1 Úvod Účelem těchto studijních materiálů není pokrýt celou středoškolskou matematiku, ani exaktně popsat všechny uvedené problémy. Jde jen o rekapitulaci části středoškolských znalostí, které studenti budou potřebovat při svém studiu v bakalářském a magisterském programu na FS VŠB-TUO. Text je určen všem studentům VŠB. A to jak studentům denního studia, kteří ho využijí v předmětu Základy matematiky, tak kombinovaného studia, kteří už mají střední školu dávno za sebou a mohou ho použít jako připomenutí dávno zapomenutých znalostí. Zejména bych jej doporučil těm, kteří z matematiky nematurovali nebo studovali střední školu, kde nebyl na matematiku kladen důraz a hodinová dotace nebyla příliš vysoká. Úpravy algebraických výrazů Úpravy algebraických výrazů budete používat při studiu stále, at už při řešení různých druhů rovnic a nerovnic, výpočtů derivací či integrálů. Proto je nutné si být jistý při jakýchkoli úpravách a práci s mnohočleny, zlomky, mocninami či odmocninami. Vždy je třeba dávat pozor, aby byl výraz se kterým pracujete definován. Definičním oborům výrazů a hlavně funkcí se budeme věnovat zvlášt později..1 Mocniny a odmocniny Při práci s mocninami s přirozeným exponentem používáme následující základní vzorce (r, s N): 1. a r a s = a r+s,. a r a s = ar s, a 0, r > s, 3. (a r ) s = a rs, 4. (ab) r = a r b r, ( a ) r a r 5. = b b, b 0. r Pro práci s celočíselným exponentem je navíc definováno (a 0) : a 0 = 1, a n = 1 a n. 1
Odmocniny pak zapisujeme jako mocniny s racionálním exponentem, tj. v exponentu je zlomek. a p/q = q a p, přičemž předpokládáme, že výraz je vždy definovaný, tj. pro sudé odmocniny je základ a 0. Při praktických výpočtech platí i u obecných mocnin všechny výše uvedené vzorce (1-5), pokud je výraz definován.. Mnohočleny Při násobení mnohočlenů roznásobíme členy každý s každým. Je velmi výhodné naučit se následující vzorce, které budeme používat velice často: 1. (a + b) = a + ab + b. (a b) = a ab + b 3. a b = (a + b)(a b) 4. (a + b) 3 = a 3 + 3a b + 3ab + b 3 5. (a b) 3 = a 3 3a b + 3ab b 3 6. a 3 + b 3 = (a + b)(a ab + b ) 7. a 3 b 3 = (a b)(a + ab + b ) Pozor na to, že výraz a + b není rozložitelný v oboru reálných čísel. Je velice užitečné umět rozložit i trojčlen ve tvaru Pro kořeny x 1, platí tzv. Vietovy vzorce x + px + q = (x x 1 )(x x ). x 1 + x = p, x 1 x = q. U obecného trojčlenu ax + bx + c je nutné nejprve koeficient a vytknout a teprve pak provést rozklad pomocí Vietových vzorců ax + bx + c = a(x + px + q) = a(x x 1 )(x x ). Rozklad však lze použít pouze tehdy, je-li řešitelná v reálném oboru kvadratická rovnice ax +bx+c = 0, tj. je-li diskriminant této rovnice b 4ac 0. Tuto část ještě podrobněji probereme v sekci kvadratických funkcí a kvadratických rovnic
(viz kapitoly 3.3 a 4.3). Praktickou ukázku zmíněného rozkladu si ukážeme v následujícím příkladu. Příklad.1.: Nalezněte rozklad trojčlenu 3x + 1x + 36. Řešení: Z výrazu nejprve vytkneme koeficient 3. 3x + 1x + 36 = 3(x + 7x + 1). Protože x 1 x = 1, zkusíme 1 rozložit na součin přirozených nebo celých čísel. V úvahu připadají dvojice {1, 1}, {6, }, {4, 3}, případně { 1, 1}, { 6, }, { 4, 3}. Prostřední koeficient 7 pak musí být součtem těchto čísel a je evidentní, že správné řešení problému je tedy {4, 3}. Rozklad zkoumaného trojčlenu je 3x + 1x + 36 = 3(x + 7x + 1) = 3(x + 4)(x + 3). Tento postup budeme používat nejen při úpravách výrazů, ale i při řešení kvadratických rovnic a nerovnic, apod. Např. při řešení kvadratické rovnice, využijeme rozloženého trojčlenu a okamžitě získáváme oba kořeny 3x + 1x + 36 = 0 3(x + 4)(x + 3) = 0 x 1 = 4, x = 3, aniž by bylo při výpočtu kvadratické rovnice nutné pracovat s diskriminantem. Během prvního i druhého semestru se také několikrát setkáme s dělením mnohočlenu mnohočlenem. Příklad..: Vydělte (x 4 + x 3 4x + x 5) : (x 1). Řešení: Při dělení je nutné mít mnohočleny seřazeny od nejvyšší mocniny k nejnižší. Člen x 4 dělíme členem x a získáme první člen podílu x. Tímto členem násobíme celého dělitele a vzniklý výraz x 4 x odečteme od dělence. Získáme mnohočlen s nižším stupněm x 3 x + x 5 a postup opakujeme. Tedy, x 3 dělíme x a dostaneme další člen podílu x. Opět vynásobíme x (x 1) a výsledný výraz x 3 x odečteme od x 3 x + x 5 a dostaneme x + 3x 5, který je opět nižšího stupně. Postup opakujeme tak dlouho, až je získaný mnohočlen (v našem případě výraz 3x 7) řádu nižšího než je dělitel. Tento výraz je zbytkem a celkově můžeme dělení zapsat takto: 3
(x 4 + x 3 4x + x 5) : (x 1) = x + x + 3x 7 x 1 (x 4 x ) x 3 x + x 5 (x 3 x) x + 3x 5 ( x + ) 3x 7 Kompletní úpravu algebraického výrazu si ukážeme v posledním řešeném příkladu této kapitoly. Uvidíme v ní spoustu dílčích kroků, které se často hodí při řešení jiných problémů. Příklad.3.: Upravte algebraický výraz: ( n 3 n n + 1 n + 1 ) n n + 3 n n3 + 1 n n. Řešení: Nejprve stanovíme podmínky řešení úlohy. At už řešíme jakýkoli problém, je nutné stanovit hodnoty proměnných, pro které má daná úloha smysl. V našem případě tvoří podmínky pouze zlomky, kde musí jmenovatel být vždy různý od nuly, tj. n 0, n ±1. Při každé úpravě je nutné správně stanovit prioritu matematických operací a zvolit pořadí jednotlivých kroků. V tomto případě nejprve sečteme tři zlomky uvnitř závorky, což provedeme úpravou na společný jmenovatel. Rozložíme-li jmenovatel třetího zlomku n = (n 1)(n+1), vidíme, že právě on je přímo společným jmenovatelem. První dva zlomky rozšíříme členy tak, aby odpovídaly společnému jmenovateli, tj. první výrazem (n 1), druhý (n + 1) a zlomky sečteme, resp. odečteme. n ( n 3 n + 1 n + 1 ) n n + 3 n n3 + 1 n n = = n (n 3) (n 1) ( 1)(n + 1) (n + 3) (n 1)(n + 1) n3 + 1 n n. Získaný výraz v čitateli prvního zlomku roznásobíme, posčítáme a obdržíme další krok úpravy n 4n 8n + 4 (n 1)(n + 1) n3 + 1 n n 4
Mnohočleny v obou zlomcích zkusíme rozložit a totožné v čitateli a jmenovateli zkrátíme. n 4(n 1) (n 1)(n + 1) (n + 1)(n n + 1) n(n 1) = n (n n + 1). n Po krácení už zbývá pouze odečíst oba výrazy. Opět je nutné použít úpravu na společný jmenovatel, kterým je nyní pouze n. Dostaneme n (n n + 1) n = (n 1). n Příklady k procvičení: 1. Rozložte výrazy a proved te krácení (a) (b) x + 3x 4 x + 10x + 4 x x 6 x 16x + 30. Vydělte polynomy [ ] x 1, x 4, x 6 x + 6 [ ] x + (x 5), x 3, x 5 (a) (x 4 x 3 + 3x x + 1) : (x + 1) [x x + 1] [ (b) (x 3 5x + 5x ) : (x 4) x x + 1 + ] x 4 3. Upravte algebraické výrazy (a) (b) (c) (d) (e) 6 x5 x 1/ ( ) x 1 x [ (a ) 3 + : a 4 x3 x 1/3 x 1 [x, x > 0] 1 x ( 5 x + 1 + 4 ) x 1 x [4x, x > 0, x 1] x 1 x + 1 ] a 3 + 4a + 4a a 3a 1a + 1 3 m n m 1/ n m3/ n 3/ 1/ m n ( ) 3x 1/3 x /3 x x 1/3 1 ( 1 x 1/3 x 4/3 x 1/3 3x [ x [ ] a + a, a ±, a 0 [ mn m + n, m 0, n 0, m n ) 1 ] ] x 1 x 3,, 1, 1 5
