4 VEKTOROVÁ ANALÝZA 41 Vektorová funkce Protože se neobejdeme bez základních poznatků vektorové algebry, připomeneme si nejdůležitější pojmy Jsou-li dány tři nenulové vektory, uu ( 1, u, u), vv ( 1, v, v), ww ( 1, w, w ), pak - skalární součin vektorů u, v je roven součtu součinů jejich souřadnic: uv = uv 11+ uv+ uv, - vektorový součin vektorů u, v vypočítáme pomocí determinantu i j k u v = u u u, 1 v v v 1 - smíšený součin vektorů u, v, w vypočítáme pomocí determinantu u1 u u ( uvw,, ) = v1 v v w1 w w Nechť D je podmnožina množiny reálných čísel Je-li každému reálnému číslu jediný vektor f() t = xti () + yt () j+ ztk () = ( xt (), yt (), zt ()), t D přiřazen říkáme, že v množině D je definována vektorová funkce f () t jednoho reálného argumentu t Množina D se nazývá definiční obor vektorové funkce f ( t); její složky xt (), yt (), zt () jsou reálné funkce argumentu t Z geometrického hlediska představuje vektorová funkce f () t množinu bodů v trojrozměrném prostoru o souřadnicích ( xt ( ), yt ( ), zt ( )), t D, která se nazývá hodograf vektorové funkce Geometrický význam vektorové funkce: Jsou-li funkce xt (), yt (), zt () spojité v intervalu < ab, >, pak spojitá vektorová funkce f () t je rovnicí prostorové křivky, jejíž parametrické vyjádření má tvar x= xt ( ), y= yt ( ), z= zt ( ), t < ab, > Fyzikální význam vektorové funkce: vektorová funkce představuje trajektorii pohybujícího se hmotného bodu Příklad 411 Načrtněte hodograf vektorové funkce a) f( t) = (1 + ti ) + ( t) j, t < 0,1 >, b) f( t) = cos ti+ sin t j, t < 0, π ), c) f( t) = cos ti+ sin t j+ tk, t < 0, + ) Řešení: Všechny tři vektorové funkce jsou ve svém definičním oboru spojité, proto jejich hodografem bude křivka v rovině v případech a), b) a prostorová křivka v případě c) a) Parametrické rovnice křivky x= xt () = 1 + t, y= yt () = t, t < 0,1> jsou rovnicemi úsečky s krajními body A= ( x(0), y(0)) = (1 + 0, 0) = (1, ) a B= ( x(1), y(1)) = (1 + 1, 1) = (,1), viz obr 1a 1
y y π f ( ) A π f ( 4 ) x 0 f (0) f (1) B Obr 1a x 7π f ( 6 ) 0=S 7π f ( 4 ) Obr 1b b) Parametrické rovnice křivky x= xt () = cos, t y= yt () = sin t, t=< 0,π > umocníme na druhou a sečteme: x = 9cos t, y = 9sin t x + y = 9 cos t+ 9sin t = 9(cos t+ sin t) = 9 Rovnice x + y = 9 je rovnicí kružnice se středem S = (0,0) a poloměrem r =, viz obr 1b c) Parametrické rovnice křivky x= xt () = cos, t y= yt () = sin t, z= zt () = t, t < 0, ) určují šroubovici s počátkem v bodě (1,0,0) na válcové ploše x + y = 1 Umocněním prvních dvou rovnic na druhou a jejich sečtením analogicky jako v případě b) získáme rovnici řídicí kružnice x + y = 1 válcové plochy, viz obr 1c z t t= 4 π 0 1 t = π x t=0 1 t= 4 π y Obr 1c Příklady k procvičení: Načrtněte hodograf vektorové funkce: a) f( t) = ti+ t j, t < 0,1 >, b) ft ( ) = (1 + t) i+ tj, t (, ), c) f( t) = cos ti+ sin t j, t < 0, π ), d) ft ( ) = ti+ tj, t (, + ), e) f( t) = (1 t) i+ (1+ t) j+ ( + tk ), t < 0, ) Výsledky: a) Úsečka y = x od O= (0, 0) do A= (1,1) ; b) přímka x y 1= 0; c) elipsa x y + = 1; 4 9
