STATI Ι ARTICLES ODHAD PARAMETRŮ ROZŠÍŘENÉHO KALDOROVA MODELU A ANALÝZA STABILITY STACIONÁRNÍHO ŘEŠENÍ DOI:.867/j.polk.96 Jan Kodra, Quang Van Tran* Abstract An Inflation Analysis Using an Endognous Businss Cycl Modl In this articl w analyz th continuous inflation dynamics using a four-quation modl. Whn constructing th modl, th traditional Kaldorian two-quation modl is xtndd by adding two othr quations. On of thm dscribs an adaptiv inflation xpctations and th othr continuous dynamics of th mony markt. In this stting, th instability vlocity of mony circulation is assumd du to th ffcts of xpctd inflation on mony circulation vlocity. Thn th paramtrs of th modl ar stimatd using th ral Czch conomic data. As it is a non-linar modl in its paramtrs, a non-linar stimation tchniqu is usd for this purpos. Furthr, th stationarity as wll as th stability of th stimatd modl is thoroughly xamind as its instability may indicat that th modl can gnrat som complx dynamics. Kywords: Kaldorian modl, montary inflation modl, nonlinar stimation, bootstrapping, stationary solution, stability analysis JEL Classification: C6, C88, E3 Úvod Stávající hlavní proud konomické vědy j zastoupný přdvším modly dynamické stochastické clkové rovnováhy tzv. modly DSGE vycházjící z zásadní prác o rálném hospodářském cyklu od Kydlanda a Prscotta (98), ktrá j postavna na mikrokonomickém základě. Pojtí clkové rovnováhy j mikrokonomickou konstrukcí, kdy spotřbitl maximalizuj užitkovou funkci při daném rozpočtovém omzní a výrobc maximalizuj zisk při tchnologickém omzní, ktré j dáno produkční funkcí. Struktura modlu j uzavřna rovnicmi tržní rovnováhy. Cny a mzdy v modlch DSGE jsou pružné, tj. okamžitě vyrovnávají komoditní a pracovní trh, nbo npružné tj. jsou pomalu adaptovány různými mchanismy adaptac (např. Calvův adaptační mchanismus). Modly s npružným cnovým a mzdovým mchanismm jsou obvykl nazývány modly nové kynsovské konomi. Tvary užitkových a produkčních funkcí jsou v modlch DSGE * Jan Kodra, Quang Van Tran (jan.kodra@vs.cz; tran@vs.cz), Vysoká škola konomická v Praz, Fakulta financí a účtnictví. Tnto článk byl zpracován v rámci institucionální podpory výzkumu na Fakultě financí a účtnictví VŠE v Praz č. IP 4. Ročník 64 číslo 7 6 POLITICKÁ EKONOMIE 769
spkulativní, jjich konstrukc j silně ovlivněna požadavkm snadného výpočtního zpracování. Navíc rdukované tvary těchto modlů jsou linarizovány, čímž ztrácjí schopnost zachytit složitější chování. Linarizac j prováděna z toho důvodu, ž odhad linárních modlů npřdstavuj závažnější problém. Dál linarizac vlmi usnadňuj násldné simulac. Simulovaná řšní linarizovaných modlů vytvářjí jdnoduchou dynamiku, ktrá j často v rozporu s ralitou vývoj konomických vličin. Výš uvdné ndostatky modlů DSGE nás vdou k tomu, ž v této stati s vracím k makrokonomickému modlování. Makrokonomický přístup zkoumá vztahy mzi konomickými agrgáty. Tnto tortický proud prožíval od 6. lt až do začátku 8. lt. stoltí značný rozvoj. V 8. a 9 ltch v rámci makrokonomického modlování nastal rozmach dynamických nlinárních modlů (modly ndognního cyklu). Přdností těchto modlů j, ž dokáží gnrovat složitější vývoj makrokonomických vličin, ktrý j konzistntní s rálným vývojm. Využití dynamických nlinárních modlů pro mpirické účly přinášlo značné problémy přdvším v oblasti odhadu paramtrů. Pravděpodobně z těchto důvodů byl rozvoj těchto modlů na přlomu tisíciltí utlumn a nastoupily modly DSGE, a tak v současné době nlinární dynamické makrokonomické modly zaujímají spíš marginální úlohu. Nicméně, vzhldm k tomu, ž modly DSGE nsplňují očkávání do nich vložné, v posldní době dochází k určitému oživní makrokonomických modlů (Hillingr, 5, ; Davanzati t al., 6), k ktrému chcm přispět mimo jiné i tímto článkm. Matmatická tori, ktrou využívají spojité nlinární dynamické makrokonomické modly j v značné části obsažna v známé kniz autorů Gucknhimra a Holms (986). Protož tato zajímavá část tori systémů j stál aktuální, můžm s stkat s řadou modrnějších publikací rozvíjjících dosavadní poznatky, jako např. Kuzntsov (998), Prko (). Makrokonomické dynamické modly jsou nlinární proto, ž obsahují invstiční a spotřbní funkc, ktré mají z podstaty problému nlinární tvar. Takové systémy jsou schopny gnrovat složitější dynamiku, viz např. Lornz (994), Chiarlla (99), Flaschl t al. (997), Rossr (999). Dosavadní snahy využít těchto nlinárních systémů pro modlování konomiky však končí pouz u odvozní modlů bz dalšího ověřní, zda tyto modly jsou schopny vygnrovat dynamiku podobnou skutčnému konomickému vývoji. Rovněž nbyl věnován dostatk pozornosti tomu, zda lz odhadnout paramtry těchto modlů z rálných konomických dat. V snaz zaplnit výš zmíněnou