M - Kvadratické rovnice a kvadratické nerovnice Určeno jako učební tet pro studenty dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete na www.dosli.cz.
± Kvadratické rovnice Kvadratické rovnice Kvadratická rovnice je rovnice, která ve svém zápisu obsahuje neznámou ve druhé mocnině a zároveň neobsahuje neznámou v mocnině vyšší než druhé. Obecně lze kvadratickou rovnici zapsat: a + b + c 0, kde a ¹ 0 Podobně jako u kvadratické funkce, můžeme jednotlivé členy nazvat: a... kvadratický člen b... lineární člen c... absolutní člen Kvadratická rovnice má zpravidla dva kořeny 1,, může jich mít ale i méně. Zkoušku provádíme pro každý kořen zvlášť. Jakoukoliv kvadratickou rovnici můžeme řešit pomocí vzorce, v němž se vyskytuje tzv. diskriminant kvadratické rovnice. Tento postup si ukážeme později. Pokud totiž kvadratická rovnice neobsahuje všechny členy, můžeme většinou použít i postupy jednodušší. Každou kvadratickou rovnici, která obsahuje závorky, či zlomky, nejprve převedeme do tvaru a + b + c 0 Při řešení samozřejmě nezapomínáme na podmínky řešitelnosti, pro které platí stejná pravidla jako při řešení rovnic lineárních. 1. Kvadratická rovnice bez lineárního a bez absolutního členu Jedná se o rovnici zapsanou obecně: a 0 Takovouto rovnici řešíme snadno tak, že v prvním kroku celou rovnici vydělíme koeficientem a. Můžeme to provést, protože z definice víme, že koeficient a je nenulový. Dostaneme tak: 0 A odtud tedy: 1, Ö0 1, 0 Protože vyšly oba kořeny shodné, hovoříme o tzv. dvojnásobném kořenu. Příklad 1: Řešte kvadratickou rovnici 3 0 3 0 :3 0 1, 0 Můžeme tedy vyslovit jednoduchý závěr: Každá kvadratická rovnice bez lineárního a bez absolutního členu má jeden dvojnásobný kořen, a tím je 0.. Kvadratická rovnice bez lineárního členu Jedná se o rovnici zapsanou obecně: a + c 0 Rovnici řešíme tak, že v prvním kroku převedeme číslo c na pravou stranu: Dostaneme: a - c Dále rovnici vydělíme koeficientem a: 1 z 11
Dostaneme: -c/a Nyní rovnici odmocníme. Pokud ale řešíme v oboru reálných čísel, můžeme tento krok provést pouze tehdy, že v případě, že je číslo a kladné, musí být číslo c záporné (a tedy -c kladné). Druhou odmocninu totiž můžeme v oboru reálných čísel provádět pouze z nezáporných čísel (číslo 0 už jsme ale rozebrali v předcházejícím odstavci) Dostaneme: 1, ±Ö(-c/a) Znamená to tedy, že 1 +Ö(-c/a) -Ö(-c/a) Příklad : Řešte kvadratickou rovnici -3 + 7 0 v oboru reálných čísel. -3 + 7 0 :(-1) 3-7 0 3 7 :3 9 1, ±Ö9 1 3-3 Příklad 3: V oboru reálných čísel řešte kvadratickou rovnici 3 + 6 0 3-6 - V tomto případě nemá rovnice v oboru reálných čísel řešení. Příklad 4: V oboru reálných čísel řešte kvadratickou rovnici 3-6 0 3 6 1, ±Ö 1 +Ö -Ö 3. Kvadratická rovnice bez absolutního členu Jedná se o rovnici, kterou můžeme zapsat obecně rovnicí a + b 0 Při řešení v prvním kroku na levé straně rozložíme na součin vytknutím : Dostaneme:.(a + b) 0 Nyní využijeme vlastnosti, že součin je roven nule tehdy, když alespoň jeden z činitelů je roven nule. Může tedy nastat, že 1 0 nebo (a + b) 0 a odtud: -b/a Příklad 5: V oboru reálných čísel řešte kvadratickou rovnici + 6 0 z 11
