Robustní odhady kovarianční matice

Robustní odhady kovarianční matice Tomáš Hanzák Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky MFF UK Praha Seminář Stochastické modelování v ekonomii a financích 9.11. 2009 Tomáš Hanzák Robustní odhady kovarianční matice 1 / 39

Obsah Úvod 1 Úvod Motivace Covariance-location model 2 Ortogonálně ekvivariantní funkce a d-matice Obecné výsledky o ekvivariantních odhadech Ekvivariantní M-odhady 3 M-odhadů Odhady s bodem selhání 1/2 Tomáš Hanzák Robustní odhady kovarianční matice 2 / 39

Motivace Covariance-location model Odhady kovariančních matic ve statistice Kde všude se setkáváme s odhady kovariančních (či korelačních) matic? Téměř všude v mnohorozměrné statistice/ekonometrii: Analýza mnohorozměrných dat Mnohorozměrné časové řady Shluková analýza Diskriminační analýza Metoda hlavních komponent Kanonické korelace Mnohorozměrné t-testy apod. Tomáš Hanzák Robustní odhady kovarianční matice 3 / 39

Výběrová kovarianční matice Motivace Covariance-location model Nejběžnější odhad = výběrová kovarianční matice. Výhody: Srozumitelnost, snadný výpočet. Odhad probíhá po složkách, odhad podmatice je podmaticí odhadu. Výsledkem je vždy symetrická pozitivně semidefinitní matice. Nevýhoda: Odhad je citlivý na odlehlá pozorování (outliers). A to: ve smyslu jednorozměrných odhadů měřítka, tj. odledhlé pozorování může nadhodnotit diagonální prvky odhadu. ve smyslu ovlivnění korelační matice, tj. směru a těsnosti lineární závislosti mezi proměnnými. Tomáš Hanzák Robustní odhady kovarianční matice 4 / 39

Příklady odlehlých pozorování Motivace Covariance-location model Kovarianční matici lze vizualizovat pomocí mnohorozměrného elipsoidu ( vrstevnice hustoty pravděpodobnosti). Realativně snadná vizualizace odlehlých pozorování a kovarianční matice u dvourozměrných dat: scatter plot X vs. Y, elipsa. Příklad... Ve více rozměrech je to již horší: Žádný z 2D pohledů nemusí outlier odhalit. Příklad... Tomáš Hanzák Robustní odhady kovarianční matice 5 / 39

Problém nerobustnosti Úvod Motivace Covariance-location model Obsahují-li naše data odlehlá pozorování, může být náš odhad kovarianční matice poškozen. Tím pak logicky úměrně trpí i statistická metoda, v rámci které byl odhad prováděn. Sama metoda je tedy nerobustní, pokud je nerobustní odhad kovariancnčí matice. Pokud bychom mohli použít robustní odhad kovarianční matice, stane se i celá metoda robustní. Tomáš Hanzák Robustní odhady kovarianční matice 6 / 39

Řešení Úvod Motivace Covariance-location model Řešení = Uvažovat robustní odhady kovariančních matic. Několik možností: 1 Odhadovat kovarianční matici robustně po složkách. Nevýhody: Výsledná matice nemusí být pozitivně semidefinitní. Individuální 2D pohledy nemusí odhalit odlehlé pozorování. 2 Odhadovat celou kovarianční matici naráz. První nápad: Iterativně počítat výběrovou kovarianční matici a vždy vyloučit několik pozorování s největší Mahalanobisovou vzdáleností od středu dat. Tomáš Hanzák Robustní odhady kovarianční matice 7 / 39

Ortogonální transformace na R m Motivace Covariance-location model Definice Ortogonální transformací prostoru R m rozumíme zobrazení R m R m ve tvaru x Γx, kde Γ je ortogonální matice řádu m m (tj. její řádky jsou jednotkové vzájemně kolmé vektory). Pozorování: Platí (Γx) T (Γy) = x T Γ T Γxy = x T Iy = x T y, speciálně Γx = x, tj. ortogonální transformace zachovává úhly a vzdálenosti. Tomáš Hanzák Robustní odhady kovarianční matice 8 / 39