mzru s v této stati pokouším ověřit, zda kromě tortické analýzy, ktrá byla provdna dřív (Kodra t al.,, 3, 6 a 3), j možné na datch skutčné konomiky odhadnout paramtry těchto nlinárních dynamických modlů. Tnto úkol nmusí být zcla jdnoduchý, protož až na malé výjimky tortické modly jsou v vědcké litratuř většinou budovány jako spojité dynamické modly. Další problém ralizac tohoto záměru spočívá v tom, ž tyto modly jsou nlinární njn v proměnných, al často také v paramtrch. Kromě toho v nposldní řadě j také důlžité najít vhodné programovací prostřdí na ralizaci tohoto záměru. Pro náš záměr mpirického výzkumu j vybrán modl navržný Chiarllou (99). Jdná s o modl s dvěma rovnicmi s proměnnými očkávaná inflac a inflac. Chiarllovým modlm rozšířím původní Kaldorův modl (Kaldor, 94), ktrý má rovněž dvě rovnic. Spolčně tvoří spojitý dynamický systém s čtyřmi difrnciálními rovnicmi, z nichž něktré obsahují nlinarity. Naším hlavním cílm bud njprv provést odhad paramtrů. Protož námi navržný modl nní linární v paramtrch, bud nutno použít vhodné nlinární mtody odhadu. 77 POLITICKÁ EKONOMIE Ročník 64 číslo 7 6
Kromě odhadů paramtrů pomocí nlinárních mtod s zaměřím na nalzní bodu rovnováhy modlu. Bod rovnováhy j v oblasti analýzy dynamických konomických modlů často nazýván stacionárním řšním. Zd j třba rozlišit tnto pojm v prostřdí nlinárních systémů, aby ndošlo k trminologické záměně s pojmm clková rovnováha modlu, ktrá j v oblasti dynamických modlů dfinována jako řšní dynamického modlu v formě časově proměnných trajktorií. V této souvislosti připomínám, ž v případě hlavního proudu konomického bádání (modly DSGE) j pro výzkumníky žádoucí, aby stacionární stav systému (tj. bod rovnováhy) byl stabilní. V případě nlinárních makrokonomických modlů jsou dalko zajímavější nstabilní rovnovážné body, protož v tomto případě řšní modlu přdstavované trajktorimi jho proměnných můž probíhat dalko od bodu rovnováhy a vykazovat znaky složitější dynamiky (priodické nlinární oscilac, apriodický pohyb atd.). Záměrm našho článku j tdy zkoumat, zda j možné rformulovat nlinární dynamické modly jako konomtrické modly, ktré obvykl jsou nlinární njn v proměnných, al i v paramtrch. To však, jak jsm již řkli, vyžaduj nlinární mtody odhadu. V tomto případě jak při sstrojní konkrétního tvaru věrohodnostní funkc, tak při nalzní optimálního řšní j nutné mnohm větší úsilí nž při řšní tradičních problémů. Pro řšní problému minimalizac věrohodnostní funkc jsm s rozhodli využít programovému prostřdku Mathmatica s tím, ž zárovň ověřujm jho schopnost takové problémy řšit. Pro odhad paramtrů modlu používám údaj o hrubém produktu, kapitálu, pněžní zásobě a cnové hladině čské konomiky v období lt 4. Po odhadu dotyčných paramtrů nlinárního dynamického modlu používám tyto paramtry pro výpočt bodu rovnováhy systému a jho stability, případně nstability. V našm případě čské konomiky indikujm nstabilitu bodu rovnováhy, jak uvidím v závěru článku. Zbývající část našho článku j strukturována násldovně: V druhé skci článku j formulován obcný dynamický modl, ktrý j rozšířním Kaldorova modlu o pněžní sktor a adaptivní očkávání inflac. V třtí skci spcifikujm nlinarity modlu. V čtvrté skci s věnujm stacionárnímu řšní obcného modlu a podmínkám stability. Pro podmínky stability stacionárního řšní jsou důlžitá vlastní čísla Jacobiovy matic soustavy. Jjich vlastnosti vyžadují rozsáhljší analýzu a odvozní něktrých vztahů. Abychom s vyhnuli znpřhldnění základního txtu, odvozní zmíněných vztahů jsm zařadili do dodatků. V páté skci řším odhady paramtrů modlu na čtvrtltních údajích čské konomiky od roku do 5. V šsté skci j analyzováno stacionární řšní odhadnutého modlu a jho stabilita. Výsldky jsou shrnuty v závěru. Obcná formulac modlu V této stati s zabývám analýzou původního Kaldorova modlu, ktrý rozšiřujm o modl popisující pněžní trh a adaptivní očkávání inflac, ktrý j uvdn v kniz Chiarlly (99). Modl j vytvořn dvěma difrnciálními rovnicmi. Tato prác navázala na výsldky dřívějších studií v této oblasti, jjich autoři jsou např. Timbrgm (93), Goodwin (95), Phillips (954), Alln (956) a Gabisch a Lornz (989). První rovnic j rovnicí pro dynamiku pněžního trhu, kd nrovnováha mzi pněžní nabídkou a poptávkou působí na vývoj cn. Jstliž například j nabídka pněz vyšší nž poptávka po pnězích, vznikají na běžných účtch konomických subjktů nadbytčné pníz, ktré subjkty použijí na nákup komodit, což zvýší cny a s jistým zpožděním Ročník 64 číslo 7 6 POLITICKÁ EKONOMIE 77
