10.1.3 Spojitost funkce, limit funkce I Předpoklad: 8301 Pedagogická poznámka: Postup, který používám pro zavedení limit a spojitosti příliš neodpovídá tomu, co se píše v učebnicích, ale mě se rozhodně osvědčil. Studenti se ve dvou hodinách naučí, jak z grafů poznat jednotlivé druh spojitostí a limit a tak mohou po zvládnutí definice spojitosti v bodě, sestavovat naprostou většinu definic sami. Pedagogická poznámka: Pokud budete učit tuto hodinu podle této učebnice, chtěl bch Vás poprosit, abste obrázk, na kterých jsou vsvětlován nové pojm buď kreslili na tabuli nebo promítali tak, abste v nich mohli plnule ukazovat, jak se hodnot x blíží k bodu a hodnot se blíží k jinému rukama. Tato hodina patří mezi t, kd je učitel opravdu nenahraditelný. V této hodině se budeme snažit pochopit význam termínů spojitost funkce a limita funkce na příkladech (obrázcích). Naším cílem v žádném případě nebude přesné matematické popsání toho, jak je možné dokázat, že nějaká funkce spojitá je nebo není, či jakou má funkce v kterém bodě limitu. Spojitost Spojitá čára - čára nakreslená jedním tahem: Nespojitá čára čára, která je přerušená (napsaná dvěma nebo více tah) Stejným způsobem můžeme rozlišit spojitost funkce podle grafu (popravdě řečeno není to moc matematické). - - x - - - - x - - 1
Čára grafu funkce je přerušená funkce Funkce je spojitá (lépe řečeno spojitá není spojitá v každém bodě definičního oboru), protože přesněji: není spojitá v bodě x = (v tomto čára jejího grafu není nikde přerušená. bodě došlo k přerušení), v ostatních bodech spojitá je (tam čára přerušená není). Situace na pravém grafu si zaslouží bližší prozkoumání: pokud se budeme k bodu blížit po čáře zprava, dostaneme se do bodu aniž bchom museli přeskakovat přerušené místo funkce je v bodě spojitá zprava pokud se budeme k bodu blížit po čáře zleva, musíme přeskočit přerušené místo, abchom se do bodu dostali funkce není v bodě spojitá zleva Pedagogická poznámka: U obou předchozích i všech následujících obrázků dochází k tomu, že někteří studenti až příliš pečlivě obkreslují každou (i nepodstatnou) drobnost (spíše než o neschopnost jde o zdržovací úmsl). Trvám na tom, že každý musí kreslení obrázků stíhat a vnechávání nepodstatných detailů je součástí jejich úkolu. Př. 1: Rozhodni, zda jsou následující funkce spojité. Pokud jsou nespojité, najdi bod nespojitosti a rozhodni, zda jsou v těchto bodech spojité alespoň zleva nebo zprava. - - x - - - - x - - - - x - - - - x - - - x - - - x - - Není spojitá v bodě 0. V tomto bodě není spojitá ani zleva ani zprava (nemá v něm vůbec hodnotu) - Je spojitá. Není spojitá v bodě 1. Hodnotu v tomto bodě má, ale není v něm spojitá ani zleva ani zprava. - Limita
3n + 1 O limitě jsme už mluvili v kapitole o posloupnostech: lim = 3 n n 1 vzhledem k rostoucímu n hraje jednička stále menší roli a zlomek se neustále přibližuje zlomku 3 n 3 n = 3n + 1 3n 1 1 + 3 + 3n + 1 3 0 lim lim n lim n n lim n + = = = = = 3 n n n n n n n 1 1 n n pokud uděláme kolem čísla 3 na ose libovolně úzký pás, pokaždé najdeme takové n, že všechn hodnot posloupnosti za a n budou v tomto pásu ležet hodnot posloupnosti směřují k číslu 3 tak, že mezi posloupností a 3 nezůstane žádná díra Je rozumné mluvit o limitách u funkcí? Mohou se hodnot funkcí k něčemu blížit? - - x - - Hodnot funkce se pro x jdoucí k nekonečnu blíží k 1 (stejná situace jako u lim f x = 1. posloupností) funkce má v nekonečnu limitu 1. Píšeme ( ) Pro funkci se může x blížit také k : hodnot funkce pro x jdoucí k nekonečnu rostou nade všechn meze (blíží se k ) funkce má v mínus nekonečnu limitu. lim f x = (protože jde o nekonečno, budeme ji stejně jako u posloupností Píšeme ( ) říkat nevlastní). Je možné mluvit u funkcí i o jiných limitách než v a? Podíváme se na graf v nějakém bodě: 3
