pro Maxwellovy rovnice

Rychlé výpočetní metody pro Maxwellovy rovnice VŠB TU Ostrava, 14. dubna 2005 D. Lukáš Katedra aplikované matematiky, Centrum pokročilých a inovačních technologií, VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz

Osnova Maxwellovy rovnice: příklady úloh Vířivé proudy Elektrostatika Magnetostatika Více-úrovňové metody Multigrid pro 1D úlohu struny Porovnání metod na reálné úloze Analýza optimální konvergence Multigrid pro Maxwellovy rovnice Závěr

Maxwellovy rovnice Popisují elektromagnetické pole v prostoru a čase. B(x, t), H(x, t)... magnetické indukce, intenzita; B(x, t) = µ(x)h(x, t) D(x, t), E(x, t)... elektrická indukce, intenzita; D(x, t) = ε(x)e(x, t) J (x, t)... hustota elektrického proudu vnucená vnějším zdrojem; divj (x, t) = 0 ρ(x)... hustota elektrického náboje σ(x)... elektrická vodivost v R 3 (0, ): roth(x, t) = J (x, t) + σ(x)e(x, t) + B(x, t) rote(x, t) = t dive(x, t) = ρ(x) divb(x, t) = 0 D(x, t) t Navíc: B(x, t) 0, E(x, t) 0 pro x a B(x, t) = B 0 (x), E(x, t) = E 0 (x)

Maxwellovy rovnice: nízko-frekvenční případ Necht ω > 0 je úhlová frekvence a necht Pak také J (x, t) = Re { J(x)e iωt}, J(x) : Ω C 3 B(x, t) = Re { B(x)e iωt}, B(x) : Ω C 3 E(x, t) = Re { E(x)e iωt}, E(x) : Ω C 3 Je-li ω malé, zanedbáme Maxwellovy posuvné proudy ω 2 ε(x) a máme nízko-frekvenční semidefinitní případ: ( ) 1 rot µ(x) rote(x) + iωσ(x)e(x) = iωj(x) v Ω R 3 Magnetické pole: B(x) = i ω rote(x) Vířivé proudy: J eddy (x) = iωσ(x)e(x) div (ε(x)e(x)) = ρ(x) v Ω E(x) n(x) = 0 na Ω

Maxwellovy rovnice: nízko-frekvenční případ Geometrie: cívka a vodivý plát

Maxwellovy rovnice: nízko-frekvenční případ Magnetické pole

Elektrické pole Maxwellovy rovnice: nízko-frekvenční případ

Maxwellovy rovnice: nízko-frekvenční případ Vířiové proudy ve vodivém plátu

Maxwellovy rovnice: elektrostatika Je-li ω = 0, pak E(x) = gradφ(x), kde Φ je skalární elektrický potenciál (napětí). Máme úlohu elektrostatiky: div (ε(x)gradφ(x)) = ρ(x) v Ω R 3 Φ(x) = 0 na Ω

Maxwellovy rovnice: elektrostatika Geometrie: desky kondenzátoru

Elektrické pole Maxwellovy rovnice: elektrostatika

Maxwellovy rovnice: magnetostatika Zaved me magnetický vektorový potenciál u: B(x) = rotu(x), divu(x) = 0 a máme úlohu magnetostatiky: ( ) 1 rot µ(x) rotu(x) = J(x) v Ω R 3 divu(x) = 0 u(x) n(x) = 0 v Ω na Ω

Maxwellovy rovnice: magnetostatika Geometrie: cívka protékaná proudem

Magnetické pole Maxwellovy rovnice: magnetostatika

Multigrid pro 1D úlohu struny Mějme příčně zatíženou strunu, jejíž průhyb je popsán eliptickou (parciální) diferenciální rovnicí Au(x) = b, A + I, na duálu k Hilbertově prostoru (V,.,. ). 0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Diskretizujme úlohu na hierarchii sítí: T 0 := {0, 1/2, 1}: A 0 u 0 = b 0, T 1 := {0, 1/4, 1/2, 3/4, 1}: A 1 u 1 = b 1 atd. Necht (V l,.,. l ) jsou příslušné diskretizace Hilbertova prostoru V a necht E L l, kde l < L, je operátor rozšíření z V l do V L. Označme dále N l := dimv l, h l := 1 N l 1.