poptávku po pnězích a původní přvis nabídky pněz nad poptávkou s zmnší. Opačný procs nastan, j-li nabídka pněz nižší nž poptávka po pnězích. Zmíněný procs s nazývá Marshallův přizpůsobovací procs. Dynamika pněžního trhu j doplněna rovnicí pro adaptivní očkávání inflac. Právě jsm řkli, ž vyšší nabídka pněz vyvolá růst cn a růst cn vyvolá růst poptávky po pnězích. Dalším účinkm růstu cn j zvýšní očkávané inflac a zvýšní rychlosti obratu pněžního a násldné snížní poptávky po pnězích. Existují tdy dva procsy namířné proti sobě. Přímé působní cn na poptávku po pnězích a zárovň npřímý vliv přs očkávanou inflaci. Přdchozí úvahy zpřsním przntací modlu publikovaného v Chiarllově kniz. V daném modlu s jdná v podstatě o montární přístup k inflaci. Montární modly inflac s vyskytovaly vlic často v vědcké litratuř. V čské vědcké litratuř např. Arlt t al. (6). Základním východiskm pro modlování pněžního trhu v noklasických modlch j Fishrova rovnic pro urční množství pněz v oběhu, ktrou zadávám v důchodovém tvaru M d V = PY. () Symbolm M značím poptávku po pnězích V rychlost oběhu pněžního P cnovou hladinu a Y hrubý domácí produkt. Všchny uvdné proměnné závisí na čas. Rychlost oběhu pněžního v tradičním noklasickém pojtí j závislá na tchnologických podmínkách platbního styku. To znamná, ž jjí změna můž nastat v souvislosti s změnou těchto podmínk, j tdy většinou pomalá. Rychlá a vlká změna můž nastat pouz v případě rvolučních změn platbního styku. Modrní noklasická tori přdpokládá (Chiarlla, 99), ž rychlost pněžního oběhu rost v rámci tchnologických omzní s očkávanou inflací, protož konomické subjkty očkávají znhodnocní pněz a drží mnší množství pněz v hotovosti a na běžných účtch. Matmaticky j to vyjádřno funkcí očkávané inflac, ktrá j rostoucí a má infimum a suprmum. Označm očkávanou inflaci v čas t symbolm π(t), rychlost pněžního oběhu navrhnm v tvaru Vt (). ( ( t)) V Funkci θ budm uvažovat jako nlinární funkci proměnné π. Vzhldm k výš uvdnému vztahu má rovnic () po logaritmování tvar d m () t v () t y() t p(), t kd jsm pro označní logaritmů původních vličin použili malých písmn. Dynamika cn bud důsldkm nrovnováhy na pněžním trhu. Pněžní nabídku označím M(t) a jjí logaritmus m(t). Pro vyjádřní poptávky po pnězích použijm rovnic (), takž dostanm pt () mt () v () t yt () pt (). () Rovnic popisuj Marshallův přizpůsobovací procs na pněžním trhu, kdy přvaha nabídky pněz, tj. přbytk pněžních zůstatků na běžných účtch nad poptávkou po pnězích, j použit na nákupy zboží na komoditním trhu, a tak zvdá cnovou hladinu, zd ovšm vyjádřnou logaritmicky. Podobně přvaha poptávky po pnězích nad nabídkou vyvolá omzní nákupů na komoditním trhu a pokls cnové hladiny. 77 POLITICKÁ EKONOMIE Ročník 64 číslo 7 6
Přdpokládám spojité adaptivní očkávání inflac, ktré j vyjádřno rovnicí () t p () t (). t (3) J-li historická inflac vyšší nž očkávaná inflac, dojd násldně k jjímu zvýšní. V případě mnší historické inflac dojd k snížní očkávané inflac. Rovnic (3) s upraví, přičmž s využij rovnic () tak, ž ji dosadím za pt () do rovnic (3) a dostanm: () t m() t v () t y() t p() t () t. (4) Difrnciální rovnic () a (4) popisují dynamiku cn p(t) a očkávané inflac π(t) pomocí nrovnováhy na pněžním trhu (rovnic ()) a pomocí adaptivního očkávání inflac (rovnic (4)). Vličiny m(t) a y(t) jsou xognní proměnné. Při rozšířní modlu budm ndognizovat vličinu y(t) a vličinu m(t) zvolím jako konstantní. Modl vytvořný rovnicmi () a (4) použijm na rozšířní původního Kaldorova modlu, ktrý j tvořn dvěma difrnciálními rovnicmi. První difrnciální rovnic popisuj dynamiku komoditního trhu. Původní vrz této rovnic j formulována jako Ẏ(t) = IY(), t K() t SY() t, (5) kd K j zásoba kapitálu I invstic jako rostoucí funkc produkc a klsající funkc kapitálu, S úspory jako funkc produkc (důchodu). Invstiční funkci upravím jako součin invstiční míry j a produkc. Funkc invstiční míry bud závist na produktivitě kapitálu, tdy Yt () yt () kt () IYt (), Kt () j Yt () j Yt () iyt () kt () Yt (). Kt () Podobně upravím funkci úspor tak, aby byla od určité úrovně důchodu rostoucí a konvxní, což odpovídá konomickým zkušnostm S Y( t) s s log Y( t) Y( t) s s y( t) Y( t). Z výš uvdných dvou rovnic dosadím do rovnic (5), vydělím obě strany rovnic Y(t) a dostanm yt () i yt () kt () s syt (). (6) Další rovnic popisuj tvorbu kapitálu K () t i y() t k() t Y() t ak(), t kd a > značí amortizaci. Obě strany rovnic vydělím K(t) a dostanm v logaritmickém vyjádřní proměnných yt () kt () kt () i yt () kt () a. (7) Rovnic (6) a (7) tvoří Kaldorův modl, zd jsm však jho původní tvar poněkud upravili. Přvrácnou hodnotu produktivity kapitálu nazývám kapitálovým koficintm. Ročník 64 číslo 7 6 POLITICKÁ EKONOMIE 773
