KAPITOLA 13: Numerická integrce interpolce [MA1-18:P13.1] 13.1 Interpolce Obecně: K dné funkci f hledáme funkci ϕ z dné množiny funkcí M, pro kterou v dných bodech x 0 < x 1 <... < x n pltí ϕx j = fx j j = 0,..., n, 1 přípdně též pro derivce ϕ k x j = f k x j j = 0,..., n, k = 0,..., α j, α j N 0. x 0, x 1,..., x n... uzly interpolce Bude nás tu zjímt přípd M = P N = {P P je polynom stupně nejvýše N}. Lgrngeov interpolce Hledáme polynom stupně nejvýše N, který má v uzlových bodech x 0,..., x N stejné funkční hodnoty, jko funkce f. Uvžujeme zde tedy pouze podmínky 1 tj. ve máme α j = 0 j. ÚLOHA: Dán funkce f definovná lespoň n intervlu, b body x 0,..., x N, b, x 0 < x 1 <... < x N. Hledáme polynom L N,f P N tkový, že L N,f x j = fx j j = 0,..., N. 3 L N,f... Lgrngeův interpolční polynom pro funkci f v uzlech x 0,..., x N OTÁZKA: Jk polynom L N,f njít? Polynom L N,f vyjádříme jko lineární kombinci polynomů l j, st l j = N, pro které pltí l j x i = δ ij = { 1 pro i = j 0 pro i j δ ij... Kroneckerovo delt 4 Máme L N,f x = fx 0 l 0 x + fx 1 l 1 x +... + fx N l N x = což jednoduše ověříme doszením x i i = 0,..., N z x: fx j l j x, L N,f x i = fx j l j x i = fx j δ ij = fx i. Z podmínek, které mjí splňovt polynomy l j, sndno odvodíme jejich vyjádření ve tvru l j x = x x 0 x x j 1 x x j+1 x x N x j x 0 x j x j 1 x j x j+1 x j x N = N x x i i j N x j x i. i j Ověřte si, že tkto definovné polynomy mjí v uzlových bodech skutečně předepsné hodnoty. Pro polynom ω N+1 x = x x 0 x x 1 x x N
pltí ω N+1x j = x j x 0 x j x j 1 x j x j+1 x j x N ověřte npř. pro přípd N = 3, j =, tedy hodnotu l j x můžeme pro x x j vyjádřit tké ve tvru Tím jsme dostli zákld následující věty: Vět 13.1 : l j x = ω N+1 x x x j ω N+1 x j. [MA1-18:P13.] Necht f je funkce definovná lespoň n intervlu, b x 0,..., x N, b, x 0 < x 1 <... < x N jsou uzly interpolce. Pk existuje právě jeden polynom L N,f stupně N, pro který pltí Tento polynom lze zpst ve tvru L N,f x j = fx j pro j = 0,..., N. l j x = L N,f x = fx j l j x, ω N+1 x x x j ω N+1 x j pro x x j. 1 pro x = x j Důkz: Existenci vyjádření polynomu L N,f jsme již odvodili, zbývá dokázt jednoznčnost. Tu dokážeme sporem. Předpokládejme, že existují dv různé polynomy L L stupně mximálně N, které mjí v uzlech interpolce stejné hodnoty jko funkce f. Jejich rozdíl P = L L je nenulový polynom stupně nejvýše N, který je nulový ve všech uzlech interpolce. Protože počet uzlů inetrpolce tím i počet kořenů polynomu P je větší než stupeň polynomu P, dostáváme spor se zákldní větou lgebry. Lgrngeův interpolční polynom je tedy určen jednoznčně. Zjímá nás tké, jké chyby se dopustíme, když pro x, b místo fx spočítáme L N,f x. Vět 13. : Necht funkce f má N + 1 spojitých derivcí n intervlu, b. Necht L N,f je Lgrngeův interpolční polynom funkce f v uzlech x 0 < x 1 <... < x N x 0,..., x N, b. Pk pro kždé x, b existuje bod ξ x, b tkový, že R N,f x = f x L N,f x = f N+1 ξ x ω N+1 x. N + 1! Hermitov interpolce Hledáme polynom, který má v uzlových bodech nejen stejné funkční hodnoty jko funkce f, le i hodnoty předepsných derivcí, tj. splňuje podmínky podmínky 1 odpovídjí k = 0 v podmínkách. ÚLOHA: Je dán funkce f definovná lespoň n intervlu, b, která má n, b derivci řádu α = mx{α 0,..., α N }, body x 0,..., x N, b, x 0 < x 1 <... < x N. Oznčme M = N α j+1 1 = N α j +N. Hledáme polynom H M,f P M tkový, že M + 1 je počet podmínek pro H M,f v 5 H M,f... Hermitův interpolční polynom H k M,f x j = f k x j pro j = 0,..., N, k = 0,..., α j. 5 V dlším se omezíme n přípd α j = 1 pro kždé j {0,..., N}. V tomto přípdě máme M = N + 1 pro Hermitův interpolční polynom H N+1 dostáváme N + podmínek } H N+1 x j = fx j H N+1 x j = 0,..., N. 6 j = f x j Funkce l j ω N+1 budou stejné jko u Lgrngeovy interpolce.