3 Funkce 3.1 Základní pojmy Pokud ke každému reálnému číslu x z množiny D(f) přiřadíme právě jednu reálnou hodnotu y, definovali jsme funkci. Množinu D(f) nazýváme definičním oborem funkce. Funkci zapisujeme funkčním předpisem f : y = f(x), přičemž x nazýváme argumentem funkce a číslům y říkáme funkční hodnoty. Množinu všech funkčních hodnot pak označujeme H(f) a nazýváme ji obor hodnot funkce. Neurčíme-li definiční obor jinak, rozumíme jím takovou podmnožinu reálných čísel, kde má funkční předpis smysl. x + 1 Příklad 3.1.: Určete definiční obor funkce f : y =. x Řešení: Sudá odmocnina je definována pouze pro nezáporná čísla, tedy získáváme podmínku x + 1 0, ze které plyne x 1. Funkční předpis dále obsahuje zlomek, jehož jmenovatel musí být různý od nuly, tj. x 0. Obě dvě podmínky musí být splněny najednou. Definiční obor tedy můžeme zapsat pomocí intervalů takto D(f) = 1, 0) (0, ). Názornou představu o funkci, funkčních hodnotách a jejich vlastnostech poskytuje graf funkce. V rovině zvolíme pravoúhlou (kartézskou) soustavu souřadnic s počátkem O a kolmými osami x, y. Pro každou hodnotu x D(f) znázorníme uspořádanou dvojici [x, y], kde y = f(x). Množinu všech takových bodů nazýváme grafem funkce. Způsoby zadání funkce, operace s funkcemi a vlastnosti funkcí si probereme podrobně v prvním semestru v předmětu Matematika I. Nyní se budeme věnovat základním typům funkcí, tzv. elementárním funkcím, jejich grafům a vlastnostem, které budeme potřebovat při řešení příslušných rovnic a nerovnic. 3. Lineární funkce Lineární funkcí nazýváme funkci ve tvaru f : y = ax + b. Definičním oborem jsou všechna reálná čísla D(f) = R. Grafem každé lineární funkce je přímka. Jeli koeficient a = 0, jedná se o konstantní funkci a grafem je přímka rovnoběžná s osou x, viz Obr. 1. Položíme-li ve funkčním předpisu x = 0, získáváme y(0) = b. Koeficient b proto určuje hodnotu průsečíku grafu funkce s osou y. Koeficient a se nazývá směrnice přímky a určuje sklon přímky. Platí a = tan α, kde α je orientovaný úhel, který svírá zkoumaná přímka s kladným směrem osy x. Z vlastností funkce tangens vyplývá (viz kapitola 7.1 Goniometrické funkce) následující vlastnost. 6
Obr. 1. Konstantní funkce f : y = b, např. f : y =. Je-li koeficient a > 0 je funkce rostoucí, naopak je-li a < 0, je funkce klesající. Obě situace vidíme na Obr.. Obr.. Lineární funkce: a) a > 0, např. y = x 1, b) a < 0, např. y = 3x + 3 Příklad 3..: Nakreslete graf funkce y = 3x + 3. Řešení: Chceme-li sestrojit graf lineární funkce, stačí si uvědomit, že přímka je vždy definována dvěma body a nejjednodušší cestou je proto určení jejich průsečíků s osami. Položíme-li v předpisu funkce x = 0, obdržíme y = 3. Položíme-li y = 0, vyřešíme rovnici 3x + 3 = 0 a získáváme x = 1. Přímka tedy prochází body [0, 3] a [1, 0]. Body proložíme přímku a získáváme graf na Obr.. 7
3.3 Kvadratická funkce Kvadratickou funkcí nazýváme funkci ve tvaru f : y = ax + bx + c, kde a 0. Definičním oborem jsou všechna reálná čísla D(f) = R. Grafem každé kvadratické funkce je parabola. Koeficienty a, b, c určují její tvar a polohu v kartézské soustavě souřadnic. Funkci f : y = x nazýváme základní kvadratická funkce s vrcholem v počátku souřadnic. Při vysvětlení významu jednotlivých koeficientů začneme od koeficientu a. Funkce y = ax má vždy vrchol v počátku souřadnic. Pro kladné a > 0 leží graf funkce nad osou x. Pokud jste se seznámili s pojmem konvexnosti, resp. konkávnosti funkce na střední škole, je pro a > 0 parabola konvexní 1, viz Obr. 3. Pro záporné a < 0 leží pod osou x a funkce je konkávní, viz Obr. 4. Obr. 3. Kvadratická funkce y = ax pro a > 0: y = x, y = x, y = 1 x ; Koeficient c má vždy hodnotu průsečíku paraboly s osou y, nebot dosadíme-li do předpisu y = ax + bx + c za x = 0, obdržíme právě y(0) = c. Grafem funkce y = ax + c je přímo parabola, která vznikne z paraboly y = ax posunutím o hodnotu c ve směru osy y. Pro kladné c jsme každou funkční hodnotu o c zvětšili, pro záporné zmenšili, tj. vrchol paraboly leží na ose y v bodě [0, c], viz Obr. 5. Parabolu můžeme jednoduše posunout také ve směru osy x. Graf funkce y = a(x x 0 ) vznikla z paraboly y = ax posunutím o x 0 doprava, v případě záporného x 0 doleva. Vrchol paraboly leží tedy na ose x v bodě [x 0, 0]. Tento druh posunutí si můžeme prohlédnout na Obr. 6. Nyní jsme již schopni sestavit graf paraboly v obecném tvaru. Podaří-li se nám převést kvadratickou funkci y = ax + bx + c do tvaru y = a(x m) + n, jedná se vždy o parabolu y = ax posunutou do 1 Pokud jste pojem ještě neslyšeli, nic se neděje. Budeme jej probírat podrobně v kurzu Matematika I. Zjednodušeně řečeno jde o typ oblouku, zda je parabola otevřená nahoru nebo dolů. 8
Obr. 4. Kvadratická funkce y = ax pro a < 0: y = x, y = x, y = 1 x. Obr. 5. Kvadratická funkce y = ax + c : y = x, y = x +, y = x 1. vrcholu o souřadnicích [m, n]. Příklad 3.3.: Nakreslete graf funkce y = x 4x 1. Řešení: Koeficient a =, tj. parabola bude mít stejný tvar a orientaci jako parabola y = x. Koeficient c = 1, parabola tedy prochází průsečíkem s osou y o souřadnicích [0, 1]. Průsečíky s osou x jsme schopni také vypočítat, a to řešením kvadratické rovnice x 4x 1 = 0, což probereme postupně v následující kapitole. Nyní si ukážeme, jak najít souřadnice vrcholu paraboly. Z funkčního předpisu nejprve vytkneme koeficient a z prvních dvou členů y = x 4x 1 y = (x x) 1. 9
Obr. 6. Kvadratická funkce y = a(x x 0 ) : y = x, y = (x + ) = x + 8x + 8. Výraz x x uvnitř závorky nyní doplníme na čtverec, tj. najdeme třetí člen výrazu tak, aby odpovídal vzorci (a ± b) = a ± ab + b. Takto získaný koeficient do výrazu přičteme a odečteme. Výraz tím neměníme, nebot celkový součet přidaného výrazu je roven nule. y = (x x + 1 1) 1 y = [(x 1) 1] 1 y = (x 1) 3. Zkoumaná parabola se proto liší od paraboly y = x pouze posunutím o hodnotu 1 doprava po ose x a hodnotu 3 dolů po ose y. Její vrchol má souřadnice [1, 3]. Graf viz Obr. 7. Až se naučíme v předmětu Matematika I používat derivace, získáme velice silný aparát pro hledání extrémů (minima a maxima) funkcí a vrchol paraboly pak budeme schopni určit velice jednoduše i bez doplnění na čtverec. Uvedený postup však budeme používat i v jiných úlohách a je velice užitečné ho umět. 3.4 Lineární lomená funkce Lineární lomenou funkcí nazýváme funkci f : y = ax + b cx + d, s podmínkami c 0, ad bc 0, aby funkce nepřešla ve funkci lineární, resp. konstantní. Definičním oborem funkce jsou všechna reálná čísla, s výjimkou hodnoty, kdy je 10