. Spcifikac nlinarit v modlu V modlu tvořném rovnicmi (), (4), (5) a (6) jsou dvě nlinární funkc. J to funkc θ(π(t)), ktrá j logaritmm rychlosti oběhu pněžního (až na konstantu ν ) a funkc invstiční míry i(y(t) k(t)). Funkc θ(π(t)), j dfinována na intrvalu (, ), protož očkávaná inflac torticky nabývá všch záporných hodnot (dflac), nuly a všch kladných hodnot. Tchnologické paramtry silně dtrminují rychlost oběhu pněžního, takž funkční hodnoty funkc θ(π(t)) s pohybují v rlativně úzkém pásu, tdy tato funkc má své suprmum a infimum. Funkc invstiční míry i(y(t) k(t)) bud mít podobné vlastnosti. Bud dfinována na intrvalu (, ), protož fktivnost kapitálu Y(t) / K(t) bud torticky nabývat všch kladných hodnot, a tdy jjí logaritmus libovolných rálných hodnot. Infimum invstiční míry bud. Z konomické tori a prax vím, ž invstiční míra nmůž přkročit jisté procnto produktu. Tato funkc tdy bud mít i své infimum a suprmum. Pro aproximaci těchto vlastností s njlép hodí logistická funkc, ktrá má obcný tvar: L Lx ( ). l( xx ) Na základě vlastních zkušností s těmito funkcmi (Kodra t al., ) pro funkci θ volím násldující tvar: ( ) ;. Infimum výš uvdné funkc j a suprmum θ. Funkc invstiční míry j spcifickým případm logistické funkc a volím ji v tvaru: ( ) i iy k ; i ;,. ( y k i ) Infimum invstiční míry j a suprmum i. Dosadím-li spcifikac nlinarit do rovnic (), (4), (6) a (7), dostanm () () () () pt mt v yt pt (8) () t () () () mt v () yt pt t () t (9) i yt () s syt () yt () kt () i () i yt () kt () kt () a. yt () kt () i () Výš uvdné rovnic tvoří Kaldorův dynamický modl rozšířný o rovnic pněžního trhu. Na lvé straně jsou drivac ndognních proměnných dynamického systému podl času, na pravé straně jsou ndognní proměnné a xognní proměnná m(t). V násldující skci zjistím stacionární řšní a podmínky stability. 774 POLITICKÁ EKONOMIE Ročník 64 číslo 7 6
3. Stacionární řšní modlu a podmínky stability Připomínám, ž stacionární řšní j takové řšní, ktré s nmění v čas. V našm případě toto řšní označím p,, y, k. Rovnic (8) () po dosazní těchto konstantních hodnot a úpravě získají tvar. mv y p () mv y p i ( s ( sy) y k i ) (3) (4) i yk a. (5) yki Njdřív začnm s řšním rovnic (5). Za tímto účlm položím X xp( y k) a rovnic (5) přjd v tvar: i X a. (6) i X Připomnm, ž X (, ). Výraz (6) upravím na ix a X i ( ). Po dalších úpravách spočívajících v přvdní na lvou stranu rovnic a vynásobní X dostávám násldující kvadratickou rovnici Brm v úvahu pouz kladný kořn i X ax a i. X i a a 4a i i. Z rovnic (4) vypočítám vličinu y snadno i y i s X Stacionární vličina kapitálu j dána vztahm k y log X. s. Srovnáním rovnic () a (3) zjistím, ž stacionární inflac j =. Potom z rovnic (8) snadno vypočtm: p mv y. Ročník 64 číslo 7 6 POLITICKÁ EKONOMIE 775
Modl popsaný rovnicmi (8) () má právě jdn stacionární bod určný rovnicmi () (5). Stabilitu nbo nstabilitu stacionárního bodu určím po vyřšní linarizované úlohy. Linarizaci soustavy provádím v okolí stacionárního řšní. Řšní linarizované soustavy j stabilní, právě když stacionární bod j stabilní. Připomnm stručně něktrá pravidla linarizac soustavy nlinárních difrnciálních rovnic. Vzměm soustavu xt () f xt (), (7) kd x(t) = (x (t),..., x n (t)) a f = (f,..., f n ) j vktor funkcí hladkých na. Symbolm x označm stacionární bod, tdy f(x)=. Soustavu rovnic () aproximujm linární soustavou d xt ( ) f ( x) x( t), dt x kd δx(t) aproximuj řšní x(t) x blízko stacionárního bodu a f (x) j hodnota x Jacobiho matic v stacionárním bodě. Nalzním vlastních čísl Jacobiho matic a prozkoumáním jjich vlastností vyřším otázku stability stacionárního bodu námi zkoumaného čtyřrozměrného modlu. Za účlm konstrukc Jacobiho matic sřadím proměnné soustavy difrnciálních rovnic (8) () do vktoru x(t) = (p(t), π(t), y(t), k(t)). Soustavu (7) budm drivovat podl x(t) a dosadím x. Pokud tnto postup aplikujm na soustavu (8) (), postupujm násldujícím způsobm. Drivujm (8) po řadě podl p(t), π(t), y(t), k(t) a po dosazní souřadnic stacionárního bodu p,, y, k dostávám A = γ (8) (9) [ ] A C = γ C =. Drivac jsm označili vlkými písmny zdánlivě npřirozným způsobm. Mám pro to však dobré důvody, jak později uvidím. Nyní budm drivovat rovnici (9) podl jdnotlivých proměnných a dosadím jdnotlivé souřadnic stacionárního bodu A () A [ ] () C C =. Rovnic () a () nobsahuj proměnné p(t) a π(t), takž drivac podl těchto proměnných budou nulové. Dál drivujm () podl y(t), k(t) a dosadím y, k : 776 POLITICKÁ EKONOMIE Ročník 64 číslo 7 6
