Maagemet rekreace a sprtu Kmplexí čísla Kmplexí čísla ZÁKLADNÍ POJMY Kmplexí čísl (v kartéském tvaru) e výra = a + b, kde a, b su reálá čísla, e magárí edtka s vlaststí = a e reálá část, b e magárí část kmplexíh čísla ; ačí se též a = Re, b = Im Mža všech kmplexích čísel se ačí C Lbvlé reálé čísl le pak vyádřt ak kmplexí čísl a + 0, dkud plye, že R C Pkud platí, že = b (tedy a = 0), dstáváme rye magárí čísl Kmplexí čísla = a + b, = c + d su s rva, estlže a = c a b = d; apsueme = Čísl kmplexě sdružeé ke kmplexímu číslu = a + b e čísl a b; ačí se GEOMETRICKÁ INTERPRETACE Z defce kmplexíh čísla e řemé, že dvc reálých čísel a, b dpvídá právě ed kmplexí čísl a + b Každému kmplexímu číslu le pak přřadt bd [a, b] v rvě a apak (v br ) y b = a + b ϕ 0 a x Obráek Gaussva rva kmplexích čísel Zttží-l se př tét terpretac každý bd [a, b] rvy s kmplexím číslem a + b, hvří se Gaussvě rvě kmplexích čísel Reálé čísl a se pak ttží s bdem [a, 0], případě s kmplexím číslem a + 0; mža všech reálých čísel v Gaussvě rvě e reálá sa x, mža všech kmplexích čísel = a + b, pr ěž a = 0 (tedy rye magárích čísel), e magárí sa y, 0 e pčátek
Maagemet rekreace a sprtu Kmplexí čísla Další výamu terpretac dstaeme, estlže každému kmplexímu číslu = a + b přřadíme v rvě vektr s pčátečím bdem [0, 0] a kcvým bdem [a, b] (br ) y b = a + b ϕ 0 a x Obráek Kmplexí čísl ve vektrvé terpretac OPERACE S KOMPLEXNÍMI ČÍSLY defue takt: Pr kmplexí čísla = a + b, = c + d se ech sučet, rdíl, suč a pdíl Sučet + = (a + b) + (c + d) = (a + c) + (b + d) Rdíl = (a + b) (c + d) = (a c) + (b d) Suč = (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd = (ac bd) + (ad + bc) a+ b a+ b c d ac+ bd bc ad Pdíl = = = +, když 0, t c 0 a d 0 c+ d c+ d c d c + d c + d Z uvedeých vtahů vyplývá, že př prváděí perací s kmplexím čísly pstupueme frmálě steě ak př peracích s dvčley reálých čísel, přčemž ahradíme - Sad se pak dkáže, že tyt perace splňuí axmy A - A platé pr reálá čísla (v kaptla ) Pdtkěme, že pr kmplexí čísla ele avést uspřádáí pmcí, ak e áme reálých čísel
Maagemet rekreace a sprtu Kmplexí čísla Příklad: = +, = ; + = ( + ) + ( ) = + ; = ( ) + ( + ) = + ; = + = 5 + ; + + + 5 = = = + + 5 ABSOLUTNÍ HODNOTA (MODUL) Abslutí hdta (mdul) kmplexíh čísla a + b e reálé čísl a + b ; ačí se Z bráku e patr, že vyadřue vdálest bdu [a, b] d bdu 0 = 0 + 0 = [0, 0] Základí vlastst abslutí hdty : (a) + +, (b) =, (c) =, estlže 0 Pámka: Platí = POLÁRNÍ (GONIOMETRICKÝ) TVAR KOMPLEXNÍHO ČÍSLA Kmplexí čísl = a + b le ak bd v rvě adat ým půsbem, apříklad vdálestí d pčátku 0 (tedy abslutí hdtu) a úhlem ϕ, který svírá průvdč bdu s kladým směrem sy x (v br ) Pak dstáváme a b cs ϕ =, sϕ = () a dtud a+ b= csϕ+ sϕ = ( csϕ+ sϕ) =
