Kartografie 1 - přednáška 2 Jiří Cajthaml ČVUT v Praze, katedra geomatiky zimní semestr 2014/2015
Kartografické zobrazení kartografické zobrazení vzájemné přiřazení polohy bodů na dvou různých referenčních plochách odvozeno matematickou cestou existuje velké množství kartografických zobrazení (stovky) kartografická projekce vztah je realizován geometrickou cestou (zpravidla z koule do roviny) zpravidla známy velmi dlouho (starověk) kartografické zobrazení je popsáno zobrazovacími rovnicemi: X = f (ϕ, λ) Y = g (ϕ, λ)
Kartografické zobrazení vlastnosti: souřadnice X, Y jsou obecně funkcí ϕ, λ každému bodu v originále odpovídá jediný bod v obraze singulární body póly možné zobrazovací způsoby: φ, λ U, V Š, D ρ, ε X, Y
Kartografická zkreslení zkreslení jsou dána rozdílnou křivostí referenčních ploch typy zkreslení: délkové zkreslení m (poměr nekonečně malé délky v obraze a originále) plošné zkreslení P (poměr sobě odpovídajících nekonečně malých ploch v obraze a originále) úhlové zkreslení (rozdíl velikostí úhlu v obraze a originále) protože délkové i úhlové zkreslení jsou bezrozměrná čísla (poměry), v praxi se používá: vliv délkového zkreslení m-1 vliv plošného zkreslení P-1 (moc se nepoužívá) typ zobrazení: ekvidistantní (délkojevné), nezkreslují se délky v určitých směrech ekvivalentní (plochojevné), nezkreslují se plochy konformní (úhlojevné), nezkreslují se úhly
Délkové zkreslení P A ds dλ D P d S +X ds P d dx P dy 0 +Y J
Délkové zkreslení odvození Výchozí vztahy: m 2 A = ds 2 ds 2 = dx 2 + dy 2 M 2 dϕ 2 + N 2 cos 2 ϕ dλ 2 dx = f f dϕ + ϕ λ dλ, dx = f ϕ dϕ + f λ dλ, g g dy = dϕ + ϕ λ dλ dy = g ϕ dϕ + g λ dλ
Délkové zkreslení odvození Výsledky odvození: m 2 A = f 2 ϕ + g 2 ϕ M 2 cos 2 A+ f λ 2 + g λ 2 N 2 cos 2 ϕ sin2 A+ 2(f ϕf λ + g ϕ g λ ) sin A cos A MN cos ϕ pro A = 0 získáme délkové zkreslení v poledníkovém elementu m p pro A = 90 získáme délkové zkreslení v rovnoběžkovém elementu m r m 2 A = m2 p cos 2 A + m 2 r sin 2 A + p sin A cos A délkové zkreslení je tedy závislé na poloze bodu (ϕ, λ) a směru (azimutu) A lze odvodit podmínky konformity zobrazení m p = m r, p = 0
Délkové zkreslení m se většinou blíží k jedné vliv délkového zkreslení: cm/km, dm/km (m 1) > 0 (zobrazení prodlužuje délky) (m 1) < 0 (zobrazení zkracuje délky) neexistuje zobrazení, které by nezkreslovalo všechny délky!