Obr. 7. Kvadratická funkce y = x 4x 1. { jmenovatel roven nule, tj. D(f) = R \ d }. Grafem lineární lomené funkce je c hyperbola, jejíž asymptoty (přímky, ke kterým se větve hyperboly blíží, ale nikdy je neprotnou) jsou rovnoběžné se souřadnými osami. Základní variantou lineární lomené funkce je tzv. nepřímá úměrnost f : y = k. V tomto případě leží střed x hyperboly v počátku souřadnic a asymptotami jsou přímo osy x, y. Pro kladné k > 0 leží větve hyperboly v prvním a třetím kvadrantu, zatímco pro záporné k < 0 leží ve druhém a čtvrtém kvadrantu, viz Obr. 8. Představu o grafu obecné lineární lomené funkce získáme převodem do tvaru y = n + k x m. Hyperbola y = k je pak posunuta s novým středem souměrnsti x o souřadnicích [m, n], její asymptoty jsou stále rovnoběžné se souřadnými osami. Příklad 3.4.: Nakreslete graf funkce y = x + 5 x + 1. Řešení: Definiční obor funkce D(f) = R \ { 1}. Ve funkčním předpisu provedeme dělení polynomu polynomem (viz Příklad.) a obdržíme y = x + 5 x + 1 = + 3 x + 1. Jedná se proto o hyperbolu y = 3, kterou jsmne posunuli do vrcholu o souřadnicích [ 1, ]. Asymptotami jsou přímky x = 1, y =. Pro lepší představu grafu x funkce můžeme navíc vypočítat průsečíky grafu funkce se souřadnými osami. Pro 11
Obr. 8. Nepřímá úměrnost y = k x : y = 1 x, y = 3 x, y = 1 x. x = 0, obdržíme z funkčního předpisu y = 5. Pro y = 0 vyřešíme rovnici x + 5 x + 1 = 0 a získáme x = 5. Řešení podobného typu rovnic probereme podrobněji v následující kapitole 4 Rovnice a nerovnice. Graf si můžeme prohlédnout na Obr. 9. Příklady k procvičení: Nakreslete grafy funkcí: 1. y = 4x + 1 [přímka s průsečíky [ 1 4, 0], [0, 1]]. y = x + 4 [přímka s průsečíky [, 0], [0, 4]] 3. y = x x + 1 [konvexní parabola s vrcholem v [1, 0] a průsečíkem [0, 1]] 4. y = x + 5x [konvexní parabola s vrcholem v [ 5, ] 5 4 a průsečíky [0, 0], [ 5, 0]] 5. y = 4x 9 [konvexní parabola s vrcholem v [0, 9] a průsečíky [ 3, 0], [ 3, 0]] 1
Obr. 9. Graf funkce y = x + 5 x + 1. 6. y = x + x + 3 [konkávní parabola s vrcholem v [1, 4] a průsečíky [3, 0], [ 1, 0], [0, 3]] 7. y = x + 1 x + 3 8. y = x + 1 4 x 4 Rovnice a nerovnice 4.1 Lineární rovnice [hyperbola se středem v [ 3, 1] a průsečíky [ 1, 0], [0, 1 3 ]] [hyperbola se středem v [4, ] a průsečíky [ 1, 0], [0, 1 4 ]] Lineární rovnice je rovnice ve tvaru ax + b = 0, a, b R, přičemž předpokládáme a 0. Lineární rovnice má právě jedno řešení x = b. Nejčastěji ji a získáme ze složitějšího zadání ekvivalentními úpravami o nichž víme, že nemění řešení rovnice. Patří k nim přičtení, resp. odečtení stejného výrazu k oběma stranám rovnice, vynásobení, resp. dělení obou stran rovnice stejným výrazem. U dělení je nutné, abychom dělili výrazem různým od nuly. Příklad 4.1.: Vyřešte rovnici: x x 4 3 = 7 x 3x 6. 13
Řešení: Rovnici řešíme za podmínek x 4 0, resp. 3x 6 0, čemuž odpovídá jediná podmínka řešení rovnice x. Při samotném řešení rovnice nejprve odstraníme zlomky. Výrazy ve jmenovatelích rozložíme x (x ) 3 = 7 x 3(x ). Společným jmenovatelem všech zlomků je výraz 6(x ), kterým rovnici vynásobíme, čímž se zbavíme zlomků. Obdržíme 3x 4(x ) = (7 x). Roznásobíme, posčítáme a dopočítáme rovnici 3x 4x + 8 = 14 4x, 3x = 6, x =. Hodnota x = však nevyhovuje podmínce řešení a úloha tedy v množině reálných čísel řešení nemá. 4. Soustava lineárních rovnic Soustava dvou lineárních rovnic o dvou neznámých je soustava ve tvaru a 1 x + b 1 y = c 1 a x + b y = c kde koeficienty a 1, a, b 1, b, c 1, c R. Řešením soustavy rovnic je každá uspořádaná dvojice reálných čísel [x, y], která vyhovuje oběma rovnicím soustavy. Soustavu nejčastěji řešíme metodou dosazovací. Z jedné rovnice vyjádříme jednu neznámou a dosadíme ji do rovnice druhé, která se vyřeší. Získaný výsledek pak dosadíme zpět do první rovnice a dopočteme. metodou sčítací. Rovnice vynásobíme vhodnými čísly tak, aby se po sečtení (odečtení) rovnic jedna neznámá vyloučila a získaná rovnice pak obsahuje pouze jednu neznámou, kterou vypočteme. Výsledek pak dosadíme do kterékoli z rovnic a dopočítáme druhou neznámou. Příklad 4..: Vyřešte soustavu rovnic: 3x + y = 1 x y = 4 14
Řešení: Ukážeme si postupně obě metody. Začneme metodou dosazovací. Vyjádříme jednu neznámou. Například, z druhé rovnice se bude dobře vyjadřovat neznámá y, kde ihned získáme y = x 4, což dosadíme do první rovnice a vypočteme neznámou x 3x + (x 4) = 1, 7x = 7, x = 1. Dosadímme do výrazu pro neznámou y a dopočítáme y = x 4 =. Řešením je tedy dvojice neznámých x = 1, y =. Při sčítací metodě zvolíme vhodné koeficienty tak, aby se při následném sčítání rovnic jedna neznámá vyloučila. V našem případě stačí například druhou rovnici násobit dvěma, zatímco první rovnici necháme beze změny. Obdržíme 3x + y = 1 4x y = 8. Nyní rovnice sečteme, neznámá y se odečte a dopočítáme 7x = 7 x = 1. Tuto hodnotu můžeme dosadit do kterékoli z obou zadaných rovnic a vypočteme y =. Obdrželi jsme samozřejmě totožné řešení soustavy jako u metody dosazovací. 4.3 Kvadratická rovnice Kvadratická rovnice má tvar ax + bx + c = 0, a, b, c R, přičemž předpokládáme a 0. Obecné řešení kvadratické rovnice je ve tvaru x 1, = b ± b 4ac. a Výraz pod odmocninou D = b 4ac nazýváme diskriminantem kvadratické rovnice. Diskriminant určuje počet řešení kvadratické rovnice. 15
Pro D > 0 má rovnice dva různé reálné kořeny x 1,. Pokud je D = 0, má rovnice jeden, tzv. dvojnásobný kořen x 1 = x. Je-li D < 0, rovnice nemá reálné řešení. Lze ji vyřešit v komplexním oboru, kde jsou řešením dvě komplexně sdružená čísla. Přestože kvadratickou rovnici lze vždy vyřešit pomocí diskriminantu, je často výhodnější a efektivnější ji vyřešit jiným způsobem. Například už jsme si ukazovali v příkladu.1 (kapitola. Mnohočleny), jak lze při vhodných celočíselných koeficientech rovnici vyřešit pomocí Vietových vzorů rozkladem na kořenové činitele. Možností je však více. Vše probereme v následujících řešených příkladech. Nejprve si však ukážeme, jak se pracuje s diskriminantem. Příklad 4.3.: Vypočtěte rovnici x + 4x 30 = 0. Řešení: Před dosazením do vzorce pro řešení kvadratické rovnice, resp. diskriminantu rovnici podělíme dvěma. S menšími čísly se bude určitě lépe pracovat. Vypočteme diskriminant x + x 15 = 0. D = b 4ac = 4 1 ( 15) = 64, který je kladný a rovnice má proto dva různé reálné kořeny x 1, = b ± D a = ± 64 = ± 8. Odtud pak získáme oba kořeny x 1 = 3, x = 5. Nyní zkusíme rovnici vyřešit rozkladem polynomu x + x 15 na kořenové činitele pomocí Vietových vzorců. Koeficient 15 lze rozložit na součin celočíselných dvojic {5, 3}, resp. { 5, 3}, nebo {15, 1}, resp. { 15, 1}. Součet kořenů musí odpovídat koeficientu. Správná možnost je tedy {5, 3} a rozklad polynomu a následné řešení rovnice vypadá takto x + x 15 = 0 (x + 5)(x 3) = 0. Odtud okamžitě získáváme řešení rovnice x 1 = 3, x = 5. Tento postup však funguje pouze při vhodných koeficientech a, b, c. Obecně můžeme při řešení kvadratické rovnice získat iracionální čísla (odmocniny), se kterými se nebude Vietovými vzorci dobře pracovat, nebo rovnice nemusí být vůbec v reálném oboru řešitelná, nebot má záporný diskriminant. 16
