Masarykova uiverzita Přírodovědecká fakulta Zuzaa Došlá, Vítězslav Novák NEKONEČNÉ ŘADY Bro 00
c Zuzaa Došlá, Vítězslav Novák, Masarykova uiverzita, Bro, 998, 00 ISBN 80-0-949-
3 Kapitola 3 Řady absolutě a eabsolutě kovergetí Předmětem této kapitoly budou číselé řady a, kde a R. Nejprve si všimeme speciálího případu, kterými jsou řady se střídavými zaméky, tzv. alterující řady. Dále zavedeme důležitý pojem pro řady s libovolými čley, kterým je absolutí, resp. eabsolutí kovergece. Také se vrátíme k otázce z Kapitoly, zda pro ekoečé řady platí aalogie komutativího zákoa, tj. zda lze přerovávat čley číselé řady, aiž se poruší její součet. Ukážeme, že pro přerováváí řad je rozhodující právě skutečost, zda jsou tyto řady absolutě kovergetí. 3.. Alterující řady Defiice 3.. Nekoečá řada a se azývá alterující, právě když platí sg a + = sg a pro všecha N. Vyloučíme-li případ řady, jejíž všechy čley jsou ulové, lze každou alterující řadu psát ve tvaru ( ) a ebo tvaru ( ) a, kde a > 0 pro všecha N. Pro alterující řady platí ásledující Leibizovo kritérium kovergece. Věta 3. (Leibizovo kritérium). Necht a je erostoucí posloupost kladých čísel. Pak alterující řada ( ) a koverguje právě tehdy, když platí lim a = 0. Důkaz. Nutost uvedeé podmíky plye ihed z Věty., ebot vztah lim a = 0 je ekvivaletí se vztahem lim[( ) a ]=0. Dokážeme její dostatečost. Necht
4 Řady absolutě a eabsolutě kovergetí jsou předpoklady věty splěy a uvažme posloupost {s } částečých součtů řady ( ) a. Pro libovolé N je s = (a a ) + (a 3 a 4 ) + +(a a ). Protože je zde každý sčítaec ezáporý, platí s s 4 s, tj. vybraá posloupost {s } je eklesající. Aalogicky je s + = a (a a 3 ) (a 4 a 5 ) (a a + ), a protože opět čísla v závorkách jsou ezáporá, je s s 3 s +, takže {s + } je erostoucí. Obě poslouposti {s }, {s + } jsou tedy mootoí a obě jsou ohraičeé, ebot pro libovolé N platí a a = s s <s + a + = s + s = a. Podle věty o mootoích posloupostech jsou tedy obě kovergetí a přitom mají stejou limitu, ebot lim s + lim s = lim(s + s ) = lim a + = 0. Je-li lim s = lim s + = s, pak zřejmě i lim s = s, takže ( ) a je kovergetí a má součet s. Příklad 3.. Rozhoděte o kovergeci řady: a) ( ) b) 3 + ( ) 3 c) ( ) l. Řešeí. Všechy uvedeé řady jsou alterující; ověříme, zda jsou splěy podmíky Leibizova kritéria (Věta 3.). a) Tato alterující řada se azývá Leibizova řada. Posloupost { } je klesající a platí, že lim a = lim = 0. Proto podle Leibizova kritéria Leibizova řada koverguje. Později ukážeme, že její součet je l (viz Příklad 6.4). b) Platí lim a = 3, a proto je daá řada divergetí. c) Nejprve ověřme, zda je posloupost { } klesající. Uvažujme fukci y = l x l x. Platí, že y = ( ) ( ) = < 0 pro x>, x l x (x l x) x tj. tato fukce je klesající a itervalu (, ), odkud plye, že také posloupost { l } je klesající. Dále je lim( l ) = lim l e =, a proto lim = 0. Podle Leibizova l kritéria daá řada koverguje.
