Jméo: Příklad 3 Celkem bodů Bodů 8 0 30 Získáo [8 Uvažujte posloupost distribucí f } D R defiovaou jako f [δ kde δ a začí Diracovu distribuci v bodě a Najděte itu δ 0 + δ + této poslouposti aeb spočtěte f f [ δ δ 0 + δ + přičemž itou se mslí ita poslouposti ve smslu distribucí Přesě specifikujte v jaké smslu je kovergece defiováa Řešeí: Chceme ukázat že pro každou testovací fukci ϕ platí T f ϕ D RDR T ϕ D RDR kde kovergece je í stadardí kovergece poslouposti reálých čísel T f ϕ D RDR Diracova distribuce s osičem v bodě ted δ aeb T δ je defiováa jako Tδ ϕ D RDR def ϕ Dualita T f ϕ D RDR je ted T f ϕ D RDR [ T δ T δ 0 + T δ+ Zbývá ted spočíst itu což je ovšem sadé ϕ ϕ0 + ϕ ϕ ϕ ϕ0 + ϕ D RDR d ϕ Teto výsledek je zřejmý kupříkladu z Talorova rozvoje ϕ ϕ 0 + dϕ + d ϕ + o či případě dvojásobé aplikace l Hospitalova pravidla Zjistili jsme že platí T f ϕ D RDR d ϕ přičemž pravou strau lze zapsat jako dualitu mezi druhou derivací Diracov distribuce s osičem v bodě 0 a testovací fukcí ϕ Pro každou testovací fukci ted platí T f ϕ D RDR T δ 0 ϕ D RDR odkud aeb T f T δ 0 [ δ δ 0 + δ + δ 0
[0 Pro R řešte a prostoru regulárích distribucí rovici d f + df 6f aδ 0 kde δ začí Diracovu distribuci v bodě a a R + je parametr a kde vžadujeme ± f 0 Řešeí: Rovici přepíšeme jako sstém rovic prvího řádu je-li pak původí rovice přeje a což lze smbolick zapsat jako kde d def [ f g g df [ [ f 0 g 6 [ f g d A + δb + δ [ 0 a [ [ 0 0 A def b 6 a Řešeí úloh bdeme hledat ve tvaru + H + H kde H začí Heavisideovu distribuci která je defiováa jako regulárí distribuce přiřazeá lokálě itegrovatelé fukci 0 H 0 < 0 a kde ± jsou hladké fukce Dosadíme-li takto defiovaou fukci do difereciálí rovice d s použitím vztahu dh dδ a s použitím pravidel pro práci s distribucemi rovici d A d+ H + A + H + + + b δ 0 Z této rovice vidíme že musí platit a také < 0 : > 0 : d A A + 0 + 0+ + b 0 A + δb dostaeme Řešeím rovic jsou fukce d ± ea C ± kde C ± je kostatí vektor Maticovou epoeciálu emusíme eplicitě počítat stačí si uvědomit že difereciálí rovici prvího řádu d A lze zapsat jako difereciálí rovici druhého řádu kde Rovici pro f sado vřešíme výsledkem je d f + df 6f 0 [ f g f A e 3 + B e kde A a B jsou kostat které musíme určit z okrajových podmíek Chceme ab platilo f 0 ±
což zameá že požadujeme f 0 odkud ple že A 0 Řešeím je ted fukce f B e což zameá že [ B e Připomeňme-si že druhá složka vektoru je defiováa jako df Obdobě postupujeme i pro fukci + Difereciálí rovici prvího řádu d+ A + lze zapsat jako difereciálí rovici druhého řádu kde Rovici pro f + sado vřešíme výsledkem je d f + + df + 6f + 0 + [ f+ g + f + A + e 3 + B + e kde A + a B + jsou kostat které musíme určit z okrajových