V případech, kdy kvadratická rovnice neobsahuje všechny koeficienty, lze rovnici vždy řešit jednoduššími způsoby. Příklad 4.4.: Vypočtěte rovnici x 4 = 0. Řešení: V tomto případě lze bud převést každý člen rovnice na jednu stranu a odmocnit x = 4, x =, x 1, = ±. Druhou možností je rozložit výraz na levé straně rovnice pomocí vzorce pro rozklad a b = (a b)(a + b) x 4 = 0, (x )(x + ) = 0, odkud ihned získáváme oba kořeny x 1, = ±. Příklad 4.5.: Vypočtěte rovnici x + 9 = 0. Řešení: Tato rovnice na první pohled nemá žádné řešení v reálném oboru. Výraz x je větší nebo roven nule pro každé x R. Po přičtení devítky je levá strana vždy kladná a nule se proto nikdy rovnat nebude. Pokud bychom každý člen převedli na jednu stranu rovnice, získáme rovnici x = 9, která opět nemůže mít z analogického důvodu reálné řešení. Výraz x + 9 ani nerozložíme, protože vzorec pro rozklad a +b neexistuje. O neexistenci reálného řešení se můžete také přesvědčit výpočtem diskriminantu D = b 4ac = 0 4 1 9 = 36. Příklad 4.6.: Vypočtěte rovnici x 3x = 0. Řešení: I zde je řešení velice jednoduché. Na levé straně rovnice stačí vytknout neznámou x x 3x = 0, x(x 3) = 0 a ihned získáváme řešení rovnice. x 1 = 0, x = 3. 17
Na závěr si ukážeme řešení kvadratické rovnice v komplexním oboru. Nebudeme zde nijak hlouběji zabíhat do práce s komplexními čísly. Připomeňme si pouze, že při výpočtu využijeme definici komplexní jednotky i = 1. Příklad 4.7.: Vypočtěte rovnici x + x + 5 = 0. Řešení: Koeficient 5 nabízí pouze rozklad na součin dvojice celých čísel {5, 1}, resp. { 5, 1}. Ani v jednom případě však nevytvoříme jako součet kořenů koeficient. Nezbývá nám než použít diskriminant. D = b 4ac = 4 1 5 = 16. Diskriminant je záporný, tj. rovnice nemá v reálném oboru řešení, přesto můžeme použít vzorec pro řešení kvadratické rovnice. Záporné znaménko pod odmocninou nahradíme definicí komplexní jednotky a dopočítáme x 1, = b ± D a = ± 16 = ± 16i = ± 4i = 1 ± i. Řešením v komplexním oboru je vždy tzv. dvojice komplexně sdružených čísel - mají stejnou reálnou a opačnou komplexní složku. 4.4 Rovnice s absolutní hodnotou Nejprve si připomeneme, jak je definována absolutní hodnota reálného čísla. Absolutní hodnotu definujeme jako vzdálenost čísla od nuly na číselné ose. Proto platí: { x pro x 0, x = x pro x < 0. Absolutní hodnota výrazu, který je kladný (případně rovný nule), je tedy přímo rovna tomuto výrazu. Absolutní hodnota výrazu, který je záporný, změní jeho znaménko na opačné. Při řešení rovnice s absolutní hodnotou, rozdělíme celý obor, na němž je rovnice definována, na dílčí intervaly, v nichž výrazy uvnitř absolutních hodnot nemění znaménka. Rovnici pak řešíme zvlášt na každém z těchto dílčích intervalů, přičemž absolutní hodnoty odstraníme podle definice. Výrazy, které jsou kladné, ponecháme beze změny. U záporných výrazů změníme znaménko. Příklad 4.8.: Vypočtěte rovnici x 4 + x = 6. Řešení: Nejprve určíme nulové body výrazů uvnitř absolutních hodnot, což jsou jediné hodnoty, kde tyto výrazy mohou měnit znaménka. Získáme hodnoty x = 4 a x = 0. Množinu reálných čísel rozdělíme na intervaly x (, 0), x 0, 4 a x (4, ). Rovnici pak řešíme na každém intervalu zvlášt. Nezáleží na tom, 18
do kterého z intervalů dáme nulové body, ale je nutné je aspoň do jednoho intervalu zahrnout, abychom neomezili obor, na němž rovici řešíme. Nyní zjistíme znaménka výrazů uvnitř absolutních hodnot na jednotlivých intervalech. Bud si jednoduše načrtneme grafy obou funkcí y = x, resp. y = x 4 (v obou případech se jedná o lineární funkce s koeficientem a > 0, jejich grafy jsou rostoucí přímky, proto jsou vlevo od svého nulového bodu vždy záporné a vpravo kladné) nebo si uvnitř každého intervalu vybereme jednu hodnotu, dosadíme do výrazu x, resp. x 4, a určíme jeho znaménko. Znaménka výrazů na jednotlivých intervalech vidíme v následující tabulce. x (, 0) 0, 4 (4, ) x 4 - - + x - + + Nyní budeme řešit rovnici a to zvlášt na každém intervalu. 1. Pro x (, 0). Na tomto intervalu jsou oba výrazy záporné, takže při odstranění absolutních hodnot oba výrazy změní znaménko na opačné. Zadaná rovnice přejde na rovnici (x 4) x = 6 x = x = 1 Je třeba ještě ověřit, zda získané řešení patří do intervalu, na kterém rovnici řešíme. Získaná hodnota x = 1 náleží do intervalu (, 0) a máme tedy první řešení zadané rovnice.. Pro x 0, 4. Na tomto intervalu je výraz x 0 a jeho absolutní hodnotu proto odstraníme beze změny, zatímco výraz x 4 0 a proto u něj změníme znaménko na opačné. Dostaneme rovnici (x 4) + x = 6 4 = 6 Získali jsme rovnici, která nemá žádné řešení. 3. Pro x (4, ). Na tomto intervalu jsou oba výrazy kladné a absolutní hodnoty proto od- 19
straníme beze změn. Získáme rovnici x 4 + x = 6 x = 10 x = 5 Tato hodnota leží v intervalu (4, ) a proto i ona je řešením zadané rovnice. Zadaná rovnice má tedy dvě řešení x 1 = 1, x = 5. 4.5 Iracionální rovnice Iracionální rovnicí nazýváme rovnici, kde se neznámá vyskytuje pod odmocninou. Odmocniny odstraníme tak, že umocníme obě strany rovnice. Pokud je v rovnici jen jedna odmocnina, osamostatníme ji a rovnici umocníme. Pokud je v rovnici odmocnin více, je nutné umocňování opakovat. Je nutné si však uvědomit, že umocnění není ekvivalentní úprava. Pouhé ověření podmínek řešitelnosti nestačí a nutnou součástí řešení je zkouška. Příklad 4.9.: Vypočtěte rovnici x + x 9 = 1. Řešení: Rovnici není vhodné umocnit v tomto tvaru. Výraz na levé straně rovnice je nutné umocnit podle vzorce (a+b) = a +ab+b a odmocnina pak v rovnici zůstane i po umocnění. Proto nejprve osamostatníme odmocninu. x 9 = 1 x. Nyní rovnici umocníme, čímž odstraníme odmocninu, a obdržíme x 9 = 441 4x + x 4x = 450 x = 75 7 Umocnění není ekvivalentní úprava a rozšiřuje množinu řešení rovnice. Proto je nutné provést zkoušku a ověřit, zda je získaný kořen skutečným řešením rovnice. ( ) (75 75 L = 75 ) 7 7 + 9 = 75 565 7 7 + 49 9 = 75 5184 7 + 49 = = 75 7 + 7 7 = 147 7 = 1, což odpovídá pravé straně rovnice a zkouškou jsme tedy ověřili správnost kořene. 0
Pro bližší pochopení problému si nyní projdeme následující příklad. Příklad 4.10.: Vypočtěte rovnici 1 + x 9 = x. Řešení: Rovnice je velice podobná té z Příkladu 4.9. Kroky řešení jsou proto analogické. Osamostatníme odmocninu x 9 = x 1. Všimněte si, že v předchozím příkladu je v této situaci levá strana úplně totožná, zatímco pravá má opačná znaménka. Nyní provedeme umocnění a získáme x 9 = x 4x + 441. Nyní je rovnice totožná a stejnými kroky jako v Příkladu 4.9. tedy obdržíme výsledek x = 75. Podívejme se nyní na zkoušku. 7 ( ) (75 ) 75 565 5184 L = 1 + 9 = 1 + 7 7 49 9 = 1 + 49 = což neodpovídá pravé straně = 1 + 7 7 = 19 7, P ( ) 75 = 75 7 7 a rovnice tedy nemá řešení. Na těchto dvou příkladech je pěkně vidět, že umocnění není ekvivalentní operace. Co si pod touto větou můžeme představit? Pokud je levá a pravá strana sobě rovna, platí rovnost i po umocnění. Pokud jsou výrazy právě opačné, umocněním se tento rozdíl setře a množinu řešení umocněním rozšíříme. Nepomůže ani stanovení podmínek rovnice. V obou příkladech je podmínkou x 9 0 x 3 což kořen x = 75 vždy splňuje. Proto musíme vždy udělat zkoušku, která je 7 nezbytnou součástí řešení iracionální rovnice. 1