- - x - - Kdž se hodnot x blíží k, blíží se hodnot ke (opět b se tam nenašl žádné mezer) lim f x =. funkce f ( x ) má v bodě limitu. Píšeme ( ) x limitu tohoto tpu u posloupností nenajdeme (mezi bod posloupnosti jsou dír) f x najdeme podobnou limitu zdá se to zbtečné, protože u nakreslené funkce ( ) v každém bodě a vžd se bude rovnat funkční hodnotě, ale u méně hezkých funkcí to tak zbtečné není. Abchom odlišili f lim = od předchozích, říkáme jí limita ve vlastním bodě (do x předpisu funkce opravdu můžeme dosadit číslo -) lim f x 1 lim f x = říkáme limit v nevlastním bodě (nekonečna do Limitám ( ) =, ( ) předpisu dosadit nedokážeme). Pedagogická poznámka: Při určování limit postupují studenti značně rozdílnou rchlostí. Pro rchlejší část studentů je připraven příklad 5, který jim přece jenom nějaký čas zabere. Př. : U následujících funkcí urči limit v nevlastních bodech a limit ve vznačených vlastních bodech. - - x - - - - x - -
- - x - - - - x - - lim f x x lim f x x ( ) = f lim = 0 ( ) = lim f = 1 f x 1 lim = x lim f x x lim f x 1 x ( ) = f lim = 1 ( ) = lim f = f x 0 lim =? x - - x - - Situaci kolem bodu si rozebereme podrobněji: pokud se k bodu x = blížíme zprava (od větších hodnot), zdá se nám, že hodnot lim f x = (limita zprava v bodě se rovná ) se blíží číslu ( ) + x pokud se k bodu x = blížíme zleva (od menších hodnot), zdá se nám, že hodnot lim f x = (limita zleva v bodě se rovná ) se blíží číslu ( ) x protože při blížení k x = z obou stran se v blížíme k různým číslům, nemůže říct, že b se hodnota funkce f ( x ) pro x = blížila k nějakému číslu lim f ( x x ) neexistuje 5
Př. 3: U následujících funkcí urči limit v nevlastních bodech a limit ve vznačených vlastních bodech. Pokud v nějakém z vznačených bodů limita neexistuje, urči (pokud existují) jednostranné limit. - - x - - - - x - - - - x - - - - x - - = f lim f 0 lim x 0 f lim = 0 = lim f x 1 + x 0 lim f = 1 = = lim f lim f x = f lim f lim = x = Pedagogická poznámka: S lim f = má hodně studentů problém, plete je ( ) x proto následuje další rozbor, který b měl nejasnosti odstranit. f =, Př. : Je možné změnit hodnotu funkce pro x = na pravém obrázku z předchozího příkladu tak, ab: a) funkce bla spojitá b) neexistovala lim f ( x x ) a) pokud má být funkce spojitá, musíme odstranit její přetržení tím, že kolečko ucpe prázdné f = místo pokud bude ( ) 6
- - x - - b) není možné zvolit takovou funkční hodnotu, ab neexistovala lim ( ) f x x, při libovolné volbě f ( ) budeme ve stejné situaci jako u předchozího příkladu (hodnota v bodě vůbec neovlivňuje existenci limit v tomto bodě, limita je záležitostí hodnot okolo). Hodnota lim ( ) f x x a je dána tím, čemu se blíží hodnot funkce, kdž se proměnná x blíží hodnotě a a proto vůbec nezávisí na hodnotě funkce v bodě a f ( a ). Spojitost funkce v bodě a naopak na hodnotě f ( a ) závisí. Př. 5: Najdi: a) Vztah mezi spojitostí zleva, spojitostí zprava a spojitostí funkce v bodě. b) Vztah mezi jednostrannými limitami a limitou ve vlastním bodě c) Vztah mezi limitou ve vlastním bodě a spojitostí funkce v tomto bodě z předchozích příkladů vplývá: a) Funkce je v bodě a spojitá, právě kdž je v bodě a spojitá zleva i zprava. b) lim f x = lim f x Funkce má v bodě a limitu, právě kdž platí ( ) ( ) c) + x a x a Funkce je v bodě a spojitá, právě kdž lim ( ) ( ) f x = f a. x a Shrnutí: Spojitost (nepřetrženost) i limita (blížení se) jsou snadno pochopitelné z obrázků. 7