Poznámka. Využití: věty o limitách, popisy intervalů: (, 0) = {x R : < x < 0} = {x R : x < 0}, (, + ) = R (otevřené i s ± ).
|
|
- Vilém Marek
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 v 8--7 Reálná čísl N přirozená čísl: {,, 3, } Z celá čísl: {, ±, ±, ±3, } Q rcionální čísl: { b : Z, b N} R reálná č: délky, doplnění it, suprem/infim, řezy R \ Q ircionální čísl, π, e, ) C komplení čísl: { + jy :, y R}, j Tvrzení Číslo je ircionální Důkz: Sporem, předpokládejme b,, b N nesoudělná Pk b ; je dělitelné ; eistuje c N tk, že c; b c ; b je dělitelné ;, b soudělná spor Tvrzení Rcionální čísl jsou právě t, která mjí konečný nebo periodický dekdický rozvoj Důkz: : Při použití lgoritmu dělení celých čísel /b jsou možné zbytky jen,,, b, po přechodu přes desetinnou čárku se připisují jen, tkže se po nejvýše b ) krocích vše opkuje : Přenásobením číslem délk periody odečtením dostneme, že celočíselný násobek má konečný dekdický rozvoj Tvrzení Nenulová čísl s konečným dekdickým rozvojem mjí dv dekdické rozvoje Příkldy /7,4857, /3,3, /6,6;, ;,73 99 ;,3,9 lineární) uspořádání R, reálná os Definice Reálné číslo se nzývá: kldné, pokud > ; záporné, pokud < ; nezáporné, pokud ; nekldné, pokud Definice Pro kždé, b R, < b, rozeznáváme tyto typy intervlů s krjními body, b:, b) { R : < < b} otevřený);, b { R : b} pro, b R uzvřený);, b { R : < b} pro b R zlev otevřený, zprv uzvřený);, b) { R : < b} pro R zlev uzvřený, zprv otevřený) Body intervlu, které nejsou krjní, nzýváme vnitřní Tvrzení V kždém intervlu eistuje nekonečně mnoho rcionálních i ircionálních čísel hustot Q i R \ Q v R) Definice Rozšířená množin reálných čísel je R R {, + }, kde + se nzývjí nevlstní čísl Pro kždé R pokládáme: ) < < + ) + + 3) +, +,,, { +, >,,, <, Nedefinujeme:,, Poznámk Využití: věty o itách, popisy intervlů:, ) { R : < < } { R : < },, + ) R otevřené i s ± ) Definice Nechť M R Číslo z R se nzývá: horní závor M, pokud M z z pro kždé M); dolní závor M, pokud z M z pro kždé M) Množin M se nzývá: shor omezená, pokud má reálnou horní závoru; zdol omezená, pokud má reálnou dolní závoru; omezená, pokud je shor i zdol omezená Příkldy ) N je zdol omezená, není shor omezená ) Z není omezená ni zdol, ni shor 3), je omezená Definice Nechť M R Mimum M m M) je největší prvek M Minimum M min M) je nejmenší prvek M Supremum M sup M) je nejmenší horní závor M Infimum M inf M) je největší dolní závor M Příkldy m N neeistuje, sup N +, m,, sup, min, + ), m, ) neeistuje, sup, ) min, + ) sup, inf + Poznámky ) Jestliže eistuje mimum minimum) množiny, pk je zároveň supremem infimem) této množiny ) m M min M) eistuje právě tehdy, když sup M M inf M M) Vět Kždá množin reálných čísel má supremum i infimum jediné) Řez A B): A, B Q neprázdné, A B Q, A < B Řezy s m A nebo min B odpovídjí rcionálním číslům uvžujeme npř druhý typ), osttní ircionálním Rozšiřujeme relce operce z Q: A B ) A B ) pro A A ; A B ) + A B ) B + B ); A B ) A B ) B B ) pro A A Pltí sup M A B ) M A ), pokud přidáme Q, ) + Korespondence řezů dekdických rozvojů Vět princip vnořených intervlů) Jsou-li I n n N) uzvřené intervly I I, pk n N I n Jestliže nvíc délky intervlů I n klesjí k nule, pk je tento průnik jednobodový Důkz: Oznčme I n n, b n pro kždé n N Z předpokldů vyplývá, že 3 b 3 b b Množin { n : n N} je neprázdná, shor omezená kždým číslem b n, má tedy v R supremum, oznčme ho Protože b n pro kždé n N, má množin {b n : n N} v R infimum, oznčme ho b Protože b, je n N I n { R : b} Jestliže délky intervlů I n klesjí k nule, pk b Poznámk Podmínk uzvřenosti intervlů ve výše uvedené větě je podsttná: je-li I n, n pro kždé n N, pk I I I 3 n N I n
2 Funkce Definice Reálná) funkce reálné proměnné) f je zobrzení A R, kde A R je neprázdná Množin A je definiční obor funkce f Df)), množin fa) {f) : A} je obor hodnot funkce f Rf)) Grf funkce f je množin {[, f)] : Df)} Poznámk Pokud není zdán definiční obor, bereme mimální možný Definice Funkce f : A B je: prostá, pokud různým vzorům odpovídjí různé obrzy; n B, pokud její obor hodnot je B f : A n B); vzájemně jednoznčná bijekce), pokud je prostá n B Příkldy ) není prostá f) f )), je n, + ) ) 3 je prostá n R Poznámk Neostré uspořádání f g operce sčítání, odčítání, násobení dělení funkcí definujeme bodově Definice Složení funkcí f : A B g : B C je funkce g f : A C definovná předpisem g f)) g f) ) Příkld f), g) : g f)) g f) ) f) ) ) 4, f g)) f g) ) g) Definice Funkce g : Rf) A je inverzní k funkci f : A B, pokud g f)) pro kždé A Znčíme g f Vět Funkce f má inverzní funkci právě tehdy, když je prostá Pk Df ) Rf), Rf ) Df), f je inverzní funkce k f grf f je symetrický s grfem f podle osy prvního třetího kvdrntu přímky o rovnici y ) Příkld f) e : R n, + ) je prostá, má inverzní f ) ln :, + ) n R; f f f f Definice Funkce f je zdol, shor) omezená n A Df), pokud je zdol, shor) omezená množin fa) Poznámk Pokud neurčujeme A, myslíme Df) Příkldy ) je zdol omezená ), není shor omezená ) rctg je omezená 3) 3 není omezená zdol ni shor Definice Funkce f je rostoucí klesjící, neklesjící, nerostoucí ) n množině A Df), pokud f) < fy) f) > fy), f) fy), f) fy)) pro všechn, y A tková, že < y Tkové funkce se nzývjí monotonní, rostoucí klesjící funkce se nzývjí ryze monotonní Příkldy ) je klesjící n,, rostoucí n, + ) ) sign je neklesjící 3) je klesjící n, ) n, + ), není monotonní Vět Rostoucí klesjící ) funkce je prostá má inverzní funkci, která je rovněž rostoucí klesjící ) Definice Funkce f je: sudá, pokud f ) f) pro kždé Df); lichá, pokud f ) f) pro kždé Df) Příkldy ) je sudá ) 3 je lichá Poznámk Grf sudé funkce je symetrický podle osy y, grf liché funkce je symetrický podle počátku Definice Funkce f je periodická s periodou p >, pokud f + p) f p) f) pro kždé Df) Poznámk Pro periodu p, jsou i np n N) periody Nejmenší period pokud eistuje) se nzývá zákldní Příkld Funkce sin má zákldní periodu π Lineární trnsformce grf funkce: ) Grf f) + c je posunutý o c ve směru osy y ) Grf f + c) je posunutý o c ve směru osy 3) Grf c f) je c-krát roztžený od osy 4) Grf fc) c ) je c-krát stžený k ose y Pro c < opčná orientce nebo překlopení) Definice Množiny A, B mjí stejnou mohutnost krdinlitu), pokud eistuje bijekce A n B Množiny které mjí mohutnost N, se nzývjí spočetné Tvrzení Q je spočetná, R je nespočetná Důkz: ) b Q v zákldním tvru přiřdíme přirozeným číslům primárně vzestupně podle + b, pk libovolně ) Pro f : N R njdeme dekdický rozvoj čísl, které není v fn): jko n-tou cifru dekdického rozvoje vybereme cifru různou od n-té cifry dekdického rozvoje fn) od 9 Elementární funkce Mocniny N: ); inverzní ); i pro ; / ; p/q q p, p Z, q N, p, q nesoudělná: D p/q ) q liché q sudé ) p R, + ) p < ) R \ {}, + ) pro / Q pokládáme e ln, tedy Df), + ) Eponenciální o zákldu, + ) \ {}: impl e ); inverzní: logritmus o zákldu : log ; log log dekdický, ln log e přirozený) Pro Q je definováno viz mocniny), pro / Q dodefinujeme monotónně, tj npř pro > : sup{ q : q Q, q < } inf{ q : q Q, q > } Pro kždé, y R kždé > pltí +y y, ) y y Pro kždé, ), + ) pltí log y) log + log y,, y >, log y y log, > Eponenciální funkce i logritmy lze převést n zákld e: e ln, log ln ln
3 goniometrické: sin, cos, tg sin cos cos, cotg sin ; inverzní: rcsin, rccos, rctg, rccotg sin + cos sin + y) sin cos y + cos sin y cos + y) cos cos y sin sin y sin cos ) cos + cos ) π/6 π/4 π/3 π/ sin / / 3/ hyperbolické: sinh e e ), cosh e + e ), tgh sinh cosh, cotgh cosh sinh ; inverzní: rgsinh, rgcosh, rgtgh, rgcotgh cosh sinh Poznámk V C: cos e j + e j ), sin j e j e j ) Limity spojitost funkcí Definice Okolí bodu R o poloměru r > je U, r) { R : < r} r, + r) Prstencové okolí bodu R o poloměru r > je P, r) U, r) \ {} r, ), + r) Okolí bodů ± jsou r je reálné číslo): U, r) P, r) { R : < r}, r), U+, r) P +, r) { R : > r} r, + ) Definice Funkce f definovná v prstencovém okolí bodu R má v bodě itu b R f) b, f) b), jestliže pltí: Ke kždému okolí U bodu b eistuje prstencové okolí P bodu tk, že fp ) U Poznámk Obecněji it v hromdném bodě definičního oboru v kždém prstencovém okolí leží bod Df)) je dán podmínkou fp Df)) U Tvrzení Pro kždé R pltí: ) c c pro kždé c R ) Důkz: ) f U) R pro kždé U, npř P P, ) ) f U) U pro kždé U, npř P U \ {} Příkld + sin neeistuje: pro b R eistuje U b,, f U b ) neobshuje prstencové okolí + Jednostrnné ity zlev/zprv pro levá/prvá prstencová okolí body prstencového okolí nlevo/nprvo od ) Příkld sign, + sign + Vět Pro funkci f definovnou v prstencovém okolí bodu R je f) b právě tehdy, když f) + f) b Důkz: : pro P, δ) bereme jednostrnná prstencová okolí