Maagemet rekreace a sprtu Kmplexí čísla Každé kmplexí čísl 0 le tedy vyádřt ve tvaru ( csϕ sϕ) = +, () který se aývá plárí tvar (též gmetrcký tvar) kmplexíh čísla Každé reálé čísl ϕ vyhvuící () se aývá argumet kmplexíh čísla Z perdcty fukcí s a cs plye, že každé kmplexí čísl má ekečě mh argumetů lšících se váemě celčíselý ásbek π Argumet ϕ, pr který platí 0 ϕ < π, se aývá hlaví argumet Každé kmplexí čísl 0 se pak vyadřue ve tvaru ( cs ( ϕ + kπ) + s( ϕ + kπ) ) =, () kde ϕ e hlaví argumet a k e lbvlé celé čísl Ve většě případů vystačíme s vyádřeím pmcí hlavíh argumetu (t k = 0), cž dpvídá tvaru () U dmcy (v dále) však e třeba vyít tvaru () Příklad: = + ; = ( ) + =, cs ϕ = =,s ϕ = =, ϕ π kπ = +, = cs π + kπ + s π + kπ, kde k e lbvlé celé čísl; /π e hlaví argumet MOIVREŮV VZOREC Pr kmplexí čísla ( csϕ ϕ ) = +, a + b = s ( csϕ ϕ ) + = a + b = s platí ( cs( ϕ + ϕ ) + ( ϕ + ϕ )), () = s
Maagemet rekreace a sprtu Kmplexí čísla = cs ( ( ϕ ϕ ) + s( ϕ )) ϕ Zbecěím vtahu () pr kmplexích čísel a + b = ( cs ϕ + sϕ ) =,,, dstáváme =, ( ( ϕ + + ϕ ) + ( ϕ + + ϕ )) = cs s Specálě pr = = = ( csϕ+ s ϕ) = se pak = ( ( cs ( ϕ) + s( ϕ) )) = ( cs ϕ + s ϕ) (5) aývá Mvreův vrec ODMOCNINA KOMPLEXNÍHO ČÍSLA Buďte = (cs(ϕ + kπ) + s(ϕ + kπ)) kmplexí čísl, přreé čísl -tá dmca kmplexíh čísla e kmplexí čísl w, pr ěž platí w = Aplkací (5) pr 0 le dvdt, že exstue růých -tých dmc w k kmplexíh čísla, přčemž ϕ + kπ ϕ + kπ ( ) = w = + s k cs (6) pr k = 0,,, Je patr, že všechy -té dmcy maí tutéž abslutí hdtu a argumety se lší celčíselý ásbek π ; dtud vyplývá, že -té dmcy tvří vrchly pravdeléh -úhelíku vepsaéh d kružce plměru 5
Maagemet rekreace a sprtu Kmplexí čísla Příklad: π + ; + = cs + s, pdle (6) π w k = π π + kπ + kπ cs + s = π π π cs + k + s + k, 6 6 8 π k = 0,,, (br ) y w w 0 w 0 8 x w Obráek Cílvé alst Operace s kmplexím čísly Plárí (gmetrcký) tvar kmplexíh čísla Mvreův vrec, dmca kmplexíh čísla 6
Maagemet rekreace a sprtu Kmplexí čísla IV Kmplexí čísla_cvičení Určete abslutí hdty kmplexích čísel a) 5+ b) 56 5+ Buďte = +, = Vypčtěte + + + Vypčtěte: ( ) Vyádřete + v plárím (gmetrckém) tvaru 5 Vypčtěte + + 5 6 Dkažte: a) csϕ = cs ϕ csϕ b) s ϕ = sϕ s ϕ 7 Naděte 8 Vypčtěte a grafcky árěte: a) b) 5 + 7
Maagemet rekreace a sprtu Kmplexí čísla VÝSLEDKY CVIČENÍ a) ; b) 5 π π cs + s 5 7 7 7 9 9 w0 = cs π + s π, w = cs π + s π, w = cs π + s π, w = cs π + s π π π 5 5 8 a) w0 = cs + s = +, w = cs π + s π = +, w = cs π + s π = ; 6 6 6 6 b) w = ( cs 7 + s 7 ), w = ( cs 99 + s 99 ), w = ( cs7 + s 7 ), 0 ( cs + s ), w = ( cs 5 s 5 ) w = + 8