Sféricky symetrické rozdělení Motivace Covariance-location model Definice Rozdělení pravděpodobnosti na R m nazveme sféricky symetrické, pokud je invariantní vůči všem ortogonálním transformacím prostoru R m. Má-li sféricky symetrické rozdělení F 0 hustotu f 0 vzhledem k Lebesqueově míře, pak platí f 0 (z) = f z ( z 2) pro nějakou funkci f z : R + 0 R+ 0. Tedy hustota f 0(z) je pouze funkcí poloměru z, nezávisí na směru. Tomáš Hanzák Robustní odhady kovarianční matice 9 / 39

Eliptická rozdělení Úvod Motivace Covariance-location model Model Uvažujeme rodinu pravděpodobnostních rozdělení vzniklých pomocí aplikace všech afinních transformací tvaru α A,µ (z) = Az + µ, kde A R m m je regulární matice a µ R m, na jedno základní sféreciky symetrické rozdělení F 0. Vzniklá rozdělení budeme nazývat eliptická rozdělení. Tomáš Hanzák Robustní odhady kovarianční matice 10 / 39

Parametrizace I Úvod Motivace Covariance-location model Transformace se stejným vektorem posunutí µ a s maticemi A a AΓ, kde Γ je ortogonální, vedou evidentně ke stejnému rozdělení pravděpodobnosti. Tedy dvojice µ a A není vhodnou parametrizací modelu. Symetrická pozitivně definitní matice Σ = AA T je však totožná pro všechny matice A vedoucí ke stejnému rozdělení (a naopak). Náš model tedy budeme parametrizovat pomocí dvojice µ a Σ. Model obsahuje celkem p = m(m + 1)/2 + m parametrů. Užitečný je tzv. Choleskyho rozklad Σ = LL T, kde L je dolní trojúhelníková matice m m s kladnými prvky na diagonále. Tento rozklad je jednoznačný. Tomáš Hanzák Robustní odhady kovarianční matice 11 / 39

Parametrizace II Úvod Motivace Covariance-location model Abychom pracovali s vektorovým parametrem θ R p, zavedeme následující značení: vecs(σ) = ( σ 11 / 2,..., σ mm / (2), σ 21, σ 31, σ 32,..., σ m,m 1 ) T. Tedy sloupcový vektor vecs(σ) nejprve obsahuje diagonální prvky Σ dělené 2 a poté po řádcích prvky pod diagonálou. Dělení 2 diagonálních prvků zajistí, že platí vecs(σ) 2 = 1 σij 2 = 1 (ΣΣ ) 2 2 trace T. ij Položíme θ = [ vecs(σ) T, µ T ] T, což je kompletní parametr našeho modelu ve tvaru sloupcového vektoru. Tomáš Hanzák Robustní odhady kovarianční matice 12 / 39

Covariance-location model Motivace Covariance-location model Model Covariance-location model generovaný sféricky symetrickým rozdělením F 0 je rodina pravděpodobnostních rozdělení {F Σ,µ ; µ R m, Σ positivně definitní m m}, kde F Σ,µ je rozdělení α A,µ (Z) = Az + µ, AA T = Σ a náhodný vektor Z má rozdělení F 0. θ = (Σ, µ) [ vecs(σ) T, µ T ] T je p-rozměrný parametr modelu. Tomáš Hanzák Robustní odhady kovarianční matice 13 / 39

Motivace Covariance-location model Hustota, střední hodnota, kovarianční matice Má-li rozdělení F 0 hustotu f z, pak rozdělení F Σ,µ má hustotu f Σ,µ (x) = 1 det(σ) f z (v), kde v = (x µ) T Σ 1 (x µ). Má-li rozdělení F 0 nulovou střední hodnotu a jednotkovou kovarianční matici, pak rozdělení F Σ,µ má střední hodnotu µ a kovarianční matici Σ. Matice Σ se proto nazývá (pseudo-) kovarianční matice. Hodnota θ 0 = (I, 0) parametru θ je tzv. neutrální parametr. Tedy platí F θ0 = F 0. Tomáš Hanzák Robustní odhady kovarianční matice 14 / 39

Motivace Covariance-location model Příklad: Mnohorozměrné normální rozdělení Nejdůležitejším příkladem je systém (regulárních) m-rozměrných normálních rozdělení: F 0 = N m (0, I ), F Σ,µ = N m (µ, Σ). Pro hustotu základního rozdělení F 0 zde platí: f z (z) = (2π) N/2 e z /2. Standardní m-rozměrné normální rozdělení F 0 je jediným sféricky symetrickým rozdělením, jehož složky jsou vzájemně nezávislé. Tomáš Hanzák Robustní odhady kovarianční matice 15 / 39