δ, ),, + δ) : pro δ, ),, + δ + ), δ min{δ, δ + } bereme P, δ) Poznámk Věty lze formulovt i pro jednostrnné ity Vět o jednoznčnosti) Kždá funkce má v kždém bodě nejvýše jednu itu Důkz: Pokud má v itu b, tk jiné číslo c R není itou: eistují disjunktní okolí U b, U c bodů b, c, f U c ) je disjunktní s f U b ) neobshuje tedy prstencové okolí Vět o monotonii) Je-li f g n prstencovém okolí R, f) b, g) c, pk b c Důkz sporem): Pro b > c eistují disjunktní okolí U b, U c bodů b, c prstencová okolí P f f U b ), P g g U c ) bodu, pro P f P g je f) > g) spor Příkld Ne pro <: < n, + ), v + stejná it Vět Funkce s vlstní itou v R je omezená n prstencovém okolí Důkz: Eistuje omezené okolí U ity, k němu P Vět Funkce s kldnou zápornou) itou v R je n prstencovém okolí kldná záporná) Důkz: Eistuje okolí U ity neobshující, k němu P Vět f) právě tehdy, když f) Důkz: f) U, ε) právě tehdy, když f) U, ε) Vět Monotonní funkce n otevřeném intervlu má v jeho krjních bodech příslušné jednostrnné ity supremum infimum funkčních hodnot) Důkz pro f nekles n I, b), b ): c sup fi), pro Uc, ε) eistuje d I s fd) > c ε, d, b) je levé prstencové okolí b s f d, b) ) Uc, ε) Příkld e : R n, + ) je rostoucí, tedy e inf, + ), + e sup, + ) + Příkld + +, >,,,, <, +, >,,, +, < Vět it součtu, rozdílu, součinu podílu funkcí) Limit součtu rozdílu, součinu, podílu) funkcí je součet rozdíl, součin, podíl) it, pokud je definován včetně opercí s nevlstními čísly) Důkz pro součet vlstních it): Pro Ub+c, ε) uvžujme fp f ) Ub, ε ) fp g) Uc, ε ), pk f + g)p f P g ) Ub + c, ε)
4 Příkldy ) ) + nedefinováno ) + ) +, + ) + nedefinováno 3) + +, nedefinováno ) + ) + Vět Je-li f) >, g) g) > n prstencovém okolí R, pk f)/g) + Poznámk ± Příkldy ) ) 3) ± ± ) ln ) 4 ± ± + + Vět o sevření) Je-li f h g n prst okolí R, f) g) b R, pk h) b Příkld sin stčí + sudá), π ), vět o sevření: sin < < sin cos < sin < cos > sin > cos Vět Je-li f), g je omezená n prstencovém okolí R, pk f) g) Důkz: g M, f) g) M f), vět o sevření Poznámk om om ± Příkld sin om Vět Je-li f g n prst okolí R, f) +, g) ), pk g) + f) ) Vět Je-li f) b {± } g je omezená n prstencovém okolí R, pk f) + g) ) b Důkz: Pro + : g M, f)+g) f)+m + Poznámk ± + om ± Příkld + cos ) + + om + Tvrzení Jestliže f) neeistuje, pk pltí: ) Je-li g) vlstní, pk f) ± g) ) neeistuje ) Je-li g) vlstní nenulová, pk neeistují f) g) ) f)/g) ) Důkz: Sporem, eistovl by f) podle věty o itě součtu, součinu, podílu Příkld + sin nee neeistuje Vět it složené funkce) Nechť pro, b, c R pltí: ) f) b, ) y b gy) c, 3) gb) c nebo f) b n prstencovém okolí Pk g f)) c Důkz: U c ): eistuje P b : P b g Uc ): eistuje P : P f Pb {b} 3): pro gb) c je P b {b} g g f U c, P U c, jink eistuje P : P f P b, P g f U c Příkld + e / y e y ) Příkld f) sin : f) ; gy) pro y, g) : y gy) ; g f)) pro { kπ : k Z \ {}}, jink ; g f)) neeistuje Definice Funkce f je spojitá v bodě Df), pokud ke kždému okolí U bodu f) eistuje okolí V bodu tk, že f V Df) ) U Funkce je spojitá, pokud je spojitá v kždém bodě svého definičního oboru Vět Funkce f definovná v okolí bodu je v bodě spojitá právě tehdy, když f) f) Poznámk Funkce f je spojitá v izolovných bodech Df) pro které je Df) disjunktní s některým prst okolím) Poznámk Podobně spojitosti zlev/zprv Příkldy ) je spojitá ) sign je spojitá v bodech R \ {}, není spojitá v bodě 3) Chrkteristická funkce, + ) je spojitá v bodech R \ {}, zprv spojitá v 4) Dirichletov funkce není spojitá v žádném bodě v žádném nemá itu): {, Q, d), / Q Poznámk Po částech spojitá funkce: v kždém omezeném intervlu jen konečně mnoho bodů nespojitosti, v nich konečné jednostrnné ity Vět ) Jsou-li f, g spojité v, pk f ±g, f g, f/g pokud je definován), f jsou spojité v ) Je-li f spojitá v, pk je omezená n okolí 3) Je-li f spojitá v, f) >, pk f) > n okolí 4) Je-li f spojitá v, g v f), pk g f je spojitá v
5 Vět Rcionální funkce jsou spojité Důkz: Spojitost konstnt,, součtu, součinu podílu Vět Mocniny, eponenciální, goniometrické hyperbolické funkce funkce k nim inverzní jsou spojité Posloupnosti Definice Nekonečná) posloupnost reálných čísel) je zobrzení N R Znčíme n ) n, n je n-tý člen nekonečněrozměrný ritmetický vektor obecněji n ) nn, n Z Příkldy ) n ) n, 4, 8, ) n q n geometrická s kvocientem q ), 3, 5, 7, ) n + n )d ritmetická s diferencí d 3) rekurentně, n+ n + n+ pro n N:,,, 3, 5, 8,, ) Fiboncciho) Pojmy věty jko pro funkce: omezená, monotonní stčí vzthy mezi n, n+ ), it Posloupnost s vlstní itou je omezená nejen lokálně) Vět Posloupnost n ) n má itu R n n n, n ), pokud pro kždé okolí U bodu eistuje n N tk, že pro všechn n > n je n U Definice Posloupnost s vlstní itou je konvergentní Vět Nechť f je definován n prstencovém okolí Pk f) b právě tehdy, když n f n ) b pro kždou posloupnost n ) n čísel z Df) \ {} s n n Příkld + sin neeistuje: n πn +, n sin πn, n π + πn) +, n sin π + πn) Definice Vybrná posloupnost podposloupnost) z posloupnosti n ) n je posloupnost kn ) n, kde k n ) n je rostoucí posloupnost přirozených čísel Poznámk n fn), k n gn): kn f g)n) Definice Číslo R je hromdná hodnot posloupnosti, pokud v kždém okolí leží nekonečně mnoho jejích členů Vět Limit posloupnosti je její hromdnou hodnotou Hromdná hodnot posloupnosti je itou některé její vybrné posloupnosti Důkz: Zřejmé Okolí U n hromdné hodnoty smršťující se k ní, kn U n tk, by k n ) n byl rostoucí Příkld Posl ) n) má hromdné hodnoty ± n Vět Kždá posloupnost má lespoň jednu hromdnou hodnotu omezená posloupnost vlstní ) Důkz: nebo +, pokud není omezená Pro omezenou sestrojíme posloupnost vnořených poloviční délky) uzvřených intervlů obshujících nekonečně mnoho členů posloupnosti, jejich průnik obshuje hromdnou hodnotu Vět Supremum infimum množiny hromdných hodnot posloupnosti jsou hromdné hodnoty této posloupnosti Důkz: Okolí U obshuje hrom hodnotu její okolí U U es superior sup n n ) es inferior inf n n ) Vět Pro posloupnost je ekvivlentní: ) Má itu ) Má jedinou hromdnou hodnotu 3) Limes inferior es superior posloupnosti jsou stejné 4) Kždá vybrná posloupnost má stejnou itu Vlstnosti spojitých funkcí Vět Weierstrss) Spojitá funkce n uzvřeném intervlu nbývá největší nejmenší hodnoty Důkz: Pro m sup fi) eistuje posloupnost n ) n tková, že f n ) n m, t má v I hromdnou hodnotu, k ní konverguje vybrná posloupnost kn ) n, ze spojitosti f vyplývá f kn ) n f), tedy m f) Příkldy ) f) n, ) ryze monotonní funkce n otevřeném intervlu) nenbývá mim ni minim ) f) n, ), f), f) n, nenbývá etrémů Vět o mezihodnotě) Je-li funkce f spojitá n intervlu I nbývá-li v něm hodnot m M, m < M, pk v tomto intervlu nbývá všech hodnot z intervlu m, M Důkz: c m, M), m, M se nbývjí v krjních bodech intervlu I, sestrojíme posloupnost vnořených poloviční délky) intervlů s hodnotmi v krjních bodech kolem c, jejich průnik obshuje, pro které f) c Důsledky ) Pro spojitou nekonstntní funkci je obrzem intervlu intervl uzvřeného uzvřený) ) Spojitá funkce n intervlu je prostá má inverzní funkci) právě tehdy, když je ryze monotonní Důkz: ) Npř pro < < 3, f ) < f ) > f 3 ), f ), f 3 ) < c < f ) e vzory c v, ) i v, 3 ) Poznámk Metod bisekce pro hledání nulového bodu spojité funkce n intervlu, b, f) fb) <, používá metodu důkzu věty o mezihodnotě Vět Inverzní funkce k ryze monotonní funkci n intervlu je spojitá Důkz: f n I, Df ), fb), npř b vnitřní bod I, U c, d) I okolí b, eistuje okolí V bodu neobshující fc), fd), f V Df ) ) U
6 Příkld f) n,, f) n, 3 je rostoucí i spojitá), inverzní není spojitá v Derivce funkce Okmžitá změn funkce jko it průměrných změn Definice Derivce funkce f v bodě je df d ) f f + h) f) ) h h Poznámky ) f f) f) ) ) Podobně jednostrnné derivce 3) Derivce funkce v bodě: f ) číslo, i nevlstní) Derivce funkce: f : f ) funkce, jen vlstní hod) Derivce: : f f operátor) 4) Funkce f má derivci n intervlu I, pokud f eistuje n I v přípdných krjních bodech I příslušná jednostrnná) Příkld Pro funkci f) 3 je 3 h 3 f ) h h h 3 h + + Vět ) ) ) 3) c) R c R je konstnt) ) D ) pro /, ), e ) e R sin ) cos R cos ) sin R D ) \ {} pro, ) Důkz: ) c) c c h h h ) pro N: n ) h h [ + h)n n ] h h n + n n h + + h n n ) h n n + + h n ) n n ) e ) h e +h e h e h e h h e e 3) pro sin : sin ) h sin+h) sin h h cos+h/) sin h/ h h cos + h/) h/ sin h/ h/ cos cos Příkldy ) 3 ) 3 3 3, R ) 3 ) /3 ) 3 /3 / 3 3 ), Vět Funkce je spojitá v kždém bodě, ve kterém má vlstní derivci Důkz: f) f) + f) f) f) + f ) f) Příkldy ) sign je nespojitá v, ) sign sign h sign ) h h h h + ) f) 3 je spojitá v, f ) + 3) f) je spojitá v, f ) neeistuje: f ±) h h ± h h ± ± ± + Poznámk Eistuje funkce spojitá n R, která nemá v žádném bodě derivci Vět o derivci součtu, rozdílu, součinu podílu) Mjí-li funkce f, g vlstní derivce v bodě, pk: ) f ± g) ) f ) ± g ); ) f g) ) f ) g) + f) g ); 3) je-li g), pk f g ) ) f ) g) f) g ) g) Důkz: f ± g)) f ± g)) f ) ± g ) ; f g f) f) f g)) f g)) f) f) g) + f) f ) g) + f) g ) ; ± g) g) ) ) f ) g ) [ f) f) g) f) g) g) [ f g) ) g) f) g ) ] g) g) ] g) g) Poznámky ) Podobně pro derivce funkcí nejen v bodě) ) Pro c R je cf) c) f +cf cf derivce násobku je násobek derivce ) 3) Zobrzení : f f je lineární 4) f + f + + f n ) f + f + + f n, f f f n ) f f f n + f f f n + + f f f n Příkldy ) ) 6 + ) e sin ) e sin + e sin + e cos 3) tg ) sin cos cos +sin cos cos ) sin ) cos sin cos ) cos Vět o derivci složené funkce) Má-li f vlstní derivci v, g vlstní derivci v f) b, pk g f má v derivci g f) ) g b) f ) Důkz: Oznčme f) y Funkce { gy) gb) y b, y b, ty) g b), y b, je spojitá v b, v okolí b je gy) gb) ty) y b), pltí g f)) g f)) g f) ) g f) ) gy) gb) ty) y b) f) f) y b) ty) g b) f ) Poznámky ) Schemticky pro f) y, gy) z: dz d dz dy dy d ) f n f f ) f n f f