+ 3 0.( + 3) 0 1 0-3 Můžeme vyslovit jednoduchý závěr, že kvadratická rovnice bez absolutního členu má jeden kořen vždy roven nule. 4. Obecná kvadratická rovnice Jedná se o rovnici obecně zapsanou a + b + c 0 Samozřejmě předpokládáme, že už jsme zadanou rovnici převedli do výše uvedeného základního tvaru, tzn. odstranili jsme běžným způsobem závorky a zlomky. Tento typ rovnice řešíme podle vzorce: 1, - b ± b - 4ac a Pokud je číslo b sudé, můžeme výhodně použít i vzorec pro poloviční hodnoty: 1, b - ± Příklad 6: æ b ö ç è ø a - ac V oboru reálných čísel řešte kvadratickou rovnici + 4-60 0 a 1 b 4 c -60 Vzhledem k tomu, že b je sudé, použijeme vzorec pro poloviční hodnoty: 1, b - ± æ b ö ç è ø a - ac 4 æ 4 ö - ± ç -1.(- 60) è ø - ± 4 + 60 1, - ± 1 1 1, - ± 8 1 6-10 Příklad 7: V oboru reálných čísel řešte kvadratickou rovnici 3-5 + 8 0 a 3 b -5 c 8 64 3 z 11
1, 1, - b ± - b - 4ac a (- 5) ± (- 5).3-4.3.8 5 ± 5-96 6 5 ± - 71 6 V tomto případě nemá kvadratická rovnice v oboru reálných čísel řešení, protože v oboru reálných čísel nemůžeme vypočítat druhou odmocninu ze záporného čísla. Pozn.: Výraz b - 4ac, který se vyskytuje ve vzorci pro výpočet kvadratické rovnice pod odmocninou, nazýváme diskriminant kvadratické rovnice. Pro tento diskriminant, označovaný také D, platí: Je-li D > 0... kvadratická rovnice má dva reálné různé kořeny Je-li D 0... kvadratická rovnice má jeden (dvojnásobný) kořen Je-li D < 0... kvadratická rovnice nemá v oboru reálných čísel žádné řešení Příklad 8: V oboru reálných čísel řešte kvadratickou rovnici 3-5 - 8 0 a 3 b -5 c -8 1, 1, 1, - b ± - b - 4ac a (- 5) ± (- 5) 5 ± 11 6 1 8/3-1.3-4.3.( -8) 5 ± 5 + 96 6 5 ± 11 6 ± Kvadratické rovnice - procvičovací příklady 1. 113. 1111 4 z 11
3. 110 4. 1104 5. 111 6. 11 7. 115 8. 1131 9. 1108 10. 1114 11. 1118 1. 113 5 z 11
13. 1117 14. 1109 15. 1130 16. 1103 17. 114 18. 111 19. 1113 0. 110 1. 1133 6 z 11
. 118 3. 1105 4. 1116 5. 119 6. 116 7. 1119 8. 1110 9. 1107 30. 1106 31. 1115 7 z 11
3. 117 ± Vztahy mezi kořeny a koeficienty Vztah mezi kořeny a koeficienty Každou kvadratickou rovnici zapsanou ve tvaru a + b + c 0 můžeme převést do tzv. normovaného tvaru kvadratické rovnice. Docílíme toho tak, že celou rovnici vydělíme koeficientem a. Provést to můžeme, protože z definice kvadratické rovnice vyplývá, že tento koeficient je různý od nuly. Normovaný tvar kvadratické rovnice: b c + + a a 0 Pokud v takto upravené rovnici lze zlomky vykrátit tak, aby z nich vznikla celá čísla, můžeme při řešení kvadratické rovnice často využít vztah mezi kořeny a koeficienty a vyřešit tak celou kvadratickou rovnici zpaměti. Položme: p b/a q c/a Dostaneme: + p + q 0 Pro řešení kvadratické rovnice pak platí: 1 + -p 1. q Kvadratickou rovnici tedy nemusíme nyní už řešit jen podle vzorce, ale můžeme ji vyřešit též výše uvedenou soustavou rovnic. Z ní dostaneme přímo kořeny 1, kvadratické rovnice. Pozn.: Vztahu mezi kořeny a koeficienty můžeme leckdy vaužít i tehdy, potřebujeme-li trojčlen rozložit na součin dvou činitelů. Máme-li totiž trojčlen zapsaný ve tvaru + p + q, pak mnohdy snadno najdeme zpaměti dvě čísla a, b, jejichž součet je (-p) a jejichž součin je q. Hledaný rozklad má pak tvar ( - a).( - b) Postup vztahu mezi kořeny a koeficienty můžeme využít i tehdy, známe-li kořeny kvadratické rovnice a potřebujeme najít naopak zadání kvadratické rovnice. Příklad: Napište rovnici kvadratické funkce, jejíž kořeny jsou 5 a -8 Řešení Platí ( - 5). ( + 8) 0 + 8-5 - 40 0 + 3-40 0 Jiný způsob řešení: 1 + -p 1. q 5-8 -p proto p 3 5. (-8) q proto q -40 Závěr: + 3-40 0 8 z 11