i ( yki ) B yki s () ( y k i ) i B ( yki ). (3) Drivací () podl y(t), k(t) a dosazní y, k dostanm i ( yki ) B ( yki ( ) ) yki i i( yki) B ( yki ( ) ) yki i i ( yk) ( yk). (4) (5) f Jacobiho matici (x) soustavy (8) () označím J. Snadno zjistím, ž platí: x A C J, B A A B B C C kd A, B, C,. A A B B C C Z tori dynamických systémů vím, ž pro analýzu stability stacionárního bodu j nutné znát charaktristická čísla matic linarizované soustavy. Charaktristická čísla matic jsou kořny tzv. charaktristické rovnic. Pro náš případ j charaktristická rovnic dána výrazm dt( I J) dt( I A)dt( I B), 4 kd jsm symbolm I n označili jdnotkovou matici o n řádcích a sloupcích a použili větu o rozvoji dtrminantu. Dosadím-li do přdšlého výrazu za A a B a spočtm-li dtrminanty, dostávám: [ ( A A ) A A A A ][ ( B B ) B B ]. Výš uvdná rovnic j algbraická rovnic 4. stupně, ktrá j součinm dvou kvadratických trojčlnů. Číslo λ j řšním dané rovnic, právě když j řšním kvadratické rovnic ( A A ) A A A A. (6) Ročník 64 číslo 7 6 POLITICKÁ EKONOMIE 777
nbo ( B B ) B B B B. (7) Pro řšní první kvadratické rovnic mám: ( ) 4 A A A A A A ( ) 4. A A A A A A Pro řšní druhé kvadratické rovnic platí: ( ) 4 B B B B B B 3 4 ( ) 4. B B B B B B Po dosazní z rovnic () (5) snadno zjistím, ž pro absolutní člny kvadratických rovnic (6) a (7) platí A A A A, B B B B. (8) Důkaz výš uvdných nrovností j provdn v dodatku. Vzhldm k tomu, ž absolutní člny kvadratických rovnic (6) a (7) jsou kladné, podl tori kvadratických rovnic platí: sgn(r ) sgn(r ) a sgn(r ) sgn(r ). 3 4 To j tak vš, co s dá o vlastnostch stacionárního bodu obcně zjistit. Charaktristická čísla mohou být rálná i imaginární, což závisí na znaménku diskriminantů Dál platí, ž pro ( A A ) 4 A A a ( B B ) 4 B B. j ( A A ) 4A A [ ] [ ] a pro ( yki) ( yki) i i s R s R, ( yki) ( yki) 778 POLITICKÁ EKONOMIE Ročník 64 číslo 7 6
kd R = i ( yki ) i ( yki ( ) ) i yki yk j ( B B ) 4B B. Důkaz výš uvdných nrovností j provdn v dodatku. 4. Odhad paramtrů modlu Rozšířný Kaldorův modl j nlinární jak v proměnných, tak i v paramtrch, ktré chcm odhadovat. Paramtry modlu odhadnm z dat čské konomiky. Použijm čtvrtltní údaj rálného domácího produktu, pněžního agrgátu M, invstic a čtvrtltní míry inflac z období lt 4. Originální čtvrtltní data kapitálové zásoby njsou dostupná. Kapitál j totiž k dispozici pouz v ročních údajích. Data na první tři čtvrtltí daného roku jsm získali tak, ž jsm použili údaj o invsticích a odpisch a dopočtli jsm chybějící údaj o kapitálu. Jsm si samozřjmě vědomi problémů, ktré souvisjí s těmito úpravami. Použitá data pro odhad paramtrů Kaldorova modlu charaktrizujm popisnými statistikami v tabulc. Tabulka Popisné statistiky použitých dat HDP (v mil. Kč) Pněžní agrgát M (v mil. Kč) Zásoba kapitálu (v mil. Kč) Invstic (v mil. Kč) Cnový indx Průměr 83 899,5 43 89 3 44 63 44 55,3,63 Mdián 88 68, 335 745 3 6 44 4 469,, Maximum 936 76, 546 996 6 3 589 3 648,, Minimum 59 38, 546 36 9 776 757 78 9, 99, Směrodatná odchylka 5 79,9 6 699,4 535 34 86,9,34536 Šikmost,4773,387,395,8,864 Špičatost,7473,788964,63464,4676 3,4568 Jarqu-Brra 5,6488 4,98 4,4454,84567,5576 Pravděpodobnost,75,33835,835,39739,756683 Pozorování 57 57 57 57 57 Zdroj: Čský statistický úřad, Čská národní banka (statistiky) a vlastní výpočty 4. Odhad paramtrů pro rovnici adaptivního očkávání inflac I když rovnic adaptivního očkávání j v základním tvaru modlu v pořadí druhá, použijm ji v rámci odhadu modlu jako první, protož pomocí odhadnutého tvaru této rovnic vypočítám časovou řadu očkávané inflac, ktrou budm používat v násldujícím Ročník 64 číslo 7 6 POLITICKÁ EKONOMIE 779
odhadu rovnic pro dynamiku cn, ktrá j v základním tvaru modlu jako první. Adaptivní očkávání j dáno rovnicí (9), al my použijm pro účly odhadu jjí základní tvar (3). Provdm násldující aproximaci. Okamžitou změnu očkávané inflac (t) aproximujm výrazm π t + π t a okamžitou změnu cnové hladiny p (t) aproximujm výrazm p t p t = Δp t. Po dosazní uvdných aproximací rovnic (3) dostan tvar. nbo t t ( p t t) t p t ( ) t, kd přdpokládám, ž (,). Když budm řšit výš uvdnou rovnici vzhldm k π t +, dostanm t k ( ω)k Δp t k. (9) Pro náš xprimnt budm řadu v výš uvdném výrazu aproximovat součtm prvních dvou člnů, tj. k =,. Po substituci Δp t + za π t + dostanm Δp t + = ωδp t + ω( ω) Δp t. Věrohodnostní funkc pro tnto odhad j nlinární a dokonc nkonvxní v paramtrch. Procdury na nalzní globálního minima nkonvxních funkcí nmohou být stoprocntně spolhlivé. Njvhodnější procdurou pro nalzní globálního minima s jví procdura ArgMin systému Mathmatica. Pro nalzní konfidnčních intrvalů nlinárních odhadů použijm mtody tzv. bootstrappingu podl Martinz (7). Bylo sstrojno mpirické rozdělní čtností a nalzny příslušné kvantily. Paramtr ω odhadnm z časových řad čtvrtltních cnových indxů čské konomiky. Výsldky jsou uvdny v tabulc. Odhad paramtru j statisticky významný a splňuj přdpoklad, ž (,), použijm ho tdy v rovnici (9). Tabulka Výsldky odhadu paramtrů rovnic adaptivního očkávání Paramtr Odhad,5-kvantil,975-kvantil ω,648,94,485373 Zdroj: vlastní zpracování Časovou řadu očkávané inflac získám z aproximac rovnic (9), v tvaru πp t + = ωδp t + ω( ω) Δp t. Očkávanou inflaci použijm při odhadu rovnic (8). Mtoda bootstrappingu j statistická mtoda, ktrá využívá výpočtní tchniku k vygnrování tzv. bootstrapových výběrů, z ktrých lz vypočítat různé statistiky na urční přsnosti odhadu, intrvalu spolhlivosti a na tstování hypotéz. 78 POLITICKÁ EKONOMIE Ročník 64 číslo 7 6