Vět 13.3 : [MA1-18:P13.3] Necht f je funkce diferencovtelná n intervlu, b x 0 < x 1 <... < x N jsou uzly interpolce v, b. Pk existuje právě jeden Hermitův interpolční polynom H N+1 stupně N + 1, který splňuje podmínky 6. Tento polynom lze zpst ve tvru H N+1,f x = fx j s j x + f x j r j x, s j x = 1 l jx j x x j l jx, r j x = x x j l jx. Pokud má funkce f n, b N + spojitých derivcí, pk pro kždé x, b existuje bod ξ x, b tkový, že f x H M,f x = f N+ ξ x ω N +! N+1 x. 13. Numerická integrce - úvod též numerická kvdrtur Problém: Zjímá nás lespoň přibližná hodnot integrálu fx dx. Tento integrál neumíme nebo z nějkého důvodu nechceme spočítt nlyticky. Integrál proto zkusíme proximovt vhodnou lineární kombincí funkčních hodnot ve vhodných bodech: fx dx C j fx j ozn. = Kf, x 0 < x 1 <... < x N b. Kf... kvdrturní vzorec, kvdrturní formule C j... koeficienty kvdrturního vzorce x j... uzly kvdrturního vzorce = x 0 x n = b... uzvřený vzorec < x 0 x n < b... otevřený vzorec Při použití kvdrturního vzorce se dopustíme chyby Ef = fx dx Kf. Ef... zbytek kvdrturního vzorce Pltí: Kαf + βg = αkf + βkg, tedy též Eαf + βg = αef + βeg zřejmé Definice : Řekneme, že lgebrický řád kvdrturního vzorce n intervlu, b je roven N, jestliže Ex k = 0 pro k = 0, 1,..., N zároveň Ex N+1 0. Pltí: Algebrický řád kvdrturního vzorce je roven N právě tehdy, když Ex N+1 0 pro kždý polynom P P N pltí EP = 0, tedy P x dx = KP = C j P x j tj. vzorec je přesný pro všechny polynomy stupně N. Důkz: Plyne okmžitě z linerity integrálu, kvdrturního vzorce zbytku kvdrturního vzorce.
Pozorování: [MA1-18:P13.4] A Má-li být kvdrturní vzorec přesný lespoň pro konstntní funkce, pk nutně pro kždé A R musí pltit Ab = A dx = C j A = A C j, tedy Položíme-li nyní D j = Cj b, dostneme Kf = b C j = b. D j fx j, D j = 1. Přibližnou hodnotu integrálu tedy počítáme jko součin délky integrálu jistého váženého průměru funkčních hodnot v uzlových bodech. B Je-li K. kvdrturní vzorec lgebrického řádu lespoň n, pk pro kždý polynom P P n pltí P x dx = KP = C i P x i. Tedy speciálně pro polynomy l j P n definovné v 4 dostáváme l j x dx = C i l j x i = C j. δij Polynomy l 0,..., l n přitom tvoří bázi prostoru P n integrál i kvdrturní vzorec jsou lineární zobrzení n P n. Jestliže tedy kvdrturní vzorec počítá přesně hodnoty integrálů funkcí l j, počítá přesně i integrály všech polynomů z P n. To znmená, že při dných uzlech x 0,..., x n bude mít kvdrturní vzorec K. lgebrický řád lespoň n, právě když pro jeho koeficienty bude pltit C j = l j x dx. Kždé volbě n + 1 uzlů z intervlu, b tk odpovídá právě jeden kvdrturní vzorec lgebrického řádu lespoň n n intervlu, b. Hodnot lgebrického řádu pk závisí n rozložení uzlů v intervlu, b. C K výpočtu hodnoty kvdrturního vzorce pro dnou funkci stčí znát hodnoty této funkce v uzlových bodech. Máme-li tedy dvě funkce, které nbývjí stejných hodnot v uzlových bodech kvdrturního vzorce, kvdrturní vzorec jim přiřdí stejné hodnoty. Speciálně tedy pltí Kf = KL n,f, L n,f je Lgrngeův interpolční polynom pro funkci f v uzlech x 0,..., x n. To le znmená, že Ef = fx dx Kf = bude-li mít kvdrturní vzorec lgebrický řád n, pk Ef = fx dx L n,f x dx = fx dx KL n,f, fx Ln,f x dx. Podle Věty 13. tk dostáváme pro kvdrturní vzorec lgebrického řádu n funkci f, která má n + 1 spojitých derivcí n, b, odhd zbytku kvdrturního vzorce Ef fx L n,f x dx = f n+1 ξx ω n+1 x dx, n + 1! jko dříve ω n+1 x = x x 0 x x n P n+1. Bude-li nvíc derivce funkce f řádu n + 1 omezená n, b, f n+1 x K pro kždé x, b, bude pltit Ef K n + 1! ω n+1 x dx. Poznámky k odhdu : 1 Všimněme si, že odhd zbytku závisí kromě velikosti derivce řádu n + 1 funkce f tké n rozložení uzlů kvdrtury v intervlu, b. Odhd, který jsme dostli, je jen horní odhd velikosti zbytku. Chyb, které se dopustíme při použití kvdrturního vzorce, může být ve skutečnosti podsttně menší.