7 Příkldy ) sin ) cos ) e cos 3 ) e cos 3 sin 3 ) 3 3) f) ) f ) Poznámk Obecnější vzorce pro R n R): e ) e, sin ) cos, cos ) sin Derivcí f f)) dostneme f f) ) f ) Vět o derivci inverzní funkce) Je-li funkce f spojitá ryze monotonní n intervlu I eistuje-li nenulová derivce funkce f v I, pk f ) f) f ) Důkz: Oznčme y f), b f) fi) je otevřený intervl, eistuje spojitá f n fi) f y) f b) y b f) f) y b ) f ) Poznámk Obvykle vycházíme z funkce, jejíž derivci chceme spočítt, tkže podmínky monotonie nenulovosti derivce ověřujeme pro inverzní funkci Příkld ln je inverzní k e y, která je spojitá, rostoucí má nenulovou derivci Pro Dln), + ) je ln ) e y ) e y e ln Vět rctg ) +, rccotg ) +, R rcsin ), rccos ),, ) Příkld Důkz vzorce o derivci pro R, > : ) e ln ) e ln Definice Derivci řádu n n-tou derivci) funkce f znčíme f n) nebo dn f d definujeme rekurentně f ) f, f n) f n )) pro n N Příkld Pro f) / dostáváme f ) ) f ) ) ) ) ) 3 f ) ) ) 3) ) ) 3) 4 f n) ) ) n n! n+ Poznámky ) Derivce řádu n je lineární zobrzení, tkže c f + c f + + c k f k ) n) c f n) + c f n) + + c k f n) k ) Derivce součinu dvou funkcí se počítjí následovně: fg) f g + fg, fg) f g + fg ) f g + f g + fg, fg) f g + 3f g + 3f g + fg, fg) n) n k ) n f n k) g k) k f) f) Aplikce derivcí Geometrické plikce směrnice sečny body [, f)], [, f)] f ) směrnice tečny v [, f)] tečn: y f) f ) ) y f) + f ) ) směrový vektor tečny kolmý k normále):, f ) ) normál: + f ) y + f ) f), pro f ), y f) f ) ) pro f ) Příkld Určete tečnu normálu grfu funkce f) e v bodě [,?] f) e, f ) e, f ) e tečn: y f) + f ) ) e + e ) e normál: y e e ) e + e + e ) Věty o střední hodnotě Vět Rolleov) Nechť pro funkci f pltí ) je spojitá n intervlu, b ; ) má derivci v kždém bodě intervlu, b); 3) f) fb) Pk f c) pro některý bod c, b) Důkz: pro konstntní je f n, b); nekonstntní nbývá minim nebo mim uvnitř, b ; npříkld pro mimum v bodě c, b): f c) f c) c f) fc) c, f c) f +c) c+ f) fc) c Příkldy Žádný předpokld nelze vypustit ) Funkce f) n, ), f) nesplňuje ) ) Funkce f) n, nesplňuje ) 3) Funkce f) n, nesplňuje 3) Vět Lgrngeov, o přírůstku funkce) Nechť funkce f je spojitá n, b má derivci v kždém bodě, b) Pk eistuje c, b) tk, že fb) f) f c) b ) Důkz: funkce g) f) f) fb) f) b podmínky Rolleovy věty, eistuje c, b): g c) f c) fb) f) b ) splňuje Tvrzení Je-li funkce f spojitá v bodě zprv eistuje-li f +), pk f +) f +) Důkz: z eistence f +) plyne eistence vlstní derivce tedy i spojitost f n prvém okolí ; pro z tohoto okolí podle Lgrngeovy věty eistuje c, ); pro + je c +; f +) f) f) + + f c ) c + f c ) f +) Poznámk Podobně pro derivci zlev, oboustrnnou
8 Příkld f) rcsin : f + ) Příkld f) sin pro, f) : f ), f ) sin cos ) nee Tvrzení Cuchy) Nechť funkce f, g jsou spojité n intervlu, b, mjí vlstní derivci n, b) g ) n, b) Pk eistuje c, b) tk, že fb) f) gb) g) f c) g c) Důkz: funkce h) fb) f) ) g) gb) g) ) f) splňuje podmínky Rolleovy věty, eistuje c, b): h c) fb) f) ) g c) gb) g) ) f c), protože g ) n, b), je g c) tké gb) g) l Hospitlovo prvidlo Vět l Hospitlovo prvidlo) Nechť pro funkce f, g pltí: ) + f) + g) nebo + g) +, f ) eistuje ) + g ) R Pk f) + g) f ) + g ) Důkz: pro + f) + g) : f, g eistují g ) n některém, b, položme f) g) pk f, g jsou spojité n, b ); podle Cuchyovy věty pro,, b)) eistuje c, ): f) g) f) f) g) g) f c ) + g c ) + f ) c g + ) Poznámky ) Podobně pro itu zlev či oboustrnnou v R ) L Hospitlovo prvidlo lze použít opkovně Příkldy ln+) ) l H + ln ) + + l H / + + /) / + e 3) l H e l H e + + ln 4) + ln ) + / + l H / + / + ) 5) + + /) ep[ + ln + /)] ep [ ln+/) ] + / l H ep [ + /+/) )/ / ] ep[ + +/ ] ep e 6) + ln ) + ln e Poznámk Pokud it podílu derivcí neeistuje, nelze l Hospitlovo prvidlo použít To neznmená, že it podílu funkcí neeistuje: + omez, sin le + it podílu derivcí + cos neeistuje Poznámk L Hospitlovo prvidlo lze použít i pro výpočet it posloupností, pokud njdeme vhodnou funkci Npříkld n e n /n + e / + Tylorův polynom Vět Tylor) Nechť funkce f má spojité derivce do řádu n n,, f n+) eistuje v kždém bodě, ) Pk eistuje c, ) tk, že f) f) + f ) ) + + f n) ) ) n + }! {{ n! } T n) + f n+) c) n + )! )n+ T n ): Tylorův polynom funkce f v bodě řádu n, zbytek v Lgrngeově tvru Poznámky ) Podobně pro, ) n : f) f) + f c) ) Lgrnge) 3) f n+) spojitá, blízko c blízko f n+) c) blízko f n+) ) T n+ přesnější Důkz: T n ) f) T n) f ) n ) f n) ) T n) f) T n ) + M ) n+ gt) ft) T n t) Mt ) n+, t, Rolle n + )-krát: g) g) c, ): g c ) g ) Příkldy c n, c n ): g n) c n ) g n) ) c, c n ): g n+) c) f n+) c) M n + )! M f n+) c) n+)! e +! +! + + n! n cos! + 4! 4 6! 6 + sin 3! 3 + 5! 5 7! 7 + Poznámky ) Tylorův p sudé liché) funkce v je funkce sudá lichá) ) Tylorův p řádu n pro polynom P stupně n je P 3) Tylorov řd: nekonečný součet Pro výpočet sinu nebo kosinu stčí intervl, π 4 Npříkld cos 45 8 π cos 3 8 π cos 5 8 π cos 3 8 π sin π 8 Příkld Odhdněte sin π 6 Tylorovým p řádu 3 v T 3 ) 6 3, T 3 π 6 ), Protože T 3 T 4, je chyb sin π 6 ) T 4) sin5) c) 5! π 6 )5 π 6 )5, 37 Skutečná chyb je dost přesně rovn tomuto odhdu, T 5 dá výrzně přesnější hodnotu,5
9 Příkld Spočtěte číslo e s přesností 3, víte-li, že e < 3 f) e,, e f) T n ) e chyb c n+)! n+ 3 n+)! < 3 pro n 6 T 6 ),78 5, chyb, 6, odhd, 595 Průběh funkce Monotonie etrémy Vět o monotonii) Je-li funkce f spojitá n intervlu I má-li v kždém vnitřním bodě I derivci, pk: ) Je-li f ) > uvnitř I, pk f je rostoucí v I ) Je-li f ) < uvnitř I, pk f je klesjící v I 3) Je-li f ) uvnitř I, pk f je neklesjící v I 4) Je-li f ) uvnitř I, pk f je nerostoucí v I Důkz:, y I, < y Lgrnge: f) fy) f c) y), c, y) ) f) fy) < f) < fy) rostoucí ) 4) podobně Poznámky ) Je-li f n intervlu, pk f je konstntní ) Je-li f g n intervlu, pk f, g se liší o konstntu Příkld f) f ) ) + ) f > n, ), + ) f rostoucí n,,, + ) f < n, ) f klesjící n, Příkld f) 3 f ) 3 f > n, ),, + ) f rostoucí n,,, + ) rostoucí n R Vět Je-li f ) >, pk eistuje okolí U bodu tk, že pro, y U, < < y, je f) < f) < fy) f je rostoucí v bodě ) Důkz: < f ) { f) f), f) < f) vlevo y + fy) f) y, fy) > f) vprvo Poznámky ) f ) < f je klesjící v bodě ) Pro f ) se nic netvrdí Definice Funkce f má v bodě lokální minimum lokální mimum), jestliže f) f) f) f)) n některém prstencovém okolí bodu Poznámky ) Lokální etrém: lok minimum nebo lok mimum ) Ostrý lokální etrém: ostrá nerovnost Vět Má-li funkce f v bodě lokální etrém, pk buď f ) neeistuje nebo f ) je stcionární bod f) Důkz: f ) > f rostoucí v není lokální etrém f ) < f klesjící v není lokální etrém Příkld f) viz dříve) f ) 3 3, eistuje všude, nulová v ± f ) 3 ostré lokální mimum f) ostré lokální minimum Příkld f) f ) sign pro, f ) neeistuje f) ostré lokální minimum Příkld f) 3 f ) 3 eistuje všude, nulová v f) není lokální etrém Vět Nechť f ) ) Je-li f ) >, pk f má v ostré lokální minimum ) Je-li f ) <, pk f má v ostré lokální mimum Důkz: ) f ) > f rostoucí v f ) < f ) < f y) pro < < y v některém okolí f klesjící vlevo, rostoucí vprvo v ostré lok minimum ) podobně nebo přechodem k f Příkld f) viz dříve) f ) 3 3,, ±, f ) 6 f ) 6 < ostré lokální mimum f ) 6 > ostré lokální minimum Příkld f) 3 f ) 3,,, f ) 6 f ) kritérium nerozhodne, není l e Příkld f) 4 f ) 4 3,,,3, f) ostré lok minimum f ), f ) kritérium nerozhodne, je l e f 3) ) 4, f 3) ) f 4) ) 4, f 4) ) 4 > Poznámk Pro f ) f n ) ) : ) f n) ) > ostré lokální minimum, ) f n) ) < ostré lokální mimum Vět Spojitá funkce n uzvřeném intervlu nbývá mim minim) buď v bodě, ve kterém má lokální mimum minimum), nebo v některém krjním bodě intervlu Důkz: Etrém ve vnitřním bodě je lokální Poznámk Porovnáváme hodnoty v bodech, kde derivce není nebo je nulová, v krjních bodech intervlu, které do něj ptří Ověříme ity v neptřících krjních bodech Příkld f) + n, + ) f ) +, nemá derivci:, stcionární body:, f ), ptřící krjní body:, f ), neptřící krjní body: +, + f) +, min f f ), m f neeistuje Konveit, konkvit, inflení body Konveit: ) spojnice grfu nd grfem, ) tečn pod grfem, 3) směrnice sečen rostou
10 Definice Funkce f je konvení n intervlu I, jestliže pro kždé, y, z I, < y < z, pltí fy) f) fz) fy) y z y konkávní pro, ryze konv pro <, ryze konk pro >) Vět Je-li f spojitá n intervlu I má-li v kždém vnitřním bodě I druhou derivci, pk: ) Je-li f ) uvnitř I, pk f je konvení ) Je-li f ) uvnitř I, pk f je konkávní Důkz: ) < y < z: f je neklesjící, Lgrnge eistují c, y), d y, z): fy) f) y f c) f d) fz) fy) z y Poznámk Podobně pro ostré nerovnosti s ryze Definice Bod [, f)] je inflením bodem grfu funkce f funkce f má v bodě inflei), pokud je funkce f spojitá v bodě, eistuje f ) funkce f je n některém jednostrnném okolí ryze konvení n některém jednostrnném okolí ryze konkávní Vět ) Má-li f v inflei, pk f ) neeistuje nebo f ) ) Je-li f ), f ), pk f má v inflei Poznámk f ) f n) ), f n+) ) inflee v Příkld f) f ) 3 3, f ) 6, f ) 6, f ) je inflení bod nebo: f < pro <, f > pro > f) p + q Asymptoty Definice Má-li funkce f v bodě R lespoň jednu jednostrnnou itu nevlstní, nzýváme přímku o rovnici symptotou grfu funkce f v bodě Asymptot grfu funkce f v bodě {± } je přímk o rovnici y p + q tková, že: ) f) p q Příkld f) +, Df) R \ {} ± f) ± je symptot v ± f) ) y je symptot v ± Vět Grf funkce f má v {± } symptotu o rovnici y p + q právě tehdy, když f) p, ) f) p q Příkld f) sin f)/ sin nee s v + nee Příkld f) f)/ + s v + nee Příkld f) ln ln )/ l H) ln ) + s v + nee Příkld f) + + +, Df) R \ {} ± ± symptot f) ) +, + f) symptot y + v + f), f) symptot y v Poznámky ) Je-li f) b R pro {± }, pk symptot v má rovnici y b ) Eistují-li symptot v {± } o rovnici y p + q f ), pk p f ) Příkld f) sin ± f) symptot y v ± ± f ) ± sin + cos ) nee Shrnutí vyšetřování průběhu funkce f: definiční obor, sudost, lichost, period, spojitost, ity v hrničních bodech Df), v bodech nespojitosti, symptoty f : monotonie, lokální) etrémy, obor hodnot, tečny grfu v hrničních bodech Df), Df ) f : konveit/konkvit, inflení body včetně tečen) Grf Příkld f) Příkld f) +) Asymptotické chování funkcí Definice Nechť funkce g je definován n prstencovém okolí R ) Funkce f je třídy Og) f Og), f Og)) pro, pokud eistuje číslo M prstencové okolí P bodu tk, že f) M g) pro kždé P ) Funkce f je třídy Θg) f Θg), f Θg)) pro, pokud eistují kldná čísl m, M prstencové okolí P bodu tk, že m g) f) M g) pro kždé P Podobně pro jednostrnné ity, posloup- Poznámk nosti Poznámk f Θg) právě tehdy, když pltí f Og) g Of), tj právě tehdy, když g Θf) Vět Nechť R f) ) Je-li g) R, pk f Og) pro f) ) Je-li g) R \ {}, pk f Θg) pro Důkz: ) Vlstní it omezenost M n prstencovém okolí P bodu, tj f) M n P g) ) Limit bs hodnoty b eistuje m, b), M b, + ) prstencové okolí P bodu tk, že m f) g) M n P
11 Příkld f) f) 3 R \ {}, f Θ 3 ) pro + f) 5 R \ {}, f Θ) pro Poznámky ) Stčí příslušná omezenost f/g n prstencovém okolí sup f) <, pro Θ nvíc inf f) > ) g) g) ) Eistují různé definice Θ jen pro kldné/nezáporné funkce, bez bsolutních hodnot), shodují se pro kldné f) 3) g) : f g symptoticky ekvivlentní, speciální přípd f Θg)) f) 4) g) : f og) og) Og)) 5) Pokud oznčíme f og) pro n jko f g: ln n n > ) n > ) n! ) n n e πn n n 6) Obvykle +) npř chyb proimce Tylorovým polynomem), + npř konvergence integrálu), n npř konvergence řd, složitost lgoritmů) Vět Uvžujme pro R, g, g, g funkce n prstencovém okolí ) Tříd Og) je uzvřen n součet násobek ) Je-li f Og ) f Og ), pk f f Og g ) Důkz: ) f, f Og), c, c R; pro i {, } eistuje číslo M i prstencové okolí P i bodu tk, že f i ) M i g) n P i ; c f ) + c f ) c f ) + c f ) c M + c M ) g) n P P ) Pro i {, } eistuje číslo M i prstencové okolí P i bodu tk, že f i ) M i g i ) n P i ; f ) f ) M M g ) g ) n P P Poznámk Speciálně pro f Og), h, pltí fh Ogh) Příkld cos ) +O 3 )) ) + O 3 ) ) + O)) Neurčitý integrál Definice Funkce F se nzývá primitivní funkce k funkci f n intervlu I, jestliže F f n I Poznámky ) V krjních bodech jednostrnné derivce ) Lze zobecnit: n sjednocení intervlů; F f ž n konečnou či jinou) množinu 3) Ne všechny funkce mjí primitivní Tvrzení vlstnost mezihodnoty pro derivci) Nechť f je derivcí F n intervlu I,, b I, f) < d < fb) Pk eistuje c mezi, b tkové, že fc) d Důkz: G) F ) d má vlstní derivci je spojitá nbývá minim v c G ±) ) < < G ±)b), tj c mezi, b G c) fc) d Příkld sign není derivcí žádné funkce Poznámk Primitivní funkce k e eistuje, le nelze ji vyjádřit pomocí elementárních funkcí Vět ) Je-li F primitivní funkce k f n I, c R, pk F + c je primitivní funkce k f n I ) Jsou-li F, F primitivní funkce k f n I, pk F F je konstntní n I Důkz: ) F + c) F + F f ) F F ) F F f f F F konst n I Příkld N disjunktních intervlech mohou být konstnty různé, npř pro f) sign, : { + c, <, F ) + c, > Definice Množinu všech primitivních funkcí k funkci f n intervlu I nzýváme neurčitým integrálem f n I pokud je neprázdná) f f) d {F + c : c R} F + c Tbulkové integrály: d c, intervly D ) ) d ln + c,, ),, + ) e d e + c, R ) sin d cos + c, R ) cos d sin + c, R ) d + rctg + c, R Příkldy ) 6 d c, R ) d 3 + c,, ),, + ) 3) 4 d c,, + ) 4) 5 d c, R Vět linerit) Jsou-li F,, F n primitivní funkce k f,, f n n I, c,, c n R, pk c F + + c n F n je primitivní funkce k c f + + c n f n n I Důkz: c F + + c n F n ) c F + + c n F n c f + + c n f n Příkld +3) +6+9 ln +c,, ),, + ) Vět integrce per prtes) Nechť n intervlu I eistují u, v, u v Pk uv uv u v n I Důkz: uv u v) u v + uv u v uv Vět Spojitá funkce n intervlu má primitivní funkci
12 Příkld + ) sin d u + v sin u v cos + ) cos cos d + ) cos + sin + c, R Příkld e d + 4) e + c, R Poznámk Podobně P ) e, P ) sin, P ) cos P polynom, ) Příkld I e sin d u e u e e cos + e cos d u e u e e cos + e sin I I e sin cos ) + c, R v sin v cos v cos v sin Poznámk Podobně e sin b, e cos b, b ) Příkld ln d ln + c,, + ) Příkld ln d ln d u ln v u v ln d ln ) + c,, ) Poznámk Podobně ln ) Vět substituce) Nechť α, β) ϕ, b) f R, ϕ eistuje n α, β), F ) je primitivní funkce k f) n, b) ) f ϕt) ) ϕ t) dt F ϕt) ) + c n α, β) ) Je-li ϕ : α, β) n, b) prostá G je primitivní funkce k f ϕt) ) ϕ t) n α, β), pk f) d G ϕ ) ) + c n, b) Důkz: ) d dt F ϕt) ) F ϕt) ) ϕ t) f ϕt) ) ϕ t) ) Gt) i F ϕt) ) jsou primitivní k f ϕt) ) ϕ t) Gt) F ϕt) ) +c ; eistuje ϕ ) G ϕ ) ) F )+c je primitivní k f Používáme v obou směrech) zápis: f) d ϕt) d ϕ t) dt f ϕt) ) ϕ t) dt Příkldy ) e d t d dt et + c, R ) ln d ln t d dt ln + c,, + ) 3) ln d e t d e t dt ln + c,, + ) 4) d sin t d cos t dt dt t + c rcsin + c,, ), t π, π ) Poznámky ) f+b) d + b t d dt F +b)+c ) ) f ) f) d f) t f ) d dt ln f) + c Příkldy ) + ) 4 d 5 + )5 + c, R ) 3 ) d 33 ),, 3 ), 3, + ) 3) tg d ln cos + c, π, π ) + kπ, k Z 4) 4+5 d ln 4 + 5) + c, R 5) rctg d rctg ln + ) + c, R Integrce rcionálních funkcí Rozkld rcionální funkce Definice Rcionální lomená) funkce je podíl dvou polynomů P Q, kde Q je nenulový Ryze lomená funkce je podíl dvou polynomů P Q, kde st P < st Q st ) Prciální zlomky jsou funkce ve tvru A ) n, A + B, A, B,, p, q R, n N, + p + q) n kde + p + q) nemá reálný kořen, tj p 4q < Poznámk V C jen první typ prciálních zlomků Vět Nenulový polynom lze jednoznčně) npst ve tvru ) k r ) kr +p +q ) l +p s +q s ) ls, kde r, s N {}, k,, k r, l,, l s N,,,, r, p,, p s, q,, q s R,,, r jsou různé reálné kořeny, +p i +q i i,, s) jsou různé nemjí reálné kořeny Vět Rcionální funkce se dá jednoznčně) rozložit n součet polynomu prciálních zlomků Jmenovtelé těchto zlomků dělí jmenovtel dné rcionální funkce Důkz: částečný) Dělením polynomů dostneme součet polynomu ryze lomené funkce P +L Pro jiný zápis P +L je P P L L polynom i ryze lomená funkce, tj nulová funkce tedy P P, L L Pro nenulovou ryze lomenou funkci P/Q k-násobný kořen polynomu Q k > ) je Q) ) k Q ) pro některý polynom Q s Q ) P ) Q) P ) Q ) ) k P ) P ) Q Q ) ) ) k Q ) Čittel má z kořen, je tedy roven )P ) P nulový pro nulový čittel), P ) Q ) P ) Q) ) k P ) ) k Q ) Snížili jsme stupeň jmenovtele, pokrčujeme dokud je kořen jmenovtele pk pro dlší kořeny V C nebo v R bez imginárních kořenů Q tk dostneme rozkld Postup: ) Dělení polynom + ryze lomená funkce) ) Rozkld jmenovtele n součin kořenových činitelů ireducibilních kvdrtických polynomů 3) Rozpis n prciální zlomky s neurčitými koeficienty 4) Určení koeficientů