4. Odhad paramtrů pro rovnici dynamiky cn Výsldky odhadů rovnic (8) jsou uvdny v tabulc 3. Rovnici (8) jsm pro odhad upravili násldujícím způsobm: c pt () mt () c c yt () pt (). (3) () t Pro odhad jsm použili místo proměnné p (t) čtvrtltní difrnc logaritmu cnového indxu, místo m(t) čtvrtltní údaj o pněžní zásobě, místo π(t) data získaná autorgrsním modlm odhadnutým s difrncí logaritmů cnových indxů, místo y(t) čtvrtltní údaj o logaritmu hrubého domácího produktu a místo p(t) údaj o logaritmu cnového indxu. Rovnic j linární v paramtrch, proto jsm s rozhodli pro procduru LinarFit, ktrá j součástí softwar Mathmatica. Odhadnutou rovnici, ktrá bud mít tvar cˆ pt () mt () cˆ cˆ () yt () pt () t, dál upravím tak, ž vytknm ĉ a dostanm mt () cˆ cˆ / cˆ pt () cˆ () yt () pt (). t cˆ cˆ Všchny paramtry odhadu mají z hldiska konomické intrprtac správné znaménko a jsou statisticky významné. Pro xprimnty s odhadnutou rovnicí používám upravnou logaritmickou pněžní zásobu m s (t) = m(t)/ĉ. Tabulka 3 Výsldky odhadu paramtrů rovnic dynamiky cn Paramtr Odhad Směrodatná chyba t-statistika p-valu ĉ 8,676 8,4 3,5658,8 ĉ 5,9 5,8635 6,677 ĉ,88,556 35,5783 Zdroj: vlastní zpracování Položím cˆ,888, v cˆ cˆ 3, 733, 5,765 a dostanm cˆ cˆ numrické hodnoty paramtrů rovnic (8), ktré budm užívat v simulacích. Musím rovněž dosadit za m t. Za tuto hodnotu arbitrárně dosadím průměr logaritmů údajů o pněžní zásobě, což j 3,987. V modlu používám upravnou pněžní zásobu s mt () m ( t) 6,69857. cˆ Ročník 64 číslo 7 6 POLITICKÁ EKONOMIE 78
4.3 Odhady paramtrů pro rovnici kapitálové tvorby Data pro kapitál a produkci použijm pro odhad tří paramtrů rovnic (). Rovnic j nlinární v paramtrch, proto používám mtodu ArgMin systému Mathmatica a pro stanovní konfidnčních intrvalů mtody bootstrappingu. Výsldky odhadu a oboustranné konfidnční intrvaly jsou uvdny v tabulc 4, kd vidím, ž hodnoty paramtrů i, i, a, lží uvnitř jjich konfidnčního intrvalu, jsou tdy statisticky významné. Tabulka 4 Výsldky odhadu paramtrů rovnic kapitálové tvorby Paramtr Odhad,5-kvantil,975-kvantil i,499945,376 3,953 i 8,743439 9,3575,9943 a,847,757,45 Zdroj: vlastní zpracování Výsldky tohoto odhadu pokládám z hldiska významnosti za uspokojivé a použitlné v dalších výpočtch. Ekonomická intrprtac numrických výsldků odhadu můž být diskutabilní, což j u úloh tohoto typu j běžné. Například paramtr i =,499945 j hodnota míry invstic při vysoké produkci 3. Číslo by s mohlo intuitivně zdát rlativně vysoké. Na druhé straně njd o pozorovanou hodnotu invstiční míry, al o prdikovanou hodnotu za podmínky normně vysoké produkc. Podobný případ j a =,847. Zd s jdná o míru amortizac kapitálu. Toto číslo j rlativně malé a intuitivně by s mohlo zdát, ž nodpovídá míř amortizac v praxi, ktrá j ovšm účtním pojmm. Paramtr a z tabulky 4, ktrý intrprtujm jako míru amortizac, byl získán odhadm z pozorovaných dat, takž j skutčně problém řšit otázku, ktrý paramtr j vhodnější pro analýzu. Dávám samozřjmě přdnost hodnotám odhadnutým. 4.4 Odhad paramtrů rovnic pro dynamiku produkc Dynamika produkc j dfinována rovnicí (), ktrá obsahuj výraz pro sklon k invsticím yt () kt () i i jhož paramtry jsm odhadli v subskci 4.3. Vypočtné hodnoty sklonu k invsticím jsm spolu s logaritmy produkc využili k odhadu paramtrů rovnic () v upravném tvaru i yt () s syt (), yt () kt () i takž nodhadujm paramtry přímo, al jjich funkc, z ktrých dané paramtry vypočítám. Protož rovnic () po j rovnic linární v paramtrch, použili jsm mtodu, 3 i j limita funkc invstiční míry, jakmil y divrguj do nkončna. 78 POLITICKÁ EKONOMIE Ročník 64 číslo 7 6
LinarFit, ktrá j procdurou systému Mathmatica. Výsldky odhadu nalznm v tabulc 5. Výsldky odhadu jsou statisticky významné, proto j můžm použít pro další zpracování. Tabulka 5 Výsldky odhadu paramtrů rovnic dynamiky produkc Paramtr Odhad Směrodoatná chyba t-statistika p-valu α 34,373 64,65 4,867 αs 54,55 3,57 4,897 αs,646,735,387,94 Zdroj: vlastní zpracování Z tabulky 5 vypočtm násldující hodnoty paramtrů rovnic dynamiky produkc α = 34,373, s =,49356, s =,5. Ekonomicky intrprtovatlné jsou paramtry s a s, což j po řadě míra úspor a paramtr zakřivní funkc úspor, ktrý pro náš odhad j nízký oproti linárnímu člnu s. 5. Analýza stability stacionárního řšní odhadnutého modlu Použijm odhady získané v skci 5 a dostanm: Rovnic adaptivního očkávání: ( t),648 p ( t) ( t) Rovnic pro inflaci: pt 5, 765 ( ),888 6,7596 3,733 ( ) ( ) () t yt pt Rovnic kapitálové tvorby:, 499945 yt () kt () kt ( ),847 yt ( ) kt ( ) 8.743439 Rovnic dynamiky produkc:, 499945 yt ( ) 34, 373, 49356, 5 yt ( ) yt ( ) kt ( ) 8.743439 Stacionární stav modlu j dán rovnicmi: = 6, 7596 3, 733 5, 3635 ( y p), 499945 yk, 847 ( yk8.743439) Ročník 64 číslo 7 6 POLITICKÁ EKONOMIE 783