Důležité charakteristiky matice Σ Motivace Covariance-location model Necht λ j jsou vlastní čísla Σ. Definujme log-size parametr jako τ 1 m ln det(σ) = 1 m m ln(λ j ) j=1 a shape parametr jako η 2 1 m m (ln(λ j ) τ) 2. j=1 Všechny charakteristiky vecs(σ), τ i η 2 jsou invariantní vůči transformacím Σ ΓΣΓ T, kde Γ je ortogonální matice. Tomáš Hanzák Robustní odhady kovarianční matice 16 / 39

Skórová funkce I Úvod Motivace Covariance-location model Skórová funkce s(x, θ) = θ ln f (x; θ) = 1 2 θ ln Σ + θ ln f z (v). [ v = Σ 1 (x µ) T (x µ)σ 1], σ ij µ v = 2Σ 1 (x µ) a s ohledem na definici vecs(σ) je ( G(Σ) 2 vecs(σ) = G,..., 2 G G, + G ) T,.... σ 11 σ mm σ 12 σ 21 Tomáš Hanzák Robustní odhady kovarianční matice 17 / 39

Skórová funkce II Úvod Motivace Covariance-location model Platí [ ( )] ( ( vecs(σ) vecs Σ s x, = 1 (x µ) T (x µ)σ 1 ω v (v) Σ 1) ) µ Σ 1 (x µ)ω v, (v) kde ω v (v) = 2 v ln [f z (v)]. Tomáš Hanzák Robustní odhady kovarianční matice 18 / 39

Hustota V = Z 2 Úvod Motivace Covariance-location model Necht Z F 0 a hustota f 0 existuje. Pak druhá mocnina poloměru Z, V = Z 2, má hustotu f v (v) = πm/2 Γ(m/2) v m/2 1 f z (v), kde Γ( ) je gama funkce. Funkce f v se od f z liší faktorem úměrným ploše nad-sféry o poloměru v v m-rozměrném prostoru. Můžeme psát ω v (v) = 2 v ln [f v (v)] + (m 2)/v. Pro normální rozdělení je f v hustota rozdělení χ 2 m a ω v (v) 1. Tomáš Hanzák Robustní odhady kovarianční matice 19 / 39

Značení Úvod Ortogonálně ekvivariantní funkce a d-matice Obecné výsledky o ekvivariantních odhadech Ekvivariantní M-odhady Necht a : R m R p je libovolná funkce. V našem případě si za funkcí a můžeme představit skórovou funkci x s(x, θ), influenční funkci odhadu T v bodě x či funkci x ψ(x, θ) definující M-odhad. Každý prvek R p si můžeme představit jako hodnotu parametru θ a zapsat ho jako (vecs(σ) T, µ T ) T pro nějaké Σ (symetrická) a µ. Zaved me tedy Σ a (z) a µ a (z) tak, že a(z) = ( vecs [Σ a (z)] µ a (z) ). Tomáš Hanzák Robustní odhady kovarianční matice 20 / 39

Ortogonálně ekvivariantní funkce a d-matice Obecné výsledky o ekvivariantních odhadech Ekvivariantní M-odhady Ortogonálně ekvivariantní vektorová funkce Definice Funkci a(z), a : R m R p, nazveme ortogonálně ekvivariantní, pokud splňuje Σ a (Γz) = ΓΣ a (z)γ T, µ a (Γz) = Γµ a (z) pro každé z R m a každou ortogonální m m matici Γ. Tomáš Hanzák Robustní odhady kovarianční matice 21 / 39

Ortogonálně ekvivariantní funkce a d-matice Obecné výsledky o ekvivariantních odhadech Ekvivariantní M-odhady Charakterizace ortogonálně ekvivariantních funkcí I Lemma Funkce a(z) je ortogonálně ekvivariantní právě když jde zapsat ve tvaru Σ a (z) = zz T w a η ( z 2 ) Iw a δ ( z 2 ), µ a (z) = zw a µ( z 2 ), kde wη a, wδ a, w µ a : R + 0 R jsou skalární funkce. Dále platí a(z) 2 = 1 ( 1 1 ) [vw a η (v) ] 2 1 + 2 m 2m ua τ (v) 2 + vwµ(v) a 2, kde jako obvykle v = z 2 a navíc u a τ (v) = vw a η (v) mw a δ (v). Tomáš Hanzák Robustní odhady kovarianční matice 22 / 39

