ové os a hlavní cenrální momen servačnosi Elipsa servačnosi Konrolní oázk i I = Ai 2
Elipsa servačnosi průřezu Saika 1 Saický momen i c i c c Hlavní poloos elips servačnosi jsou poloměr servačnosi k hlavním cenrálním osám servačnosi: i c = Ic A Těžišě Momen servačnosi Hlavní ěžiš ové os a hlavní cenrální momen servačnosi Elipsa servačnosi Konrolní oázk c i c = Ic A
Elipsa servačnosi průřezu Naočení elips servačnosi odpovídá znaménku deviačního momenu D. D > 0 D < 0 D = 0 Saika 1 Saický momen Těžišě Momen servačnosi Hlavní ěžiš ové os a hlavní cenrální momen servačnosi Elipsa servačnosi Konrolní oázk c c
Elipsa servačnosi průřezu Saika 1 Pokud má průřez 3 a více os smerie, elipsa servačnosi má var kružnice. Pokud elipsa servačnosi má var kružnice, poom každý ěžiš ový ssém souřadnic je hlavní cenrální. Hlavních cenrálních souřadných ssémů souřadnic je v akovém případě nekonečně mnoho. Příkladem může bý kruhový průřez, čverec nebo pravidelný n-úhelník. Saický momen Těžišě Momen servačnosi Hlavní ěžiš ové os a hlavní cenrální momen servačnosi Elipsa servačnosi Konrolní oázk c c c c c c c c c c c c
Konrolní oázka Kerý průřez má věší momen servačnosi I? Saika 1 Saický momen Těžišě Momen servačnosi Hlavní ěžiš ové os a hlavní cenrální momen servačnosi Elipsa servačnosi Konrolní oázk
Konrolní oázka Saika 1 Určee, zda pro daný průřez plaí: a) D = 0 b) D < 0 c) D > 0 Saický momen Těžišě Momen servačnosi Hlavní ěžiš ové os a hlavní cenrální momen servačnosi Elipsa servačnosi Konrolní oázk
Konec přednášk Saika 1 Saický momen Těžišě Momen servačnosi Hlavní ěžiš ové os a hlavní cenrální momen servačnosi Elipsa servačnosi Děkuji za pozornos. Konrolní oázk Vsázeno ssémem L A T E X. Obrázk vvořen v ssému.