podmíek Chceme ab platilo f 0 ± což zameá že požadujeme f + 0 odkud ple že B + 0 Řešeím je ted fukce f + A + e 3 což zameá že [ + A + e 3 3 Doposud jsme zjistili že platí A e [ + B + e 3 [ 3 Zbývá určit hodotu kostat A a B + K tomu použijeme skokovou podmíku 0 + 0+ + + b 0 která vede a soutavu rovic [ [ A + B + 3 [ [ 0 0 a 0 pro A a B + Řešeím je A a 5 B + a 5 a řešeím zadaé rovice je tudíž regulárí distribuce přiřazeá fukci a f 5 e < 0 a 5 e 3 0 Úlohu lze také vřešit s použitím Fourierov trasformace Použijeme Fourierovu trasfroamci defiovaou vztahem F[fξ def fe i ξ d R d kde d je dimeze prostoru a kterém pracujeme S použitím stadardích pravidel pro práci s Fourierovou trasformací zjistíme že Fourierova trasformace rovice je F[f ξ iξ 6 a
kde jsme také vužili zámého vztahu pro Fourierovu trasformaci Diracov distribuce Platí ted F[f a ξ iξ 6 odkud [ f F a ξ iξ 6 Zbývá ted spočíst iverzí Fourierovu trasformaci Výraz ξ iξ 6 rozložíme a parciálí zlomk a výsledkem je [ F a a [ [ F i F i ξ iξ 6 5 ξ i 5 ξ + 3i Spočteme iverzí Fourierovu trasformaci obou sčítaců Jest [ F i 5 ξ i ξ 5 ξ i dξ a pro výpočet itegrálu použijeme ástroje z kompleí aalýz Budeme zkoumat itegrál z kompleí fukce gz def ie iz 5 z i podél křivk γ R kterou je kruhový oblouk o poloměru R v horí/dolí kompleí poloroviě Parametrizace obloku v horí poloroviě je z Re iϕ ϕ 0 parametrizace úsečk a reálé ose je z ξ ξ R R Pro daou parametrizaci ted platí γ R gzdz Jelikož je ϕ 0 vidíme že výraz R ξ R 5 ξ i dξ + ie ireiϕ ϕ0 5 Re iϕ i ireiϕ dϕ e ireiϕ e ir cos ϕ R si ϕ e zůstává pro R omezeý pro < 0 Přes kruhový oblouk v horí kompleí poloroviě lze ted itegrovat pouze pro < 0 Naopak pro > 0 musíme zvolit itegraci přes kruhový oblouk v dolí kompleí poloroviě Zabývejeme se í případem < 0 S použitím Jordaova lemmatu sado ukážeme že gzdz R γ R ξ 5 ξ i dξ Podle reziduové vět ovšem platí že gzdz i res zs itγ R gz R γ R V horí poloroviě má fukce gz jedu sigularitu a sice v bodě z s i a tato sigularita je jedoásobým pólem Residuum v bodě z s i je a proto pro < 0 platí ξ res zs itγ R ie 5 e dξ 5 ξ i 5 Pro > 0 itegrujeme přes kruhový oblouk v dolí kompleí poloroviě kde však fukce gz emá sigularitu a je proto dξ 0 5 ξ i Celkem ted [ F i 5 ξ i ξ ξ ie iξ 5 ξ i dξ e 5 < 0 0 0 Obdobě postupujeme při výpočtu iverzí Fourierov trasformace pro druhý čle ted při výpočtu itegrálu [ F i 5 ξ + 3i 5 ξ + 3i dξ ξ