Extrémní délkové zkreslení, hlavní paprsky ve kterém azimutu dochází k extrémním hodnotám m A? dm 2 A dm A da = 0 da = 2m dm A A da = 0 výsledek po úpravách: p tg 2A ɛ = mp 2 mr 2 rovnice má 2 řešení: A ɛ1 a A ɛ2 = A ɛ1 + 90 dva paprsky o těchto azimutech jsou na sebe kolmé jedná se o hlavní směry neboli hlavní paprsky dosadíme-li hodnoty azimutů do základní rovnice pro délkové zkreslení, dostaneme hodnoty extrémního délkového zkreslení v bodě (značíme je a, b) hlavní paprsky jsou na sebe kolmé v originále i obraze
Úhlové zkreslení odvození +X μp A S obr. meridi anu P μ 180 A = 180 + µ p µ tg(180 A ) = tg µ p tg µ 1 + tg µ p tg µ tg µ = dy dx = g ϕ dϕ + g λ dλ f ϕ dϕ + f λ dλ po úpravách: tg µ = g ϕ N cos ϕ cos A + g λ M sin A f ϕ N cos ϕ cos A + f λ M sin A tg µ p = g ϕ f ϕ 0 +Y
Úhlové zkreslení odvození zkreslení azimutu: A = A A zkreslení úhlu: ω = (A 2 A 1 ) (A 2 A 1 ) = A 2 A 1 +X μp tg ϑ = tg µ p tg µ r 1 + tg µ p tg µ r μr θ obraz obraz merid. rovnob. tg µ p = g ϕ f ϕ tg µ r = g λ f λ 0 +Y tg ϑ = f λ g ϕ f ϕ g λ f ϕ f λ + g ϕ g λ
Úhlové zkreslení ω je funkcí azimutu pro obraz úhlu mezi poledníkem a rovnoběžkou platí předchozí vztah: tg ϑ = f λ g ϕ f ϕ g λ f ϕ f λ + g ϕ g λ jmenovatel předchozího vztahu je roven výrazu p ze základní rovnice pro délkové zkreslení, tedy pokud je roven nule (podmínka konformity), obraz úhlu je 90, což odpovídá konformnímu zobrazení (úhel je nezkreslen) existují však i zobrazení, kde úhel mezi obrazem rovnoběžky a poledníku zůstává zachován a přesto nejsou konformní nazýváme je ortogonálními
Extrémní úhlové zkreslení odvození je složitější (viz skripta) uvedeme si pouze výsledný vztah: sin ω 2 = b a b + a
Plošné zkreslení X elipsoid p P 1 rovina p P 1 r P 2 dr 90 dp P r P 2 dr θ dp P
Plošné zkreslení odvození výchozí vztah: P = 1 2 dp dr sin ϑ 1 2 dp dr = m p m r sin ϑ můžeme dosadit za m p, m r (ze základní rovnice pro délkové zkreslení) a za sin ϑ : sinϑ = f λ g ϕ f ϕ g λ (f ) ( 2 ϕ + gϕ 2 f 2 λ + gλ) 2 P = f λg ϕ f ϕ g λ MN cos ϕ
Tissotova indikatrix délkové zkreslení v bodě je funkcí azimutu maximální a minimální hodnoty délkového zkreslení jsou a, b (hlavní paprsky) obrazem nekonečně malé kružnice je v důsledku zkreslení elipsa elipsa zkreslení (Tissotova indikatrix) znázorňuje průběh délkového zkreslení v bodě pro konformní zobrazení se jedná o kružnici a, b jsou velikosti hlavní a vedlejší poloosy elipsy A ɛ1 a A ɛ2 jsou azimuty extrémních zkreslení α p a α r jsou směry poledníku a rovnoběžky měřené od hlavního paprsku
Tissotova indikatrix p ξ p mp ξ 90 90 A ε1 α r α p A ε2 r b m r ν 90 A ε 1 α r α p A ε 2 η r η a
Tissotova indikatrix vztahy délkové zkreslení m 2 α = a 2 cos 2 α + b 2 sin 2 α úhlové zkreslení tg α = b a tg α tg A ɛ1 = b a tg A ɛ1, tg(a ɛ2 A ɛ1) = b a tg(a ɛ2 A ɛ1 ) obrazem nekonečně malé kružnice je v důsledku zkreslení elipsa elipsa zkreslení (Tissotova indikatrix) znázorňuje průběh délkového zkreslení v bodě pro konformní zobrazení se jedná o kružnici a, b jsou velikosti hlavní a vedlejší poloosy elipsy A ɛ1 a A ɛ2 jsou azimuty extrémních zkreslení α p a α r jsou směry poledníku a rovnoběžky měřené od hlavního paprsku
Tissotova indikatrix vztahy plošné zkreslení P = π a dρ b dρ π dρ 2 = a b vztahy mezi hlavními paprsky: a b = m p m r sin ϑ m 2 p = a 2 cos 2 α p + b 2 sin 2 α p m 2 r = a 2 sin 2 α p + b 2 cos 2 α p tedy: a 2 + b 2 = m 2 p + m 2 r