Úvod do aalýzy časových řad Obsah Úvod... Teoreické základy pro aalýzu časových řad.... Základí pojmy..... Druhy časových řad..... Grafická aalýza.....3 Popisé charakerisiky... 4. Základí úpravy časových řad... 6.. Doplěí chybějících hodo... 7.. Trasformace měříka a kombiace časových řad... 7..3 Časový posu... 7..4 Sezóí diferece... 7..5 Kumulaiví souče... 8..6 Vyhlazováí časových řad... 8.3 Problémy časových řad... 9.4 Meody aalýzy časových řad... 0 3 Příklad č. : Aalýza míry ezaměsaosi v okrese Karviá... 0 3. Grafická a saisická deskripce... 0 3. Očisěí časové řady od sezóích vlivů... 3.3 Tvorba modelu Expoeciálí vyrováí druhého supě... 3 3.4 Výsledá predikce... 5 4 Příklad č. : Posup aalýzy ukazaelů a úrovi obce... 7 4. Deskripce saisická a grafická... 7 4. Aalýza vzahů... 30 5 Závěr... 30 Lieraura... 30 - -
Úvod Cílem aalýzy časových řad je věšiou kosrukce vhodého modelu. Sesrojeí dobrého modelu ám zpravidla umoží porozumě mechaismu, a jehož základě vzikají hodoy časové řady, a pochopi podmíky a vazby, keré působí a vzik ěcho hodo. Na základě změ ěcho podmíek či vazeb lze simulova jejich vliv působící změy ve vývoji časové řady. Dalším cílem je využií ěcho získaých pozaků při předpovědi budoucího chováí. Používaé posupy jsou založey a pricipu, že "hisorie se opakuje". Teo předpoklad bývá v praxi splě s růzou přesosí, a proo je vhodé u vyhlazováí a předpovědí v časových řada uvádě i spolehlivos získaých výsledků a hodoi úspěšos predikce. Teoreické základy pro aalýzu časových řad. Základí pojmy Časovou řadou rozumíme posloupos hodo ukazaelů, měřeých v určiých časových iervalech. Tyo iervaly jsou zpravidla rovoměré (ekvidisaí, a proo je můžeme zapsa ásledujícím způsobem: y, y,, y eboli y, =,,, kde y začí aalyzovaý ukazael, je časová proměá s celkovým počem pozorováí... Druhy časových řad Časové řady čleíme podle charakeru ukazaele: okamžikové - hodoa ukazaele k určiému okamžiku (apř. poče evidovaých uchazečů, iervalové - velikos sledovaého ukazaele závisí a délce iervalu, za kerý je sledová (apř. měsíčí áklady a rekvalifikace. Podle druhu ukazaelů rozlišujeme časové řady obsahující: absoluí ukazaele (očišěé, odvozeé ukazaele (součové, poměrové... Grafická aalýza Aalýza časových řad se v současosi provádí výhradě a počíačích pomocí vhodého sofwaru. Velká věšia saisických a ekoomerických sofwarů má algorimy ěcho aalýz zabudovaé ve svých sadardích abídkách. Bohužel program EXCEL mezi ě epaří, proo se budeme muse věova relaivě jedoduchým algorimům, keré lze vysvěli. Pro pokročilejší aalýzy časových řad doporučujeme saisické sofwary: SPSS, STATISTICA, S +. V programu EXCEL je ejvhodější daovou srukurou pro časové řady sadardí daová maice ve keré je prví řádek voře krákým ázvem proměé a poom ásledují aměřeé hodoy. Jede řádek daové maice obsahuje pozorováí v jedom časovém okamžiku. Hodoy jsou seřazey podle času, vzesupě. Ukázka daové maice v EXCELu uvádí abulka, kerá zahruje vývoj měsíčí míry ezaměsaosi v Karvié (% u_ki za období lede 995 březe 996. - -
Tab. : Daová maice vývoje měsíčí míry ezaměsaosi v Karvié ( u_ki v % Daum Rok Měsíc u_ki I.95 995 7,53 II.95 995 7,38 III.95 3 995 3 7,8 IV.95 4 995 4 7,00 V.95 5 995 5 6,84 VI.95 6 995 6 6,9 VII.95 7 995 7 7,30 VIII.95 8 995 8 7,37 IX.95 9 995 9 7,4 X.95 0 995 0 7,8 XI.95 995 7,9 XII.95 995 7,0 I.96 3 996 7,40 II.96 4 996 7,37 III.96 5 996 3 7,9 Kromě proměé výše defiovaé se obvykle používají další časové proměé dle ypu časových řad. Pokud pracujeme s ročími údaji je vhodé zavés další proměou rok. U čvrleích da kromě proměé r i proměou q, jež abývá hodo až 4 podle čvrleí. A aalogicky posupujeme i u měsíčích údajů. Vedle ěcho umerických proměých se používá v programu EXCEL i proměá ve formáu daum apř. ve varu I.99 pro grafické zázorěí časových řad. Pro zobrazeí časových řad a jejich prvoí aalýzu slouží spojicové grafy. Vodorová osa u ěcho grafů zazameává časovou proměou a a svislé ose se zobrazují hodoy ukazaele časové řady y. Příkladem spojicového grafu vývoje míry ezaměsaosi v okrese Karviá v leech 995 až 00 je obr.. % 5,0 0,0 5,0 0,0 5,0 0,0 I.95 IV.95 VII.95 X.95 I.96 IV.96 VII.96 X.96 I.97 IV.97 VII.97 X.97 I.98 IV.98 VII.98 X.98 I.99 IV.99 VII.99 X.99 I.00 IV.00 VII.00 Obr. : Vývoj míry ezaměsaosi v okrese Karviá X.00 I.0 IV.0 VII.0 X.0 I.0 IV.0 VII.0 X.0 Spojicový graf může zahrova i více časových řad, avšak měříko a svislé ose je sejé. - 3 - daum