± Vztahy mezi kořeny a koeficienty - procvičovací příklady 1. 1144. 1134 3. 1136 p 7 4. 1138 5. 1143 6. 1135 7. 1139 8. 1137 p -8 9. 114 10. 1140 11. 1141 1. 1145 9 z 11
± Kvadratické nerovnice Kvadratické nerovnice S kvadratickými nerovnicemi už jsme se vlastně setkali, aniž jsme si to uvědomili, v kapitole Nerovnice v součinovém a podílovém tvaru. Přesněji tedy řečeno v její druhé části, tedy v kapitole nerovnice v součinovém tvaru. Řešit už tedy umíme nerovnice typu (+3). ( - 5) < 0 Tento typ nerovnic tedy už nebude předmětem výkladu. Problém však může někdy nastat, budeme-li mít zadánu nerovnici formou trojčlenu - např. - - 15 < 0 V tomto případě si musíme nejprve zadaný trojčlen rozložit na součin. K tomu využijeme znalost řešení kvadratické rovnice. Napíšeme si tedy pomocnou kvadratickou rovnici - - 15 0 a tu normálně podle vzorce vyřešíme. Zjistíme, její kořeny jsou -3 a 5. Proto hledaný rozklad bude mít podobu ( + 3). ( - 5) Někdy se nám ale stane, že při řešení kvadratické rovnice vyjde diskriminant (tj. číslo pod odmocninou) záporný. V tom případě rozklad na součin v oboru reálných čísel neeistuje. Pak nastanou dvě možnosti: nerovnice nemá žádné řešení nerovnice má nekonečně mnoho řešení Která z uvedených možností nastane, o tom se přesvědčíme tak, že do zadané nerovnice dosadíme libovolné číslo. Vyjde-li nepravdivá nerovnost, řešení neeistuje; vyjde-li pravdivá nerovnost, řešení je nekonečně mnoho. I v tomto případě ale pozor na podmínky řešitelnosti! Trochu zjednodušit práci si můžeme i tehdy, vyjde-li diskriminant pomocné kvadratické rovnice roven nule. Není to však nezbytně nutné. Kvadratické nerovnice můžeme výhodně řešit i graficky. Např. kvadratickou nerovnici - - 15 < 0 bychom mohli graficky vyřešit takto: 1. Zápis si upravíme na - 15 <. Vytvoříme dvě funkce - z každé strany vzniklé nerovnice jednu - tedy f 1: y - 15 f : y 3. Narýsujeme grafy obou funkcí do jednoho souřadného systému 10 z 11
4. Na ose nyní vyznačíme interval, v němž platí, že hodnoty kvadratické funkce jsou menší než hodnoty funkce lineární. Vidíme, že se jedná o otevřený interval (-3; 5) ± Kvadratické nerovnice - procvičovací příklady 1. Řeš kvadratickou nerovnici - 6 + 10 < 0 K { } 1161. Řeš kvadratickou nerovnici - - 6-8 > 0 K (-4; -) 1165 3. Řeš kvadratickou nerovnici - 5 + 6 > 0 K (- ; ) È (3; + ) 1164 4. Řeš kvadratickou nerovnici - + 3-3 0 K R 116 5. Řeš kvadratickou nerovnici - 8 + 8 > 0 R \ {} 1159 6. Řeš kvadratickou nerovnici 3 - + 1 > 0 K R 1168 7. Řeš kvadratickou nerovnici - - 6 0 K <-; 3> 1163 8. Řeš kvadratickou nerovnici + - 1 0 K <-4; 3> 1166 9. Řeš kvadratickou nerovnici + 3 K <-3; -1> 1167 10. Řeš kvadratickou nerovnici - + - > 0 K { } 1160 11 z 11
Obsah Kvadratické rovnice 1 Kvadratické rovnice - procvičovací příklady 4 Vztahy mezi kořeny a koeficienty 8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty - procvičovací příklady 9 Kvadratické nerovnice 10 Kvadratické nerovnice - procvičovací příklady 11 1.5.006 16:15:10 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz)