Z transformace Definice Z transformací komplexní posloupnosti f = { roumíme funkci F ( definovanou vtahem F ( = n, ( pokud řada vpravo konverguje aspoň v jednom bodě 0 C Náev Z transformace budeme také používat pro obraení Z : f F (, které posloupnostem f = { přiřauje funkci F ( vtahem ( Pro Z transformaci posloupnosti f = { budeme používat symbolů Z(f nebo Z{ } a vtah ( budeme kráceně (a nepříliš přesně apisovat jako Z(f = F ( Funkci F ( budeme naývat Z obraem nebo stručněji obraem posloupnosti f Konverguje-li řada na pravé straně ( v nějakém bodě 0 C, pak konverguje pro všechna vnějšku kruhu o poloměru 0 a středu v počátku, nebot pokud je > 0, pak n < Definičním oborem obrau F ( je tedy vždy vnějšek jistého kruhu se středem v počátku Příklad Je-li { = {,,, 0, 0, }, pak její Z transformace je 0 n F ( = + = +, C, = 0 Příklad Je-li { = {,,,,, }, pak její Z transformace je F ( = + 3 + = ( n n = + =, > + Postačující podmínka existence Z transformace posloupnosti { Definice Necht existují čísla M > 0 a a > 0 tak, že pro každý člen posloupnosti f = { platí Pak aýváme posloupností exponenciálního řádu Ma n, n = 0,,, ( Věta Necht f = { je posloupnost exponenciálního řádu Pak její Z transformace Z(f = F ( existuje, je holomorfní pro všechna : > a a lim F ( = f 0
Důka Z nerovnosti ( vyplývá konvergence řady nebot Položíme-li w =, pak funkce n = F ( pro > a, n a = n H (w = F a ( = pro > a w n je jakožto součet mocninné řady holomorfní pro w < /a a tedy F je holomorfní pro > a Dále je ( lim F ( = lim f 0 + f + f + = f 0 Množina všech posloupností exponenciálního řádu tvoří vhledem k obvyklému sčítání posloupností a násobení posloupností číslem lineární prostor Budeme jej nadále považovat a definiční obor Z transformace Z předcháející věty vyplývá, že obor hodnot Z transformace je obsažen v množině všech funkcí, které jsou holomorfní na vnějšku nějakého kruhu a mají konečnou limitu v nekonečnu Takové funkce budeme naývat holomorfní v nekonečnu Věta linerita Z transformace Pro libovolné posloupnosti f, g exponenciálního řádu a libovolná čísla a, b platí Důka Plyne distributivního ákona pro součet řad Z(af + bg = az(f + bz(g Příklad Vypočteme obra posloupnosti f = { sin nα Bude { e jnα e jnα } ( F ( = Z{sin nα} = Z = ( Z{e jnα } Z{e jnα } = j j j ( = ( e jα n ( e jα n = j j ( e jα e jnα n = e jα e jnα n = sin α cos α + Věta o inverní transformaci Necht F je funkce holomorfní v nekonečnu Pak existuje jediná posloupnost f = { tak, že Z(f = F ( Důka Necht F ( je funkce holomorfní v nekonečnu Položme w = / a onačme F (/ = H (w Pak H je funkce holomorfní v počátku a tedy v jistém okolí počátku existuje její jednonačně určený rovoj v mocninnou řadu: H (w = w n, w < R Odtud F ( = n, > /R
To však namená, že funkce F ( je Z transformací posloupnosti f = { a věta je dokáána Inverní Z transformace Funkce F ( tedy není ničím jiným, než jejím rovojem do Laurentovy řady se středem v nekonečnu Pokud je F ( racionální lomená, le rovoj spočítat pomocí rokladu na jednoduché lomky a využitím součtu geometrické řady Příklad Vypočteme inverní Z transformaci funkce F ( = 3 5 3 + Funkci stačí roložit na jednoduché lomky a každý jednoduchých lomků napsat jako součet geometrické řady, konvergentní na vnějšku jistého kruhu se středem v