13 Příkld )+) + A 4 + B + Určení koeficientů: porovnání po přenásobení jmenovtelem: 5 8 A + ) + B 4) A) Stejné koeficienty, řešení regulární) soustvy lin rovnic: : 5 A + B A : 8 A B B 3 B) Doszení kořenů lineární rovnice s proměnnou): 4 : 6A A : 8 6B B 3 B ) Zkrývcí prvidlo: A ), B ) 3 Příkld +5 ) +) A ) + B + C + Zkrývcím prvidlem A, C Porovnáme + 5 A + ) + B ) + ) + C ) A) Jen potřebné rovnice, dosdíme už určené koef, npř : B + C B + B B) Dosdíme do derivce A + B + ) + B ) + C ) vícenásobné kořeny : A + 3B + 3B B C) Odečteme prciální zlomek pro vícenásobný kořen, zkrývcí prvidlo pro zjištění koeficientu u nižší mocniny +5 ) +) ) 3+3 ) +) Integrce prciálních zlomků 3 )+) ) Mocnin lineárního polynomu ve jmenovteli: d ) n t dt d dt t n ) Mocnin kvdrtického polynomu ve jmenovteli: A + B A + p + q) n d + p) + B Ap ) + p + q) n d ) V čitteli derivce kvdrtického polynomu: + p + p + q) n d + p + q t dt + p) d dt t n b) V čitteli konstnt: převedeme n dt t +) I n n Pro n > uprvíme t + t I n dt t + ) n u t v t t +) n t + ) n dt I n + u v n )t +) n I n + t n )t + ) n n ) I n, t dt t + ) n dostneme rekurentní vzorec: t n 3 I n n )t + + ) n n I n, n N \ {}, I rctg t + c Příkld t d 5 dt t + d ) d 4 ) + Příkld 6+) d 3) + t ) d 3 t I t t + + I t + + rctg t + c + rctg 3) + c, R 3 6+ ) Integrce dlších typů funkcí e t Re ) d ln t d t dt Rt) t dt R t, + ) ) Příkld e 4 + e +3 e 4 d e t t +t+3 tt ) dt, e 4 + e +3 e 4 d e t t 4 +t +3 tt 4 ) dt ) Rln ) d ln t d dt Rt) dt > ) Příkld ln +4) d ln t t +4 dt 3) tg Rsin, cos ) d t rctg t d t + dt sin sin cos sin + cos cos cos sin sin + cos π, π) t R tg tg + t t + tg tg + t t + Někdy nutno spojovt přes sousední intervly Příkld 5 3 cos d dt 4t + rctg tg ) + c + kπ pro π, π) + kπ k Z), ity v π + kπ 3) sudé mocniny R sin, cos ) Rsin, cos )): tg y Rsin, cos, sin cos ) d rctg t d sin cos sin sin + cos t + dt π, π ) t R tg tg + t t + cos sin + cos tg + t + sin cos sin cos sin + cos Příkld tg tg + d cos 4 sin t t + ) dt t t + 3b) lichá v sin nebo v cos: cos t Rsin, cos ) sin d sin d dt sin t sin t Rsin, cos ) cos d cos d dt cos t
14 Příkld d cos 5 sin t dt t ) 3 3c) sin n cos m d: pro liché m či n viz 3b); pro sudá m, n přechod k dvojnásobnému rgumentu sin cos ), cos + cos ) Příkld sin 3 cos 4 d cos t t 6 t 4 ) dt Příkld sin 4 d 4 cos + 4 cos ) d 3 8 cos + 8 cos 4) d 4) n >, d bc : ) n +b R, n + b c+d t d c + d R s t) d R st) dt 5) Odmocnin z kvdrtická funkce: vytknutím koef u, doplněním n čtverec lineární substitucí uprvíme n integrál ve tvru R, ± ± ), > Lze použít různé substituce: goniometrické, hyperbolické, Eulerovy 5) R, ) d,, ), npříkld sin t, t π, π ), cos t; uprvíme + ) )/ + ) použijeme substituci pro typ 4 Eulerov) Příkld 4 d sin t 4 cos t dt rcsin c,, 5b) R, + ) d, R, npříkld sinh t, + cosh t; + + t Eulerov) Příkld d ++5 d + sinh t dt +) +4 5c) R, ) d,, ),, + ), npříkld cosh t, + sinh t ; + t Eulerov) Určitý integrál Definice Dělení intervlu, b je konečná množin D, b obshující, b Znčíme D {,, n }, < < < n b Definice Pro omezenou funkci f n, b dělení D intervlu, b zvádíme dolní horní integrální součet: n Sf, D) inf f i, i ) i i ) Sf, D) i n sup f i, i ) i i ) i Přidáme-li k dělení dlší bod, dolní součet se nezmenší horní se nezvětší Pro libovolná dělení D, D dostneme: Sf, D ) Sf, D D ) Sf, D D ) Sf, D ) Kždý dolní součet je menší nebo roven kždému hornímu součtu, supremum dolních integrálních součtů je menší nebo rovno infimu horních integrálních součtů Definice Je-li pro omezenou funkci f n, b supremum dolních integrálních součtů rovno infimu horních integrálních součtů, nzýváme tuto hodnotu určitý Riemnnův) integrál funkce f n, b Čísl, b se nzývjí dolní horní mez integrálu Znčení: b f, b f) d, R) b f, R) b f) d Poznámk Obecnější it pro c i i, i : fc i ) i i ) m i i i ) i Vět Pro omezenou funkci f n, b eistuje b f právě tehdy, když eistuje posloupnost D n ) n dělení, b tková, že Sf, D n) Sf, D n) n n V tkovém přípdě je integrál roven těmto itám Důkz: : eistují D n) n, D n) n: n) n Sf, D n) n b f, Sf, D b f, Sf, D n) Sf, D n D n) Sf, D n D n) Sf, D n), D n D n) n je hledná posloupnost dělení : sup D Sf, D) n Sf, D n ) n Sf, D n ) inf D Sf, D) sup D Sf, D), všude rovnosti Poznámk Pro eistenci integrálu ve výše uvedené větě stčí n Sf, Dn ) Sf, D n ) ) : inf D Sf, D) sup D Sf, D) Sf, D n ) Sf, D n ) Příkld b c d cb ) Sc, D n ) Sc, D n ) n i c i i ) cb ) Příkld sign d : D n {, n, }, Sf, D n) n n, Sf, D n ) Poznámk Hodnot integrálu nezávisí n hodnotách funkce v konečně mnoh bodech Poznámk Lebesgueův integrál dělení v oboru hodnot: d I λ f I) ), d I I I Nezávisí n hodnotách funkce ve spočetně mnoh bodech Příkld d) pro Q, jink R) d) d nee: Sf, D), Sf, D) L) d) d L) d, nebo λ, \ Q) + λ, Q) Lebesgueov mír spočetných mn je nulová, tj λq) ) Vět Monotonní funkce n uzvřeném intervlu má určitý integrál
15 Důkz: D n {, + b n,, b} ekvidistntní n n částí), Sf, D n ) Sf, D n ) b n fb) f) n Tvrzení Z kždého pokrytí uzvřeného intervlu otevřenými lze vybrt konečné pokrytí Důkz: Sporem Střed intervlu je pokryt některým otevřeným intervlem, zůstnou nejvýše nepokryté uzvřené intervly, lespoň jeden se nedá pokrýt konečně mnoh dnými intervly, ten vezmeme postup opkujeme Dostneme posloupnost I n ) n vnořených uzvřených intervlů, jejichž délky klesjí k nule n I n {c}, c je pokryto některým otevřeným intervlem, který le pokrývá všechny dosttečně krátké I n spor Tvrzení Je-li funkce f spojitá n uzvřeném intervlu I, pk pro kždé ε > eistuje δ > tk, že fy) fz) < ε pro y, z I tková, že y z < δ stejnoměrná spojitost) Důkz: ε > ; pro I e δ > : fu) f) < ε pro u U, δ ) I; u {y, z} fy) fz) < ε pro y, z U, δ ) I; {U, δ ) : I} je pokrytí I, vezmeme konečné; oznčme δ nejmenší vzdálenost různých) krjních bodů; pro y, z I, < z y < δ je v y, z nejvýše krjní bod; pokud, pk y je pokryto U, δ ) z; pokud, pk je pokryt U, δ ) y, z Příkld Funkce není stejnoměrně spojitá n, + ) Vět Spojitá funkce n uzvřeném intervlu má určitý integrál Důkz: f n, b ; pro n e δ n: fy) fz) < n pro y z < δ n, y, z, b ; e D n s intervly krtšími než δ n ; Sf, D n ) Sf, D n ) < n n b ) Vět Nechť funkce f, g jsou omezené n, b, b f, b eistují, c R Pk: ) b cf c b f ) b f + g) b f + b g 3) Je-li f g n, b, pk b f b g 4) b f b f Důkz: ) c : sup Scf, D) sup csf, D) c sup Sf, D) c b f, inf Scf, D) inf csf, D) c inf Sf, d) c b f; c < : sup Scf, D) sup csf, D) c inf Sf, D) c b f, inf Scf, D) inf csf, D) c sup Sf, d) c b f ) sup/inf int součtů f, g jsou ity pro společ D n ) n; inf fi) + inf gi) f + g)), pro I, inf fi) + inf gi) inff + g)i), Sf, D n ) + Sg, D n ) Sf + g, D n ) Sf + g, D n ) Sf, D n ) + Sg, D n ) podobně), it pro n 3) Sf, D) Sg, D), sup Sf, D) sup Sg, D) 4) f + ) m{f), }, f ) m{ f), }, e D n ) n: Sf, D n ), Sf, D n ) b f, Sf +, D n ) Sf +, D n ) Sf, D n ) Sf, D n ) n, b f + e, b f b f + f) e, b f b f + +f ) e, f f f b f b f b f g Příkld d) ) d neeistuje, d) d Poznámk Omezené integrovtelné funkce n, b tvoří lineární prostor, zobrzení b : f b f je lineární Vět Nechť < b < c funkce f je omezená n, c Pk c f eistuje právě tehdy, když eistují b f c b f V tkovém přípdě c f b f + c b f Důkz: D dělení, b, D dělení b, c, D D D je dělení, c obshující b, Sf, D ) + Sf, D ) Sf, D), Sf, D ) + Sf, D ) Sf, D), přechodem k supremu infimu: sup Sf, D ) + sup Sf, D ) sup Sf, D), D D D inf Sf, D D ) + inf Sf, D D ) inf Sf, D), D stejné sčítnce pod sebou právě tehdy, když stejné součty Definice Definujeme f, b f b f pro < b Poznámk Rovnost v předešlé větě pro libovolná, b, c Poznámk Po částech spojité funkce konečně mnoho bodů nespojitosti s konečnými jednostrnnými itmi) i po částech monotonní funkce jsou integrovtelné Vět Nechť funkce f je omezená n, b, b f eistuje, F ) ft) dt pro, b Pk ) F je spojitá ) F ) f) v bodech spojitosti funkce f Důkz: F je definován ditivit n definičním oboru) F +h) F ) +h ft) dt ft) dt +h ft) dt, ) f M n, b, F +h) F ) +h sign h +h M dt M h h ±) ) ) h F + h) F ) f) h +h +h +h ft) dt h ) ft) f) dt h ft) dt sign h +h ft) dt f) dt +h h ft) f) dt f spoj v : pro ε > je ft) f) < ε n okolí ) h +h ε dt h hε ε Důsledek Funkce spojitá n intervlu má n tomto intervlu primitivní funkci Důkz: I, F ) ft) dt přípdně +F )) Poznámk Derivce integrálu podle horní meze pro f d spojitou): d ft) dt f) Poznámk Po částech spojitá f: jednostrnné derivce F jsou rovny příslušným jednostrnným itám f Příkld f) sign : { F ) ft) dt dt, } dt,, F ) f ), F +) f+)