Multigrid pro 1D úlohu struny Hrubé řešení A 0 u 0 = b 0 0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Multigrid pro 1D úlohu struny Dekompozice A 0 u 0 = b 0 0 0.002 0.004 0.006 0.008 A 1 u 1 = b 1 0.01 0.012 0.014 0 0.002 0.016 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0.004 0.006 0.008 0.01 w 1 := u 1 E 1 0u 0 0.012 0.014 0.016 0 x 10 3 1 0.018 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 2 3 4 5 6 7 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Multigrid pro 1D úlohu struny Vyhlazení chyby A 0 u 0 = b 0 0 0.002 0.004 A 1 u 1 = b 1 0.008 0.01 0.006 u 1 1 := E 1 0u 0 + w 1 1 0.014 0.016 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0.012 0 0.002 0.004 0.006 0.008 w 1 w 1 1 := (diaga 1 ) 1 (b 1 A 1 E 1 0u 0 ) 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 3 x 10 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Opakované vyhlazení chyby Multigrid pro 1D úlohu struny 0 0.002 A 0 u 0 = b 0 0.004 A 1 u 1 = b 1 0.008 0.01 0.006 0 0.002 0.004 0.006 0.008 u 1 1 := E 1 0u 0 + w 1 1 u 2 1 := u 1 1 + w 2 1 u 3 1 := u 2 1 + w 3 1 0.012 0.014 0.016 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 w 1 1 := (diaga 1 ) 1 (b 1 A 1 E 1 0u 0 ) w 2 1 := (diaga 1 ) 1 (b 1 A 1 E 1 0u 0 +w 1 1) w 1 w 3 1 := (diaga 1 ) 1 (b 1 A 1 E 1 0u 0 +w 1 1+w 2 1) 0.01 0.012 0.014 0.016 3 x 10 3 2 1 0 0.018 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1 2 3 4 5 6 7 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Multigrid pro 1D úlohu struny Více úrovní 0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 A 0 u 0 = b 0 A 2 u 2 = b 2 0.016 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0.014 0 0.002 0.004 u 1 1 := E 1 0u 1 0 + w 1 1 u 1 2 := E 2 1u 1 1 + w 1 2 2 1 0 1 2 3 4 5 6 w 1 w 1 1 := (diaga 1 ) 1 (b 1 A 1 E 1 0u 0 ) 3 x 10 3 0.006 0.008 7 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 2 x 10 3 1.5 1 0.5 0 0.5 1 w 2 := u 2 E 2 1u 1 w 1 2 := (diaga 2 ) 1 (b 2 A 2 u 1 1) 1.5 2 2.5 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Dekompozice operátoru Multigrid pro 1D úlohu struny A 1 = E 1 0A 0 (E 1 0) T + [ A 1 E 1 0A 0 (E 1 0) T] Multigridový předpodmiňovač = multiplikativní Schwarzova metoda (A 1 ) 1 ( ) C MG 1 1 := E 1 0 (A 0 ) 1 (E 1 0) T + (diaga 1 ) [ 1 I 1 A 1 E 1 0(A 0 ) 1 (E 1 0) T] Aditivní Schwarzova metoda (A 1 ) 1 ( ) C ASM 1 1 := E 1 0 (A 0 ) 1 (E 1 0) T + (diaga 1 ) 1 Aditivní rozklad operátoru může být také indukován rozkladem výpočetní oblasti. Pak získáváme předpodmínění metodou rozložení oblasti.