počátku: F ( = 3 5 3 + = + = ( + Inverní Z transformací funkce F ( je tedy posloupnost to je f = { 0, 3, 4, 6, 0, 8, } f = {, kde = ( = { 0 n = 0 + n n, + n+ n = n+ n= + n n Pro výpočet inverní Z-transformace le také vyžít následující větu Věta Necht F je funkce holomorfní v nekonečnu, která má poue konečně mnoho singulárních bodů v C Pak F je Z transformací posloupnosti f = {, pro níž platí = k res i n F (, (3 i= kde, k jsou singulární body funkce n F ( Důka Z předpokladu holomorfnosti funkce F v nekonečnu plyne existence posloupnosti f = { a R > 0 tak, že F ( = = 0 + f + f + f 3 + pro > R 3 Odtud a definice reidua v nekonečnu vidíme, že tedy f 0 = res F (, f = res F (, f = res F (, f 3 = res F (, = res n F ( = k res i n F (, nebot součet reiduí ve všech iolovaných singulárních bodech (včetně nekonečna funkce F je roven nule Příklad Pro porovnání uvažujme stejnou funkci jako v předešlém příkladě i= F ( = 3 5 3 + = 3 5 ( ( 3
Pak bude f 0 = res 0 F ( + res F ( + res F ( = lim 0 ( ( + lim ( + lim ( = 0, = res n F ( + res n n (3 5 n (3 5 F ( = lim + lim = + n, n Věta o derivaci obrau Necht Z{ } = F ( Pak Z{n } = F ( Důka Je-li F ( = n, pak F ( = Příklad Protože obra posloupnosti f = {,,, } je n n+ = n = Z{n} n F ( = n =, bude obra posloupnosti g = { n = {0,,, 3, } = { n roven G( = F ( = ( Věta o obrau vpravo posunuté posloupnosti Necht F ( je obra posloupnosti { a k > 0 přiroené číslo Definujme posloupnost g vtahem g = { { g n, kde g 0 0 n k n = k n k Pak Z(g = k F ( Důka Z(g = g n = n n=k k n = = k n+k n = k F ( Věta o obrau vlevo posunuté posloupnosti Necht F ( je obra posloupnosti { a k > 0 přiroené číslo Definujme posloupnost g = { g n vtahem g n = +k, n = 0,,, Pak k Z(g = k F ( k f 0 k f f k = k F ( k n Důka Z(g = g n = n +k n = n=k = k n k n=k n = k k n k = n k F ( k k n 4
Definice Konvolucí posloupností f = {, g = { g n naýváme posloupnost Tedy: h 0 = f 0 g 0, h = f 0 g + f g 0, h = { h n, pro níž h n = h = f 0 g + f g + f g 0, h 3 = f 0 g 3 + f g + f g + f 3 g 0, atd n f k g n k, n = 0,,, a načíme h = f g k=0 Věta o obrau konvoluce Necht F ( je Z transformace posloupnosti f, G( je Z transformace posloupnosti g a necht h = f g Onačme H ( Z transformaci posloupnosti h Pak platí H ( = F ( G( Důka Necht Pak a tedy f = {, g = { g n F ( = f 0 + f + f +, G( = g 0 + g + g + F ( G( = ( f 0 + f + f ( + g 0 + g + g + = = f 0 g 0 + f 0 g + f g 0 + f 0 g + f g + f g 0 + = h 0 + h + h + = H ( Příklad Necht f = {3,,, 0, 0, } a g = {, 0,,, 0, 0, } Pak bude F ( = 3 +, G( = + 3, tedy Odtud H ( = F ( G( = 6 + 7 7 3 + 4 4 4 5 h = f g = {6,, 7, 7, 4, 4, 0, 0, } 5
Diferenční rovnice Definice Rovnici a k y n+k + a k y n+k + + a y n+ + a 0 y n =, n = 0,,,, (4 kde a 0,, a k a y 0,, y k jsou daná čísla a f = { daná posloupnost, naýváme diferenční rovnicí pro posloupnost y = { y n Rovnici (4 budeme kráceně apisovat ve tvaru D(y = f Příklad Fibonacciho posloupnost Posloupnost, jejíž každý člen je součtem dvou předcháejících, přičemž první dva členy jsou 0 a, se naývá Fibonnaciho posloupnost Její členy { y n tedy splňují diferenční rovnici Postupným výpočtem jistíme, že y n+ = y n+ + y n, n = 0,,,, y 0 = 0, y = (5 y = {0,,,, 3, 5, 8, 3,, 34, } Chceme-li však nát např třicátý člen této posloupnosti, aniž bychom museli počítat