Kapitola 8: vojný integrál 1/26
vojný integrál - osnova kapitoly 2/26 dvojný integrál přes obdélník definice výpočet (Fubiniova věta pro obdélník) dvojný integrál přes standardní množinu definice výpočet dvojného integrálu postupnou integrací (Fubiniova věta) substituční metoda geometrický význam dvojného integrálu f (x, y) dxdy... objem tělesa 1 dxdy... obsah množiny nevlastní dvojný integrál
Zavedení dvojného integrálu - geometrická představa 3/26 Předpokládejme: = a, b c, d f : R je spojitá nezáporná funkce. T = {(x, y, z) R 3 ; x a, b, y c, d, 0 z f (x, y)} Chceme vypočítat objem tělesa T.
4/26 Riemannova definice dvojného integrálu přes obdelník Objem tělěsa T aproximujeme součtem objemu vhodných kvádrů: a, b rozdělíme na n stejných dílků a = x 0 < x 1 < < x n = b velikost i-tého dílku x i = x i x i 1 c, d rozdělíme na m stejných dílků c = y 0 < y 1 < < y m = b velikost j-tého dílku y j = y j y j 1 zvolíme ( x i, ỹ j ) x i 1, x i y j 1, y j V ij. = f ( xi, ỹ j ) x i y j V T. = n i=1 j=1 m f ( x i, ỹ j ) x i y j
Riemannova definice dvojného integrálu přes obdélník 5/26 efinice: Necht f (x, y) je omezená funkce na = a, b c, d. vojný (Riemannův) integrál funkce f přes množinu je f (x, y) dxdy = lim n m n i=1 j=1 m f ( x i, ỹ j ) x i y j, (je-li limita konečná, nezávisí na výběru dělení a = x 0 < x 1 < < x n = b, c = y 0 < y 1 < < y m = b a na výběru bodů x i x i 1, x i a ỹ j y j 1, y j.) Pozn. Funkce f nemusí být nezáporná. Nezápornost jsme předpokládali pouze kvůli jasnější geometrické představě. Věta: Je-li funkce f spojitá na = a, b c, d, pak existuje dvojný integrál f (x, y) dxdy. b Připomenutí z MI: (R) a f (x) dx = lim n n f (x i ) x i. i=1
Výpočet dvojného integrálu přes obdelník - ilustrace Cíl: Převedeme dvojný integrál na tzv. dvojnásobný integrál budeme integrovat postupně 2x z z= f(x,y) b F(y) = f (x, y) dx a z z= f(x,y j ) a c y i-1 y i d y b x V = V = lim m m j=1 V j. = m j=1 b ( a m F (y j ) y j = j=1 f (x, y j ) dx ) y j = d c F (y) dy = 0 a b d c m F(y j ) y j j=1 b a x f (x, y)dx dy 6/26
Výpočet dvojného integrálu přes obdelníkové obory 7/26 Protože V = f (x, y) dx dy, dokázali jsme vlastně následující: Fubiniova věta pro obdélníkový integrační obor: Necht f (x, y) je spojitá na množině = a, b c, d, potom f (x, y) dxdy = d c b = b a d a c f (x, y)dx dy f (x, y)dy dx Věta: Je-li g(x) je spojitá na a, b a h(y) spojitá na c, d, potom g(x) h(y) dxdy = a c b g(x)dx d h(y)dy.
efinice standardní množiny 8/26 efinice: Standardní množina R 2 je 1 omezená 2 hranice H() je tvořena konečným počtem jednoduchých uzavřených křivek a bodů. y y K 1 K 2 K 2 K 3 K 1 x K 3 x
vojný integrál přes standardní množinu efinice: Necht funkce f (x, y) je omezená na standardní množině a, b c, d. Položme { f (x, y) pro (x, y) g(x, y) = 0 pro (x, y) a, b c, d \ vojný integrál funkce f přes množinu je číslo f (x, y) dxdy = g(x, y) dxdy, a,b c,d pokud integrál vpravo existuje. Množina se nazývá integrační obor. z z f x,y b x a c d y g x,y 0 9/26
10/26 Nejjednodušší standardní množiny = stand. množiny 1. a 2. typu efinice: Říkáme, že je standardní množina 1. typu jestliže = {(x, y) R 2 x a, b, ϕ 1 (x) y ϕ 2 (x)}, kde ϕ 1, ϕ 2 jsou spojité funkce a ϕ 1 (x) ϕ 2 (x) x a, b. Říkáme, že je standardní množina 2. typu jestliže = {(x, y) R 2 y c, d, ψ 1 (y) x ψ 2 (y)}, kde ψ 1, ψ 2 jsou spojité funkce a ψ 1 (y) ψ 2 (y) x c, d. y y d a b x c x
Výpočet dvojného integrálu 11/26 Fubiniova věta: Necht existuje f (x, y) dxdy. 1 Necht je množina 1. typu Pak = {(x, y) R 2 x a, b, ϕ 1 (x) y ϕ 2 (x)}. f (x, y) dxdy = b a ϕ 2 (x) ϕ 1 (x) f (x, y)dy dx. 2 Necht je množina 2. typu Pak = {(x, y) R 2 y c, d, ψ 1 (y) x ψ 2 (y)}. f (x, y) dxdy = d c ψ 2 (y) ψ 1 (y) f (x, y)dx dy.