d) parabola y = x; e) polopřímka s počátečním bodem (1,1, ) a směrovým vektorem ( 1,, ) Poznámky: 1 Místo termínu vektorová funkce se užívá také termín proměnný vektor Pojem vektorové funkce jedné proměnné t rozšíříme na vektorovou funkci dvou a více nezávisle proměnných Je-li dána libovolná množina bodů Ω E, pak vektorovou funkcí dvou nezávisle proměnných x, y nazýváme funkci, která každému bodu ( xy Ω, ) přiřadí jediný vektor f( xy, ) = Pxyi (, ) + Qxyj (, ) + Rxyk (, ) = ( Pxy (, ), Qxy (, ), Rxy (, )) Analogicky vektorovou funkcí tří nezávisle proměnných x, y, z nazýváme funkci, která každému bodu ( xyz,, ) Ω, Ω E, přiřadí jediný vektor f( xyz,, ) = Pxyzi (,, ) + Qxyz (,, ) j+ Rxyzk (,, ) = ( Pxyz (,, ), Qxyz (,, ), Rxyz (,, )) Stručněji můžeme psát f( X) = PXi ( ) + QX ( ) j+ RXk ( ), kde X= ( xy, ) pro funkci dvou proměnných, resp X= ( xyz,, ) pro funkci tří proměnných Vektorová funkce nebo také proměnný vektor je tedy spojením pojmů vektor a funkce Je to vektor, jehož souřadnice jsou funkcemi jedné (dvou, tří nebo více) nezávisle proměnné Právě proto, že jde o spojení pojmů vektor a funkce, můžeme s vektorovými funkcemi provádět operace známé z vektorové algebry (skalární, vektorový a smíšený součin) a z matematické analýzy (limita, derivace, integrál, ) 4 Derivaci podle času t bývá zvykem značit f () t 4 Skalární pole Dobře víte, že fyzikální veličiny dělíme na skaláry, vektory a tenzory Skalární fyzikální veličiny vytvářejí skalární pole Skalární pole v oblasti Ω E je určeno libovolnou funkcí u= uxyz (,, ), která je v oblasti Ω definována Skalární pole tedy přiřazuje každému bodu oblasti Ω jediné reálné číslo (skalár) K popisu skalárního pole slouží hladiny skalárního pole, derivace ve směru a gradient Hladinou skalárního pole u= uxyz (,, ) nebo také skalární hladinou nazýváme plochu vyjádřenou rovnicí uxyz (,, ) = CC, R Na dané skalární hladině proto nabývá skalární pole konstantní hodnoty (z praxe všichni známe izotermy, izobary, vrstevnice ) Mírou změny skalárního pole uxyz (,, ) ve směru vektoru je derivace ve směru V oblasti Ω je dáno skalární pole u= uxyz (,, ), bod A= ( a1, a, a) a jednotkový vektor = ( 1,, ), = 1 Derivací skalárního pole uxyz (,, ) v bodě A ve směru nazýváme limitu ua ( + t ) ua ( ) du( A) lim a značíme ji t t 0+
Výpočet derivace ve směru Je-li funkce u= uxyz (,, ) diferencovatelná v bodě A, pak pro derivaci skalárního pole u v bodě A ve směru platí dua ( ) ua ( ) ua ( ) ua ( ) = 1+ + (1) d Poznámky: 1 Je-li směr určen směrovými kosiny = (cos α, cos β, cos γ), platí dua ( ) ua ( ) ua ( ) ua ( ) = cosα + cos β + cos γ d Derivace skalárního pole uxyz (,, ) v bodě A ve směru určuje přírůstek skalárního pole uxyz (,, ) v bodě A ve směru vektoru neboli rychlost růstu skalárního pole uxyz (,, ) v bodě A ve směru vektoru