Věty o přírustku funkce prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky České vysoké učení technické v Praze c Čestmír Burdík, Edita Pelantová 2009 Základy matematické analýzy 11. přednáška BI-ZMA ZS 2009/2010 Evropský sociální fond. Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti (FIT) Věty o přírustku funkce BI-ZMA ZS 2009/2010 1 / 16
Extrémy funkce Ted ukážeme, jak lze derivace použít pro vyšetřování funkce. Zavedeme nejdříve některé pojmy. Definice Řekneme, že funkce f má v bodě a lokální maximum, když ( H a D f )( x H a )(f (x) f (a)); lokální minimum, když ( H a D f )( x H a )(f (x) f (a)); ostré lokální maximum, když ( H a D f )( x H a {a})(f (x) < f (a)); ostré lokální minimum, když ( H a D f )( x H a {a})(f (x) > f (a)). Lokální maximum a lokální minimum společně nazýváme lokální extrém. (FIT) Věty o přírustku funkce BI-ZMA ZS 2009/2010 2 / 16
Věta Necht f má v bodě a lokální extrém. Pak f (a) = 0 nebo derivace v bodě a neexistuje. Důkaz. Kdyby totiž derivace f f (x) f (a) (a) = x a x a byla např. kladná, platilo by f (x) f (a) x a > 0 pro všechna x z nějakém okoĺı (a ε, a + ε) Proto pro a < x < a + ε máme f (x) > f (a) - v bodě a nemůže být lokální minimum; pro a ε < x < a máme f (x) < f (a) - v bodě a nemůže být lokální maximum. V bodě a není lokální extrém, a to je spor s předpokladem. (FIT) Věty o přírustku funkce BI-ZMA ZS 2009/2010 3 / 16
Následující příklad ukazuje, že mezi kandidáty na extrém funkce jsou kromě bodů s nulovou derivaci i body, ve kterých derivace neexistuje. Uvažujme funkci f (x) = x. Spočítejme derivaci v bodě 0. x 0 x 0 x 0 = sgn x. x 0 Jelikož ity zprava a zleva jsou různé, derivace funkce f (x) = x v bodě 0 neexistuje, přesto má funkce minimum v bodě x = 0. (FIT) Věty o přírustku funkce BI-ZMA ZS 2009/2010 4 / 16
Nulovost derivace v nějakém bodě ovšem ještě neznamená, že tam nutně bude extrém. Funkce f (x) = x 3 má v derivaci f (x) = 3x 2, a tedy f (0) = 0. Funkce f je rostoucí na celém R, a nemá tedy žádny extrém. Věta Funkce f spojitá na uzvřeném intervalu a, b může nabývat maximální nebo minimální hodnoty (tzv. globální extrém) pouze v bodech a, b a v bodech, kde derivace je rovna 0 nebo neexistuje. (FIT) Věty o přírustku funkce BI-ZMA ZS 2009/2010 5 / 16
Určete maximum a minimum funkce f (x) = x 3 3x + 5 na intervalu 3, 0. Derivace existuje pro každé x a je rovna f (x) = 3x 2 3 = 3(x 2 1) = 3(x 1)(x + 1). Pro výskyt extrému jsou zajímavé pouze body x = 1, x = 3, x = 0. Určením funkčních hodnot v těchto bodech dostaneme f ( 1) = 7, f ( 3) = 13, f (0) = 5. Proto na intervalu 3, 0 má funkce maximální hodnotu v bodě 1, toto maximum je 7; funkce má minimální hodnotu v bodě 3, toto minimum je 13. (FIT) Věty o přírustku funkce BI-ZMA ZS 2009/2010 6 / 16
Z papíru tvaru obdélníka se stranami 8 cm a 3 cm vyrobíme krabičku tak, že vystřihneme ze všech čtyř rohů stejné čtverce. Krabička bude mít výšku rovnou straně tohoto čtverce. Nalezněte délku strany čtverce, při níž bude objem krabičky největší. Rešení: Označme stranu vystřiženého čtverce x. Objem krabičky je Objem(x) = x(8 2x)(3 2x) = 4x 3 22x 2 + 24x, kde x 0, 3 2. Funkce Objem(x) má derivaci pro každé x Objem (x) = 12x 2 44x + 24 = 4(3x 2 11x + 6) = 4(x 3)(3x 2). Derivace je rovna nule v bodech 3 a 2 3. Interval, ve kterém hledáme výšku krabičky, obsahuje pouze hodnotu 2 3. Pro takové x je objem krabičky maximální a je roven Objem( 2 3 ) = 200 9 cm 3. (FIT) Věty o přírustku funkce BI-ZMA ZS 2009/2010 7 / 16