16 Vět Newtonov Leibnizov formule) Nechť funkce f je omezená n, b, b f eistuje F je primitivní funkce k f n, b) Pk b f) d [ F ) ] b F b ) F +) Důkz: f M n, b, n + n, b pro n n, pro, n ) Lgrnge): F ) F n ) fc,n ) n ) M n, F, n ) ) F n ) M n, F n) + M n I n, I n ) nn uzvřené vnořené intervly délek M n n, nn I n {F +)}, F +) eistuje podobně F b )); D {,,, n }, F b ) F +) n i F i ) F i ) ) Lgrnge) n i F c i ) i i ) n i fc i) i i ) Sf, D) F b ) F +) Sf, D) sup D Sf, D) F b ) F +) inf D Sf, D) Příkldy ) d [ ] ) π sin d u v sin u v cos [ cos ] π + π cos d π +[ sin ] π π+ ) π 3) + d + t d dt t dt 8 3 4) π sin cos d sin t cos d dt t dt Poznámk Newtonův int: N) b f) F b ) F +) Eistuje-li Riemnnův i Newtonův integrál, jsou stejné Příkldy ) r) b pro b, Z, b N nesoudělná, jink, N) r) d nee, R) r) d ) N) e d e, R) e d e, F nelze dobře vyjádřit 3) N) / d, R) / d nee 4) N) d, R) d nee Nevlstní integrál I neomezené funkce či intervly, nevlstní hodnoty Definice Nechť f :, b) R, b R) není omezená nebo, b) není omezený, d f eistuje pro kždý c, d c, b) Definujeme nevlstní integrál: b f) d c + e c f) d + d b d e f) d, pokud je výrz vprvo definován pro některé e, b) Je-li konečný, řekneme, že integrál konverguje Poznámk Výběr e není podsttný, pro e je: e c + c f e c + c f + e e f, d d d b f e d b e f e e f Příkldy ) + ) + 3) + d + [rctg ] π π ) π, konverguje d [ln ], eistuje, nekonverguje + d [ ln + ) ], neeistuje 4) + sin d [ cos ] + nee ) nee Příkldy ) + e d u v e u v e [ e ) ] + + e ) + ) + e / d t d dt et dt [ e t] e 3) + nelze + d + + d + + ) [ ] d ln + + d + ln, Poznámk Linerit, monotonie, odhd bsolutní hodnoty integrálu integrálem z bsolutní hodnoty pltí i pokud připustíme nevlstní integrály pokud eistují příslušné násobky či součty pro přípdné nevlstní hodnoty) Poznámk Definice integrálu by šl vylepšit v přípdě potřeby jko součet integrálů přes vhodné podintervly Npříkld /3 d /3 d + /3 d 6 Poznámk Alterntivní rozšíření o nevlstní integrály: Pro, b) n n, b n skoro disjunktní tkové, že b n f bn eistují, eistují b n n f ± I ± n n f ± Pokládáme b f I + I, pokud je rozdíl definován Pokud tento integrál konverguje, pk i b f I + + I konverguje bsolutní konverence integrálu) Newtonův integrál ni zvedený nevlstní integrál nejsou bsolutně konvergentní Příkld + d konverguje, + sin sin n d + Vět ) Jestliže f g n, b), b g konverguje f je po částech spojitá, pk b f konverguje ) Jestliže f g n, b), b f + g je po částech spojitá, pk b g + [ln ] { ), d [ ] , < + +, > [ln ] {, d [ ] + + +, > + +, < Tvrzení Nechť P, Q jsou nenulové polynomy, Q nemá v, + ) kořeny Pk + P Q konverguje právě tehdy, když st Q st P + Důkz: n st P st Q Z P ) Q) A R \ {}, npř A > n P ) eistuje b >, tk, že Q) n A, 3 A) pro > b An < P ) Q) < 3 An P Q Θn ) pro + ) 3 b An konv pro n <, b An pro n P b Q P Q konv právě pro n <, tj n
17 Příkldy d konv, d + Tvrzení Nechť P, Q jsou nenulové polynomy, c, b je jediný kořen polynomu Q v, b násobnosti n, není kořen polynomu P Pk b P Q {± } pro n sudé nebo c {, b}, jink neeistuje Důkz: P Q Θ c) n ) pro c Příkldy d nee, ) 3 d + Příkld Lplceov trnsformce) Nechť funkce f :, + ) R je po částech spojitá má omezený eponenciální růst, tj eistují konstnty M, R tk, že ft) M e t f Oe t )) Lplceovým obrzem funkce f je funkce F dná předpisem F p) + ft) e pt dt Je definován pro p > Re p > v C): ft) e pt M e p)t, M e p)t dt [ M p e p)t] M p konverguje Příkld Γ) + t e t dt Konverguje pro > : t e t t, t dt konverguje pro > ; pro n je t e t t n e t, t n e t dt per prtes) [P n t) e t ] P n ) e konverguje Γ) e t dt [ e t ] ) Γ + ) t e t dt u t v e t u t v e t [ t e t] + t e t dt Γ) Γn) n )Γn ) n )! Γ) n )! Aplikce určitého integrálu Definice Střední hodnot funkce f n intervlu, b je b pokud integrál konverguje b f) d, Příkld Střídvé npětí ut) U sin πt T okmžitý výkon pt) R u t) U R sin πt T má n odporu R Jeho střední hodnot npříkld n intervlu, T ) je U R což pro stejnosměrný proud odpovídá npětí U e U efektivní npětí střídvého proudu) Vět o střední hodnotě) Spojitá spojitá funkce n uzvřeném intervlu nbývá své střední hodnoty Důkz: f n, b má primitivní F, podle Lgrngeovy věty je F b) F ) b F c) fc) pro některé c, b) Poznámk Aritmetický průměr fi) ) n je střední hodnot f, pokud použijeme Lebesgueův integrál vzhledem k i součtu Dircových měr µ n i δ i δ i M) pro i M, jink ): n f dµ) / n dµ) n n i fi) Vět Nechť funkce f g jsou po částech spojité n, b),, b R Obsh {[, y] : < < b, f) y g)} je b g) f) ) d Důkz: c, d, b): e D f,n ) n: Sf, D f,n ), Sf, D f,n ) n d c f, e D g,n ) n: Sg, D g,n ), Sg, D g,n ) n d c g, pro D n D f,n D g,n : Sg, D n ) Sf, D n ) P Sg, D n ) Sf, D n ), d c g f) P d g f) ; c ity c +, d b Příkld Obsh plochy uvnitř elipsy /) + y/b) je 4 b /) d πb Příkld Obsh plochy mezi grfy + ln n, ) je Vět Nechť funkce f má po částech spojitou derivci n, b) Délk grfu funkce f je b + [f )] d Důkz: Pro uzvřený intervl pk přípdně ity): délk supremum délek po částech lineárních interpolcí, ld) n i i i ) + [f i ) f i )] n i i i ) + [f c i ) i i )] n i + [f c i )] i i ), c i i, i ), S + f ), D) ld) S + f ), D), integrál i supremum délek interpolcí jko ity Příkld Délk stroidy /r) /3 + y/r) /3 je 4 r + [r /3 /3 ) 3/ ) ] d 6r Vět Nechť funkce f je po částech spojitá n, b),, b R Objem {[, y, z] : < b <, y + z f )} je π b f ) d Důkz: Pro uzvřený intervl pk přípdně ity): pro dělení D uvžujeme vepsné/opsné válce: Sπf, D) V Sπf, D) π b f V π b f Příkld Objem kužele f) r v n, v ) je π v r /v d 3 πr v Vět Nechť funkce f má po částech spojitou derivci n, b) Obsh plochy vzniklé rotcí grfu f kolem osy je π b f) + [f )] d Důkz náznk pro uzvřený intervl): supremum pro po částech lineární interpolce f, obsh pláště komolého kužele: π r+r s, n i π fc i) i i ) + [f i ) f i )] n i π fc i) + [f c i )] i i ) Sπf + f ), D) π b f + f )
18 Příkld Obsh sféry f) r n r, r ) je π r r + [ r r ) / ) ] d 4πr Souřdnice těžiště v rovině: T M y m, y T M m Momenty lineárních útvrů λ je lineární hustot): M y λ M λ b b + [f )] d, f) + [f )] d Příkld Těžiště čtvrtkružnice f) r n, r ) má souřdnice T y T π r Momenty plošných útvrů f, σ je plošná hustot): M y σ b f) d, M σ b f ) d Příkld Těžiště plochy pod obloukem kosinusoidy f) cos n π, π ) má souřdnice T, y T π 8 Číselné řdy Definice Nekonečná číselná) řd je výrz k k + +, kde k ) k je posloupnost čísel Číslo k je k-tý člen, n k k + + n je n-tý částečný součet, it posloupnosti částečných součtů je součet Řekneme, že řd konverguje, má-li konečný součet; diverguje, má-li nekonečný součet; osciluje, nemá-li součet Poznámky ) Obecněji kn pro n Z lze přeindeovt N) ) k k n k k) n Příkldy ) k diverguje: s n n, n s n + ) k )k + + osciluje: s n pro n liché, s n pro n sudé 3) k k n n ) konverguje n Poznámk Cesrův součet n n k s k pro ) Poznámk V komplením oboru konvergence odpovídá konvergenci reálné imginární části Komplení čísl se doplňují o jediné, tkže eistují reálné) řdy, které v C divergují v R oscilují posloupnosti částečných součtů mjí z hromdné hodnoty ± ) Příkld Aritmetická řd s diferencí d je řd ve tvru ) k + k )d + + d) + + d) + + 3d) + Částečné součty s n n + n ), speciálně n k k n nn + ) Definice Geometrická řd s kvocientem q je řd k q k + q + q + Vět k q k q pro q <, pro q řd nekonverguje Důkz: s n + q + + q n ) qs n q + + q n + q n ) q)s n q n ) s n q n ) q, q ) Příkld k 4 3 n 4/3 /3 4 3, q 3 ) Vět Jestliže k k, ) k k + b k ) k k + ) k c k c k b k konvergují, c R, pk k b k k k Důkz: Použití vět o itách součtu součinu pro posloupnosti částečných součtů Poznámk Ve výše uvedené větě postupujeme zprv dolev, obráceně to obecně nejde Část ) je speciální přípd nekonečné komuttivity socitivity, část ) je nekonečná distributivit Vět nutná podmínk konvergence) konverguje, pk k k Důkz: k k k s k s k ) k s k k s k s s Vět Řd s nezápornými členy má součet Jestliže k k Důkz: Posloupnost částečných součtů je neklesjící, má tedy itu Příkld k k + pro : nekonverguje členy nejdou k nule), má součet členy jsou nezáporné) Vět srovnávcí kr) Nechť k b k pro kždé k N ) Jestliže k b k konverguje, pk i k k konverguje ) Jestliže k k diverguje, pk i k b k diverguje Důkz: n k k n k b k, ity pro n eistují předcházející vět), vět o monotonii pro ity Příkldy ) Hrmonická řd: k k ) ) ) : k /k k /k, diverguje Definice Řd k k konverguje bsolutně, pokud konverguje k k Vět Absolutně konvergentní řd konverguje Důkz: k R: + m{, }, m{, } +, + +, +, k k konverguje k + k, k k konvergují srovnávcí kritérium) k k k + k k ) k + k k k konv
Poznámka. Využití: věty o limitách, popisy intervalů: (, 0) = {x R : < x < 0} = {x R : x < 0}, (, + ) = R (otevřené i s ± ).