Dalším důležiým grafem v EXCELu je graf XY bodový, kerý sleduje vývoj časové řady y a vývoji hodo časové řady x z., že zázorí bod se souřadicemi [x, y ] pro každý časový okamžik. Teo yp grafu je vhodý u regresí aalýzy...3 Popisé charakerisiky Charakerisiky polohy (průměry Při práci s časovými řadami je ěkdy důležié zjisi jejich průměré hodoy: y = prosý arimeický průměr y = ; vážeý arimeický průměr v y = y =, kde v je váha ukazaele y v čase ; v = y + y y + y3 y + y d + d 3 + L+ d vážeý chroologický průměr ych =, d + d + Ld délka jedolivých časových iervalů. kde d je Charakerisiky variabiliy Nejdůležiější míry variabiliy ve saisice paří rozpyl a směrodaá odchylka: rozpyl je arimeickým průměrem kvadráů odchylek od arimeického průměru: s y = ( y y ; = směrodaá odchylka je odmociou z rozpylu s y = s y = ( y y. = Míry dyamiky Jedoduché míry dyamiky časových řad umožňují charakerizova jejich základí rysy chováí. Mezi základí míry dyamiky časové řady y paří: absoluí přírůsek (prví diferece y = y y a průměrý absoluí přírůsek = = y = y y ; - 4 -
y koeficie (empo růsu k =, kde =,,, a průměrý koeficie růsu y = y k k k3 L k = ; y y meziročí koeficie růsu apř. v případě čvrleí časové k ( 4, =, kde = 5, 6,, ; y y y y y relaiví přírůsek δ = = = a průměrý relaiví přírůsek δ = k. y y y 4 Korelace Korelace vyjadřuje relaiví míru závislosi ve vzájemém vývoji dvou časových řad apř. y a x a je dáa vzahem s xy = = ( x x ( y y s x s y ;. Hodoy korelace blížící se ke hraičí hodoě vyjadřují, že obě sledovaé časové řady mají zcela opačý směry v jejich časovém vývoji. Hodoy s xy blížící se k prozrazují, že časové řady x a y se vyvíjí éměř shodě s hlediska sejých směrů pohybů a vykazují sejou relaiví míru ve vzájemém vývoji. Sacioárí a esacioárí časová řada Chováí časové řady může ze saisického hlediska buď podléha změám v průměru či variabiliě (řada esacioárí, ebo bý sále sejá (řada sacioárí. Zhruba řečeo o zameá, že u sacioárí řady ejsme schopi a základě zjišěých saisických paramerů, jako jsou arimeický průměr hodo ebo jejich rozpyl, schopi odliši jede úsek řady od druhého. Nesacioárí řada aopak vykazuje změy v chováí: apříklad arimeický průměr hodo ze začáku řady je sigifikaě jiý ež průměr čleů a koci (o akové řadě říkáme, že vykazuje red. Sacioárí chováí je podsaým předpokladem ěkerých ypů aalýz. Je pak řeba sacioariu esova a řadu případě vhodým způsobem rasformova s cílem odsraěí esacioariy. - 5 -
Vývoj míry ezaměsaosi v ČR Vývoj absoluích diferecí míry ezaměsaosi v ČR,00 0,00 8,00 0,60 0,40 0,0 6,00 0,00 4,00-0,0 0 9 8 37 46 3 5 7 9 55 64 73 8 9,00-0,40 0,00-0,60 9 7 5 33 4 49 57 65 73 8 89-0,80 Obr. : Vývoj měsíčí míry ezaměsaosi v ČR od roku 995 do poloviy roku 00 V grafu je vyobraze průběh ypické esacioárí časové řady, vykazující rosoucí red, sezóí vlivy v průběhu každého roku a s časem rosoucí rozpyl (sezóí odchylky od průměru se sále zvěšují. Taková řada evykazuje žádou časovou změu paramerů, proože její obecý čle ezávisí ai a čase, ai a předchozích čleech řady. V lierauře se i-ý čle časové řady s charakerem ezávislých realizací ormálě rozložeé áhodé veličiy se sřeí hodoou µ = 0 a kosaím rozpylem ozačuje jako bílý šum. Taková řada je svým způsobem ejáhodější ze všech rozumých časových řad, proože o jejím příším čleu v podsaě evíme a základě předchozího průběhu víc, ež že půjde o ějaké číslo kolem uly. Název bílý šum vzikl z oho, že ao časový řada obsahuje rovoměrý podíl frekvečích složek všech vlových délek podobě jako bílé svělo obsahuje složky všech barev spekra. 0,8 0,6 0,4 0, 0 3 5 7 9 3 5 7 9 3 33 35 37 39 4 43 45 47 49 5 53 55 57 59 6 63 65 67 69 7 73 75 77 79 8-0, -0,4-0,6-0,8 - Obr. 3: Bílý šum. Základí úpravy časových řad V další čási jsou shruy ejčasější rasformace či úpravy výchozí časové řady. Mohé sofwarové produky zahrují moduly pro yo auomaické výpočy. - 6 -
.. Doplěí chybějících hodo V časové řadě může ěkeré pozorováí chybě a bývá ěkdy ué je před zahájeím dalších výpočů dopli. Doplěé údaje samozřejmě ejsou plohodoé a jejich příomos sižuje věrohodos aalýzy. Podle účelu rasformace lze posupova ěkerým z ásledujících přísupů: Nahradi chybějící hodoy ulami. Teo způsob lze doporuči ehdy, evíme-li o řadě ic aebo je o, že její průměrý čle by měl bý ulový (ak omu bývá apř. u aměřeých odchylek od ějaké očekávaé hodoy řízeého procesu. Nahradi chybějící hodoy ějakou cerálí charakerisikou souboru aměřeých hodo, kokréě jeho arimeickým průměrem ebo mediáem. Lze přiom brá cerálí charakerisiku buď celého souboru, ebo pouze okolích bodů. Nahradi chybějící hodou lieárí ierpolací mezi sousedími body. Hodí se pro řady, keré vykazují výrazou servačos. Nahradi chybějící hodoy redem v celém souboru, získaém regresí vhodé křivky. Nahradi chybějící hodoy odhadem založeým a zámém či odhaduém modelu chováí procesu... Trasformace měříka a kombiace časových řad Nelieárí rasformace měříka časové řady se používá především pro polačeí či zmírěí esacioariy řady v případě, kdy apř. s rosoucími hodoami řady rose i rozpyl čleů. Pak může logarimováí ebo odmocěí eo problém polači. Po provedeí aalýzy se k původímu měříku vráíme zpěou rasformací: v případě logarimováí je o rasformace expoeciálí fukcí, v případě odmocěí rasformace umocěím. Někdy bývá vhodé zkombiova ěkolik časových řad apř. jejich sečeím ebo vyděleím jedé řady druhou (vypočíáím poměru...3 Časový posu Časový posu zameá vyvořeí časové řady opožděé resp. předbíhající časovou řadu, ale jiak s í oožou. Předsavuje o vlasě posuuí časové řady dopředu případě dozadu oproi původí časové řadě. Nově vyvořeé proměé mají ovšem a začáku, resp. a koci olik chybějících hodo, o kolik kroků se posu prováděl...4 Sezóí diferece Sezóí diferece je diferece mezi okamžiky, vzdáleými o celisvý ásobek délky periody. Například u da s iervalem jede měsíc, u ichž defiujeme ročí sezóí cyklus, se sezóí diferece. řádu počíá jako rozdíl údaje z leošího leda míus údaje z loňského leda, z leošího úora míus loňského úora ad. Diferece vyjadřuje velikos změy, ke keré došlo mezi dvěma časovými okamžiky měřeí. Je-li kladá, řada v daém čase rose, je-li záporá, řada klesá. Diferecí se daa zbavují lieárího redu, sezóí diferecí sezóích vlivů. - 7 -
3 5 7 9..5 Kumulaiví souče Opačou operací k difereci je kumulaiví souče časové řady. Jeho hodoa se rová souču všech hodo od počáku řady až po daý okamžik. Posupou aplikací diferece a kumulaivího souču získáme původí řadu opožděou o jede časový ierval a zvěšeou ebo zmešeou o ějakou kosau. Důležiou časovou řadou je řada vziklá kumulaivím součem bílého šumu. Říká se jí áhodá procházka, proože ikdy elze předvída, zda ao fukce se obráí vzhůru ebo dolů. Někdy je éž azýváa procházkou opilého ámoříka. Podle zákoiosi áhodé procházky by se měli řídi apř. cey akcií a burze. Náhodá procházka je hladší ežli bílý šum, jelikož iegrace polačuje vyšší frekvečí složky a zvýrazí ižší frekvece. 3,5 3,5,5 0,5 0 3 5 7 9 3 5 7 9 3 33 35 37 39 4 43 45 47 49 5 53 55 57 59 6 63 65 67 69 7 73 75 77 79 8-0,5 - Obr. 4: Náhodá procházka j. epredikovaelá časová řada..6 Vyhlazováí časových řad Pokud je ěkerá veličia měřea v příliš krákých časových iervalech, může se sá, že ásledující čley se eliší éměř ičím jiým, ež ahodilými odchylkami, jakýmsi šumem, kerý se přičíá ke správé hodoě sledovaé veličiy. Pokud lze předpokláda, že ao ahodilá chyba očekávaou hodou jedou zvěší a jidy zase zmeší (její sředí hodoa je ulová a jedolivé chyby ejsou vzájemě závislé (j. ekorelovaé, můžeme pak očekáva, že zprůměrováím ěkolika po sobě ásledujících pozorováí budou se chyby mí edeci avzájem ruši, zaímco skuečá sledovaá hodoa procesu ím vyike. Na omo pozorováí jsou založey meody vyhlazováí časových řad. Sředové klouzavé průměry: hodoa je ahrazea arimeickým průměrem sebe a ejbližších předchozích pozorováí, ležících ejdále do daé časové vzdáleosi. Klouzavé průměry z předchozích hodo: hodoa je ahrazea arimeickým průměrem sebe a ejbližších předchozích pozorováí. Klouzavé mediáy: hodoa je ahrazea mediáem sebe a ejbližších pozorováí, ležících ejdále do daé časové vzdáleosi. Jedou z aplikací ěcho meod je aké vyhlazeí sezóích vlivů, pokud jako rozpěí zadáme délku jedé periody. V případě měsíčích da s ročí periodiciou je rozpěí. - 8 -
.3 Problémy časových řad Při zpracováí da ve formě časové řady se poýkáme s možsvím problémů, keré jsou právě pro časové řady specifické. Jedá se především o problémy: s volbou časových bodů: o okamžikové, o iervalové; s kaledářem: o růzá délka měsíců, o růzý poče víkedů v měsíci, o růzý poče pracovích dů v měsíci, o pohyblivé sváky; s délkou časových řad; esrovaelosí da. Diskréí časové řady obsahují pozorováí v určiých espojiých časových bodech a mohou vzika rojím způsobem: buď přímo diskréí svou povahou, ebo vzikají diskreizací spojié časové řady, případě agregací či průměrováím hodo za daé časové období. Problémy s kaledářem zameají růzá délka kaledářích měsíců, růzý poče pracovích dí v měsíci, pohyblivé sváky (apř. velikooce. Tyo epravidelosi mohou mí překvapivé ásledky, avšak je možé je očisi od ěcho problémů: apř. vyrováí růzého poču dí v měsíci: y = y ( očišěá p p, kde y hodoa očišťovaého ukazaele, p poče pracovích dí v měsíci, p - průměrý poče pracovích dí v měsíci za rok (30,4 či jiý základ apř. 30 dí. Někeré krákodobé epravidelosi v kaledáři mohou bý odsraěy pomocí agregace apř. použijeme-li čvrleě agregovaé hodoy míso původích měsíčích údajů. Problémy s délkou časových řad souvisí s počem pozorováí při aalýze časových řad, ale je ezbyé respekova i viří srukuru řady. Na jedé sraě ěkeré aalýzy časových řad vyžadují určiou miimálí délku řady (apř. Boxův-Jekisův přísup předpokládá miimálě 50 pozorováí, a sraě druhé u velice dlouhých časových řad je ebezpečí, že v průběhu ohoo časového období se měí charakerisiky modelu a udíž viří srukura geerující řadu se sává s rosoucí délkou obížě modelováa v případě modelů předpokládající sabilí chováí paramerů. Problémy s esrovalosí jedolivých měřeí souvisí s výběrovým vzorkem a zároveň reprezeaivosí ohoo vzorku i s hlediska časového vývoje. V případě možé volby časových bodů pozorováí sledujeme cíl ašeho zkoumáí, možosi periodiciy původí časové řady, změy ve vývoji a viří srukuře časové řady. Při aalýza - 9 -
časové řady bychom měli vycháze miimálě ze 30 pozorováí, což je apř. v případě ročích ukazaelů problemaické. Rověž bychom měli respekova ekvidisaí j. (sejě vzdáleé časové body.. 4 Meody aalýzy časových řad Výběr meody aalýzy časových řad závisí a řadě fakorů, ke kerým paří: účel aalýzy (apř. rozpozáí mechaismu geerováí hodo časové řady a předpovídáí jejího budoucího vývoje yp časové řady, zkušeosi saisika, dosupá daabáze, sofwarové a hardwarové vybaveí. Základí meody a posupy k aalýze časových řad: dekompozice časové řady, Boxova-Jekisova meodologie, lieárí dyamické modely, spekrálí aalýza časových řad. Dekompozičí meoda rozkládá časovou řadu a redovou, cyklickou, sezóí a esysemaickou složku a zabývá se ideifikací i modelováím zejméa sysemaických složek, především redové a sezóí složky. Boxova-Jekisova meodologie bere v úvahu při kosrukci modelu časové řady reziduálí složku, kerá může bý vořea korelovaými (závislými áhodými veličiami. Boxova- Jekisova meodologie edy eje může zpracováva časové řady s avzájem závislými pozorováími, ale dokoce ěžišě jejich posupů spočívá právě ve vyšeřováí ěcho závislosí eboli zv. korelačí aalýze. Kombiují se auoregresiví modely AR(p s modely klouzavých průměrů reziduálí složky MA(q. V případě esacioárí časové řady se provádí