České vysoké učeí techické v Praze Fakulta dopraví Semestrálí práce Statistika Čekáí vlaku ve staicích a trase Klado Ostrovec Praha Masarykovo ádraží Zouzalová Barbora 2 35 Michálek Tomáš 2 35 sk. 2 35 2012/2013
Úloha: Protože deě cestujeme do školy a ze školy vlakem, tak jsme se rozhodli pro vypracováí statistiky doby čekáí ve vlakové staici. Každý vlak stojí jiou dobu ve stejé staici, ěkdy se tam otevřou pouze dveře a jidy se tam čeká apříklad 15 miut a protijedoucí vlak. Měřeí: Měřeí jsme prováděli celý týde, tz. od podělí do pátku v týdu od 19.11 23.11. Trasa začíala a staici Klado Ostrovec a kočila a staici Praha Masarykovo áměstí. Na trase, a které jsme měřili, se achází 12 staic, což zameá 11 zastaveí vlaku. Měřeí jsme prováděli v růzých časech, aby se aše hodoty lišily a ebyly stejé. Z ašeho měřeí jsme získali 55 hodot, z toho 3 hodoty jsou 0, protože a daé trase se achází 1 staice a zameí, která se jmeuje Pavlov, a v úterý, čtvrtek a pátek zde ikdo evystupoval ai eastupoval. Obr. č. 1 Mapa trasy Klado Ostrovec Praha Masarykovo ádraží 2
V ásledujícím obrázku jsme vyzačili aše staice a ozačili pořadové číslo zastávky. Do ásledující tabulky jsme vložili aše aměřeá data, která jsme ásledě přepočítali a hodoty pouze a miuty, které jsme poté použili v ašem výpočtu. Hodoty jsme přepočítali pomocí vzorce: 1 počet vteři výsledek 60 mi 3
Naměřeé hodoty: P.Č. Podělí Úterý Středa Čtvrtek Pátek 1 1 mi 16 s 1,27 mi 1 mi 9 s 1,15 mi 1 mi 37 s 1,62 mi 1 mi 1,00 mi 1 mi 22 s 1, 37 mi 2 59 s 0,98 mi 54 s 0,90 mi 49 s 0,82 mi 1 mi 1 s 1,02 mi 59 s 0,98 mi 3 5 mi 22 s 5,37 mi 5 mi 41 s 5,68 mi 3 mi 12 s 3,20 mi 5 mi 57 s 5,95 mi 4 mi 48 s 4,80 mi 4 4 mi 2 s 4,03 mi 1 mi 12 s 1,20 mi 1 mi 39 s 1,65 mi 3 mi 49 s 3,82 mi 3 mi 20 s 3,33 mi 5 38 s 0,63 mi 0 s 0,00 mi 47 s 0,78 mi 0 s 0,00 mi 0 s 0,00 mi 6 1 mi 15 s 1,25 mi 57 s 0,95 mi 1 mi 32 s 1,53 mi 1 mi 31 s 1,52 mi 1 mi 22 s 1,37 mi 7 1 mi 49 s 1,82 mi 2 mi 1 s 2,02 mi 1 mi 51 s 1,85 mi 2 mi 3 s 2,05 mi 2 mi 23 s 2,38 mi 8 7 mi 33 s 7,55 mi 1 mi 6 s 1,10 mi 8 mi 23 s 8,38 mi 59 s 0,98 mi 3 mi 30 s 3,50 mi 9 1 mi 2 s 1,04 mi 1 mi 5 s 1,08 mi 45 s 0,75 mi 51 s 0,85 mi 1 mi 9 s 1,15 mi 10 56 s 0,93 mi 1 mi 26 s 1,43 mi 2 mi 16 s 2,27 mi 1 mi 43 s 0,72 mi 1 mi 38 s 1,63 mi 11 32 s 0,53 mi 23 s 0,38 mi 36 s 0,60 mi 39 s 0,65 mi 34 s 0,57 mi Teorie: 1) Aritmetický průměr - je statistická veličia, která v jistém smyslu vyjadřuje typickou hodotu popisující soubor moha hodot. - Aritmetický průměr se obvykle začí vodorovým pruhem ad ázvem proměé, popř. řeckým písmeem μ. Defiice 1 1 x x x x x i, aritmetického průměru je 1 2... i 1 tz. součet všech hodot vyděleý jejich počtem. V běžé řeči se obvykle obecým slovem průměr myslí právě aritmetický průměr. 