Reálná čísl N přirozená čísl: {,, 3, } Z celá čísl: {, ±, ±, ±3, } Q rcionální čísl: { b : Z, b N} R reálná č: délky úseček, doplnění limit, suprem, infim, des rozvoj:,, Z, n {,, 9} pro n N R \ Q ircionální
VícePřehled základních vzorců pro Matematiku 2 1
Přehled zákldních vzorců pro Mtemtiku 1 1. Limity funkcí definice Vlstní it v bodě = : f() = ɛ > 0, δ > 0 tk, že pro : ( δ, δ), pltí f() ( ɛ, ɛ) Vlstní it v bodě = : f() = ɛ > 0, c > 0 tk, že pro : > c,
VíceVěta (princip vnořených intervalů). Jestliže pro uzavřené intervaly I n (n N) platí I 1 I 2 I 3, pak
Reálná čísl N přirozená čísl: {,, 3, } Z celá čísl: {, ±, ±, ±3, } Q rcionální čísl: { b : Z, b N} R reálná čísl C komplení čísl: { + jy :, y R}, j R \ Q ircionální čísl, π, e, ) Tvrzení Mezi kždými dvěm
VíceVIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
VIII. Primitivní funkce Riemnnův integrál VIII.2. Riemnnův integrál opkování Vět. Nechť f je spojitá funkce n intervlu, b nechť c, b. Oznčíme-li F (x) = x (, b), pk F (x) = f(x) pro kždé x (, b). VIII.3.
VíceVIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
VIII. Primitivní funkce Riemnnův integrál VIII.2. Primitivní funkce Definice. Nechť funkce f je definován n neprázdném otevřeném intervlu I. Řekneme, že funkce F : I R je primitivní funkce k f n intervlu
Více7. Integrální počet Primitivní funkce, Neurčitý integrál
7. Integrální počet 7.. Primitivní funkce, Neurčitý integrál Definice 7. Říkáme, že F (x) je v intervlu (, b) (přitom může být tké =, b = + ) primitivní funkcí k finkci f(x), jestliže pro všechn x (, b)
Více26. listopadu a 10.prosince 2016
Integrální počet Přednášk 4 5 26. listopdu 10.prosince 2016 Obsh 1 Neurčitý integrál Tbulkové integrály Substituční metod Metod per-prtes 2 Určitý integrál Geometrické plikce Fyzikální plikce K čemu integrální
Více6. Určitý integrál a jeho výpočet, aplikace
Aplikovná mtemtik 1, NMAF071 6. Určitý integrál výpočet, plikce T. Slč, MÚ MFF UK ZS 2017/18 ZS 2017/18) Aplikovná mtemtik 1, NMAF071 6. Určitý integrál 1 / 13 6.1 Newtonův integrál Definice 6.1 Řekneme,
VíceV předchozích kapitolách byla popsána inverzní operace k derivování. Zatím nebylo jasné, k čemu tento nástroj slouží.
NEWTONŮV INTEGRÁL V předchozích kpitolách byl popsán inverzní operce k derivování Ztím nebylo jsné, k čemu tento nástroj slouží Uvžujme trmvj, která je poháněn elektřinou při brždění vyrábí dynmem elektřinu:
VíceNEWTONŮV INTEGRÁL. V předchozích kapitolách byla popsána inverzní operace k derivování. Zatím nebylo jasné, k čemu tento nástroj slouží.
NEWTONŮV INTEGRÁL V předchozích kpitolách byl popsán inverzní operce k derivování. Ztím nebylo jsné, k čemu tento nástroj slouží. Uvžujme trmvj, která je poháněn elektřinou při brždění vyrábí dynmem elektřinu:
Víceintegrovat. Obecně lze ale říct, že pokud existuje určitý integrál funkce podle různých definic, má pro všechny takové definice stejnou hodnotu.
Přednášk 1 Určitý integrál V této přednášce se budeme zbývt určitým integrálem. Eistuje několik definic určitého integrálu funkce jedné reálné proměnné. Jednotlivé integrály se liší v tom, jké funkce lze
Více10 Určitý integrál Riemannův integrál. Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nazýváme dělením intervalu [a,b], jestliže platí
10 Určitý integrál 10.1 Riemnnův integrál Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nzýváme dělením intervlu [,b], jestliže pltí = x 0 < x 1 < < x n = b. Body x 0,...,x n nzýváme dělícími body. Normou
Více+ c. n x ( ) ( ) f x dx ln f x c ) a. x x. dx = cotgx + c. A x. A x A arctgx + A x A c
) INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ ) Pojem neurčitého integrálu Je dán funkce Pltí všk tké F tk, y pltilo F ( ) f ( ) Zřejmě F ( ), protože pltí, 5,, oecně c, kde c je liovolná kon- stnt f ( ) nším
VíceIntegrální počet - II. část (určitý integrál a jeho aplikace)
Integrální počet - II. část (určitý integrál jeho plikce) Michl Fusek Ústv mtemtiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 7. přednášk z ESMAT Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 23 Obsh 1 Určitý vlstní (Riemnnův)
VíceOBECNÝ URČITÝ INTEGRÁL
OBECNÝ URČITÝ INTEGRÁL Zobecnění Newtonov nebo Riemnnov integrálu se definují různým způsobem dostnou se někdy různé, někdy stejné pojmy. V tomto textu bude postup volen jko zobecnění Newtonov integrálu,
VíceIntegrální počet - III. část (určitý vlastní integrál)
Integrální počet - III. část (určitý vlstní integrál) Michl Fusek Ústv mtemtiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 8. přednášk z AMA1 Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 18 Obsh 1 Určitý vlstní (Riemnnův)
Víceje jedna z orientací určena jeho parametrizací. Je to ta, pro kterou je počátečním bodem bod ϕ(a). Im k.b.(c ) ( C ) (C ) Obr Obr. 3.5.
10. Komplexní funkce reálné proměnné. Křivky. Je-li f : (, b) C, pk lze funkci f povžovt z dvojici (u, v), kde u = Re f v = Im f. Rozdíl proti vektorovému poli je v tom, že jsou pro komplexní čísl definovány
VíceZavedení a vlastnosti reálných čísel PŘIROZENÁ, CELÁ A RACIONÁLNÍ ČÍSLA
Zvedení vlstnosti reálných čísel Reálná čísl jsou zákldním kmenem mtemtické nlýzy. Konstrukce reálných čísel sice není náplní mtemtické nlýzy, le množin reálných čísel R je pro mtemtickou nlýzu zákldním
VíceAž dosud jsme se zabývali většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrazeními s definičním
Limit funkce. Zákldní pojmy Až dosud jsme se zbývli většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrzeními s definičním oborem N. Nyní obrátíme svou pozornost n širší třídu zobrzení. Definice.. Zobrzení f, jehož
VíceDiferenciální počet. Spojitost funkce
Dierenciální počet Spojitost unkce Co to znmená, že unkce je spojitá? Jký je mtemtický význm tvrzení, že gr unkce je spojitý? Jké jsou vlstnosti unkce v bodě? Jké jsou vlstnosti unkce v intervlu I? Vlstnosti
VíceObecně: K dané funkci f hledáme funkci ϕ z dané množiny funkcí M, pro kterou v daných bodech x 0 < x 1 <... < x n. (δ ij... Kroneckerovo delta) (4)
KAPITOLA 13: Numerická integrce interpolce [MA1-18:P13.1] 13.1 Interpolce Obecně: K dné funkci f hledáme funkci ϕ z dné množiny funkcí M, pro kterou v dných bodech x 0 < x 1
VícePetr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
Určitý integrál Petr Hsil Přednášk z mtemtiky Podpořeno projektem Průřezová inovce studijních progrmů Lesnické dřevřské fkulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem n discipĺıny společného zákldu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)
VíceSprávné řešení písemné zkoušky z matematiky- varianta A Přijímací řízení do NMgr. studia učitelských oborů 2010
právné řešení písemné koušky mtemtiky- vrint A Přijímcí říení do NMgr. studi učitelských oborů Příkld. Vyšetřete průběh funkce v jejím mimálním definičním oboru nčrtněte její grf y Určete pritu (sudá/lichá),
Více5.5 Elementární funkce
5.5 Elementární funkce Lemm 5.20. Necht x R. Potom existuje kldné C R (závisející n x) tkové, že pro kždé n N h ( 1, 1) pltí (x + h) n x n nhx n 1 h 2 C n. Definice. Exponenciální funkci exp definujme
VíceLDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 1 / 26
Určitý integrál Zákldy vyšší mtemtiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovce studijních progrmů Lesnické dřevřské fkulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem n discipĺıny společného zákldu http://kdemie.ldf.mendelu.cz/cz
Více4. cvičení z Matematiky 2
4. cvičení z Mtemtiky 2 14.-18. březn 2016 4.1 Njděte ity (i (ii (iii (iv 2 +(y 1 2 +1 1 2 +(y 1 2 z 2 y 2 z yz 1 2 y 2 (,y (0,0 2 +y 2 2 y 2 (,y (0,0 2 +y 3 (i Pro funkci f(, y = 2 +(y 1 2 +1 1 2 +(y
Více4. přednáška 22. října Úplné metrické prostory. Metrický prostor (M, d) je úplný, když každá cauchyovská posloupnost bodů v M konverguje.
4. přednášk 22. říjn 2007 Úplné metrické prostory. Metrický prostor (M, d) je úplný, když kždá cuchyovská posloupnost bodů v M konverguje. Příkldy. 1. Euklidovský prostor R je úplný, kždá cuchyovská posloupnost
Více6.1. Limita funkce. Množina Z má dva hromadné body: ±. Tedy Z ={+, }.
6.1. Limit funkce Číslo R nzveme hromdným bodem množiny A R, pokud v kždém jeho okolí leží nekonečně mnoho bodů z množiny A. Body z A, které neptří mezi hromdné body A, se nzývjí izolovné. Alterntivně
Více1.2 Množina komplexních čísel... 10
Obsh Číselné množiny reálné funkce 5. Množin reálných čísel...................................... 5. Množin kompleních čísel.....................................3 Reálné funkce jedné reálné proměnné..............................