Směr největšího růstu (největší spád) skalárního pole uxyz (,, ) určuje gradient skalárního pole Gradientem skalárního pole uxyz (,, ) nazýváme vektorovou funkci uxyz (,, ) uxyz (,, ) uxyz (,, ) uxyz (,, ) uxyz (,, ) uxyz (,, ) grad u = i + j + k =,, () Poznámky: 1 Zavedeme-li Hamiltonův operátor nebo také operátor nabla ( vektor, jehož složky tvoří operátory parciálních derivací postupně podle x, y, z) = i + j + k =,,, můžeme gradient skalárního pole u ( x, y,z ) zapsat ve tvaru grad u = u Pro derivaci skalárního pole uxyz (,, ) ve směru podle (1) platí du u u u = 1+ + d, du u u u po rozepsání =,, ( 1,, ) = grad u () d x y z Derivace skalárního pole uxyzve (,, ) směru jednotkového vektoru tedy je rovna skalárnímu součinu gradientu skalárního pole uxyz (,, ) a jednotkového vektoru směru Vlastnosti gradientu 1 Gradient skalárního pole uxyz (,, ) je v každém bodě kolmý k hladině tímto bodem procházející (má směr normály k hladině) Ve směru gradientu roste skalární pole uxyz (,, ) nejrychleji, ve směru opačném nejrychleji klesá Maximální rychlost růstu skalárního pole uxyzmá (,, ) velikost v = grad u( x, y, z) 4
4 Příklad 41 Vypočítejte derivaci skalárního pole uxyz (,, ) = x + 4y + z v bodě A = (1,,1) ve směru, který je určen vektorem AB, B = (4,6,6) Řešení: Nejprve musíme určit grad u, tedy hodnotu parciálních derivací skalárního pole u ( x, y,z ) v bodě A: u u u = 6 x, = 1 y, = 8 z, ua ( ) ua ( ) ua ( ) = 6, = 48, = 8, proto podle () grad u( A ) = (6,48,8) Abychom určili souřadnice jednotkového vektoru směru, vypočítáme postupně: AB = B A = (, 4,5), AB = + 4 + 5 = 50 = 5, AB 4 5 = =,, =,, AB 5 5 5 10 5 Po dosazení do vztahu () platí: du( A) = (6,48,8),, = 6 + 48 + 8 = 5 10 5 10 5 Skalární pole uxyzv (,, ) bodě A ve směru vektoru roste Příklad 4 Určete gradient skalárního pole u( x, y, z) = x + y + z xy + xz + yz, jednotkový směr maximálního růstu pole v bodě A = (1,,1) a největší hodnotu derivace skalárního pole uxyz (,, ) v bodě A Řešení: Podle vztahu () určíme grad u = ( x y + z, y x + z, z + x + y ) Protože podle vlastnosti roste skalární pole nejrychleji ve směru gradientu, platí postupně v bodě A: grad u( A ) = (0, 4,8), grad u( A ) = 80 = 4 5, du( A) Derivaci vypočítáme použitím vztahu (), při čemž grad u( A) 4 8 5 5 = = 0,, 0,, grad u( A) = 4 5 4 5 5 5 : du( A) 5 5 4 5 16 5 = grad u( A) = (0,4,8) 0,, = 0 + + = 4 5 5 5 5 5 du( A) Porovnáním výsledků grad u( A ) a zjistíme, že v případě směru maximálního du( A) růstu pole platí = grad u( A), což potvrzuje vlastnost ds Příklad 4 Určete množinu bodů, v nichž je velikost gradientu skalárního pole uxy (, ) ( x y) = + rovna 1 Řešení: Podle vztahu () je Pro jeho velikost platí grad u( x, y) = x ( x + y ) i + y x + y j grad u = 9 x ( x + y ) + 9 y ( x + y ) = 9( x + y )( x + y ) = ( x + y ) 5