, 499945 (, 49356, 5 y). ( y k 8.743439) V druhé rovnici stacionárního stavu modlu jsm nchali hodnotu upravné pněžní s zásoby m 6,69857 sparovanou z intrprtačních důvodů. Totéž platí pro paramtr v 3, 733. Stacionární řšní výš uvdné soustavy provdm podl vzorců, ktré jsm odvodili v skci 4. Rovnici (5) jsm upravili na rovnici (6), ktrá po úpravě získá tvar kvadratické rovnic. Jjí kladný kořn má po dosazní hodnotu: X i i a a 4a, 54648. Dosadím-li odhady paramtrů a vypočtnou hodnotu X do násldující rovnic pro stacionární hodnotu produkc, dostanm i y s 8,836949 i s X a pro stacionární hodnotu kapitálu mám k ylog X 3, 67896. Stacionární hodnota očkávané inflac = a stacionární hodnota cnové hladiny j p mv y 7, 7879. Pro výpočt charaktristických čísl matic linarizované soustavy byla využita procdura Eignvalus programu Mathmatica s násldujícími výsldky: Všchna charaktristická čísla jsou rálná a kladná. Modl má tdy nstabilní stacionární řšní. U nlinárních modlů to nmusí však znamnat xplozivní řšní jako u modlů linárních. U nlinárních modlů j kromě xplozivních oscilací možnost složitější dynamiky, tj. priodické nbo dokonc npriodické oscilac (viz Gucknhimr a Holms, 986; nbo Lornz, 994). Podrobnější analýza dynamiky tohoto modlu přsahuj však rámc tohoto článku. Závěr Nlinární dynamické makrokonomické modly, mzi něž patří i námi analyzovaný modl, jsou většinou analyzovány obcně, případně kalibrovány za účlm simulací. V této stati jsm s pokusili o odhad paramtrů modlu, i když jsm si byli vědomi problémů spojných s tím, ž nám nní známa litratura, ktrá by s odhadm nlinárních dynamických modlů zabývala. Z tohoto důvodu jsm odhad paramtrů Kaldorova rozšířného dynamického nlinárního modlu na datch čské konomiky zvolili za hlavní cíl článku. Dalšími cíli jsou vypočt stacionárního řšní odhadnutého modlu a analýza vlastnosti rovnovážného řšní s využitím linarizovaného modlu. Zásadním problémm při odhadu Kaldorova rozšířného modlu bylo, ž s jdná o modl, ktrý j nlinární v proměnných a paramtrch. Odhadové funkc dvou rovnic 784 POLITICKÁ EKONOMIE Ročník 64 číslo 7 6
tohoto modlu jsou nkonvxní, proto j vlmi obtížné nalézt jjich globální minimum. Pro řšní tohoto problému jsm využili program ArgMin, ktrý j součástí systému Mathmatica. Pro tstování statistické významnosti odhadnutých paramtrů v těchto dvou rovnicích modlu jsm použili mtody bootstrappingu. Paramtry zbývajících dvou rovnic Kaldorova rozšířného modlu jsm odhadli linárními mtodami. Z důvodů kompatibility jsm zůstali u softwar Mathmatica a použili jsm funkci LinarFit. Výsldky, ktré jsm obdržli, jsou z hldiska statistické významnosti odhadů a jjich konomické intrprtac, přijatlné. Vlmi důlžitým poznatkm j zjištění, zda j zkoumaný modl stabilní nbo nstabilní, proto bylo nzbytné spočítat stacionární řšní odhadnutého modlu. Modl byl linarizován v stacionárním bodě. Vlastní čísla Jacobiho matic soustavy difrnciálních rovnic tvořících Kaldorův rozšířný modl jsou kladná, tdy stacionární řšní soustavy j nstabilní. Nstabilita nlinárních systémů má vliký význam pro tortické vysvětlní složité dynamiky skutčných konomických vličin, protož nstabilní nlinární konomické modly jsou za určitých podmínk schopny napodobit složitější dynamiku skutčných konomických vličin. Toto mpirické zjištění vd k myšlnc, ž simulac odhadnutého nlinárního Kaldorova modlu mohou lép napodobit skutčný vývoj konomických vličin nž často využívané modly DSGE. Provdní takových simulací přsahuj cíl tohoto článku a tak bud přdmětm násldujícího výzkumu. Litratura Alln, R. D. G. (956). Mathmatical Economics. London: Macmillan. Arlt, J.; Kodra, J.; Mandl, M.; Tomšík, V. (6). Montary Approach to Inflation: A Mdium Trm Structural Modl in a Small Opn Economy. Politická konomi, 54(3), 36 338, http://dx.doi.org/.867/j.polk.56 Chiarlla, C. (99). Th Elmnts of a Nonlinar Thory of Economic Dynamics. Brlin: Springr Vrlag. Davanzati, G. F.; Patalano, R.; Traficant, G. (6). Th Italian Economic Dclin in a Kaldorian Thortical Prspctiv. PKSG Working Papr No. 66. Flaschl, P.; Frank, R.; Smmlr, W. (997). Dynamic Macroconomics. Cambridg, Massachustts: MIT Prss. Gabisch, G.; Lornz, H. W. (989). Businss Cycl Thory. Brlin: Springr Vrlag. Goodwin, R. M. (95). Th