Vlastnosti dvojného integrálu 12/26 Věta: Necht existují všechny integrály vystupující ve větě. 1 α, β R, pak α f (x, y) + β g(x, y) dxdy = α f (x, y) dxdy + β g(x, y) dxdy, 2 = n i, pak i=1 y 2 f (x, y) dxdy = n i=1 i f (x, y) dxdy. 1 3 1 2 x 3 f (x, y) je nezáporná funkce, pak f (x, y) dxdy 0.
13/26 Substituční metoda pro dvojný integrál Mějme zobrazení Φ : H R 2 R 2, Φ (u, v) = (ϕ(u, v), ψ(u, v)) = (x, y), rovnice x = ϕ(u, v) y = ψ(u, v) nazýváme transformační rovnice. efinice: Zobrazení Φ nazýváme regulární zobrazení jestliže 1 Φ je prosté na H, tj. (u 1, v 1 ), (u 2, v 2 ) R 2 platí (u 1, v 1 ) (u 2, v 2 ) Φ (u 1, v 1 ) Φ (u 2, v 2 ). 2 Φ je na H spojitě diferencovatelné. 3 J(u, v) = det pro (u, v) H. ( ϕ ϕ u (u, v) ψϕ ψ u (u, v) v (u, v) v (u, v) ) 0
Věta o substituci 14/26 Připomenutí: (Věta o substituci z MI) b a f (t) dt = β α f (ϕ(x)) ϕ (x) dx kde funkce ϕ zobrazuje interval α, β na a, b, ϕ(α) = a, ϕ(β) = b. Věta: Necht existuje f (x, y) dxdy. Necht Φ = (ϕ, ψ) je regulární zobrazení takové, že zobrazuje standardní množinu H na standardní množinu, tj. Φ (H) =. Pak f (x, y) dxdy = f (ϕ(u, v), ψ(u, v)) det J(u, v) dudv H Nejčastější substitucí je substituce do polárních souřadnic.
Vsuvka: Polární souřadnice 15/26 Transformační rovnice pro polární souřadnice jsou Např: 1 = {(x, y) x 2 + y 2 4} H 1 = {(r, ϕ) r 0, 2, ϕ 0, 2π } 2 = {(x, y) 1 x 2 + y 2 4} H 2 = {(r, ϕ) r 1, 2, ϕ 0, 2π } 3 = {(x, y) x 2 + y 2 4, x 0} H 3 = {(r, ϕ) r 0, 2, ϕ 3π 2, 5π 2 } substituce do polárních souřadnic vhodná hlavně, je-li část kruhu
Substituce do polárních souřadnic x = r cos ϕ y = r sin ϕ, r (0, ), ϕ 0, 2π) Φ : (r, ϕ) Φ (r, ϕ) = (r cos ϕ, r sin ϕ) = (x, y) ( cos ϕ r sin ϕ J(r, ϕ) = det sin ϕ r cos ϕ ) = r cos 2 ϕ + r sin 2 ϕ = r 0. Substituce do pol. souřadnic: f (x, y) dxdy = H f (r cos ϕ, r sin ϕ) r drdϕ J(r, ϕ) 16/26
17/26 Geometrické aplikace dvojného integrálu Objem tělesa pomocí dvojného integrálu V T = f (x, y) dxdy Plošný obsah pomocí dvojného integrálu P = 1 dxdy. Pozn. Obsah se číselně rovná objemu tělesa s podstavou a výškou 1.