Podle zadání je grad u( x, y) = 1 = ( x + y ), tedy x + y = 4 Řešením je množina všech bodů kružnice se středem v počátku soustavy souřadnic a poloměrem Příklady k procvičení: 1 Určete hladiny daných skalárních polí a) uxy (, ) = x + y, b) uxy (, ) = 4 x y, uxy (, ) > 0, c) d) uxyz (,, ) = x + y + z, uxyz (,, ) = 4 x + y + z Určete derivaci skalárního pole ux ( ) ve směru v bodě A: a) b) 4 u( x, y) = 5x 4xy + y 7, = i, A = (1,1), 5 u( x, y) = 4x 5x y + 10 y, AB, A = (0,1), B = (,4), uxy (, ) = x + y, (4 i j), A= (,4), 0 c) d) uxyz (,, ) = x + y + z, směr svírá s osou x úhel 60 a s osou y 0 úhel 45, A = (1, 0,1) Určete body, v nichž je derivace skalárního pole u( x, y) = x + y + xy v libovolném směru nulová z y 4 Vypočítejte derivaci skalárního pole u = x v bodě A = (1,, ) ve směru průvodiče 4 bodu A 5 Vypočítejte gradient skalárního pole ux ( ) v bodě A: a) b) uxy (, ) = x + y, A= (,1), uxy (, ) = 4 + x + y, A= (1, ), c) u( x, y, z) = x + y + z xyz, A = (0,1,1), 1 4 d) uxyz (,, ) = + + +, A= (1,1,1) x y z xyz 6 Stanovte body, v nichž je gradient skalárního pole u( x, y, z) = x + y + z xyz kolmý k ose x 7 Určete směr, ve kterém je derivace skalárního pole uxyz (,, ) = x + y + z 1 v bodě A = (0,,1) maximální x y z 8 Ve kterém směru roste skalární pole uxyz (,, ) = + + v bodě A= (1, 1,1) s největší y z x rychlostí? 9 S jakou největší rychlostí klesá skalární pole u( x, y, z) = ln( x y + z ) v bodě A = (1,1,1)? 10 Ve kterém bodě skalárního pole u( x, y, z) = x + xy + 4y + z 4z je gradient roven nulovému vektoru? 6
11 Ve kterém bodě skalárního pole u( x, y, z) = x 4y 4z xy 5x je gradient roven vektoru a = i j + 4k? 1 Určete úhel gradientů skalárního pole u = ln( x+ ln y) v bodech A= (1,1), B= (5,1) Výsledky: 1 a) kružnice: S = (0,0), r = c, c> 0 ; b) hyperboly: S = (0,0), a= c, b= c, c> 0 ; c) kulové plochy: S = (0,0,0), c> 0, r = c; d) plochy rotačních paraboloidů: a) 4 du( A) = 16 ; b) du( A) 14 = 14 du( A) = 5 ; c) 0; d) 5 a) grad u = 8i + 6 j; b) du( A) du( A), 0 d = 1 d = V 16 = (0,0, ), c 0 A= (0,0), B= ( 1, 1) 1 grad u = i + j ; c) grad u = i + j + k ; c d) grad u = 5i 6j 7 k 6 x = yz 7 10 A = (0,0, ) 11 A = (1, 0, ) 1 ϕ = 0 5 s = ( j + k ) 8 5 s = ( i + k ) 9 v = 4 Vektorové pole Vektorové pole v oblasti Ω E je určeno vektorovou funkcí nezávisle proměnných f( xyz,, ) = Pxyzi (,, ) + Qxyz (,, ) j+ Rxyzk (,, ), která je definována v oblasti Ω Vektorové pole tedy přiřazuje každému bodu X= ( xyz,, ) oblasti Ω jediný vektor f( xyz,,, ) jehož složky tvoří funkce Pxyz (,, ), Qxyz (,, ), Rxyz (,, ) Jsou-li funkce Pxyz (,, ), Qxyz (,, ), Rxyz (,, ) spojité v oblasti Ω a Pfaffova forma P( X ) dx + Q( X ) dy + R( X ) dz je totálním diferenciálem kmenové funkce φ (x,y,z), (tedy platí: P( X ) dx + Q( X ) dy + R( X ) dz = d φ(x) ), nazývá se tato kmenová funkce φ (x,y,z) potenciál vektorového pole f( xyz,, ) a platí f( X) f( X) f( X) f ( x, y, z) =,, = grad f( x, y, z) Funkce f( xyz,, ) se nazývá gradient potenciálu a vektorové pole (4) určené potenciálem φ ( xyz,, ) se nazývá konzervativní nebo také potenciálové vektorové pole Vektorové pole popisujeme vektorovými čarami, divergencí a rotací Vektorové čáry (siločáry, indukční čáry, proudnice) jsou křivky, jichž se vektor f ( X ) v každém bodě dotýká, viz obr a, b, c Na obr jsou načrtnuta vektorová pole a) obvodové rychlosti rotačního pohybu tuhého tělesa, b) centrálního silového pole, c) rychlosti laminárního proudění kapaliny (4) 7