13.3 Newton-Cotesovy vzorce [MA1-18:P13.5] jen stručně podrobněji s obrázky n přednášce Jednoduché vzorce Odpovídjí integrci Lgrngeov interpolčního polynomu funkce v ekvidistntních uzlech. ekvidistntní = rovnoměrně rozložené uzly... x i x i 1 = τ i = 1,..., n τ konstnt Nejčstěji používné jednoduché Newton-Cotesovy vzorce A n = 0: Obdélníkové prvidlo A x 0 = nlogicky pro x 0 = b vzorec se nepoužívá je málo přesný v tomto přípdě je l 0 1 K 0 f = b l 0 x dx f lgebrický řád: 0 tj vzorec je přesný pro konstntní funkce, E O x 1 0 Pltí: Má-li funkce f omezenou první derivci v, b, pk E O f Cb, konstnt C závisí n hodnotách derivce funkce f n, b. Ab x 0 = + b je opět l 0 1 K 0 f = b l 0 x dx f + b lgebrický řád: 1 je o 1 vyšší, než bychom čekli při jednom uzlu Pltí: Má-li funkce f omezenou druhou derivci v, b, pk Ẽ0f Cb 3, konstnt C závisí n hodnotách druhé derivce funkce f n, b. B n = 1: Lichoběžníkové prvidlo x 0 =, x 1 = b tentokrát l 0 = x b b K 1 f = l 1 = x b b l 0 x dx f + b l 1 x dx fb lgebrický řád: 1 Pltí: Má-li funkce f omezenou druhou derivci v, b, pk E 1 f Cb 3, konstnt C závisí n hodnotách druhé derivce funkce f n, b.
C n = : Simpsonovo prvidlo [MA1-18:P13.6] x 0 =, x 1 = +b, x = b po úprvě dostneme l 0 = +b x x b +b b td. K f = b 6 f + 4f + b lgebrický řád: 3 je o 1 vyšší, než bychom čekli při třech uzlech Pltí: Má-li funkce f omezenou čtvrtou derivci v, b, pk E f Cb 5, konstnt C závisí n hodnotách čtvrté derivce funkce f n, b. + fb Složené vzorce Dný intervl A, B nejdříve rozdělíme n k podintervlů α i 1, α i,, i = 1,..., k, délky h = B A k pk n kždém intervlu zvlášt použijeme vybrný jednoduchý vzorec. tj. α i = A + ih, d A E 0,S f K 0,S f = h fα i 1 = h C 0 α i α i 1 = fa + i 1h C 0 h = C 0 k h = C 0 k B A k h = C 0 B A h konstnt C 0 závisí n velikosti první derivce funkce fn A, B d Ab K 0,S f = h f α i 1 + α i = h f A + i 1 Ẽ0,Sf C0 B A h jko v A h d B K 1,S f = h fα i 1 + fα i fa = h k 1 + fa + ih + fb E 1,S f C 1 B A h jko v A d C v tomto přípdě pokládáme h = B A k K,S f = = h 3 fa + 4 h 6 fα i 1 + 4f α i 1 + α i fa + i 1h + + fαi = fa + ih + fb E,S f C B A h 4 jko v A 13.3 Gussovy kvdrturní vzorce kvdrturní vzorce s n + 1 uzly x 0,..., x n, jejichž lgebrický řád je n + 1 Při odvození těchto vzorců můžeme s výhodou použít Hermitův interpolční polynom. více podle čsu n přednášce