Ortogonálně ekvivariantní funkce a d-matice Obecné výsledky o ekvivariantních odhadech Ekvivariantní M-odhady Charakterizace ortogonálně ekvivariantních funkcí II Dolní indexy u funkcí w a µ, u a τ a w a η odkazují na jednotlivé elementy parametru θ = (Σ, µ): µ... parametr polohy modelu, τ... log-size parametr kovarianční matice Σ, η... shape parametr kovarianční matice Σ. Pozorování: Skórová funkce z s(z, θ 0 ) je ortogonálně ekvivariantní. Tomáš Hanzák Robustní odhady kovarianční matice 23 / 39

d-matice Úvod Ortogonálně ekvivariantní funkce a d-matice Obecné výsledky o ekvivariantních odhadech Ekvivariantní M-odhady Vedle ortogonálně ekvivariantních vektorových funkcí hrají důležitou roli v odvozování tzv. d-matice (d-type matrix). Definice d-maticí rozumíme symetrickou, skoro diagonální matici D o rozměru p p určenou třemi reálnými čísly d D η, d D τ a d D µ pomocí d D v = d D η + d D ρ a d D ρ = (d D τ d D η )/m. Viz tabule... Tomáš Hanzák Robustní odhady kovarianční matice 24 / 39

Vlastnosti Úvod Ortogonálně ekvivariantní funkce a d-matice Obecné výsledky o ekvivariantních odhadech Ekvivariantní M-odhady Platí (postupně Lemma 2, 3 a 4 na str. 278-280 v knize): Je-li D = a(z)b(z) T df 0 (z) kde a(z) a b(z) jsou ortogonálně ekvivariantní funkce, pak D je d-matice a její µ, τ a η elementy lze charakterizovat pomocí µ, τ a η elementů funkcí a a b (jako jisté integrály podle distribuce F v náhodné veličiny Z, kde Z F 0 ). Množina všech d-matic spolu s násobením tvoří komutativní grupu. Násobení, inverze a jednotková matice se dají chápat po složkách µ, τ a η. Čísla d D η, d D τ a d D µ jsou vlastní čísla matice D. Je-li a ortogonálně ekvivariantní a D je d-matice, pak z D a(z) je také ortogonálně ekvivariantní a její µ, τ a η elementy se získají součinem těch D a a. Tomáš Hanzák Robustní odhady kovarianční matice 25 / 39

Obecné výsledky I Úvod Ortogonálně ekvivariantní funkce a d-matice Obecné výsledky o ekvivariantních odhadech Ekvivariantní M-odhady Ekvivariantní odhad T v covariance-location modelu musí splňovat ( ]) vecs [AˆΣ(F )A T [α A,a (F )] = α A,a [T (F )] = T Aˆµ(F ) + a ] kde T (F ) [ˆΣ(F ), ˆµ(F ). Vezmeme-li speciálně F = F 0, a = 0 a A = Γ libovolnou ortogonální, dostaneme a tedy musí platit ˆΣ(F 0 ) = ΓˆΣ(F 0 )Γ T, ˆµ(F 0 ) = Γˆµ(F 0 ) pro nějaké σ 0 R. Odtud již ˆΣ(F 0 ) = σ 0 I, ˆµ(F 0 ) = 0 ˆΣ(F Σ,µ ) = σ 0 Σ, ˆµ(F Σ,µ ) = µ. T je Fisherovsky konzistentní σ 0 = 1. Platí ˆτ = τ(ˆσ) = ln(σ 0 ). Tomáš Hanzák Robustní odhady kovarianční matice 26 / 39

Obecné výsledky II Úvod Ortogonálně ekvivariantní funkce a d-matice Obecné výsledky o ekvivariantních odhadech Ekvivariantní M-odhady Influenční funkce (IF ) ekvivariantního odhadu T je rovna ( [ vecs LΣ IF (Lz + µ; T, F LL T,µ) = I (z)l T ] ) Lµ I, (z) kde ( [ vecs Σ I (z) ] ) µ I IF (z; T, F (z) 0 ). Vezmeme-li speciálně µ = 0 a L = Γ libovolnou ortogonální, zjitíme, že z IF (z; T, F 0 ) je ortogonálně ekvivariantní funkce. Nyní je možné použít aparát ortogonálně ekvivariantních funkcí a d-matic k odvození dalších obecných výsledků pro ekvivariantní odhady. Tomáš Hanzák Robustní odhady kovarianční matice 27 / 39