2) Modus - Modus áhodé veličiy X (ozačováo jako Mod(X)) je hodota, která se v daém statistickém souboru vyskytuje ejčastěji (je to hodota zaku s ejvětší relativí četostí). - Představuje jakousi typickou hodotu sledovaého souboru a jeho určeí předpokládá roztříděí souboru podle obmě zaku. - Modus diskrétí áhodé veličiy je taková hodota ˆx, která pro všechy hodoty x i áhodé veličiy X splňuje podmíku P X xˆ PX x [ ] i 4
- Pro spojitou áhodou veličiu X defiujeme modus podmíkou f ( xˆ ) f ( x) 3) Mediá - Mediá (ozačová Me ebo x ) je hodota, jež dělí řadu podle velikosti seřazeých výsledků a dvě stejě početé poloviy. - Ve statistice patří mezi míry cetrálí tece. Platí, že ejméě 50 % hodot je meších ebo rových a ejméě 50 % hodot je větších ebo rových mediáu. - Pro alezeí mediáu daého souboru stačí hodoty seřadit podle velikosti a vzít hodotu, která se alézá uprostřed sezamu. - Pokud má soubor sudý počet prvků, obvykle se za mediá ozačuje aritmetický průměr hodot a místech 2 4) Rozptyl - Rozptyl je defiová jako středí hodota kvadrátů odchylek od středí hodoty. a 1. 2 - Rozptyl áhodé veličiy X se ozačuje 2 ( X ), S 2 ( X ), D( X ) ebo var( X ) - Odchylku od středí hodoty, která má rozměr stejý jako áhodá veličia, zachycuje směrodatá odchylka. - Pro diskrétí áhodou veličiu jej můžeme defiovat 2 2 2 2 vztahem xi E( X ) pi xi pi E( X ) i1 i1 x i jsou hodoty, kterých může áhodá veličia X abývat (s pravděpodobostmi p i ) EX ( ) je středí hodota veličiy X 5
Zdrojový kód: fpritf('naše aměřeé hodoty udaé v miutách:'); x=[1.27,0.98,5.37,4.03,0.63,1.25,1.82,7.55,1.04,0.93,0.53,1.15,0.90,5.68,1. 20,0.00,0.95,2.02,1.10,1.08,1.43,0.38,1.62,0.82,3.20,1.65,0.78,1.53,1.85,8. 38,0.75,2.27,0.60,1.00,1.02,5.95,3.82,0.00,1.52,2.05,0.98,0.85,0.72,0.65,0. 57,1.63,1.15,3.50,2.38,1.37,0.00,3.33,4.80,0.98,1.37] uqx=uique(x) =legth(x); fpritf('počet aměřeých hodot je:%f\\',); sumx=sum(x); fpritf('celková doba měřeí všech ašich hodot byla:%f[mi]\\',sumx); prumer=sumx/; fpritf('průměrá doba čekáí vlaku ve staici je:%f[mi]\\',prumer); mi=mi(x); fpritf('nejkratší doba, která byla aměřea ve vlakové staici je:%f[mi]\\',mi); modus=mode(x) fpritf('modus ašeho datového souboru je:%f\\',modus); sigma2=(sum((prumer-x).^2))/(-1); fpritf('náš výběrový rozptyl je:%f\\',sigma2) Zjištěí mediáu: z=x; =legth(x); u=1; while u==1; u=0; for i=1:-1; if z(i)>z(i+1); p=z(i); z(i)=z(i+1); z(i+1)=p; u=1; if fix(/2)~=/2; med=z(fix(/2)+1) else med=(z(/2)+z(/2+1))/2; fpritf('mediá ašeho datového souboru je:%f[mi]\\',med); Výpočty v Matlabu: >> fpritf('naše aměřeé hodoty udaé v miutách:'); Naše aměřeé hodoty udaé v miutách:>> >> x=[1.27,0.98,5.37,4.03,0.63,1.25,1.82,7.55,1.04,0.93,0.53,1.15,0.90,5.68,1. 20,0.00,0.95,2.02,1.10,1.08,1.43,0.38,1.62,0.82,3.20,1.65,0.78,1.53,1.85,8. 38,0.75,2.27,0.60,1.00,1.02,5.95,3.82,0.00,1.52,2.05,0.98,0.85,0.72,0.65,0. 57,1.63,1.15,3.50,2.38,1.37,0.00,3.33,4.80,0.98,1.37] >> uqx=uique(x) 6