4.6 Nerovnice Řešení nerovnic je často podobné jako při řešení rovnic adekvántího typu. Některé věci jsou však rozdílné, a na ty se nyní zaměříme. Při řešení se opět používají ekvivalentní úpravy, které jsme si zavedli u rovnic, s tím rozdílem, že násobení, případně dělení, obou stran rovnice záporným číslem či výrazem mění znak nerovnosti na opačný. Řešením nerovnice bývá interval nebo sjednocení jednotlivých intervalů. Příklad 4.11.: Vypočtěte nerovnici (x + 3) 10 < 6(x ). Řešení: Nerovnici upravíme, členy obsahující neznámou převedeme na jednu stranu nerovnice, konstanty na druhou. 4x + 6 10 < 6x 1 x < 8 Nyní rovnici dělíme minus dvěma, tj. záporným číslem, obrátíme nerovnost a získáme x > 4. Řešením jsou všechna x (4, ). Příklad 4.1.: Vypočtěte nerovnici 4 7x 6 x. Řešení: Nerovnici řešíme pro všechna x 6. Standardní chyba, které se u řešení nerovnice v podílovém tvaru můžeme dopustit, je vynásobení nerovnice jmenovatelem, tj. výrazem 6 x. U analogické rovnice bychom to ale udělat mohli. Proč lze takový krok udělat u rovnice a u nerovnice ne? Je nutné si uvědomit, že výraz 6 x je záporný pro x > 6 a kladný pro x < 6. Při vynásobení tímto výrazem by tedy bylo nutné rozdělit postup na dvě řešení s intervaly, podobně jako u nerovnice s absolutní hodnotou, a správně pracovat se znaménkem nerovnosti. Lze však postupovat i jinak a jednodušeji. Nejprve převedeme všechny členy na jednu stranu nerovnice, kterou pak upravíme na společný jmenovatel. 4 7x 6 x 0 4 7x (6 x) 0 6 x 5x 8 6 x 0 A nyní si odpovězme na otázku, kdy je podíl dvou výrazů záporný. Podíl je záporný tehdy, když mají výrazy v čitateli a jmenovateli rozdílná znaménka. Určíme si proto nulové body čitatele a jmenovatele, tj. jediné hodnoty, kdy tyto výrazy
mohou měnit znaménko. Získáme x = 8, x = 6. Těmito hodnotami rozdělíme ( 5 reálnou osu na tři intervaly x, 8, x 85 ) 5, 6, x (6, ), kde zkoumaný zlomek nemění znaménko. Neznámá x 6, proto tato hodnota nepatří do žádného intervalu. Nyní stačí určit znaménka čitatele a jmenovatele na jednotlivých intervalech, podobně jako jsme to dělali u rovnic s absolutních hodnotu. Bud dosadíme do každého výrazu nějakou hodnotu z vnitřku příslušného intervalu nebo určíme znaménka pomocí znalosti grafu příslušných funkcí. Funkce y = 5x 8 je lineární funkce, grafem je klesající přímka, tj. pro x < 8 5 je kladná, pro x > 8 záporná. Grafem funkce y = 6 x je také klesající přímka 5 procházející nulovým bodem x = 6, tj. pro x < 6 je kladná, pro x > 6 záporná. Podíl obou výrazů je kladný, pokud mají stejná znaménka, naopak záporný, pokud mají znaménka opačná. Znaménka dílčích výrazů i zkoumaného zlomku na jednotlivých intervalech najdeme ( přehledně v následující tabulce. x, 8 85 ) 5, 6 (6, ) 5x 8 + - - 6 x + + - 5x 8 6 x + - + Zkoumaný podíl je menší nebo roven nule pro všechna x řešení dané nerovnice. 85, 6 ), což je Podobně řešíme jakékoli rovnice v součinovém a podílovém tvaru. Vždy zkoumáme, zda je příslušný výraz kladný, či záporný. Příklad 4.13.: Vypočtěte nerovnici x 7x + 1 > 0. Řešení: Kvadratickou nerovnici lze řešit jednoduše pomocí znalosti grafu kvadratické funkce. Vypočteme kořeny kvadratické rovnice, at už pomocí diskriminantu nebo Vietovými vzorci. V obou případech získáme kořeny x 1 = 3, x = 4. Nyní stačí načrtnout graf kvadratické funkce y = x 7x + 1, která musí procházet těmito dvěma průsečíky a je konvexní, viz Obr. 10, ze kterého je zřejmé, že funkce je kladná a tedy nerovnice má řešení pro x (, 3) (4, ). Druhou možností řešení nerovnice x 7x + 1 > 0 je rozklad na kořenové činitele (x 3)(x 4) > 0. a řešení nerovnice v součinovém tvaru, kterou řešíme postupem použitým v před- 3
Obr. 10. Průběh funkce y = x 7x + 1. chozím Příkladu 4.1. (rozhodně doporučuji si tento postup propočítat). Obdržíme samozřejmě stejné řešení. Příklad 4.14.: Vypočtěte nerovnici 9 x 0. Řešení: Rovnici lze řešit postupy již předvedenými v Příkladech 4.1., resp. 4.13. - bud rozkladem výrazu na levé straně nerovnice na součin (3 x)(3 + x) a následným výpočtem nerovnice v součinovém tvaru, a nebo výpočtem kořenů kvadratické rovnice a následným náčrtem průběhu kvadratické funkce y = 9 x. Opět doporučuji si oba postupy samostatně projít. Nabízí se však i třetí možnost, kterou jsme ještě neukazovali. Převedeme-li zadanou nerovnici na tvar a odmocníme, obdržíme 9 x 3 x. Je nutné si uvědomit, že platí x = x, nebot umocněním kladného čísla a opětovným odmocněním dostaneme tutéž hodnotu, zatímco u záporného čísla se změní znaménko na opačné. Připomeňme si, že absolutní hodnota výrazu je definována jako jeho vzdálenost od nuly na číselné ose. Tudíž hledáme takové hodnoty neznámé x, jejichž vzdálenost na číselné ose je menší nebo rovna 3. Správným řešením jsou tedy x 3, 3. K tomuto výsledku samozřejmě dospějeme i oběma postupy naznačenými v úvodu tohoto příkladu. Příklad 4.15.: Vypočtěte nerovnici x x + 1 > 0. Řešení: Zkusme se opět podívat nejprve na příslušnou kvadratickou rovnici x x + 1 = 0 a nalézt její řešení. Kvadratický trojčlen nelze šikovně rozložit a proto vypočteme diskriminant. D = b 4ac = ( 1) 4 1 1 = 3. 4
Diskriminant je záporný, proto kvadratická rovnice nemá reálná řešení. Funkce tedy nemá průsečíky s osou x. Koeficient a > 0, parabola je konvexní. Z uvedených skutečností plyne, že parabola leží celá nad osou x a funkce je tedy vždy kladná. Řešením jsou proto všechna reálná čísla x R. Příklady k procvičení: Vypočtěte rovnice a nerovnice: 1.. x x 8 4 x = 1 [ 3] y + 4 y + 7y 8 8 y y = y y + 4 3. x 7 + 4x = x 5 [nemá řešení] [ ] 5 4. y + 3 y = 5 [(, 3 ] 5. y + 1 3 y < y [(, 1)] 6. 3 + x 1 = x [5] 7. 4x [ 8x + 5 = x + 1 1 ] 8. 9. 10. 11. x + 1 x 1 x 1 x + 1 = 3 3 x x 5 0 x 5 x + 3 < 3 x + 6x + 8 x 5x 6 0 [ ] 5 3 [ 3, 5 )] [(, 7) ( 3, )] [(, 4, 1) (6, )] 5 Exponenciální funkce, exponenciální rovnice Exponenciální funkcí nazýváme funkci ve tvaru f : y = a x, kde a je reálná konstanta, přičemž a > 0, a 1. Definičním oborem D f = R. Oborem hodnot jsou všechna kladná čísla, tj. H f = (0, ), nebot vždy platí a x > 0. Grafem je exponenciální křivka, která vždy prochází bodem [0, 1], protože pro libovolné a 0 platí a 0 = 1. Pro a > 1 je funkce rostoucí, zatímco pro 0 < a < 1 je funkce 5
