FUNKCE Než přistoupíme k samotným unkcím, je třeba nadeinovat a vysvětlit několik pojmů, které k tomu budeme potřebovat. Kartézský součin množin A, B je množina všech uspořádaných dvojic [a; b], kde a je prvkem množiny A, b je prvkem množiny B. Značíme ho symbolem A B. Příklad Napište kartézský součin A B, je-li A = {1; ; 3}, B = {a, b}. Řešení: Napíšeme všechny možné uspořádané dvojice takové, kdy první z dvojice je prvkem množiny A, druhý z dvojice prvkem množiny B. A B = {[1; a], [; a], [3; a], [1; b], [; b], [3; b]} Pozn. Kartézský součin na rozdíl od klasického součinu není komutativní, tj. A B B A. Zobrazení množiny A do množiny B Máme množiny A, B. Každému prvku x A přiřadíme právě jedno y B. Dostaneme množinu uspořádaných dvojic [x; y], kdy x A, y B. Množinu všech těchto uspořádaných dvojic zveme zobrazení : A B. Píšeme [x; y]. Je zřejmé, že zobrazení : A B je podmnožinou kartézského součinu A B. Obr. 1 Na obrázku je znázorněno zobrazení tříprvkové množiny A do dvouprvkové množiny B. Prvek x 1 A se zobrazil na prvek y 1 B, prvky x A a x 3 A se oba zobrazili na prvek y B, což není nijak v rozporu s deinicí zobrazení. Tyto skutečnosti zapíšeme takto: [x 1 ; y 1 ], [x ; y ], [x 3 ; y ], ale např. [x 1 ; y ].
Na obrázku je příklad relace mezi množinami g, která není zobrazením. Proč? Protože prvek x 3 z množiny A byl přiřazen dvěma různým prvkům množiny B a to je v přímém rozporu s deinicí zobrazení! Obr. g Obr. 3 h Je relace h mezi množinami A, B na obrázku 3 zobrazením množiny A do B? Není. Podle deinice zobrazení A do B se každý prvek množiny A musí zobrazit na nějaký prvek množiny B a z obrázku je patrné, že prvek x 3 se nikam nezobrazil. Fakt, že se žádný z prvků množiny A se nezobrazil na prvek y 3 tu nehraje roli. Shrnutí: Jak je vidět z obrázku 1, může se více prvků z množiny A zobrazit do jednoho prvku množiny B. V takovém případě hovoříme o zobrazení, které není prosté. Žádný prvek z množiny A se však nemůže zobrazit do více prvků množiny B. To by odporovalo deinici zobrazení (viz obr. ). FUNKCE se nazývá každé zobrazení libovolné podmnožiny reálných čísel (označíme ji např. písmenem M) do množiny reálných čísel. Zkráceně: : M R R. Množinu M zveme deiniční obor unkce a ihned za tepla ji přeznačíme symbolem D. Pozn. Místo neohrabaného zápisu [x; y] budeme psát y (x) a tento zápis číst y je unkční hodnota v bodě x. To zní dobře, ne? Pozn. Funkce je vlastně jakýsi předpis, který všem číslům x nějaké podmnožiny reálných čísel přiřadí právě jedno reálné číslo y.
Příklad Z planimetrie víme, že počet všech úhlopříček v konvexním n úhelníku (n 3) je roven číslu nn 3 p. Tento vztah lze chápat jako předpis, který každému přirozenému číslu n 3, jež reprezentuje nn 3 počet stran konvexního n úhelníku, přiřadí přirozené číslo p, které reprezentuje počet úhlopříček v konvexním n úhelníku. Dostáváme tedy množinu uspořádaných dvojic [3; 0], [4; ], [5; 5],..., kterou lze zapsat ve n tvaru: n 3 n ; p N3 R : p. Tato množina je unkcí, takže ji můžeme označit písmenem a zapsat ve tvaru: nn 3 : y ; n N 3. Množina N 3 je deiničním oborem unkce. Dalším důležitým pojmem je obor hodnot unkce. Oborem hodnot unkce (značíme H ) rozumíme množinu všech hodnot y R, pro která existuje x D tak, že y = (x). Příklad 1 Zjisti, zda číslo 189 patří do oboru hodnot unkce n n 3 : y ; n N 3.
Příklad Je dána unkce v: y = x, x 5; 7. a) Urči v(), v(1,5), v( ). b) Rozhodni, která z uspořádaných dvojic [ 1;], [ 7;14], [3; 5] patří unkci v. c) Zjisti, která z čísel 9, 4, 15 patří do oboru hodnot unkce v. Příklad 3 Je dána unkce g = {[ 3; 0], [6; 8], [ ; 1], [5; 7]}. Urči její deiniční obor a obor hodnot. Příklad 4 Urči maximální deiniční obor unkce a) 4 4 y, b) y 1 8x. x x
GRAF FUNKCE Gra unkce y = (x) ve zvolené kartézské soustavě souřadnic 0xy se nazývá množina všech bodů X = [x; (x)] roviny, kde x D. Pozn. Kartézská soustava souřadnic se skládá ze dvou vzájemně kolmých os x a y se stejnými délkovými jednotkami. Obr. 4 Na obrázku 4 je gra nějaké unkce. Tento gra se skládá z nekonečně mnoha bodů X 1, X, X 3,... Jejich souřadnice jsou po řadě [x 1 ; (x 1 )], [x ; (x )], [x 3 ; (x 3 )], atd. Deiniční obor unkce je interval a; b. Obor hodnot unkce je interval a); ( x ). ( Funkce na obrázku není prostá, neboť existují čísla do téhož y H. x D (např. x 1 a x 3 ), které se zobrazily Opakování: Graem lineární unkce je přímka (polopřímka, úsečka). Graem kvadratické unkce je parabola (část paraboly). Příklad 5 Sestroj do sešitu gray následujících unkcí. Urči jejich obor hodnot a průsečíky se souřadnicovými osami (pokud existují). : y = 3 g: y = x 1; x R h: y = x+; x 5; 0 i: y = x + 4x + ; x R
Příklad 6 Poplatek za dopis podaný na poště je určován podle hmotnosti takto: do 0 g 6,50 Kč přes 0 g do 500 g 14 Kč přes 500 g do 000 g 5 Kč Urči unkci, která vyjadřuje závislost výše poplatku na hmotnosti dopisu, a sestroj její gra. Příklad 7 Pro unkci danou graem urči D, H, (0). a) b) c)
d) e) )
Rostoucí a klesající unkce Nechápeš to? Tak mrkni na obrázek 5. Obr. 5 Pozn. Je-li unkce rostoucí (klesající) v celém svém deiničním oboru (který je intervalem), budeme stručněji říkat, že unkce je rostoucí (klesající). Je-li unkce na celém svém deiničním oboru jen rostoucí nebo jen klesající, hovoříme o monotónní (prosté) unkci.
Příklad 8 Funkce je daná svým graem. Urči obor hodnot unkce a maximální intervaly, na kterých unkce roste, resp. klesá. Dále urči největší a nejmenší hodnotu unkce.