Obecné výsledky III Úvod Ortogonálně ekvivariantní funkce a d-matice Obecné výsledky o ekvivariantních odhadech Ekvivariantní M-odhady Platí (str. 281 a 282 v knize): Platí jisté rovnosti pro elementy w I µ, u I τ a w I η influenční funkce IF ( ; T, F 0 ). Norma IF (z; T, F 0 ) 2 je funkcí v = z 2 a lze ji rozložit na tři sčítance, kde každý zastupuje influenční funkci jednoho z elementů µ, τ a η Asymptotická kovarianční matice V (T, F 0 ) ekvivariantního odhadu T v bodě F 0 je d-matice, jejíž elementy dµ V, dτ V a dη V je možné vyjádřit pomocí elementů wµ, I uτ I a wη. I Fisherova informační matice je také d-matice a její elementy dµ, J dτ J a dη J lze vyjádřit analogicky pomocí funkce ω v (v). Platí tedy d V h 1/d J h pro h = µ, τ, η. Tomáš Hanzák Robustní odhady kovarianční matice 28 / 39

Ekvivariantní M-odhady I Ortogonálně ekvivariantní funkce a d-matice Obecné výsledky o ekvivariantních odhadech Ekvivariantní M-odhady Každý M-odhad může být definován pomocí své IF jakožto skórové funkce ψ(x, θ). Každý ekvivariantní M-odhad tedy může být definován pomocí funkce ψ(x, θ) ve tvaru [ ( )] vecs(σ) [ ψ x, = ψ µ 0 L 1 (x µ) ] kde LL T = Σ a ψ 0 je ortogonálně ekvivariantní funkce. Naopak platí, že každý Modhad tohoto tvaru je ekvivariantní. Tomáš Hanzák Robustní odhady kovarianční matice 29 / 39

Ekvivariantní M-odhady II Ortogonálně ekvivariantní funkce a d-matice Obecné výsledky o ekvivariantních odhadech Ekvivariantní M-odhady Ortogonálně ekvivariantní funkce ψ 0 je určena třemi skalárními funkcemi w ψ η, w ψ δ a w ψ µ. Příslušný M-odhad T tedy může být formulován jako řešení jisté soustavy rovnic s neznámými L a µ, jejímiž parametry jsou funkce w ψ η, w ψ δ a w ψ µ (definující daný M-odhad) a rozdělení F v němž hodnotu funcionálu T počítáme. Přesně řečeno řešení ˆL a ˆµ této soustavy pak dává dotyčný odhad T = T (F ) jako (ˆLˆLT ) T = (ˆΣ, ˆµ) =, ˆµ. Tomáš Hanzák Robustní odhady kovarianční matice 30 / 39

Ekvivariantní M-odhady III Ortogonálně ekvivariantní funkce a d-matice Obecné výsledky o ekvivariantních odhadech Ekvivariantní M-odhady Důležitá je otázka existence a jednoznačnosti ekvivariantního M-odhadu, tj. na jakých F je odhad T dobře definován. Věta - existence (Theorem 1, str. 287 v knize) Při splnění jistých podmínek kladených na funkce w ψ η, w ψ δ a w ψ µ a rozdělení F existuje řešení T (F ) příslušného M-odhadu. Věta - existence a jednoznačnost (Theorem 2, str. 288 v knize) Při splnění jistých podmínek existuje řešení T (F ) příslušného M-odhadu ve všech eliptických rozděleních F. Poznámka: Tato věta nám bohužel nedává existenci a jednoznačnost T v empirických rozděleních. Za jistých podmínek se však existence a jednoznačnost T šíří i do Prohorovských okoĺı eliptických rozdělení. Tedy dostáváme ji tak i pro dostatečně velké výběry z těchto rozdělení. Tomáš Hanzák Robustní odhady kovarianční matice 31 / 39

M-odhadů Odhady s bodem selhání 1/2 Horní mez pro bod selhání M-odhadu Věta (Theorem 1, str. 298 v knize) Pro slabě spojitý ekvivariantní M-odhad T platí ε ({T n }, F Σ,µ ) 1/m pro všechna Σ, µ. Tomáš Hanzák Robustní odhady kovarianční matice 32 / 39