klesající. ( Osa ) x je asymptotou každé exponenciální funkce. Grafy funkcí y = a x x 1 a y = jsou vzájemně osově souměrné podle osy y, nebot platí a ( ) x 1 = a x. a Vše si můžeme prohlédnout na Obr. 11. Obr. 11. Exponenciální funkce y = a x : a) y = x, b) y = ( 1 )x = x, c) y = 10 x. Zvláštní význam má přirozená exponenciální funkce y = e x, kdy je základem Eulerovo číslo e =, 718.... Exponenciální rovnice je rovnice s neznámou v exponentu. Při řešení používáme vztahy pro práci s mocninami (viz kapitola.1 Mocniny a odmocniny). Snažíme se upravit obě strany rovnice tak, aby obsahovaly stejný základ, případně rovnici logaritmujeme. Ojediněle provedeme substituci za exponenciální výraz y = a x. Příklad 5.1.: Vyřešte rovnici 3 3 7 x 3 = 81 3x 5. Řešení: Všechny členy převedeme na stejný základ 3 a upravíme. 3 3 (3 3 ) x 3 = (3 4 ) 3x 5 3 3+3(x 3) = 3 4(3x 5) 3 6x 6 = 3 1x 0 6
Podaří-li se nám rovnici upravit do tvaru, kdy na obou stranách rovnice je pouze jeden exponenciální člen se stejným základem, můžeme porovnat exponenty a dopočítat neznámou. 6x 6 = 1x 0 6x = 14 x = 7 3 Příklad 5..: Vyřešte rovnici x + 5 x+ 10 = 30 + 3 x+1. Řešení: Nejprve převedeme všechny členy obsahující x na jednu stranu rovnice a ostatní členy na druhou stranu. x + 5 x+ 3 x+1 = 40. Neznámá se nyní vyskytuje v rovnici pouze v každém členu na levé straně v mocnině x. Proto tento výraz z levé strany rovnice vytkneme, rovnici upravíme a získanou hodnotu na pravé straně zapíšeme jako mocninu dvou, abychom opět pracovali se stejným základem. x (1 + 5 3 1 ) = 40 x 15 = 40 x = 16 x = 4 x = 4 Příklad 5.3.: Vyřešte rovnici 3 x + 3 3 x = 4. Řešení: Zde už nejsme schopni převést obě strany na stejný základ. Stačí si však všimnout, že lze rovnici přepsat do tvaru (3 x ) + 3 3 x 4 = 0. Zde šikovně zavedeme substituci y = 3 x a dostaneme kvadratickou rovnici y + 3y 4 = 0. Tu vyřešíme například rozkladem a získáme kořeny (y + 4)(y 1) = 0, 7
y 1 = 4, y = 1. Nyní se vrátíme k substituci a dopočítáme neznámou x. Obdržíme dvě krátké exponenciální rovnice 3 x = 4, resp. 3 x = 1. První z nich nemá řešení, nebot víme, že pro libovolné x je výraz 3 x > 0 a tedy 3 x 4. Druhou dopočítáme podobně jako v předchozích příkladech. 3 x = 3 0, x = 0. Příklad 5.4.: Vyřešte rovnici 3 x = 16. Řešení: Zde už nejsme schopni převést obě strany na stejný základ. Rovnici řešíme logaritmováním při základu 3. Obdržíme log 3 3 x = log 3 16. Na levé straně použijeme vztah log a x n = n log a x a získáme Platí log 3 3 = 1, nebot 3 1 = 3. Odtud x log 3 3 = log 3 16. x = log 3 16. Přibližnou číselnou hodnotu řešení lze získat na kalkulačce. Pokud vaše kalkulačka neumí logaritmy při libovolném základu, lze využít vzorce log a x = log x log a = ln x ln a a spočítat tento logaritmus pomocí dekadického nebo přirozeného logaritmu, který již na kalkulačce určitě najdete. Příklady k procvičení: Vypočtěte rovnice: 1. 5 3x = 1 [ ] 3 Pokud si logaritmování již nepamatujete, prostudujte si nejprve následující kapitolu Logaritmická funkce, logaritmická rovnice. 8
. 4 1 x 1+x = 3 4 [ ] 1 3. x 1 + x + x 3 = 448 [9] 4. 4 x 6 4 x + 8 = 0 [ ] 1, 1 6 Logaritmická funkce, logaritmická rovnice Logaritmem kladného čísla x při základu a (a > 0, a 1) nazýváme takové reálné číslo, kterým umocníme základ a, abychom získali logaritmované číslo x log a x = y a y = x. Nejčastěji pracujeme s dekadickým logaritmem (označujeme log x), kdy je základem a = 10 a logaritmem přirozeným (označujeme ln x), kdy je základem Eulerovo číslo a = e =, 718.... Při práci s logaritmy používáme následující vztahy: 1. log a 1 = 0, nebot a 0 = 1,. log a a = 1, nebot a 1 = a, 3. log a x + log a y = log a xy, x, y > 0, x 4. log a x log a y = log a, x, y > 0, y 5. log a x n = n log a x, x > 0, n R. Logaritmickou funkcí nazýváme funkci ve tvaru y = log a x, kde a > 0, a 1. Definiční obor D f = (0, ). Grafy funkcí y = a x a y = log a x při stejném základu jsou souměrné podle osy prvního a třetího kvadrantu, viz Obr. 1. Všechny grafy logaritmických funkcí procházejí bodem [1, 0], nebot log a 1 = 0. Je-li základ a > 1, je funkce rostoucí. Při základu 0 < a < 1 je funkce klesající. Vše je patrné na Obr. 13. Logaritmická rovnice obsahuje neznámou v argumentu logaritmu. Řešení logaritmických rovnic si ukážeme na následujících příkladech. Příklad 6.1.: Vyřešte rovnici log x =. Řešení: Nejprve stanovíme podmínky řešení logaritmické rovnice. Každý logaritmus je definován pouze pro kladné hodnoty svého argumentu, tj. v tomto případě 9
Obr. 1. Grafy exponenciální a logaritmické funkce při stejném základu. y = e x, y = ln x x > 0. Rovnici řešíme pomocí definice logaritmu. Jedná se o dekadický logaritmus, tj. základ logaritmu a = 10. log x = x = 10 x = 100 Příklad 6..: Vyřešte rovnici log(x + ) log(x 1) = log 4. Řešení: Nejprve stanovíme podmínky řešení rovnice. Výrazy uvnitř logaritmů musí být kladné, z čehož plyne x >, resp. x > 1. Stačí pracovat pouze s podmínkou x > 1, která pokrývá definiční obor obou logaritmů na levé straně rovnice. Číslo na pravé straně rovnice napíšeme ve tvaru logaritmu = log 10 = log 100 a rovnici řešíme na základě pravidel pro počítání s logaritmy. log(x + ) log(x 1) = log 100 log 4 log x + 100 = log x 1 4 30
Obr. 13. Grafy logaritmické funkce. y = log x, y = ln x, y = log 1/ x Nyní můžeme rovnici odlogaritmovat a pracovat pouze s argumenty x + x 1 = 5 x + = 5x 5 4x = 7 x = 9 8 Na závěr ověříme, že získaný kořen splňuje podmínky řešení rovnice. Hodnota řešení x = 9 splňuje podmínku x > 1, získaný výsledek je proto řešením zadané 8 rovnice. Příklad 6.3.: Vyřešte rovnici log (x + 14) + log (x + ) = 6. Řešení: Stanovíme podmínky řešení rovnice x > 14, x >. Stačí pracovat s podmínkou x >, která pokrývá obě dvě podmínky. Po úpravě levé strany rovnice obdržíme log (x + 14)(x + ) = 6. Využijeme definici logaritmu a vyřešíme získanou kvadratickou rovnici (x + 14)(x + ) = 6 x + 16x + 8 = 64 x + 16x 36 = 0 (x + 18)(x ) = 0 31
x 1 = 18, x =. Kořen x 1 = 18 neodpovídá podmínce řešení rovnice x >.. Druhý kořen x = podmínku splňuje. Rovnice má tedy pouze jedno řešení x =. Příklady k procvičení: Vypočtěte rovnice: 1. log(x ) log(14 x) = 0 [5]. ln(x 1) ln(x 3) = 0 [5] [ ] log x 9 3. log(4x 15) = 4. log(x + 3) log[4(x + 1) ] = 0 [ 53 ], 1 7 Goniometrické funkce, goniometrické rovnice 7.1 Goniometrické funkce ( Goniometrické funkce ostrého úhlu, tj. α 0, π ), známe již ze základní školy jako poměry stran v pravoúhlém trojúhelníku. Obr. 14. Goniometrické funkce ostrého úhlu. Předpokládáme-li pravoúhlý trojúhelník s odvěsnami a, b a přeponou c (viz Obr. 3