sacioarizace apř. diferecováím a zjišťuje se řád s paramerem d. Výsledý model se poom ozačuje jako ARIMA(p,d,q, v případě sezóích vlivů SARIMA modely. Lieárí dyamické modely jsou zpravidla příčié (kauzálí modely, kde je vysvělovaá proměá y vysvělováa vývoje svých zpožděích hodo či dalších vysvělujících fakorů. Rozdíl od modelu Box-Jekise spočívá v om, že zde kromě popisovaé časové řady a bílého šumu vysupují ješě další časové řady příčié fakory. Spekrálí aalýza časových řad má a rozdíl od předcházejících ří případů odlišý přísup spočívající v om, že se zkoumaá časová řada považuje za směs siusových a kosiusových křivek s růzými ampliudami a frekvecemi. Časo se rověž hovoří o zv. fourierovské aalýze. Pomocí speciálích saisických ásrojů se zjišťuje obraz o ieziě zasoupeí jedolivých frekvecí v časové řadě (zv. spekrum řady. Dále bude pozoros věováa dekompozici časové řady. - 0 -
Dekompozice časové řady Při klasické aalýze časových řad se vychází z předpokladu, že každá časová řada může obsahova čyři složky: a red (Tr, b sezóí složku (Sz, c cyklickou složku (C, d áhodou složku (E. Prováděí rozkladu (dekompozice si klade za cíl saději ideifikova pravidelé chováí časové řady ež původí erozložeé řady. Tred vyjadřuje obecou edeci vývoje zkoumaého jevu za dlouhé období. Je výsledkem dlouhodobých a sálých procesů. Tred může bý rosoucí, klesající ebo může exisova řada bez redu. Tredová složka se věšiou modeluje pomocí maemaických křivek. Sezóí složka je pravidelě se opakující odchylka od redové složky. Perioda éo složky je meší ež celková velikos sledovaého období. Rověž se ao složka může měi svůj charaker. % 5,0 0,0 5,0 0,0 5,0 0,0 Obr. 5: Vývoj míry ezaměsaosi v okrese Zojmo I.95 IV.95 VII.95 X.95 I.96 IV.96 VII.96 X.96 I.97 IV.97 VII.97 X.97 I.98 IV.98 VII.98 X.98 I.99 IV.99 VII.99 X.99 I.00 IV.00 VII.00 X.00 I.0 IV.0 VII.0 X.0 I.0 IV.0 VII.0 X.0 daum Cyklická složka udává kolísáí okolo redu v důsledku dlouhodobého cyklického vývoje, kdy dochází ke sřídáí fází růsu a poklesu. Jedolivé cykly se vyvářejí za zpravidla období delší ež jede rok a mohou mí epravidelý charaker z. růzou ampliudu. Cykly jsou v ekoomických časových řadách způsobey ekoomickými i eekoomickými fakory a časo jsou obížě pozorovaelé. V posledích leech se věuje pozoros zejméa echologickým, iovačím či demografickým cyklům. Obrázek 6 zobrazuje vývoj cyklické složky pro hrubý árodí produk v USA. - -
4500 4000 3500 3000 500 000 965 966 967 968 969 970 97 97 973 974 975 976 977 978 979 980 98 98 983 984 985 986 987 988 989 mld. $ rok Obr. 6: Vývoj hrubého árodího produku USA a leech 965-989 (reálé cey k roku 98 v mld. $ Náhodá (sochasická složka vyjadřuje ahodilé a jié esysemaické esysemaické výkyvy (apř. chyby měřeí. Předpokládá se, že áhodá složka je vořea zv. bílým šumem s ormálím rozděleím. Pod pojmem bílý šum rozumíme ekorelovaé (vzájemě ezávislé áhodé veličiy s ulovou sředí hodoou a kosaím rozpylem. Vlasí dekompozice časové řady může zhrova formu adiiví ebo muliplikaiví. Adiiví dekompozice má var : y = Tr + C + Sz + E. Při adiivím ozkladu jsou jedolivé složky uvažováy ve svých skuečých absoluích hodoách a jsou měřey v jedokách řady y. Na obrázku č. 7 je schemaiky zázorě příklad dekompozice adiiví formy časové řady. - -
Obr. 7: Adiiví dekompozice časové řady Muliplikaiví forma má var: y = Tr C Sz E. Po adiiví dekompozici jsou jedolivé složky časové řady ve sejých měrých jedokách jako původí řada. Adiiví dekompozice se používá v případě, že variabilia hodo časové řady je přibližě kosaí v čase. Po muliplikaiví dekompozici je redová složka časové řady ve sejých měrých jedokách jako původí časová řada, ale osaí složky (cyklická, sezóí, esysemaická jsou v relaivím vyjádřeí. Teo způsob dekompozice se používá v případě, že variabilia časové řady rose v čase, ebo se v čase měí. Na jedé sraě kladou dekompozičí meody pozoros zejméa a sysemaické složky časové řady a předpokládá se, že jedolivá pozorováí jsou avzájem ekorelováa. V omo případě je maemaickým ásrojem v dekompozičích meodách zejméa regresí aalýza. Aalýza redu Tred v časových řadách je možé popsa pomocí redových fukcí a klouzavých průměrů. Modelováí redu pomocí redových fukcí se používá v případě, kdy red odpovídá určié fukci apř. lieárí, kvadraické, expoeciálí, S-křivky apod. Modelováí redu pomocí - 3 -