V prvním případě lze volit c libovolně z (a, b). V druhém případě existují α, β a, b tak, že A = f (α) < B = f (β). Protože f (a) = f (b), leží alespoň jeden z bodů α nebo β uvnitř (a, b). Tento bod označme c. Funkce f má v bodě c lokální extrém, a proto f (c) = 0. (FIT) Věty o přírustku funkce BI-ZMA ZS 2009/2010 8 / 16 Rolleova věta Věta Necht funkce f splňuje: 1) f je spojitá na intervalu a, b ; 2) f má derivaci v každém bodě intervalu (a, b); 3) f (a) = f (b). Pak existuje c (a, b) tak, že f (c) = 0. Důkaz. Protože funkce je spojitá na uzavřeném intervalu, je obraz intervalu { jednoprvková množina, když f je konstantní, f ( a, b ) = uzavřený interval A, B, jinak
Lagrangeova věta, tzv. věta o přírůstku funkce Věta Necht funkce f splňuje: 1) f je spojitá na intervalu a, b ; 2) f má derivaci v každém bodě intervalu (a, b). Pak existuje c (a, b) takové, že f (c) = f (b) f (a) b a. Důkaz. f (b) f (a) Definujme funkci G(x) := f (x) b a (x a). Tato funkce je spojitá na a, b, má derivaci v každém bodě x (a, b) a navíc G(a) = G(b) = f (a). Proto podle Rolleovy věty existuje c (a, b) tak, že 0 = G (c) = f (c) f (b) f (a) b a z čehož už(fit) plyne tvrzení věty. Věty o přírustku funkce BI-ZMA ZS 2009/2010 9 / 16,
Zobecněná věta o přírůstku funkce Věta Necht funkce f a g splňují: 1) f a g jsou spojité na intervalu a, b ; 2) v každém bodě x intervalu (a, b) existuje f (x); 3) v každém bodě x intervalu (a, b) existuje g (x) R {0}. Pak existuje c (a, b) takové, že f (c) f (b) f (a) g = (c) g(b) g(a). (FIT) Věty o přírustku funkce BI-ZMA ZS 2009/2010 10 / 16
l Hospitalovo pravidlo Necht pro funkce f a g a bod b R platí 1) b f = b g = 0 nebo b g = + ; 2) ( H b ) ( ) H b {b} D f /g D f /g ; f 3) existuje b g. f Pak existuje b g a platí b f g = b f g. Důkaz. Případ b R a b f = b g = 0. Položme f (b) := 0 a g(b) := 0 a aplikujme zobecněnou větu o přírůstku funkce na interval b, x H b. Najdeme c = c(x), takový, že b < c(x) < x a f (c(x)) f (x) f (b) g = (c(x)) g(x) g(b) = f (x) g(x). (FIT) Věty o přírustku funkce BI-ZMA ZS 2009/2010 11 / 16
Pokračování důkazu Ted stačí využít větu o itě složené funkce, abychom odvodili f (x) x b+ g (x) = f (c(x)) x b+ g (c(x)) = f (x) x b+ g(x) Podobně odvodíme vztah pro levostrannou derivaci. (FIT) Věty o přírustku funkce BI-ZMA ZS 2009/2010 12 / 16
Spočítejme itu arcsin x x 0 sin x Nejdříve se musíme ujistit, že lze použít l Hospitalovo pravidlo. Počítejme itu arcsin x x 0 sin x = x 0 x ln x. x 0 +. 1 1 x 2 cos x = 1. Abychom mohli použít l Hospitalovo pravidlo, musíme nejdříve ze součinu vytvořit podíl, a pak derivovat. ln x x ln x = x 0 + x 0 1 + x = x 0 + 1 x 1 x 2 = x 0 + ( x) = 0. (FIT) Věty o přírustku funkce BI-ZMA ZS 2009/2010 13 / 16
Počítejme itu x + e x x 2. Opakovaným použitím l Hospitalova pravidla dostaneme e x + x 2 = + e x 2x = + e x 2 = +. (FIT) Věty o přírustku funkce BI-ZMA ZS 2009/2010 14 / 16
Následující dva příklady ukazují, že l Hospitalovo pravidlo není univerzální návod na výpočet it. Spočítejme itu Bez l Hospitala: e x + e x x + e x e x. e x + e x x + e x e x = 1 + e 2x x + 1 e 2x = 1. Ted s l Hospitalem opakovaně použitým: e x + e x x + e x e x = bludný kruh e x e x x + e x + e x = x + e x + e x e x =... e x (FIT) Věty o přírustku funkce BI-ZMA ZS 2009/2010 15 / 16
Spočítejme itu Bez l Hospitala: x + sin x x + x + cos x. x + sin x x + x + cos x = 1 + sin x x x + 1 + cos x x Pokus o l Hospitala: podíl derivací = 1. 1 + cos x 1 sin x nesplňuje předpoklad 2) l Hospitalova pravidla, ani neexistuje 1 + cos x x + 1 sin x. (FIT) Věty o přírustku funkce BI-ZMA ZS 2009/2010 16 / 16