Nevlastní integrály 18/26 efinice: Necht R 2 je množina 1 neomezená 2 hranice je tvořena konečným počtem úseček a polopřímek Necht n = {(x, y) R 2, x 2 + y 2 n 2 }. Necht f (x, y) je omezená funkce na množině. Necht pro n N existuje f (x, y) dxdy. n Potom nevlastním dvojným integrálem rozumíme f (x, y) dxdy = lim f (x, y) dxdy, n pokud limita vpravo existuje. n
Výpočet integrálů přes nekonečné obdélníky 19/26 Věta: Je-li f (x, y) spojitá omezená na = a, ) c, ) potom ( ) ( ) f (x, y) dxdy = f (x, y)dy dx = f (x, y)dx dy a pokud existují integrály na pravé straně. Poznámka: podobný vztah platí pro = a, b c, ) = (, ) c, ) = a, ) c, d = (, ) c, d. c c a
Laplaceův integrál efinice: Integrál e x 2 dx 0 se nazývá Laplaceův integrál (též Gaussův či Euler-Poissonův). f (x) = e x2 Gaussova křivka Tento integrál neumíme vypočítat přímo (pomocí primitivní funkce). K jeho výpočtu použijeme dvojný integrál. Pro = 0, ) 0, ) platí: ( ) ( ) e (x 2 +y 2) dxdy = e x 2 dx e y 2 dy Substitucí do polárních souřadnic: e (x 2 +y 2) dx dy = π 4 ůsledek: + 0 e x 2 dx = 1 2 π 0 0 Pozn. Analogicky lze pro a > 0 vypočítat 0 e ax 2 dx = 1 2 π a. 20/26
Trojný integrál 21/26
Trojný integrál Podobně jako dvojný integrál mužeme zavést trojný integrál f (x, z, y)dxdydz integrační obor R 3. Fyzikální interpretace: f (x, y, z)... hustota tělesa v bodě (x, y, z) f (x, z, y)dxdydz... hmotnost tělesa Věta: (výpočet trojného integrálu přes kvádr) Je-li = a, b c, d e, f, pak ( b ( d ) ) f f (x, z, y)dxdydz = f (x, y, z)dz dy dx. a c e 22/26
Trojný integrál - výpočet 23/26 Věta: (výpočet převedením na postupnou integraci) Pro = {(x, y, z) a x b, ϕ 1 (x) y ϕ 2 (x), ψ 1 (x, y) z ψ 2 (x, y)} je ( b ( ϕ2 (x) ψ2 (x,y) ) ) f (x, z, y)dxdydz = f (x, y, z)dz dy dx. a ϕ 1 (x) ψ 1 (x,y) Pozn: Podobná věta platí pro libovolné pořadí x, y, z.
Substituční metoda pro trojný integrál 24/26 Mějme zobrazení Φ : R 3 R 3, Φ : (u, v, w) (x, y, z) Φ (u, v, w) = (ϕ1 (u, v, w), ϕ 2 (u, v, w), ϕ 3 (u, v, w)), tedy: x = ϕ 1 (u, v, w) y = ϕ 2 (u, v, w) transformační rovnice z = ϕ 3 (u, v, w) Věta (o substituci): Necht zobrazení Φ = (ϕ 1, ϕ 1, ϕ 3 ) je regulární a zobrazuje množinu H na množinu. Pak f (x, y, z) dx dy dz = = f ( Φ (u, v, w)) det J(u, v, w) du dv dw = H f (ϕ 1 (u, v, w), ϕ 2 (u, v, w), ϕ 3 (u, v, w)) det J(u, v, w) du dv dw H Nejčastější substituce: do válcových a do sférických souřadnic
Válcové (= cylindrické) souřadnice 25/26 Transformační rovnice pro válcové souřadnice jsou: x = r cos ϕ y = r sin ϕ z = z det J(r, ϕ, z) = r (0, ), ϕ 0, 2π), z R cos ϕ r sin ϕ 0 sin ϕ r cos ϕ 0 0 0 1 = r
Sférické souřadnice 26/26 Transformační rovnice pro sférické souřadnice jsou: x = r cos α sin β y = r sin α sin β z = r cos β det J(r, α, β) = r (0, ), α 0, 2π), β 0, π) cos α sin β r sin α sin β r cos α cos β sin α sin β r cos α sin β r sin α cos β cos β 0 r sin β = r 2 sin β