Nonlinar Acclrator and Prsistnc of Businss Cycl. Economtrica, 9(), 7, http://dx.doi.org/.37/9795 Gucknhimr, J.; Holms, P. (986). Non Linar Oscillation, Dynamical Systms and Bifurcations of Vctor Filds. Nw York: Springr Vrlag. Hillingr, C. (5). Evidnc and Idology in Macroconomics: Th Cas of Invstmnt Cycl. Munich Discussion Papr No 5 6. Hillingr, C.; Sussmuth, B. (). Th Quantity Thory of Mony: An Assssmnt of Its Ral Linpinch Prdiction. CESifo Working Papr Sris No. 995. Kaldor, N. (94). A Modl of th Trad Cycl. Economic Journal, 5(97), 78 9, http://dx.doi. org/.37/574 Kodra, J. (). Four Equation Modl of Pric Dynamics, in Proc. th Intrnat. Confrnc Mathmatical Mthods in Economics, Univrsity of Economics, Ostrava, pp. 5 55. Ročník 64 číslo 7 6 POLITICKÁ EKONOMIE 785
Kodra, J.; Sladký, K; Vošvrda, M. (3). Th Extndd Kalcki-Kaldor Modl Rvisitd, in Proc. th Intrnat., M. Houška, d., Confrnc Mathmatical Mthods in Economics. Faculty of Economics, Czch Univrsity of Agricultur, Praha, pp. 6 65. Kodra, J.; Vošvrda, M. (6). Product, Capital and Pric dynamics in th simpl modl of closd conomy (Produkt, kapitál, a cnový pohyb v jdnoduchém modlu uzavřné konomiky). Politická konomi, 54(3), 339 35, http://dx.doi.org/.867/j.polk.56 Kodra, J.; Tran, Q. V.; Vošvrda, M. (3). Complx Pric Dynamics in th Modifid Kaldorian Modl. Pragu Economic Paprs, (3), 36 384, http://dx.doi.org/.867/j.pp.457 Kuzntsov, Y. A. (998). Elmnts of Applid Bifurcation Thory. Brlin: Springr Vrlag. Kydland, F. E.; Prscott, E. C. (98). Tim to Build and Aggrgat Fluctuations. Economtrica, 5(6), 345 37, http://dx.doi.org/.37/93386 Lornz, H. W. (994). Nonlinar Dynamical Economics and Chaotic Motion. Brlin: Springr Vrlag. Martinz, W. L.; Martinz, A. R. (7). Computational Statistics Handbook with Matlab. Nw York: Chapman & Hall. Prko, L. (). Diffrntial Equations and Dynamical Systms. Brlin: Springr Vrlag. Phillips, A. W. (954). Stabilisation Policy in a Closd Economy. Economic Journal, 64(54), 9 33, http://dx.doi.org/.37/6835 Rossr, J. B., Jr. (999). On th Complxitis of Complx Economic Dynamics. Th Journal of Economic Prspctivs, 3(4), 69 9, http://dx.doi.org/.57/jp.3.4.69 Tinbrgn, J. (93). Ein Schiffsbauzyklus? in Wltwirtschaftlichs Archiv Rprintd in Klaasn, L.H. t al. (959), d., Slctd Paprs, Amstrdam.959. Přílohy Dodatk V tomto dodatku dokážm, ž nrovnosti (8) platí. Njdřív položím X Potom po dosazní do (9) a () dostanm. A X, A ( X ). Připomnm jště, ž γ a A. Z výš uvdných vztahů dosadím do první nrovnosti (8) a dostanm (D.) ( X ) X. Vzhldm k tomu, ž γ > a ω >, uvdná nrovnost platí. Nyní přjdm k důkazu druhé nrovnosti (8). Položím ( yki ) i i U, V. ( yki ( ) ) yki 786 POLITICKÁ EKONOMIE Ročník 64 číslo 7 6
Dosadím-li do () (5), dostanm B ( U s ), B U, B ( U V), B ( U V). yk yk Dosadím-li do druhé nrovnosti (8), dostanm Jlikož α >, a s >. Dodatk ( U s )( U V) U( U V) s ( U V). yk yk yk Njdřív s budm zabývat stabilitou a nstabilitou bodu rovnováhy. Jstliž A < a B B, (D.) potom j stacionární bod stabilní. Dosazním hodnotu A a A do první nrovnosti (D.) dostanm ( X ). Výš uvdný výraz nní obcně mnší nž nula, stačí aby γ i ω bylo rlativně vlké a první z dvou výrazů (D.) bud kladný. Jstliž dosadím hodnotu B a B do druhé nrovnosti dostanm: ( ) ( ) y U s U V k V tomto případě, jstliž U < s j i výš uvdný výraz záporný, ovšm pokud U > s a α dostatčně vliká j daný výraz kladný. Zajímavé bud zjistit, kdy charaktristická čísla zkoumané soustavy jsou imaginární. To nastává v případě, pokud ( A A ) 4A A nbo ( B B ) 4B B. Do první nrovnosti dosadím hodnotu A, A, A a A, a dostanm: X ( ) 4 X. Výš uvdný vztah j možné chápat jako rozdíl čtvrců, ktrý upravím násldujícím způsobm: ( X ) X ( X X) ( X X) Výš uvdný vztah j splněn pro ( X) ( X). ( X) ( X) kd X Ročník 64 číslo 7 6 POLITICKÁ EKONOMIE 787
Dosadím-li do druhého vztahu v (D.) hodnotu B, B, B a B, dostanm: yk yk ( U s ) ( U V) 4 U( U V). Výš uvdný výraz zjdnoduším tak, ž položím y k R ( U V). A tak dostanm Po úpravě mám ( U s ) R 4UR. ( U s ) ( URs R) R. Na výraz vlvo v dané nrovnosti nahlížím jako na polynom v proměnné α. Pro konvrguj do nkončna. Pro nás bud zajímavé, jstli bud mít dva od sb různé rálné kořny. Jstliž n, nmůž nabývat záporných hodnot a charaktristická čísla λ 3, λ 4 nbudou imaginární. Kořny kvadratického trojčlnu, jsou řšním rovnic (U s ) ( URs R) R. Jjí diskriminant j 4( U R UR s s R ) 4( U R UR s s R ) 6UR s.. Diskriminant j kladný a linární čln rovnic j (UR + s R) < tdy kořny rovnic jsou kladné. Jjich hodnoty vypočítám:, ( U s ) Us R, kd R ( U V) yk. J-li, j druhý z výrazů (D.) záporný a charaktristická čísla λ 3, λ 4 budou imaginární. 788 POLITICKÁ EKONOMIE Ročník 64 číslo 7 6