3. Absolutí kovergece číselých řad 5 3.. Absolutí kovergece číselých řad Věta 3.. Koverguje-li řada a, koverguje i řada a. Důkaz. Necht a koverguje a bud ε R,ε >0 libovolé. Pak podle Cauchyova Bolzaova kritéria kovergece (Lemma.) existuje 0 N takové, že pro N, 0 a libovolé m N platí: a + + a + + + a +m <ε. Potom též platí, že a + +a + + +a +m a + + a + + + a +m <εpro N, 0,m N, tj. podle Cauchy Bolzaova kritéria řada a koverguje. Opačá implikace eplatí, jak ukazuje příklad Leibizovy řady ( ) ( ) : tato řada je kovergetí, avšak řada a = je divergetí. Proto má smysl zavést uřad s libovolými čley silější vlastost ež je kovergece: Defiice 3.. Řekeme, že řada a koverguje absolutě, jestliže koverguje řada a. Jestliže řada a koverguje a a diverguje, říkáme, že řada a koverguje eabsolutě. Příklad 3.. Leibizova řada ( ) + je eabsolutě kovergetí, aopak řada ( ) + je absolutě kovergetí, ebot řada koverguje (viz Příklad.). Lemma 3.. Necht a = s je absolutě kovergetí řada. Pak platí s a. Důkaz. Ozačme {s } posloupost -tých částečých součtů řady a a {t } posloupost -tých částečých součtů řady a. Protože s t pro všecha N, platí lim s = s lim t = a. (Tvrzeí také okamžitě plye z Pozámky., uvědomíme-li si, že a a ). Řada a je řada s ezáporými čley, a proto můžeme pro určováí absolutí kovergece řad použít všecha kritéria z Kapitoly. Věta 3.3 (Srovávací kritérium). Necht b je kovergetí řada s ezáporými čley a a je řada s libovolými čley. Jestliže pro všecha N platí a b, pak řada a koverguje absolutě. Důkaz. Plye z Věty.. Věta 3.4 (Odmociové kritérium). Jestliže pro všecha N platí a q<, pak řada a koverguje absolutě. Platí-li pro ekoečě moho N erovost a, pak tato řada diverguje. Existuje-li lim a =q R,pakvpřípadě q<řada a koverguje absolutě avpřípadě q>řada diverguje.
6 Řady absolutě a eabsolutě kovergetí Důkaz. Prví atřetí tvrzeí plye z odmociového kritéria pro řadu a (Věta.3). Je-li a pro ekoečě moho N,jei a pro ekoečě moho N, takže eplatí lim a = 0a a diverguje podle Věty.. Věta 3.5 (Podílové kritérium). Bud a řada s eulovými čley. Jestliže pro všecha N platí a + a q<, pak řada a koverguje abso- lutě. Platí-li pro všecha N erovost a + a, řada diverguje. Existuje-li lim a + a = q, pak v případě q<řada a koverguje absolutě a vpřípadě q>tato řada diverguje. Důkaz. Prví atřetí tvrzeí plye z podílového kritéria pro řadu a (Věta.4). Je-li a + a, tj. a+ a pro všecha N, je posloupost { a } eklesající, takže eplatí lim a = 0a a diverguje podle Věty.. Příklad 3.3. Zjistěte, zda jsou ásledující řady absolutě kovergetí: a) b) c) d) ( ) + ( + ) 3 ( ) + l ( + ) = l l 3 + l 3 4... ( ) + ( + 3 ) ( )! ( + )( + )... ( + ). Řešeí. Ve všech případech budeme ověřovat kovergeci řady a. a) Pro všecha N platí. Řada je kovergetí, proto je podle (+) 3 3 3 Věty 3.3 daá řada absolutě kovergetí. b) Platí: a = lim l ( + ) = lim lim l ( + ) = lim Podle Věty3.4 je daá řada absolutě kovergetí. c) Platí: ( + ) ( + ) lim a = lim = lim = e 3 3 3 <. l( + ) = 0.