Itegrál opět spočteme itegrací fukce gz def ie iz 5 z + 3i podél vhodé křivk v kompleí roviě Pro < 0 volíme jako itegračí křivku γ R kruhový oblouk v horí kompleí poloroviě kde však fukce gz emá sigularitu Okamžitě ted vidíme že pro < 0 platí ξ dξ 0 5 ξ + 3i Naopak pro > 0 itegrujeme přes kruhový oblouk v dolí kompleí poloroviě kde má fukce gz sigularitu v bodě z s 3i Reziduová věta a Jordaovo lemma tak vede pro > 0 k výsledku ξ 5 ξ + 3i dξ i res ie iz e 3 z s 3i 5 z + 3i 5 Jedo zaméko mius je kvůli orietaci itegračí křivk Celkem ted [ F i 5 ξ + 3i Pro hledaou fukci f proto dostaeme ξ 5 ξ + 3i dξ f a [ [ F i F i 5 ξ i 5 ξ + 3i 0 < 0 e 3 5 0 a 5 e < 0 a 5 e 3 0 což je kupodivu tetýž výsledek jakého jsme dosáhli s použítím prvě studovaého postupu
[ 3 Bud T pv S R distribuce zavedeá jako T pv ϕ ϕ0 ϕ def + S RSR < > a bud γ kostata Eulerova Mascheroiova kostata defiovaá jako γ def 0 cos cos d d a Ukažte že pro Fourierovu trasformaci distribuce T pv platí [ F T pv ξ γ + l ξ b S pomocí výše uvedého vzorce pro Fourierovu trasformaci distribuce T pv l e iξ T pv + γt δξ 0 ξ ukažte že platí rovost Připomíáme že Fourierova trasformace je pro itegrovatelé fukce defiováa vztahem F[fξ def d R d fei ξ kde d je dimeze prostoru a kterém pracujeme Řešeí: Fourierova trasformaci distribuce jsme zavedli jako [ F T pv ϕ S RSR def T pv F [ϕ S RSR S použitím defiice Fourierov trasformace pro fukce a s použitím defiice distribuce T pv T pv F [ϕ F [ϕξ F [ϕξ 0 S RSR < < F [ϕξ + > ξ ϕξeiξ dξ ϕξ dξ ξ + > dostaeme ξ ϕξeiξ dξ Cílem je osvobodit testovací fukci ϕ tak ab blo možé pravou strau přepsat ve tvaru akce ějaké distribuce a testovací fukci ϕ Zabývejme se ejdříve druhým itegrálem a pravé straě Zaměíme pořadí itegrace a dostaeme > ξ ϕξeiξ dξ ξ ϕξ > ξ cos ξ + i si ξ ϕξ > e iξ dξ dξ ϕξ ξ < ξ dξ cos ξ + i si ξ cos ξ ϕξ > dξ kde jsme vužili sudosti/lichosti příslušých fukcí Obdobě postupujeme i v případě prvě uvedeého itegrálu Jest < ξ ϕξeiξ dξ ϕξ dξ ξ ξ + ξ 0 ϕξ ϕξ e iξ ϕξ dξ ξ < } cos ξ si ξ + i dξ } cos ξ si ξ + i dξ ξ cos ξ ϕξ dξ
kde jsme opět vužili sudosti/lichosti příslušých fukcí Prozatím jsme ted zjistili že platí T pv F [ϕ cos ξ cos ξ ϕξ + dξ S RSR ξ Z itegrálů vůči proměé musíme odstrait parametr ξ což provedeme vhodou substitucí jest cos ξ cos ξ ϕξ + ξ Dále můžeme psát ξ 0 cos ξ 0 cos cos d 0 cos cos což zameá že pro každou testovací fukce ϕ platí odkud vidíme že dξ ξ d ξ ξ ϕξ ξ d ξ ξ cos 0 ξ d γ T pv F [ϕ ϕξ γ l ξ dξ S RSR ξ Dokažme í platost vzorce pro itegrál Víme že platí F F [ T pv ξ γ + l ξ l e iξ [ T pv ξ γ + l ξ Aplikací zpěté Fourierov trasformace a teto vztah dostaeme T pv γ T δ 0 + ξ kde jsme vužili zámý vztah pro Fourierovu trasformaci Diracov distribuce F [ T δ 0 ξ a defiici zpěté Fourierov trasformace Víme ted že platí ξ ξ cos cos cos d dξ ξ d d γ [l ξ γ l ξ γ + l ξ ϕ l ξ e iξ dξ l ξ e iξ dξ T δ 0 + T pv v itegrálu provedeme jedoduchou substituci z ξ a výsledkem je což jsme měli ukázat z l z e iz dz T δ 0 + T pv S RSR