Multigrid pro 1D úlohu struny Dekompozice spektra operátoru σ(a l ) σ((diaga l ) 1 A l ) σ((c MG l ) 1 A l ) 18000 16000 14000 12000 10000 8000 6000 4000 2000 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 min σ(a l ) cond((diaga l ) 1 A l ) cond((c MG l ) 1 A l ) 3.5 18 x 105 2.5 3 2.5 2 16 14 12 10 2 1.5 1 0.5 8 6 4 2 1.5 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Multigrid pro 1D úlohu struny Dekompozice spektra operátoru σ(a l ) σ((c MG l ) 1 A l ) σ((c ASM l ) 1 A l ) 18000 2 6 16000 14000 1.8 5 12000 1.6 4 10000 8000 1.4 3 6000 1.2 2 4000 2000 1 1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.8 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 min σ(a l ) cond((c MG l ) 1 A l ) cond((c ASM l ) 1 A l ) 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2.5 2 1.5 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6 5.5 5 4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Multigrid pro 1D úlohu struny Matlabovské soubory můžete najít na http://lukas.am.vsb.cz/teaching/1d multigrid/

Elektromagnet: geometrie Porovnání metod na reálné úloze

Porovnání metod na reálné úloze Elektromagnet: rozložení magnetického pole

Porovnání metod na reálné úloze doba výpočtu [s] (PCG iterace/čas [s]) předpodmiňovač N 0 = 10805 N 1 = 19889 N 2 = 59242 N 3 = 193436 N 4 = 723357 12.71 30.42 224.75 (A l ) 1 (1/0.04) (1/0.08) (1/0.42) nedostatek paměti 7.78 13.08 37.95 128.62 529.16 (diaga l ) 1 (38/0.15) (53/0.39) (70/2.08) (98/11.64) (160/78.96) 11.84 13.7 37.14 125.95 495.34 (C MG l ) 1 (1/0.03) (5/0.42) (6/2.13) (6/8.42) (6/35.97)

Multigrid: analýza optimální konvergence MG(l) if l = 0 then u 0 := (A 0 ) 1 b 0 else u l 1 := MG(l 1) [Coarse solution] w l := S l (u l 1 ) [Postsmoothing] u l := E l l 1 u l 1 + w l end if Jacobiho smoother: S l (u l 1 ) := (diaga l ) [ 1 b l A l E l l 1 u ] l 1 Optimální výpočetní složitost CPU(MG(0)) C 0 N 0 CPU(MG(l)) CPU(MG(l 1)) + C l N l N l c l β l CPU(MG(l)) Tedy l i=1 c i C i β i C βl 1 β 1 CPU(MG(l)) = O(N l )

Multigrid: analýza optimální konvergence Stejnoměrně omezený počet iterací Počet iterací je úměrný číslu podmíněnosti Ukážeme, že C MG l i C AMS l cond((c MG l ) 1 A l ) = λ max((c MG l ) 1 A l ) λ min ((C MG l ) 1 A l ). jsou stejnoměrně spektrálně ekvivalentní s A, tj. ( c, C, k, K > 0) ( l {0, 1, 2,... }) ( u l V l ) : c C MG l u l, u l l k C ASM l u l, u l l A lu l, u l l K C ASM l u l, u l l C C MG l u l, u l l. Aditivní Schwarzovo lemma Pro u l V l platí: u l 2 l,asm := C ASM l u l, u l l = inf v i V i :u l = l i=0 E l i v i kde v našem případě C 0 := A 0, C i := diaga i pro i {1, 2,... }. l C i v i, v i i, i=0

Multigrid: analýza optimální konvergence Zesílená Cauchy-Schwarzova nerovnost ( C ort > 0) ( γ (0, 1)) ( u i V i ) ( v j V j ) : Al E l iu i, E l jv j C l ortγ i j u i Ci v j Cj Důkaz využívá tzv. inverzní nerovnost: v h (x) L2 ch 1 v h (x) L2. Pak pro libovolné u l V l a pro jeho dekompozici dle aditivní Schwarzovy teorie u l = l i=0 El iv i platí: l l A l u l, u l l = Al E l iv i, E l jv j C l ort γ i j v i Ci v j Cj i,j=0 C ort max i C ort 2 1 γ i,j=0 l γ i j v i Ci v j Cj C ort j=0 C ASM l u l, u l l j Z γ i j l v k 2 C k k=0