3. Absolutí kovergece číselých řad 7 Podle Věty3.4 je daá řada absolutě kovergetí. d) V tomto případě se ukazuje výhodé použít Raabeovo kritérium pro řadu a. Platí (! lim ( + )... ( + ) + ) = ( + )! ( + )... ( + ) lim proto je vyšetřovaá řada absolutě kovergetí. Příklad 3.4. Určete, pro která x R je řada ( + ) + = lim + x = x + x + x3 3 +... absolutě kovergetí, pro která eabsolutě a pro která diverguje. + =, Řešeí. Pro x = 0je lim a + = lim x+ = lim x = x. a + x + Podle Věty 3.5 řada absolutě koverguje pro x <, pro x > řada diverguje. Pro x = dostáváme harmoickou řadu, která je divergetí, a pro x = Leibizovu řadu ( ) (+), která je eabsolutě kovergetí. Na závěr tohoto odstavce uved me dvě kritéria k určeí kovergece řady s libovolými čley. Jejich důkaz lze alézt apř. v [6, 3]. Věta 3.6 (Abelovo a Dirichletovo kritérium). Necht {b } je mootoí posloupost a platí jeda z ásledujících podmíek:. (Dirichlet) Posloupost částečých součtů řady a je ohraičeá alim b = 0;. (Abel) Řada a koverguje a posloupost {b } je ohraičeá. Pak řada a b koverguje. Příklad 3.5. Dokažte, že řada a) si x koverguje pro libovolé x R; b) je kovergetí. si
8 Řady absolutě a eabsolutě kovergetí Řešeí. a) Případ kdy x = kπ, k Z je triviálí, ebot se jedá o ulovou řadu. Necht tedy x = kπ. Položme b = a a = si x. Ukážeme, že jsou splěy podmíky Dirichletova kritéria (Věta 3.6). Zřejmě je posloupost {b } mootoí a lim b = 0. Zbývá dokázat, že posloupost částečých součtů řady a je ohraičeá. Ozačme Z Moivreovy věty plye s = si x + si x + +si x, r = cos x + cos x + +cos x, q = cos x + i si x. q = (cos x + i si x) = cos x + i si x, odkud q q = cos x + i si x ( cos( x) + i si( x) ) = i si x. Užitím těchto vzorců dostaeme r + is = cos x + i si x + cos x + i si x + +cos x + i si x = = q + q + +q = q q q = q q (q q ) q (q q ) ( = cos + = q + i si x i si x = x + i si + x ) si x si x. Nyí porováme reálou a imagiárí část + cos r = cos x + cos x + +cos x = x si x si x, + si s = si x + si x + +si x = x si x si x. Odtud plye s si, a proto je posloupost {s } částečých součtů řady si x ohraičeá. Tím jsme dokázali, že řada si x x je kovergetí pro všecha x R. b) Použijeme Abelovo kritérium (Věta 3.6)přivolbě b =, a = si. Podle předchozího příkladu a koverguje. Protože lim =, je {b } ohraičeá; ukážeme ještě,že pro 3je klesající. Vskutku, > + + právěkdyž + >(+), což je ekvivaletí >(+ ) a tato erovost platí pro 3, ebot {( + ) } je rostoucí posloupost s limitou e<3. 3.3. Přerováváí řad Již v prví kapitole jsme ukázali, že s ekoečými součty emůžeme zacházet stejě jako se součty koečými. V tomto odstavci se budeme zabývat aalogií komutativího zákoa přerováváím ekoečých řad.