14), definujeme sin α = a c, cos α = b c, tan α = a b, cot α = b a. Při práci s goniometrickými funkcemi jste možná zvyklí pracovat ve stupňové míře. Goniometrické funkce jsou však obecně definovány na reálných číslech (resp. funkce tangens a kotangens na podmožinách reálných čísel). Nikde není řeč o stupních. Je nutné pracovat v tzv. obloukové míře. Jednotkou obloukové míry je jeden radián (značka rad). Celé kružnici, tj. 360 ve stupňové míře, odpovídá délka oblouku na jednotkové kružnici, což je π, nebot obvod kružnice je obecně πr a poloměr jednotkové kružnice r = 1. Odtud tedy platí převodní vztah mezi radiány a stupni x α = π 360 = π 180, kde x je hodnota úhlu v radiánech a α je hodnota téhož úhlu ve stupních. V následující tabulce jsou uvedeny hodnoty některých významných úhlů v míře obloukové i stupňové. α 0 30 45 60 90 180 70 360 π π π π 3 x 0 π 6 4 3 π π Pro obecný úhel definujeme goniometrické funkce pomocí jednotkové kružnice. V kartézské soustavě souřadnic sestrojíme kružnici se středem v počátku souřadnic a poloměrem 1. Každému orientovanému úhlu α 0, π) odpovídá právě jeden bod A ležící na jednotkové kružnici (viz Obr. 15). V souladu s již zavedenými goniometrickými funkcemi na ostrém úhlu nyní rozšíříme definici pro obecné úhly. Hodnota cos α je rovna x ové souřadnici bodu A, zatímco sin α jeho y ové souřadnici, nebot přepona trojúhelníku na obrázku je rovna 1 (kružnice je jednotková). Zvětšíme-li (nebo zmenšíme-li) úhel α o hodnotu π, tj. opíšeme-li celou kružnici, jsme opět ve stejném bodě A a jeho souřadnice a tedy i příslušné hodnoty goniometrických funkcí jsou stejné. Funkce y = sin x a y = cos x jsou proto periodické s periodou π. Platí sin x = sin(x + kπ), cos x = cos(x + kπ), kde k je libovolné celé číslo. Definiční obory obou funkcí D f = R, obory hodnot H f = 1, 1. Funkce y = sin x je lichá (středově souměrná podle počátku 33
Obr. 15. Jednotková kružnice. souřadnic), zatímco funkce y = cos x je sudá (osově souměrná podle osy y). Platí sin( x) = sin x, cos( x) = cos x. Grafy obou funkcí si můžeme prohlédnout na Obr. 16, resp. 17. Jedná se o tytéž křivky posunuté vůči sobě o hodnotu π. Funkce y = tan x a y = cot x jsou definovány jako podíly funkcí sin x a cos x. tan α = sin α cos α, cos α cot α = sin α. Funkce y = tan x není definována pro hodnoty, kdy je cos x = 0. Tomu odpovídají liché násobky π {, tj. D f = R \ (k + 1) π }, k Z. Podobně funkce y = cot x není definována pro hodnoty, kdy je sin x = 0, čemuž odpovídají celé násobky π. D f = R \ {kπ}, k Z. Obory hodnot obou funkcí H f = R. Funkce jsou periodické s periodou π. Odtud plyne tan x = tan(x + kπ), cot x = cot(x + kπ). Obě funkce jsou liché (středově souměrné podle počátkou souřadnic). Tedy tan( x) = tan x, cot( x) = cot x. 34
Obr. 16. Graf funkce y = sin x Obr. 17. Graf funkce y = cos x Vše si opět můžeme prohlédnout na grafech obou funkcí, viz Obr. 18, 19. Vzhledem k symetrické povaze grafů všech funkcí, stačí často goniometrické rovnice řešit pouze na prvním kvadrantu. Další řešení určíme jednoduše z grafu příslušné goniometrické funkce nebo pomocí jednotkové kružnice. Znaménka goniometrických funkcí v jednotlivých kvadrantech uvádí přehledně následující tabulka. ( x 0, π ) ( π ) (, π π, 3 ) ( ) 3 π π, π sin x + + cos x + + tan x + + cot x + + 35
Obr. 18. Graf funkce y = tan x Hodnoty goniometrických funkcí ve významných úhlech na prvním kvadrantu můžeme najít v této tabulce. π π π π x 0 6 4 3 1 3 sin x 0 1 3 1 cos x 1 0 3 tan x 0 1 3 / Df 3 3 cot x / D f 3 1 0 3 Mezi goniometrickými funkcemi platí celá řada různých goniometrických vztahů. Je nutné umět aspoň několik základních. Nejčastěji používaným je vzorec sin x + cos x = 1. Jeho platnost pro libovolné x R plyne přímo z jednotkové kružnice a Pythagorovy věty, viz Obr. 15. Dále budeme často používat vzorce pro funkce dvojnásobného úhlu sin x = sin x cos x, cos x = cos x sin x. 36
Obr. 19. Graf funkce y = cot x Další vztahy, např. pro poloviční úhly, součtové vzorce, apod. není nutné umět zpaměti. V případě potřeby je kdykoli najdete v matematicko-fyzikálních tabulkách nebo na internetu. 7. Goniometrické rovnice Goniometrické rovnice jsou rovnice, kde se neznámá vyskytuje v argumentu goniometrické funkce. Nejprve si připomeneme tzv. základní goniometrickou rovnici, tj. rovnici ve tvaru sin x = a nebo cos x = a, kde a R. Tato rovnice má pro a 1, 1 vždy nekonečně mnoho řešení. Nejprve určíme kořeny na základním intervalu 0, π), at už pomocí grafu funkce, jednotkové kružnice, tabulky hodnot goniometrických funkcí nebo kalkulačky. Je-li a ( 1, 1) má rovnice na základním intervalu vždy dvě řešení x 1,, je-li a = ±1, je řešení právě jedno, ozn. x 1. Protože funkce sin x a cos x jsou periodické s periodou π, lze pak všechna řešení zapsat ve tvaru x = x 1 + kπ, resp. x = x + kπ, kde x 1, jsou řešení na základním intervalu 0, π) a k Z. 37
Příklad 7.1.: Vypočtěte rovnici cos x = 1. Řešení: Z tabulky hodnot goniometrických funkcí vidíme, že v prvním kvadrantu má rovnice řešení x 1 = π. K nalezení druhého řešení na základním intervalu 3 0, π) použijeme nejprve graf funkce y = cos x, viz Obr. 0. Z obrázku je patrné, že x = π x 1 = π π 3 = 5 π. Všechna řešení goniometrické rovnice pak lze 3 Obr. 0. Řešení Příkladu 7.1. pomocí grafu funkce y = cos x zapsat ve tvaru x = x 1 + kπ = π 3 + kπ, x = x + kπ = 5 3 π + kπ. Kořen x na základním intervalu lze získat i z jednotkové kružnice. Stačí si uvědomit, že hodnoty cos α odpovídají x ové souřadnici bodu A na jednotkové kružnici. Souřadnici x = 1 odpovídají dva úhly α 1 = π v prvním kvadrantu a 3 α = π π 3 = 5 3 π ve čtvrtém kvadrantu, viz Obr. 1. Místo úhlu x = 5 3 π lze pracovat i s hodnotou úhlu x = π, který sice neleží v základním intervalu 3 0, π), ale množiny kořenů x = π 3 + kπ a x = 5 π + kπ jsou totožné. 3 Rovnice tan x = a nebo cot x = a, ( řešíme obdobně. Nejprve najdeme řešení x z na základním intervalu π, π ) (u funkce cot x na intervalu (0, π)). Toto řešení je na základním intervalu jen jedno, a to pro libovolné a R. Protože funkce tan x a cot x jsou periodické s 38
Obr. 1. Řešení Příkladu 7.1. pomocí jednotkové kružnice periodou π, lze všechna řešení rovnice zapsat ve tvaru x = x z + kπ, k Z. Příklad 7..: Vypočtěte rovnici tan x = 1. Řešení: Řešení rovnice tan x = 1 vypočteme pomocí tabulky goniometrických funkcí. Této hodnotě odpovídá v prvním kvadrantu úhel x z = π. Využijeme lichosti funkce tangens (tg( x) = tg x) a obdržíme řešení zadané rovnice na 4 základním intervalu. Rovnici tg x = 1 proto musí odpovídat řešení x z = π 4. Nyní využijeme periodicity funkce tangens a obdržíme všechna řešení zadané rovnice x = π 4 + kπ. Goniometrické rovnice, které obsahují různé mocniny jedné goniometrické funkce, řešíme substitucí. Příklad 7.3.: Vyřešte rovnici sin x sin x 1 = 0. Řešení: Zavedeme substituci sin x = t a obdržíme kvadratickou rovnici t t 1 = 0, 39