uqx = Colums 1 through 11 0 0.3800 0.5300 0.5700 0.6000 0.6300 0.6500 0.7200 0.7500 0.7800 0.8200 Colums 12 through 22 0.8500 0.9000 0.9300 0.9500 0.9800 1.0000 1.0200 1.0400 1.0800 1.1000 1.1500 Colums 23 through 33 1.2000 1.2500 1.2700 1.3700 1.4300 1.5200 1.5300 1.6200 1.6300 1.6500 1.8200 Colums 34 through 44 1.8500 2.0200 2.0500 2.2700 2.3800 3.2000 3.3300 3.5000 3.8200 4.0300 4.8000 Colums 45 through 49 5.3700 5.6800 5.9500 7.5500 8.3800 >> =legth(x); >> fpritf('počet aměřeých hodot je:%f\\',); Počet aměřeých hodot je:55.000000 >> sumx=sum(x); >> fpritf('celková doba měřeí všech ašich hodot byla:%f[mi]\\',sumx); Celková doba měřeí všech ašich hodot byla:104.380000[mi] >> prumer=sumx/; 7
>> fpritf('průměrá doba čekáí vlaku ve staici je:%f[mi]\\',prumer); Průměrá doba čekáí vlaku ve staici je:1.897818[mi] >> mi=mi(x); >> fpritf('nejkratší doba, která byla aměřea ve vlakové staici je:%f[mi]\\',mi); Nejkratší doba, která byla aměřea ve vlakové staici je:0.000000[mi] >> modus=mode(x) modus = 0 >> fpritf('modus ašeho datového souboru je:%f\\',modus); Modus ašeho datového souboru je:0.000000 >> sigma2=(sum((prumer-x).^2))/(-1); >> fpritf('náš výběrový rozptyl je:%f\\',sigma2) Náš výběrový rozptyl je:3.344569 Mediá datového souboru: >> z=x; >> =legth(x); >> u=1; >> while u==1; u=0; for i=1:-1; if z(i)>z(i+1); p=z(i); z(i)=z(i+1); z(i+1)=p; u=1; 8
>> if fix(/2)~=/2; med=z(fix(/2)+1) else med=(z(/2)+z(/2+1))/2; med = 1.2000 >> >> fpritf('mediá ašeho datového souboru je:%f[mi]\\',med); Mediá ašeho datového souboru je:1.200000[mi] Naše výsledky: Průměr: 1.897818[mi] Modus: 0.000000 Mediá: 1.200000[mi] Rozptyl: 3.344569 Závěr: V aší semestrálí práci jsme vypočítali průměrou dobu čekáí vlaku ve staici, kterou jsme vyhodotili z ámi aměřeých dat. Miuty čekáí vlaku ve staici se vcelku dosti odlišují, ěkdy se ve staici čeká i déle jak 8 miut, ale to je zapříčiěo čekáím a vlak z opačého směru. Někdy se ám při jízdě do školy i stae, že vlak ečeká vůbec a ěkdy tam čekáme třeba i déle jak 10 miut, což se ale v průběhu ašeho měřeí estalo. Měřeí probíhalo ve vlaku liky OS5 eboli osobí vlak. Teto vlak vždy jezdí přes všechy staice a trase Klado Ostrovec Praha Masarykovo ádraží, vyjma staice Pavlov, která je staice a zameí. 9
Zdroje: www.idos.cz www.wikipedie.cz Pozámky z hodi cvičeí předmětu Statistika 10