3.3 Přerováváí řad 9 Zaved me ásledující defiici: Defiice 3.3. Necht a je řada, {k } permutace možiy N (tj. {k } je prostá posloupost přirozeých čísel, v íž se každé přirozeé číslo vyskytuje). Pak říkáme, že ak vzikla přerováím řady a. Věta 3.7. Necht řada a koverguje absolutě. Pak koverguje absolutě také každá řada a k vziklá přerováím řady a a platí a k = a. Důkaz. Bud ε>0 libovolé. Protože řada a je absolutě kovergetí, existuje 0 N takové, že pro 0 a libovolé m N platí a + + + a +m <ε. Dále protože {k } je permutace možiy N, existuje p N tak, že {,,..., 0} {k,k,...,k p }. Bud yí >pa m N libovolé. Ozačíme-li t = max{k +,......,k +m }, platí a k+ + + a k+m a 0 + + + a t <ε. Podle Cauchy-Bolzaova kritéria řada a k koverguje, tj. řada a k koverguje absolutě. Zbývá dokázat, že obě řady mají stejý součet. Ozačme s částečé součty řady a, t částečé součty řady a k. Pro >max{ 0,k p } platí s t = a + +a 0 + a 0 + + +a (a k + +a k ) a 0 + + a 0 + + + a 0 +q <ε, kde 0 + q = max{, k,...,k }. Je tedy lim (s t ) = 0, tj. lim s = lim t. Právě jsme dokázali, že pro absolutě kovergetí řady platí komutativí záko. Vyvstává otázka, jak se chovají při přerováváí eabsolutě kovergetí řady. Zaved me ásledující ozačeí: pro a R položme a + = max{a, 0}, a = max{ a, 0}. Potom je zřejmě a + 0,a 0, a = a + a, a =a + + a. Proto je-li a ekoečá řada, můžeme uvažovat dvě ekoečé řady s ezáporými čley a + a. Tyto řady mají ásledující vlastost: a Lemma 3.. Necht řada a koverguje eabsolutě. Pak obě řady a + a a divergují k +. Důkaz. Protože a + a a jsou řady s ezáporými čley, každá z ich bud koverguje ebo diverguje k +. Kdyby obě kovergovaly, pak by podle Věty.3 kovergovala i řada (a + + a ) = a, tj. a by kovergovala absolutě. Kdyby apř. a + divergovala k +, a kovergovala, pak by podle cvičeí. řada (a + a ) = a divergovala k +. Tedy obě řady a +, a divergují.
30 Řady absolutě a eabsolutě kovergetí Nyí můžeme dokázat větu o eabsolutě kovergetích řadách, která říká, jak labilí jsou tyto řady vzhledem k přerováváí. Věta 3.8 (Riemaova). Necht řada a koverguje eabsolutě a echt s R je libovolé. Pak existuje takové přerováí a k řady a,že a k = s, existuje takové přerováí a p řady a,že a p určitě diverguje a takové přerováí aq,že a q osciluje. Důkaz. Dříve ež provedeme přesý důkaz, azačme velmi zjedodušeě, jakým způsobem bude důkaz vede. Myšlekou důkazu tvrzeí, že a k = s, jepřerovat daou řadu ásledujícím způsobem: ejdříve poecháme kladé čley, dokud epřekročíme předepsaý součet. Poté začeme odčítat záporé čley až bude částečý součet řady meší ež součet předepsaý a stejým způsobem pokračujeme dál. Nakoec dokážeme, že takto přeskládaá řada opravdu koverguje k předem určeému číslu. (i) Ukažme, že lze řadu přerovat tak, že přerovaá řada koverguje a má součet s. Předpokládejme pro určitost, že s>0. Necht N je ejmeší takové, že a + + + a + > s; vzhledem k divergeci a + takové existuje. Necht m N je ejmeší takové, že a + + +a+ (a + +a m )<s; existece takového m plye z divergece řady a. Necht dále N, > je ejmeší