klouzavých průměrů se používá, jesliže je vývoj časové řady v důsledku silého vlivu esysemaické složky erovoměrý ebo má exrémí hodoy. Při modelováí redu pomocí redových fukcí se vychází z ásledujících předpokladů: Časová řada y je pro =,,..., uspořádaá posloupos hodo v čase, keré získáme měřeím určiého ukazaele ve sejě dlouhých časových iervalech. Časovou řadu y je možé zapsa ve varu y = Y + E, kde Y předsavuje eoreický model sysemaické složky vývoje ekoomického ukazaele Y v čase a E vyjadřuje esysemaickou složku. Tao esysemaická složka má charaker bílého šumu (ulová sředí hodoa, kosaí rozpyl, vzájemá lieárí ezávislos, kerý se avíc řídí ormálím rozděleím. V aalýze časových řad lze vyjádři Y =f(. Pokud se jedá pouze o časovou řadu s redovou složkou, poom fukce f je redová fukce. Je-li v časové řadě rověž sezóí složka ebo cyklická složka, poom je Y kompozicí modelů ěcho složek. Exisují dva základí přísupy k elimiaci redu (vyrováí, vyhlazeí časové řady, kdy se odsraňují sezóí, cyklické a áhodé flukuace: klasické posupy elimiace redu (maemaické aalyické přísupy, adapiví posupy, keré auomaicky reagují a případé změy v charakeru redu (apř. a změy ve směrici lieárího redu. Maemaické aalyické přísupy zahrují meody, při ichž se sažíme popsa red aalyicky ěkerou jedoduchou křivkou. Po odhadu paramerů éo křivky lze poom kosruova bodovou ebo iervalovou předpověď za předpokladu, že charaker redové fukce se eměí. Při omo posupu se předpokládá, že aalyzovaá časová řada má var: y = Tr + E, ebo byla a eo var převedea. Základí redové fukce pro =,,..., : Kosaí red má var Tr = β 0, odhad redu je y = Tr = y, odhad rozpylu esysemaické složky je s =. E s y Lieárí redová fukce Tr = β 0 + β, Odhad lieárího redu je y = Tr = β + β, odhad rozpylu esysemaické složky je s E = ( y y =. 0 Kvadraická redová fukce (parabola má var Tr = β 0 + β + β, odhad redu je y = Tr = β + β + β, odhad rozpylu esysemaické složky je s E = ( y y 3 =. 0-4 -
Expoeciálí redová fukce má var Tr = β 0 β, kde paramery β 0, β > 0 se odhadují meodou ejmeších čverců, proože redová fukce se po logarimické úpravě převede a lieárí fukci. Odhad redu je y = Tr = β 0 β a odhad rozpylu esysemaické složky upraveé po logarimické rasformaci je S-křivka má var s = ( y y E. Tr = e = β 0 +β (, kerý se po logarimické rasformaci dá převés a var hyperboly ltr = β 0 + β. Paramery odhadujeme opě meodou ejmeších čverců. Odhad redu je logarimováím s = a odhad rozpylu esysemaické složky je po liearizaci ( β0 + β y Tr = e E = ( y y =. Modifikovaý expoeciálí red má var Tr = γ + β 0 β, kde β 0 < 0, 0 < β < a γ > 0. Kosaa γ je asympoou (úroví saurace, hladiou asyceí, ke keré red časové řady pro koverguje. Přírůsek expoeciálího redu β je pomalejší, ež přírůsek lieárího redu. Modifikovaý expoeciálí red je populárí v markeigu. Je o však elieárí fukce, kerou eí možé liearizova žádou rasformací, a proo se její paramery odhadují ieraivími meodou. Tyo meody vyžadují výpoče počáečích odhadů paramerů fukce, keré se dají získa apř. meodou čásečých součů ebo meodou vybraých bodů. Logisický red je uvede ve varu Pearlovy-Reedovy redové fukce Tr =, γ + β 0β jejíž iverzí fukce = γ + β 0β má var modifikovaého expoeciálího redu. Tr Paramery se po iverzí rasformaci odhadují sejým způsobem, jako pro modifikovaý expoeciálí red. β * * * Gomperzův red má var Tr = γβ, resp. Tr = γ + β β. Křivka má horí 0 asympou γ * = lγ a vyjadřuje hraici asyceí pro. Paramery původího redového modelu se po rasformaci odhadují jako u modifikovaého expoeciálího redu ebo jedoduchého expoeciálího redu. 0 Předpovídáí pomocí redových fukcí Jedím ze základích účelů modelováí časových řad v čase =,,..., je využií ěcho modelů, v případě jejich saisické výzamosi, k předvídáí apř. předpověď exrapolací. Exrapolací - 5 -