kterou vyřešíme použitím vzorce pro výpočet kořenů kvadratické rovnice. t 1, = 1 ± 1 4 ( 1) = 1 ± 3 4. Získáme dvě řešení kvadratické rovnice t 1 = 1, t = 1. Nyní se vrátíme k zavedené substituci a kořeny vypočteme postupem obdobným Příkladu 7.1. Kořenu t 1 = 1 odpovídá rovnice sin x = 1, která má řešení x 1 = π + kπ. Řešením rovnice sin x = 1 dostaneme jedno řešení ve třetím kvadrantu x = 7 6 π + kπ a druhé řešení ve čtvrtém kvadrantu x 3 = 11 6 π + kπ. Goniometrické rovnice, které obsahují více goniometrických funkcí nebo rozdílné argumenty, řešíme převedením všech funkcí na jednu goniometrickou funkci téhož argumentu použitím goniometrických vzorců. Příklad 7.4.: Vyřešte rovnici sin x + 3 cos x = 1. Řešení: Využijeme goniometrické identity sin x+cos x = 1, ze které vyjádříme sin x = 1 cos x a dosadíme do zadané rovnice 1 cos x + 3 cos x = 1 cos x 3 cos x = 0 Zde není nutné zavádět substituci. Stačí vytknout cos x a rovnice se rozpadne na dvě základní goniometrické rovnice. cos x(cos x 3) = 0. cos x = 0, cos x = 3. Rovnice cos x = 3 nemá řešení, nebot funkce cos x nabývá hodnot pouze v intervalu 1, 1. Druhou rovnici vyřešíme. cos x = 0 x = π + kπ Příklady k procvičení: Vypočtěte rovnice: 1. tan x = 3 cot x [x = ± π 3 + kπ ] 40
. sin x = sin x [x = kπ, x = ± π 3 + kπ ] 3. sin x cos x + sin x = 0[x = π6 + kπ, x = 56 π + kπ, x = 3 π + kπ ] 4. sin x 3 sin x cos x = 0 [x = kπ, x = π 3 + kπ ] 5. cos x sin x + 1 4 = 0 [ x = π 6 + kπ, x = 5 6 π + kπ ] 8 Analytická geometrie v rovině 8.1 Základní pojmy Principem analytické geometrie je popsat útvary v rovině nebo prostoru pomocí číselných údajů - souřadnic bodů, vektorů a rovnic jednotlivých útvarů. Geometrické úlohy, které jsme zvyklí rýsovat, pak řešíme početně. V předmětu Matematika I se budeme věnovat analytické geometrii v třírozměrném prostoru. Zde budeme pracovat pouze v rovině. Zavedeme si v rovině tzv. kartézskou soustavu souřadnic. Zvolíme si počátek souřadnic a dvě pravoúhlé osy x, y se stejně velkými jednotkami na osách. Libovolný bod v rovině jsme pak schopni popsat jeho souřadnicemi A = [a 1, a ], viz Obr.. Abychom v těchto úlohách byli schopni Obr.. Souřadnice bodu v kartézské soustavě souřadnic počítat metrické vlastnosti objektů, definujeme vzdálenost dvou bodů tak, jak odpovídá našim geometrickým představám s použitím Pythagorovy věty (viz Obr. 41
3). Vzdálenost dvou bodů A = [a 1, a ], B = [b 1, b ] vypočteme pomocí vztahu AB = (b 1 a 1 ) + (b a ). (1) Klíčovým termínem analytické geometrie je pojem vektoru. Ačkoli obecně je Obr. 3. K výpočtu vzdálenosti dvou bodů pojem vektoru složitější, nám vystačí středoškolská představa založená na pojmu orientované úsečky. Orientovanou úsečkou AB je úsečka, jejíž krajní body mají určené pořadí. Bod A nazýváme počáteční bod orientované úsečky, bod B pak koncový bod. Vektorem pak nazýváme všechny orientované úsečky, které mají stejnou délku a směr. Konkrétní orientovanou úsečku AB nazýváme umístěním vektoru. Souřadnice vektoru u = AB = (u 1, u ) vypočteme odečtením souřadnic koncového a počátečního bodu při konkrétním umístění vektoru A = [a 1, a ], B = [b 1, b ], viz Obr. 4. Jedná se vlastně o posunutí ve směru orientované úsečky AB o příslušnou vzdálenost. u 1 = b 1 a 1, u = b a. Je-li počáteční bod roven koncovému bodu A = B, nazýváme vektor nulový a označujeme o a jeho souřadnice o = (0, 0). Velikost vektoru u = (u 1, u ) vypočteme ve shodě se vztahem (1), resp. Pythagorovou větou u = u 1 + u. Dále zavádíme následující operace s vektory. Součet vektorů u = (u 1, u ), v = (v 1, v ) vytvoříme tak, aby odpovídal naší geometrické (viz Obr. 5) i fyzikální 4
Obr. 4. Vektor u = AB = (1, ) představě (např. při výpočtu výslednice sil). u + v = (u 1 + v 1, u + v ). Násobkem vektoru u = (u 1, u ) reálným číslem k je vektor, který má stejný směr a jeho velikost je k násobkem velikosti vektoru u. ku = (ku 1, ku ). Obr. 5. Součet a násobek dvou vektorů Speciálně pak vektor u nazýváme vektorem opačným k vektoru u. Má stej- 43
nou velikost, ale opačný směr. u = ( 1) u = ( u 1, u ). Rozdíl vektorů pak definujeme tak, že k vektoru u přičteme vektor opačný k vektoru v. u v = u + ( v) = (u 1 v 1, u v ). Jeho umístěním na Obr. 6 b) je vektor AE. V rovnoběžníku, jehož strany jsou Obr. 6. a) Opačný vektor. b) Rozdíl dvou vektorů. umístění vektorů u, v, tvoří úhlopříčky umístění jejich součtu u + v a rozdílu u v. Dalším důležitým pojmem je skalární součin dvou vektorů u = (u 1, u ), v = (v 1, v ), který lze vyjádřit ve tvaru u v = u 1 v 1 + u v. Skalární součin úzce souvisí s úhlem mezi vektory, viz Obr. 7. Pro dva nenulové vektory u = (u 1, u ), v = (v 1, v ) vypočteme kosinus úhlu mezi nimi jako podíl skalárního součinu a součinu jejich délek cos ϕ = u v u v = u 1 v 1 + u v. () u 1 + u v 1 + v Dva vektory jsou na sebe kolmé, je-li jejich úhel ϕ = π. Z () plyne, že dva 44
Obr. 7. Úhel mezi vektory nenulové vektory jsou na sebe kolmé právě tehdy, když jejich skalární součin je roven nule. ϕ = π cos ϕ = 0 u v = 0. Dva vektory jsou rovnoběžné právě tehdy, když mají stejný směr, tj. je jeden z nich násobkem druhého u = kv, kde k R \ {0}. Příklad 8.1.: Napište vektor v tak, aby byl kolmý k vektoru u = (1, 3). Řešení: Nejjednodušší cestou u vektoru v rovině u je prohodit souřadnice a u jedné z nich změnit znaménko, např. v = (3, 1). Tím zajistíme, že skalární součin u v = 0, což lze jednoduše ověřit dosazením u v = 1 3 + 3 ( 1) = 0. Příklad 8..: Vypočtěte vnitřní úhly trojúhelníku ABC, přičemž A = [0, 1], B = [, ], C = [, ]. Řešení: Nejprve vypočteme úhel α u vrcholu A (viz Obr. 8). Vypočteme souřadnice vektorů AB = B A = (, 3), AC = C A = (, 3) a pomocí vztahu () vypočteme úhel mezi nimi. cos α = AB AC AB AC = ( ) + 3 3 = 5 13 13 13. Odtud α. = 67, 38 = 67. Podobně vypočteme úhel β u vrcholu B. Vektor BA je opačný k vektoru AB, tj. BA = (, 3). Dále vypočteme soouřadnice vektoru BC = C B = ( 4, 0) a opět použijeme vztah (). cos β = BA BC BA BC = ( 4) + ( 3) 0 13 4 = 13. 45
Obr. 8. Trojúhelník ABC v příkladu 8.. Odtud β. = 56, 31 = 56 19. Pro výpočet úhlu γ u vrcholu C už není potřeba použít skalární součin. Využijeme známý vztah pro součet vnitřních úhlů trojúhelníka α +β +γ = 180 a získáme γ. = 56 19. Zkoumaný trojúhelník je rovnoramenný, což vidíme i na Obr. 8. Ukázali jsme si, jak souřadnice vektoru AB vypočteme odečtením souřadnic jeho koncového a počátečního bodu AB = B A. Známe-li souřadnice bodu A a vektoru AB, lze analogicky vypočítat souřadnice bodu B součtem souřadnic B = A + AB. Zdánlivě sčítáme dva nesouvisející objekty - bod a vektor, z hlediska souřadnic je však tato operace korektní. Z geometrického hlediska si můžeme představit, že jsme bod A posunuli o vektor AB do bodu B. Příklad 8.3.: Vypočtěte souřadnice těžiště trojúhelníku ABC. A = [3, ], B = [1, ], C = [1, 1]. Řešení: Víme, že těžiště trojúhelníku leží ve dvou třetinách těžnice. Těžnice je úsečka, která spojuje vrchol trojúhelníka se středem jeho protilehlé strany. Nejprve nalezneme souřadnice středu strany BC, který označíme S A. Vypočteme souřadnice vektoru BC = (0, 3). Vektor BS A má stejný směr, ale poloviční velikost, tedy BS A = 1 ( BC = 0, 3 ). Souřadnice vektoru vypočteme odečtením souřadnic jeho koncového a počátečního bodu BS A = S A B. Odtud [ S A = B + BS A = 1, 1 ]. 46