v(x) x v(x) x Obr a Obr b x v(x) Obr c Vektorové pole je určeno vektorovou funkcí f( X) = PXi ( ) + QX ( ) j+ RXk ( ), přičemž funkce PX ( ), QX ( ), RX ( ) jsou spojité a diferenciabilní v oblasti Ω 1 Divergencí vektorového pole f ( X ) je skalární pole PX ( ) QX ( ) RX ( ) div f ( X) = + + = f ( X) (5) Vektorové pole, v jehož každém bodě platí div f ( X ) = 0, se nazývá nezřídlové (solenoidální) Body, v nichž platí div f ( X ) > 0, se nazývají zřídla a body, v nichž platí div f ( X ) < 0, se nazývají nory Rotací vektorového pole f ( X ) je vektorové pole i j k R Q P R Q P rot f ( X) = =,, = f ( X) (6) y z z x x y PX ( ) QX ( ) RX ( ) 4 Vektorové pole, v jehož každém bodě platí rot f ( X ) = o, se nazývá nevírové (bez vírů, laminární) Význam divergence a rotace vektorového pole si objasníme na vektorovém poli rychlosti vxyz (,, ) stacionárního proudění kapaliny Divergence vektorového pole v v bodě A je skalár, určující objemové množství kapaliny, které vyteče za jednotku času z jednotkového objemu v okolí bodu A, neboli vydatnost zřídla jednotkového objemu 8
Rotace vektorového pole v v bodě A je vektor, jehož směr určuje osu, kolem které kapalina v bezprostředním okolí bodu A rotuje jako celek Vektorové pole f( X) = PXi ( ) + QX ( ) j+ RXk ( ) je v oblasti Ω potenciálové (konzervativní) právě tehdy, když je v Ω nevírové, tj platí rot f ( X ) = o Podle této věty snadno rozhodneme, zda je vektorové pole f( X ) potenciálové Stačí vypočítat rot f ( X ) a podle výsledku rozhodnout: rot f ( X ) rot f ( X ) = o pole f( X ) je potenciálové a má potenciál, o pole f( X ) není potenciálové a nemá potenciál Příklad 41 Znázorněte vektorové pole f( xy, ) = ( x yi ) + ( x+ y) j, které je zadáno v oblasti Ω : x + y 4 Řešení: Zvolíme v oblasti Ω několik bodů a vypočítáme příslušné vektory f, které jsou těmto bodům přiřazeny, viz obr y A= (1,1) f (1,1) = 0i + j, D F E C A B x B= (, 0) f (, 0) = i + j, C = (0, ) f (0, ) = i + j, Obr D= (, 0) f (, 0) = i j, E = (0, ) f (0, ) = i j, F = ( 1,1) f ( 1,1) = i + 0 j Příklad 4 Rozhodněte, zda vektorové pole f ( x, y, z) = ( x + yz) i + ( y + xz) j + ( z + xy) k je a) nezřídlové, b) nevírové c) Určete jeho potenciál, pokud existuje Řešení: V daném vektorovém poli je P Q R P = x + yz, Q = y + xz, R = z + xy, =, x = y, = z a) Podle vztahu (5) platí div f ( x, y, z) = x + y + z 0, vektorové pole je proto zřídlové Například v bodě A = (1,1,1) platí div f ( A ) = 6, tedy v bodě A je zřídlo, v bodě B = ( 1, 1, 1), kde platí div f ( B ) = 6, je naopak nor b) Podle vztahu (6) určíme i j k rot f ( X ) = = x + yz y + xz z + xy 9