se rozumí kvaiaiví odhady budoucích hodo časové řady, keré vzikají prodloužeím vývoje z miulosi a příomosi do budoucosi s horizoem =+, +,..., T, za předpokladu, že se eo vývoj ezměí. Exrapolačí předpovědi rozdělujeme a bodové a iervalové. Bodová předpověď exrapolace ex ae se určuje v čase = do okamžiku =T a ozačuje se ( T. Horizoem předpovídáí se rozumí poče období (T- od bodu = do y budoucosi. ( α 00% ierval předpovědi (apř. 95% je ierval, ve kerém se s pravděpodobosí ( α 00% (apř. 95% achází skuečá hodoa y T z. y ( T ± α / ( ( l + s p, kde ( l α je ( 00% / ( + α kvail Sudeova rozděleí s -(l+ supi volosi, kde (l+ je poče odhaduých paramerů v polyomiálích fukcích, s p je směrodaá chyba předpovědi v horizou (T-. Když určujeme exrapolace, a se předpokládá, že vybraý model je správý a skuečé paramery modelu se v čase eměí. V moha siuacích jsou yo předpoklady ereálé, proože proces, kerý geeruje vývoj časové řady se měí v čase. Čím je horizo předpovědi delší, ím je možé očekáva věší chyby předpovědi. Chyba předpovědi při exrapolaci je dáa vzahem: ET = yt y ( T, kde y ( T je bodová předpověď v čase T a y T je skuečá hodoa v čase T. Chybu předpovědi lze rozloži a dvě složky: ET = ( yt YT + ( YT y ( T, kde ( yt Y T je chyba způsobeá volbou modelu( předpokládá se správá volba j. ao složka = 0 a ( YT y ( T je chyba způsobeá odhadem paramerů modelu. Příklad bodové a iervalové předpovědi pro lieárí redovou fukci: bodová předpověď : T = β + β (, y ( 0 T ( α 00% předpovědí ierval : kde s E je směrodaá odchylka reziduí. Při výběru redové fukce je ué respekova : graf časové řady resp její rasformace, v ( T y ( T ± se / ( + + α, ( / ierpolačí kriéria ( směrodaá odchylka reziduí, koeficie deermiace, koeficie auokorelace reziduí, esy paramerů, exrapolačí kriéria (průměré charakerisiky chyb předpovědí ex pos, graf předpověď-skuečos. Grafická aalýza slouží k předběžému výběru vhodé redové fukce: kolísá-li řada prvích diferecí okolo uly, volíme kosaí red; kolísá-li řada prvích diferecí kolem eulové kosay, použijeme lieárí red; - 6 -
jesliže má řada prvích diferecí přibližě lieárí red a řada druhých diferecí kosaí red, volíme kvadraický red; kolísá-li řada koeficieů růsu ebo řada prvích diferecí okolo eulové hodoy, volíme jedoduchý expoeciálí red; jesliže má řada ly přibližě hyperbolický průběh, volíme S-křivku; jesliže řada podílů sousedích diferecí ( y ( y y y / kolísá okolo eulové kosay, volíme modifikovaý expoeciálí red; jesliže řada podílů sousedích diferecí ( l l y /( l y y y l kolísá okolo eulové hodoy, volíme Gomperzovu křivku. Ierpolačí kriéria zkoumají charaker rozdílů skuečých hodo y a vyrovaých hodo y. Mezi míry přesosi vyrováí áleží ásledující charakerisiky reziduí: souče čvercových chyb (Sum of Squared Error ( SSE = E = y y SSE průměrá (sředí čvercová chyba = MSE = a průměrá absoluí chyba = MAE = y y. = Klasická aalýza časových řad předpokládá, že redová fukce má v čase kosaí paramery. V delším časovém období je eo předpoklad ereálý, proo je vhodé využíva adapiví echiky, jako je meoda klouzavých průměrů a expoeciálí vyrováváí. = =, Klouzavý průměr Meoda klouzavých průměrů se zakládá a myšlece, že časovou řadu y pro =,,..., rozdělíme a kraší časové úseky o poču hodo m+, a kerých odhadujeme lokálí polyomické redy určiého supě. Např. kosaí red se popisuje polyomem ulého supě, lieárí red polyomem prvího supě. Prví čás časové řady má m+ hodo, keré ozačujeme y, y,..., y m+, z ich odhademe paramery lokálího redu vhodým polyomem a vypočíáme jeho odhad Tr m+, sejý polyom odhademe a druhé skupiě hodo řady, y, y 3,..., y m+ a vypočíáme odhad lokálího redu T r m+, ímo klouzavým způsobem pokračujeme až do koce časové řady. V sezóích časových řadách se redová složka odhaduje pomocí cerovaých klouzavých průměrů, proože délka klouzavé čási je sudé číslo. - 7 -