Poznámka Úvod M-odhadů Odhady s bodem selhání 1/2 Výše uvedená věta diskvalifikuje M-odhady ve vyších dimenzích m jako odhady s vysokým bodem selhání. Naopak existují triviální ne-ekvivariantní odhady s bodem selhání rovným 1/2 (Příklad...). Dle autorů knihy je však možné se na věc dívat jako na ilustraci nevhodnosti klasického konceptu bodu selhání v případě použití na location-covariance model. Alternativní koncept: Point of breakdown at the edge (kapitola 5.5b v knize). Tomáš Hanzák Robustní odhady kovarianční matice 33 / 39

Projekční odhad - definice M-odhadů Odhady s bodem selhání 1/2 Uvažujme všechny projekce prostoru R m na přímku určené vektory d R m, d = 1. Necht L a S jsou jednorozměrné odhady polohy a měřítka. Označme L d (F ) a S d (F ) hodnoty těchto odhadů při projekci F ve směru d: x d T x. Zajímá nás největší t-hodnota pro každý bod x R m. Označme r(x; F ) sup d d T x L d (F ) S d (F ). Projekční odhad příslušící k L a S a váhové funkci w : R + 0 R je vážená kovarianční matice a vážená střední hodnota rozdělení F s vahami w [ r(x; F ) 2]. Kovarianční matici je třeba přenásobobit vhodnou kladnou konstantou tak, aby bylo dosaženo Fisherovské konzistence pro zvolený typ rozdělení F. Tomáš Hanzák Robustní odhady kovarianční matice 34 / 39

Projekční odhad - bod selhání 1/2 M-odhadů Odhady s bodem selhání 1/2 Věta (Theorem 3, str. 301 v knize) Předpokládejme, že platí: 1 Odhad (L, S) T má bod selhání 1/2 v projekci F 0 na přímku,. 2 Funkce w je spojitá, kladná a omezená, r w(r 2 )r 2 je také omezená funkce,. 3 Nosič F 0 je celý prostor R m. Pak bod selhání projekčního odhadu příslušného k LT a S je 1/2 pro všechna modelová (eliptická) rozdělení. Tomáš Hanzák Robustní odhady kovarianční matice 35 / 39

Projekční odhad - výpočetní aspekty M-odhadů Odhady s bodem selhání 1/2 Maximalizační úloha obsažená v definici r(x; F ) není výpočetně triviální. Maximalizovaná funkce totiž může obsahovat mnoho pouze lokálních maxim. To způsobuje, že obvyklé metodu nelineární optimalizace selžou. Lze použít dostatečně hustou sít bodů d na jednotkové sféře. Ovšem pro větší dimenze m je potřeba příliš mnoho bodů sítě. Existuje procedura pro empirická rozdělení o rozsahu n. Vybereme náhodně m bodů z výběru a zvoĺıme d kolmé k nadrovině utvořené těmito m body. Toto opakujeme q-krát a jako r(x; F ) vezmeme maximum přes těchto q hodnot d. Hodnotu je možné dále zpřesnit optimalizací na okoĺı nalezeného směru. Větší hodnota q logicky zvyšuje výpočetní náročnost a zvyšuje přesnost metody. Tomáš Hanzák Robustní odhady kovarianční matice 36 / 39

MVE a MCD odhady Úvod M-odhadů Odhady s bodem selhání 1/2 Další příklady ekvivariantních odhadů s bodem selhání 1/2: Minimal Volume Ellipsoid (MVE) Určeme elipsoid s nejmenším objemem, který pokrývá alespoň 50% dat. Střed takového elipsoidu je odhad parametru polohy µ, jeho tvar, velikost a orientace určuje odhad matice Σ. Minimal Covariance Determinant (MCD) Odhad polohy je průměr takových 50% dat, majících nejnižší determinant výběrové kovarianční matice. Ta slouží jako odhad matice Σ. Tomáš Hanzák Robustní odhady kovarianční matice 37 / 39

Literatura Úvod Kniha F.R. Hampel, E.M. Ronchetti, P.J. Rousseeuw & W.A. Stahel: Robust Statistics - The Approach Based on Influence Functions. John Wiley and Sons, 1986. J. Jurečková: Robustní statistické metody. Nakladatelství Karolinum, 2001. J. Anděl: Základy matematické statistiky. Preprint Matfyzpress, 2002. Tomáš Hanzák Robustní odhady kovarianční matice 38 / 39

Děkuji za pozornost! Tomáš Hanzák Robustní odhady kovarianční matice 39 / 39