takové, že a + + +a+ (a + +a m ) + a + + + +a+ >s. Takové opět existuje ze stejých důvodů jako.vtéto kostrukci lze pokračovat idukcí; jejím výsledkem je jistá řada, která vzikla přerováím řady a. Dokažme, že součet takto přerovaé řady je s. Z kostrukce je patré, že částečý součet s +m + + k přerovaé řady se od požadovaého součtu s liší maximálě oa + k, částečý součet s +m + + k +m k se liší ods maximálě oa m k ačástečý součet s, kde + m + + k << + m + + k + m k, resp. + m + + k + m k < < + m + + k + m k + k+ se liší ods aejvýš o max{a k,a mk } resp. o max{a mk,a k+ }. Protože a koverguje, je lim a = 0, tedy i lim a + = lim a = 0; odtud lim s = s. (ii) Ukažme, že lze řadu přerovat tak, že přerovaá řada diverguje k. Necht N je ejmeší takové, že a + + + a+ > ; > ejmeší takové, že a + + +a+ a + a+ + + +a+ >, 3 > ejmeší takové, že a + + + a + a + a+ + + +a+ a + a+ + + +a+ 3 > 3 atd. Vziklá přerovaá řada určitě diverguje k. (iii) Obdobě určíme ejmeší N tak, že a + + + a+ >, ejmeší m N tak, že a + + + a+ (a + +a m )<0, ejmeší > tak, že a + + +a+ (a + +a m ) + a + + + +a+ > atd. Vziklá přerovaá řada osciluje.
3.3 Přerováváí řad 3 Cvičeí 3.. Rozhoděte o kovergeci alterujících řad: a) b) c) ( ) 3 d) ( ) +00 e) ( ) 5 f) ( ) ( ) l ( ) l(+) 3.. Vyšetřete, které řady kovergují absolutě, které kovergují eabsolutě a které divergují: a) ( ) l si e) 6 = b) ( ) 3 f) ( ) tg c) ( ) ( ) + d) ( ) l g)! h) ( ) + 3 l (+) 3.3. Určete, pro která reálá čísla x ásledující řady absolutě kovergují, pro která eabsolutě a pro která divergují: a) e x c) b) l x d) + 3 x x e x Cítíte-li se skvěle, bud te bez obav. To přejde.
Výsledky cvičeí Kapitola.. a) b) c) 3 d) e) 3 f) 3 g) 5 h) 4.. a) 4 b) 7.3. a) c) 8 90 5 33 50 divergují.4. a) x = 0 b) x = π 6 + kπ ebo x = 5π + kπ..5. Součet obvodů je 6 8( + ), součet obsahů je8..6. Úloha vede k určeí součtu ekoečé geometrické řady: 48 + 4 + + 6 +, jejíž součet je s = 96 cm..7. Obsah Sierpińského koberce je P = =0 8 9 + = 0. Kapitola.. a) koverguje b) koverguje c) koverguje d) diverguje e) koverguje pro 0 <a<, diverguje pro a f) diverguje g) koverguje pro a>, diverguje pro a (0, ] h) koverguje i) koverguje j) koverguje k) koverguje l) diverguje m) koverguje ) diverguje o) diverguje pro a π, koverguje pro 0 <a< π p) diverguje q) diverguje... a =, a =..3. Neexistuje [Návod: je-li lim sup 3 a >, pak existuje { k }, k tak, že lim k ak. Ozačíme-li b k = a k,jeřada b k divergetí. Protože a 0, je divergetí iřada a..4. viz [5]. Kapitola 3 3.. a) koverguje b) koverguje c) diverguje d) diverguje e) koverguje f) koverguje. 3.. a) koverguje eabsolutě b) koverguje absolutě c) koverguje eabsolutě d) diverguje e) koverguje absolutě f) koverguje absolutě g) koverguje absolutě h) koverguje eabsolutě. 3.3. a) Pro x>0řada koverguje absolutě, pro x 0řada diverguje. b) Pro x (,e) řada koverguje absolutě, e pro ostatí x řada diverguje. c) Pro x < řada koverguje absolutě, pro x > a x = diverguje, pro x = koverguje eabsolutě. d) Pro x 0řada koverguje absolutě, pro x<0řada diverguje.