Expoeciálí vyhlazováí Je vhodé zejméa pro krákodobou predikci redů. Tao echika, eáročá a čas a eoreické zalosi, rozvíjí myšleku vyhlazováí pomocí klouzavých průměrů. Meoda expoeciálího vyrováváí je založea a všech předchozích pozorováích, přičemž jejich váha (w směrem do = α α (viz obrázek 8, kde je poče miulosi klesá podle expoeciálí fukce: ( pozorováí a α je vyrovávací kosaa v iervalu (0;. w w 0,4 0,3 0, 0, 0,0 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 Obr. 8: Vývoj váhy (w dle expoeciálí fukce v čase ( pro α = 0,7 a =3. Iezia zapomíaí, vyjádřeá velikosí alfy, se saoví a základě charakeru časové řady. Hledá se aková hodoa α, u keré je ejmeší SSE příp. MSE. V programu EXCEL se pro hledáí exrému fukcí používá ásroj Řešiel. Expoeciálí vyrováí prvího supě. Teo ejjedodušší způsob vyrováí lze použí pouze a časové řady, keré evykazují žádý red, avšak při aalýze ukazaelů rhu práce se věšiou epoužívá, ale uvádíme ho pro pochopeí složiějších formy. U časových řad, keré jsou ve varu y = Tr + E, lze v případě kosaího redu ahradi redovou složku (Tr kosaou, j. Tr = β 0. Úkolem je edy aléz odhad parameru β 0, kerý se v omo případě rová vyrovaé hodoě y. Vyrovaá časová řada se vypočíá podle ásledujícího rekureího vzorce: yˆ ( ˆ = α y + α y. Pokud se α blíží k hodoě ak rose vliv miulých pozorováí. Pro hledáí vhodé α se věšiou doporučuje ierval <0,7;. Výše uvedeý vzorec lze přepsa i do ásledujícího varu: yˆ ˆ ( ( ˆ = y + α y y, kerý vysvěluje vyvářeí ové vyrovaé hodoy z předchozí vyrovaé hodoy, opraveou o chybu daou rozdílem mezi skuečou a předcházející vyrovaou hodoou. Problémem rekureích vzorců je saovi odhad vyrovaé hodoy pro =, kerou ezáme. Exisují sice algorimy jak uo hodou saovi, ale ejjedodušší je aproximova ji skuečou hodoou v čase =. Meoda expoeciálího vyrováí brzy a uo epřesos zapomee, z. že po případém počáečím odklou se vyrovaé hodoy brzy přiblíží k aměřeým pozorováím. Příklad expoeciálího vyrováí ukazuje a simulovaých daech obrázek 9. - 8 -
y 6 5 4 3 3 5 7 9 3 5 7 9 3 5 7 9 3 33 35 37 39 4 43 45 47 49 5 Obr. 9: Expoeciálí vyrováí prvího supě s predikcí. Expoeciálí vyrováí druhého supě Dvojié expoeciálí vyrováí používáme v případě, kdy lze předpokláda, že v krákém období bude mí redová složka lieárí formu: Tr = β 0 + β.. Předpoklad lieariy v krákém období je v praxi velice rozšíře. Posup si předvedeme a ásledujícím příkladu. - 9 -
3 Příklad č. : Aalýza míry ezaměsaosi v okrese Karviá V éo časi si ukážeme ypický posup při aalýze časových řad z ásledou predikcí a příkladu vývoje míry ezaměsaosi v okrese Karviá v období 995 00. Budou sledováy ásledující kroky aalýzy časové řady:. grafická a saisická deskripce,. očisěí časové řady od sezóích vlivů, 3. vorba modelu (expoeciálí vyrováí druhého supě s predikcí, 4. kosrukce výsledé predikce. 3. Grafická a saisická deskripce Kromě klasického zobrazei časové řady, jak jej můžee vidě a obr č.. Je vhodé pro saoveí sezóosi provés resrukuralizaci da pomoci koigečí abulky. Novou daovou maici je zapořebí vyvoři ak, aby roky byly ve sloupcích a měsíce v řádcích, viz ásledující abulka. Tab. : Resrukurovaá daová maice. Rok Měsíc 995 996 997 998 999 000 00 00 7,53 7,40 8,4 0,67 4,63 8,6 7,88 8,63 7,38 7,37 8,55 0,6 5,09 8,69 7,78 8,57 3 7,8 7,9 8,56 0,78 5,53 8,80 7,7 8,46 4 7,00 7,4 8,59 0,8 5,75 8,36 7,49 8,46 5 6,84 7,04 8,6 0,9 5,88 8,8 7, 8, 6 6,9 7,3 9,07,59 6,36 8,53 7,46 8,49 7 7,30 7,67 9,76,0 7,5 8,73 8,04 9,03 8 7,37 7,85 0,06,60 7,39 8,7 8,06 9,9 9 7,4 8, 0, 3,00 7,57 8,64 7,79 9,3 0 7,8 8,0 0, 3,07 7,76 8,05 7,76 9,3 7,9 8,6 0,5 3,33 7,87 7,87 7,70 9,4 7,0 8,40 0,39 3,76 8, 8,04 8,0 9,58 Z éo abulky pak lze vyvoři ásledující graf 0, ve kerém lze pozorova sezóos, kerá se eprojevuje ak výrazě jak apř. u okresu Zojmo (viz. obr 5. Je vidě že charaker sezóosi je u okresu Karviá ovlivě především od 5. měsíce árůsem poču absolveů. Z důvodu srukury zaměsaosi v okrese se zde eprojevuje ypická variabilia způsobeá sezóími pracemi. - 0 -