( z + xy) ( y + xz ( x + yz) ( z + xy) ( y + xz) ( x + yz) = i + j + k = o, y z z x x y dané pole je tedy nevírové Proto je také potenciálové a má proto potenciál K určení potenciálu vypočítáme integrály: P( X ) dx = x ( x + yz) dx = + xyz + C1 Q( X ) dy = y ( y + xz) dy = + xyz + C R( X ) dy = z ( z + xy) dy = + xyz + C,, Uvědomíme si, že neurčitý integrál je definován jako množina primitivních funkcí Potenciál určíme podobně jako sjednocení těchto funkcí Znamená to tedy, že žádná funkce se ve výsledku nesmí opakovat φ x y z x + y + z ( X ) = + + + xyz + C = + xyz + C Příklad 4 Vektorové pole síly F směřuje do počátku soustavy souřadnic a jeho velikost v libovolném bodě X( xyz,, ) je rovna převrácené hodnotě čtverce vzdálenosti bodu X( xyz,, ) od počátku Určete, zda toto pole je potenciálové Řešení: Síla F má směr polohového vektoru bodu X: OX = X O = ( x, y, z), ale opačnou orientaci: F = ( cx, cy, cz ), kde c R je konstanta úměrnosti Pro její velikost platí F = c x + c y + c z = c x + y + z, vzdálenost bodu X( xyz,, ) od počátku je OX = x + y + z 1 1 Podle zadání je F = =, OX x + y + z Porovnáním zjistíme 1 c x + y + z = x + y + z a určíme 1 c = / ( x + y + z ) Vektorové pole má proto složky FX ( ) = PXi ( ) + QX ( ) j+ RXk ( ) = xi yj zk = / / / ( x + y + z ) ( x + y + z ) ( x + y + z ) Podle vztahu (6) vypočítáme 1/ 1/ yz( x + y + z ) yz( x + y + z ) rot F( X ) = i + ( x y z ) ( x y z ) + + + + 1/ 1/ xz( x + y + z ) xz( x + y + z ) + j + ( x y z ) ( x y z ) + + + + 1/ 1/ xy( x + y + z ) xy( x + y + z ) + k = o ( x + y + z ) ( x + y + z ) Vektorové pole je proto nevírové a také potenciálové 10
Příklady k procvičení: 1 Určete divergenci a rotaci daného vektorového pole: a) f ( x, y, z) = xi + yj + 4 zk, b) f ( x, y, z) = x yzi + xy zj + xyz k, c) f( xyz,, ) = (sin y+ zi ) + ( xcos y z) j, d) f ( x, y, z) = grad( x + y + z ) Rozhodněte, zda dané vektorové pole je nezřídlové, nevírové, potenciálové Určete potenciál, pokud existuje a) f ( x, y, z) = ( x + yz) i + ( y + xz) j + ( z + xy) k, b) f( xyz,, ) = ( y+ zi ) + ( x+ z) j+ ( x+ yk ), c) f( x, y, z) = xi z j+ y k, d) f ( x, y, z) = grad( xyz) 1 x Je proudění o rychlosti v = ( + z) i y y j + xk laminární? Výsledky: 1 a) div f = 9, rot f = o ; b) div f = 6 xyz, rot f = ix( z y ) + jy( x z ) + kz( y x ); c) div f = xsin y, rot f = i + j ; d) div f = 6x + 6y + 6, z rot f = o x + y + z a) zřídlové, nevírové, potenciálové, φ( x, y, z) = + xyz + C ; b) nezřídlové, nevírové, potenciálové, φ ( x, y, z) = xy + xz + yz + C ; c) zřídlové, vírové, není potenciálové, nemá potenciál; d) nezřídlové, nevírové, potenciálové, φ ( x, y, z) = xyz + C Ano 44 Operace druhého řádu Je dáno skalární pole uxyz (,, ) a vektorové pole f( xyz,, ) = Pxyzi (,, ) + Qxyz (,, ) j+ + Rxyzk (,, ), přičemž funkce uxyz (,, ), Pxyz (,, ), Qxyz (,, ), Rxyz (,, ) jsou dvakrát spojitě diferenciabilní v oblasti Ω Operace graduxyz (,, ) = uxyz (,, ) (), divf( xyz,, ) = f( xyz,, ) (5) a rotf( xyz,, ) = f( xyz,, ) (6) nazýváme operacemi prvního řádu Výsledkem operací grad u( X ) a rot f ( X ) jsou vektorová pole, výsledkem div f ( X ) je pole skalární Jestliže na tato pole znovu aplikujeme operace gradient, divergence a rotace, můžeme vytvořit pět operací druhého řádu: u u u u u u div grad u( X ) = u =,,,, = + + = u, x y z x y z přičemž operátor se nazývá Laplaceův operátor = + + (7) 11
i j k rot grad u = u = = u u u u u u u u u = i + j + k = o, yz yz xz xz xy xy i j k div rot f = ( f ) =,, = P Q R R Q P R Q P =,,,, = y z z x x y R Q P R Q P = + + = 0, xy xz yz xy xz yz grad div f = ( f ) =,,,, ( P, Q, R) = P Q R P Q R =,, + + = + +, x y z x y z x xy xz P Q R P Q R + +, + + = xy yz xz yz y z P P P Q Q Q R R R =,, +,, +,, = xy xz xy yz xz yz x y z P P P Q Q Q R R R =,, +,, +,, = x y z P Q R = grad + grad + grad, = gradp + gradq + gradr, rot rot f = ( f ) = grad div f f dokážeme analogicky Poznámky: 1 Protože rot grad u = o pro každé skalární pole u a dif rot f = 0 pro každé vektorové pole f, je zřejmé, že tyto dva operátory druhého řádu nemají praktický význam Teoreticky lze další aplikací operací grad u = u, div f = f a rot f = f vytvořit celkem devět operací druhého řádu Operace grad grad u, grad rot f, div div f, rot div f však nelze vytvořit: Výsledkem operace grad u je vektorové pole f, proto na ně nelze znovu aplikovat gradient (je definován výhradně pro pole skalární) 1
Výsledkem operace rot f je vektorové pole g, proto na ně nelze znovu aplikovat gradient (je definován výhradně pro pole skalární) Výsledkem operace div f je skalární pole u, proto na ně nelze znovu aplikovat divergenci (je definována výhradně pro pole vektorové) Výsledkem operace div f je skalární pole u, proto na ně nelze znovu aplikovat rotaci (je definována výhradně pro pole vektorové) Shrneme-li předchozí poznámky, vidíme, že význam mají pouze tři operace druhého řádu u u u Nejdůležitější z nich je Laplaceův operátor u = + + = div grad u( X ) = u 4 Skalární pole uxyz (,, ), v jehož každém bodě platí uxyz (,, ) = 0, se nazývá Laplaceovo pole Příklad 441 Vypočítejte u 4, kde u= uxyz (,, ) = x + 4y z Řešení: Podle vztahu (7) musíme vypočítat všechny druhé čisté parciální derivace funkce uxyz (,, ) u u u u u u = 6 x, = 6, = 1 y, = 4 y, = 8 z, = 4z x y z x y z Platí tedy Příklady k procvičení: 1 Vypočítejte u 4 u = 6 + 4y 4z Pole u = x + 4y z tedy není Laplaceovo, je-li dáno: a) uxy (, ) = x + y, b) uxy (, ) = 4 x y, c) uxyz (,, ) = x + y + z Rozhodněte, zda dané vektorové pole u(x) je Laplaceovo: a) d) uxy (, ) = x + y, b) uxy (, ) = 4 + x + y, c) u( x, y, z) = x + y + z xyz, 1 uxyz (,, ) = + +, x 0, y 0, z 0, e) uxyz (,, ) = x+ y+ z x y z Výsledky: 1 a) u = 4 ; b) u = 6 ; c) a) není; b) není; c) není; d) není; e) je u = x + y + z 1