Multigrid: analýza optimální konvergence Stabilita dekompozice Zbývá dokázat, že ( C stab > 0) ( u l V l ) : l inf v i V i :u l = C i v i, v i l i C stab A l u l, u l l. i=0 E l i v i i=0 Necht I l : L 2 V l je kvazi-interpolační operátor. Pak platí: l l u l 2 l,asm (h i ) 2 (I i I i 1 )u i 2 L 2 h 2 i u i v 2 L 2 + (h i ) 4 v H 2 i=0 Zaved me K(h 2, u) := inf v H 2{ u v 2 L 2 + h 2 v 2 }, měří hladkost u ve škále h. Fourierovým rozkladem u l (x) v R zjistíme, že H 2 u l 2 l,asm i Z (h i) 2 K((h i ) 2, u i (x)) u l (x) 2 L 2 A l u l, u l l, přičemž pro Lipschitzovskou oblast Ω je u l spojitě rozšiřitelné do R, což bude zahrnuto do C stab. i=0

Multigrid: analýza optimální konvergence Spektrální ekvivalence C MG l s C ASM l je (pouze) dalším technickým oříškem.

Multigrid pro Maxwellovy rovnice Chceme předpodmínit operátor Au, v (rotu, rotv) L2 + (u, v) L2. Nédélec 1980, Hiptmair 1998 Vše je založeno na Helmholtzově dekompozici H 0 (rot) = Ker 0 (rot) Ker 0 (rot), kde Ker 0 (rot) = {v H 0 (rot) : divu = 0} a Ker 0 (rot) = H 1 0. Multigridová dekompozice pak vyhlazuje každou složku jinak: l V l = V 0 + span(ξ e ) + span(gradϕ x ), i=1 e je hrana v T i x je uzel v T i kde ξ e je lineární Nédélecova hranová FE-bázová funkce, ϕ x je lineární Lagrangeova uzlová FE-bázová funkce a V 0 je lineární Nédélecův prostor na hrubé diskretizaci T 0.

Multigrid pro Maxwellovy rovnice Multigridová dekompozice l V l = V 0 + span(ξ e ) + span(gradϕ x ), i=1 e je hrana v T i x je uzel v T i kde ξ e je lineární Nédélecova hranová FE-bázová funkce, ϕ x je lineární Lagrangeova uzlová FE-bázová funkce a V 0 je lineární Nédélecův prostor na hrubé diskretizaci T 0. Označme Z l diskretizaci (přes T l ) prostoru H0 1 pomocí lineárních uzlových FE-funkcí. Hiptmairův smoother u l+1/2 := u l + (diaga l+1 ) 1 [b l+1 A l+1 u l ] u l+1 := u l+1/2 + T l+1 (diag l+1 ) 1 (T l+1 ) T [b l+1 A l+1 u l+1/2 ] T l+1 : Z l+1 V l+1... transformace z Lagrangeovského do Nédélecova prostoru, l+1 je Laplaceův operátor diskretizovaný v Z l+1.

Smíšená úloha Multigrid pro Maxwellovy rovnice Častěji potřebujeme řešit úlohu (rotu, rotv) L2 = (J, v) L2 na prostoru Ker 0 (rot) = {v H 0 (rot) : divu = 0}. To vede na následující smíšenou (sedlobodovou) úlohu: Hledáme (u, p) H 0 (rot) H0: 1 (rotu, rotv) L2 +( p, v) L2 = (J, v) v H 0 (rot) (u, q) L2 = 0 q H0 1

Smíšená úloha Multigrid pro Maxwellovy rovnice Hledáme (u, p) H 0 (rot) H 1 0: (rotu, rotv) L2 +( p, v) L2 = (J, v) v H 0 (rot) (u, q) L2 = 0 q H0 1 Diskretizace A l u l + (B l ) T p l = b B l u l = 0 Prostor H 0 (rot) jsme nahradili V l, H 1 0 jsme nahradili Z l. A l není pozitivně definitní!