všech 9 předcháejících, potřebujeme umět vyjádřit ávislost jejího n tého členu na n Ukážeme, že k tomu le využít Z transformaci Položíme-li Z(y = Y (, bude podle věty o obrau vlevo posunuté posloupnosti Z{y n+ } = Y ( y 0 a Z{y n+ } = Y ( y 0 y Rovnice (5 tedy přejde po Z transformaci do tvaru Y ( = Y ( + Y (, odkud Y ( = Hledanou posloupnost y pak dostaneme inverní transformací Y ( Vyjde y n = ( ϕ n ( ϕ n, kde ϕ = + 5, n =,, 3, 5 a tedy y 0 = 83 040 Uvedený postup le evidentně uplatnit na libovolnou diferenční rovnici tvaru (4 Příklad Vypočtěme řešení rovnice y n+ 5y n+ + 6y n =, { kde y 0 =, y = a fn = {,, 0, 0, 0, } Po Z transformaci bude mít rovnice tvar Odtud Y ( 5 ( Y ( + 6Y ( = + / Y ( = 3 3 + + ( 5 + 6 Pro inverní transformaci využijeme vorce (3: y n = Dostaneme k i= res i n Y ( = res n ( 3 3 + + ( ( 3 y n = 8 9 3n n, n n ( 3 3 + + + res 3, n ( ( 3 6
Struktura a vlastnosti řešení diferenční rovnice Onačme δ = { δ n posloupnost definovanou vtahem { n = 0 δ n = 0 n > 0 a uvažujme nejdříve diferenční rovnici D(y = a k y n+k + a k y n+k + + a y n+ + a 0 y n = δ n, n = 0,,, s nulovými počátečními podmínkami: y 0 = 0,, y k = 0 Onačme h řešení této rovnice a H ( jeho Z transformaci Pak bude platit: a k k H ( + a k k H ( + + a 0 H ( = a tedy H ( = a k k + a k k + + a 0 Posloupnost h ískáme jako inverní Z transformací funkce H ( Naývá se impulní odeva a ávisí poue na tvaru levé strany diferenční rovnice Pomocí ní le potom vyjádřit i řešení pro libovolnou pravou stranu f téže rovnice (při achování nulových počátečních podmínek Je-li totiž D(y = f, pak a k k Y ( + a k k Y ( + + a 0 Y ( = F (, kde Y ( = Z(y a F ( = Z(f Odtud dostáváme Y ( = F ( a k k + a k k + + a 0 = F ( H ( a podle věty o obrau konvoluce pak y = h f Řešení je tedy konvolucí impulní odevy a pravé strany rovnice Má-li konečně rovnice D(y = enulové počáteční podmínky, nabude po Z transformaci tvar a k k Y ( + a k k Y ( + + a 0 Y ( R( = F (, kde R( je polynom stupně k, jehož koeficienty jsou určeny poue danými počátečními hodnotami y 0, y,, y k Potom Y ( = H ( F ( + H ( R(, odkud y = h f + p, kde posloupnost p je řešením diferenční rovnice D(y = 0 s počátečními podmínkami y 0, y,, y k Le tedy shrnout, že pro řešení rovnice (4 stačí nát impulní odevu a řešení příslušné homogenní rovnice (tj rovnice s nulovou pravou stranou 7
Úlohy Vypočtěte Z transformaci posloupnosti { cos n Vypočtěte Z transformaci posloupnosti { (n + 3 Vypočtěte Z transformaci posloupnosti { n sin π n 4 Vypočtěte inverní Z transformaci funkce 5 Vypočtěte inverní Z transformaci funkce 6 Vypočtěte inverní Z transformaci funkce F ( = F ( = F ( = ( 3 ( 3 7 + 0 7 Vypočtěte inverní Z transformaci funkce F ( = + 8 Vypočtěte řešení diferenční rovnice y n+ + y n+ + y n = 0, y 0 =, y = 0 9 Vypočtěte řešení diferenční rovnice y n+ 4y n = 4 n y 0 =, y = 0 Vypočtěte řešení diferenční rovnice y n+ + y n = ( n y 0 = 0, y = Vypočtěte řešení diferenční rovnice y n+ 6y n+ + 9y n = n 3 n, y 0 = 0, y = 0 Vypočtěte řešení diferenční rovnice y n+3 + 3y n+ + 3y n+ + y n = cos nπ, y 0 = 0, y = 0, y = 0 8
Výsledky (be áruky F ( = ( + ( cos ( cos + F ( = (4 3 + ( 3 3 F ( = ( ( + 4 { n(n + 5 { n3 n 6 { 5 n n 3 7 { sin nπ 8 { ( n+ (n n= 9 0 { 4 n 3 n 3 ( n 3 { ( n 3 { n(n (n 3 n 3 n= { n(n (n 6 ( n 9