Multigrid pro Maxwellovy rovnice Zou 2003 Zou modifikuje operátor A l následovně: A l u l + (B l ) T p l = b B l u l = 0 Â l := A l + (B l ) T (Ĉl) 1 B l, kde Ĉl : Z l Z l je předpodmiňovač pro Laplaceův operátor. Pak definitní a následující systém dává stejné řešení: Â l u l + (B l ) T p l = b B l u l = 0 Â už je pozitivně Â je navíc spektrálně ekvivalentní se skalárním součinem v H 0 (rot)! Při použití Uzawova algoritmu pak v každé iteraci řešíme jeden systém s Âl použijeme Hiptmairův multigrid a jednu Laplaceovu úlohu. Umíme zkonstruovat optimální řešič!

Multigrid pro Maxwellovy rovnice Úloha s rozšířenými Lagrangiány Au + B p = b Bu = 0 Kromě Uzawova algoritmu můžeme k řešení smíšené úlohy použít algoritmus rozšířených Lagrangiánů, který minimalizuje funkcionál L(u, p, ρ) := 1 2 Au, u + p, Bu + ρ 2 ι 1 Bu, Bu, kde A : V V, B : V Z a ι : V V je Rieszův izomorfismus. To vede na systém (A + ρb ι 1 B)u + B p = b Bu = 0

Multigrid pro Maxwellovy rovnice Úloha s rozšířenými Lagrangiány (A + ρb ι 1 B)u + B p = b Bu = 0 Hiptmair 1996 řeší smíšenou úlohu, která je duální k Laplaceově s pravou stranou f, s Neumannovou podmínkou g na Γ N a s homogenní Dirichletovou podmínkou na Γ D. Hledáme (u, p) H 0,ΓN (div) L 2 : (u, v) L2 +(p, divv) L2 = g(v) v H 0,ΓN (div) (divu, p) L2 = f(w) w L 2 kde p je tentokrát řešení původní Laplaceovy úlohy a u = p je tok. Hiptmair konstruuje předpodmiňovač ( C ρ pro A ρ := A + ρb ι 1 B tak, že pro malé ρ cond((c ρ ) 1 A ρ ) = O nezávisle na jemnosti diskretizace (pro velké ρ: O(1)). ) 1 ρ 3/2

Multigrid pro Maxwellovy rovnice Úloha s rozšířenými Lagrangiány (A + ρb ι 1 B)u + B p = b Bu = 0 Dostál 2005 prezentuje nový typ analýzy pro algoritmus rozšířených Lagrangiánů s adaptivní kontrolou přesnosti. Ukazuje mimo jiné, že penalizační parametr ρ je ohraničen nezávisle na předpodmínění vazeb B. Náš cíl je vyvinout optimální řešič při použití Dostálova algoritmu rozšířených Lagrangiánů s adaptivní kontrolou přesnosti. Řešení: použijeme regularizaci Â Maxwellova operátoru podle Zoua a předpodmíníme matici Âρ := Â + ρb ι 1 B podle Hiptmaira. Z analýzy Prof. Dostála snad vyplyne, že výsledný předpodmiňovač Ĉρ bude optimální nezávisle na ρ.

Závěr Chceme vyvinout a analyzovat rychlé Maxwellovy řešiče pro měnící se penalizaci ρ perturbace operátoru při tvarové optimalizaci perturbace operátoru při topologické optimalizaci smíšené úlohy plynoucí z all-at-once přístupu v optimalizaci

Závěr Chceme vyvinout a analyzovat rychlé Maxwellovy řešiče pro měnící se penalizaci ρ perturbace operátoru při tvarové optimalizaci perturbace operátoru při topologické optimalizaci smíšené úlohy plynoucí z all-at-once přístupu v optimalizaci Děkuji za pozornost!