VíceFunkce jedné proměnné
Funkce jedné proměnné Lineární funkce f: y = kx + q, D f = R, H f = R, grf je přímk množin odů [x, y], x D f, y = f(x) q úsek n ose y, tj. od [0, q], k směrnice, k = tn φ = 2 2 1 1, A[ 1, 2 ], B[ 1, 2
VíceDERIVACE A INTEGRÁLY VE FYZICE
DOPLŇKOVÉ TEXTY BB0 PAVEL SCHAUER INTERNÍ MATERIÁL FAST VUT V BRNĚ DERIVACE A INTEGRÁLY VE FYZICE Obsh Derivce... Definice derivce... Prciální derivce... Derivce vektorů... Výpočt derivcí... 3 Algebrická
VícePrimitivní funkce. Definice a vlastnosti primitivní funkce
Obsh PŘEDMLUVA OBSAH 5 I. PRIMITIVNÍ FUNKCE 7 Definice vlstnosti primitivní funkce............ 7 Metody výpočtu primitivních funkcí............. Rcionální funkce................... 7 Ircionální funkce...................
VíceIntegrál a jeho aplikace Tomáš Matoušek
Integrál jeho plikce Tomáš Mtoušek Křivk Definice.(Vektorováfunkce) Funkci ϕ:r R n,kteráreálnémučíslupřiřzuje n-tici reálných čísel(vektor), nzýváme funkcí vektorovou. Lze ji tké popst po složkáchjko ϕ(t)=(ϕ
VíceNMAF061, ZS Písemná část zkoušky 25. leden 2018
Jednotlivé kroky při výpočtech stručně, le co nejpřesněji odůvodněte. Pokud používáte nějké tvrzení, nezpomeňte ověřit splnění předpokldů. Jméno příjmení: Skupin: Příkld 3 4 5 6 Celkem bodů Bodů 6 6 4
VíceI Diferenciální a integrální počet funkcí jedné proměnné 3
Obsh I Diferenciální integrální počet funkcí jedné proměnné 3 Preklkulus 5. Reálná čísl................................................ 5. Funkce jejich zákldní vlstnosti....................................3
VíceNMAF061, ZS Písemná část zkoušky 16. leden 2018
Jednotlivé kroky při výpočtech stručně, le co nejpřesněji odůvodněte. Pokud používáte nějké tvrzení, nezpomeňte ověřit splnění předpokldů. Jméno příjmení: Skupin: Příkld 1 3 4 5 6 Celkem bodů Bodů 7 6
Více2. Funkční řady Studijní text. V předcházející kapitole jsme uvažovali řady, jejichž členy byla reálná čísla. Nyní se budeme zabývat studiem
2. Funkční řd Studijní text 2. Funkční řd V předcházející kpitole jsme uvžovli řd, jejichž člen bl reálná čísl. Nní se budeme zbývt studiem obecnějšího přípdu, kd člen řd tvoří reálné funkce. Definice
Více8. Elementární funkce
Historie přírodních věd potvrzuje, že většinu reálně eistujících dějů lze reprezentovt mtemtickými model, které jsou popsán tzv. elementárními funkcemi. Elementární funkce je kždá funkce, která vznikne
VíceII. 5. Aplikace integrálního počtu
494 II Integrální počet funkcí jedné proměnné II 5 Aplikce integrálního počtu Geometrické plikce Určitý integrál S b fx) dx lze geometricky interpretovt jko obsh plochy vymezené grfem funkce f v intervlu
Více13. Exponenciální a logaritmická funkce
@11 1. Eponenciální logritmická funkce Mocninná funkce je pro r libovolné nenulové reálné číslo dán předpisem f: y = r, r R, >0 Eponent r je konstnt je nezávisle proměnná. Definičním oborem jsou pouze
VíceKomplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2.
7 Komplexní čísl 71 Komplexní číslo je uspořádná dvojice reálných čísel Komplexní číslo = 1, ) zprvidl zpisujeme v tzv lgebrickém tvru = 1 + i, kde i je imginární jednotk, pro kterou pltí i = 1 Číslo 1
Více1. Posloupnosti čísel
1. Posloupnosti čísel 1.1. Posloupnosti a operace s nimi Definice 1.1 Posloupnost reálných čísel ( = reálná posloupnost ) je zobrazení, jehož definičním oborem je množina N a oborem hodnot je nějaká podmnožina
VíceIntegrální počet - IV. část (aplikace na určitý vlastní integrál, nevlastní integrál)
Integrální počet - IV. část (plikce n určitý vlstní integrál, nevlstní integrál) Michl Fusek Ústv mtemtiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 9. přednášk z AMA Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) / 4 Obsh
VíceZÁKLADNÍ POZNATKY. p, kde ČÍSELNÉ MNOŽINY (OBORY) N... množina všech přirozených čísel: 1, 2, 3,, n,
ZÁKLADNÍ POZNATKY ČÍSELNÉ MNOŽINY (OBORY) N... množin všech přirozených čísel: 1, 2, 3,, n, N0... množin všech celých nezáporných čísel (přirozených čísel s nulou: 0,1, 2, 3,, n, Z... množin všech celých
VíceJak již bylo uvedeno v předcházející kapitole, můžeme při výpočtu určitých integrálů ze složitějších funkcí postupovat v zásadě dvěma způsoby:
.. Substituční metod pro určité integrály.. Substituční metod pro určité integrály Cíle Seznámíte se s použitím substituční metody při výpočtu určitých integrálů. Zákldní typy integrálů, které lze touto
VíceR n výběr reprezentantů. Řekneme, že funkce f je Riemannovsky integrovatelná na
Mtemtik II. Určitý integrál.1. Pojem Riemnnov určitého integrálu Definice.1.1. Říkáme, že funkce f( x ) je n intervlu integrovtelná (schopná integrce), je-li n něm ohrničená spoň po částech spojitá.
VícePŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI
PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému
Více11. cvičení z Matematické analýzy 2
11. cvičení z Mtemtické nlýzy 1. - 1. prosince 18 11.1 (cylindrické souřdnice) Zpište integrály pomocí cylindrických souřdnic pk je spočítejte: () x x x +y (x + y ) dz dy dx. (b) 1 1 x 1 1 x x y (x + y
VíceMatematika II: Pracovní listy Integrální počet funkce jedné reálné proměnné
Mtemtik II: Prcovní listy Integrální počet funkce jedné reálné proměnné Petr Schreiberová, Petr Volný Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzit Ostrv Ostrv 8 Obsh Neurčitý integrál.
VíceLimita a spojitost funkce. 3.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P3.1]
KAPITOLA 3: Limita a spojitost funkce [MA-8:P3.] 3. Úvod Necht je funkce f definována alespoň na nějakém prstencovém okolí bodu 0 R. Číslo a R je itou funkce f v bodě 0, jestliže pro každé okolí Ua) bodu
VíceINTEGRACE KOMPLEXNÍ FUNKCE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL
INTEGRAE KOMPLEXNÍ FUNKE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL N konci kpitoly o derivci je uveden souvislost existence derivce s potenciálním polem. Existuje dlší chrkterizce potenciálného pole, která nebyl v kpitole o derivci
VíceI Diferenciální a integrální počet funkcí jedné proměnné 5
Obsh I Diferenciální integrální počet funkcí jedné proměnné 5 Preklkulus 7. Reálná čísl................................................ 7. Funkce jejich zákldní vlstnosti...................................
VíceDiferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.
Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin
VíceMatematická analýza 1, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, )
Matematická analýza, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, 6.. 7) Reálná čísla. Určete maximum, minimum, supremum a infimum následujících množin: Z; b) M = (, ), 5 ; c) M =, Q; d) M = { + n : n N}; e)
Více2.3 Aplikace v geometrii a fyzice Posloupnosti a řady funkcí Posloupnosti funkcí... 17
Obsh Derivce Integrály 6. Neurčité integrály.................. 6. Určité integrály....................3 Aplikce v geometrii fyzice............ 6 3 Posloupnosti řdy funkcí 7 3. Posloupnosti funkcí.................
Více3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90
ROVNICE A NEROVNICE 8 Lineární rovnice 8 Kvdrtické rovnice 8 Rovnice s bsolutní hodnotou 88 Ircionální rovnice 90 Eponenciální rovnice 9 Logritmické rovnice 9 7 Goniometrické rovnice 98 8 Nerovnice 0 Úlohy
VíceIV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel
Matematická analýza IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel na množině R je definováno: velikost (absolutní hodnota), uspořádání, aritmetické operace; znázornění:
VíceMatematika II: Testy
Mtemtik II: Testy Petr Schreiberová Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzit Ostrv Mtemtik II - testy 69. Řy 9 - Test Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzit
Více1 Množiny, výroky a číselné obory
1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou
VíceSpojitost funkce v bodě, spojitost funkce v intervalu
10.1.6 Spojitost funkce v bodě, spojitost funkce v intervlu Předpokldy: 10104, 10105 Př. 1: Nkresli, jk funkce f ( x ) dná grfem zobrzí vyznčené okolí bodu n ose x n osu y. Poté nkresli n osu x vzor okolí
Vícef dx S(f, E) M(b a), kde D a E jsou
Přehled probrné látky z MAII, LS 2004/05 1. přednášk 21.2.2005. Opkování látky o primitivních funkcích ze závěru zimního semestru (23.-25. přednášk). Rozkld rcionální funkce n prciální zlomky. Popis hledání
VíceLimita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné
Přednáška 4 Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné V několika následujících přednáškách budeme studovat zobrazení jedné reálné proměnné f : X Y, kde X R a Y R k. Protože pro každé
VíceLINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU
LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y
VíceLimita a spojitost funkce
Přednáška 5 Limita a spojitost funkce V této přednášce se konečně dostaneme k diferenciálnímu počtu funkce jedné reálné proměnné. Diferenciální počet se v podstatě zabývá lokálním chováním funkce v daném
VíceOznačení derivace čárkami, resp. římskými číslicemi, volíme při nižším řádu derivace, jinak užíváme horní index v závorce f (5), f (6),... x c g (x).
9 Využití derivace 9.1 Derivace vyšších řádů Definice 1. Nechť funkce má derivaci v nějakém okolí bodu c D(f). Nechť funkce ϕ() =f () máderivacivboděc. Pak hodnotu ϕ (c) nazýváme derivací 2. řádu (2. derivací)
Vícex + F F x F (x, f(x)).
I. Funkce dvou více reálných proměnných 8. Implicitně dné funkce. Budeme se zbývt úlohou, kdy funkce není zdná přímo předpisem, který vyjdřuje závislost její hodnoty n hodnotách proměnných. Jeden z možných
VícePředpoklady: a 1, a 0, f spojité na intervalu I, a 1 0 na I. Vydělením a 1 (x) dostaneme LDR ve tvaru (p, q spojité):
Diferenciální rovnice Obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu: F x, y, y, y,, y n Řešení n intervlu I: funkce y : I R tková, že pro kždé x I je F x, yx, y x,, y n x Mximální řešení: neexistuje řešení
Víceje daná funkce. Množinu všech primitivních funkcí k f na I nazveme neurčitým f(x)dx nebo f.
MATEMATICKÁ ANALÝZA INTEGRÁLNÍ POČET PŘEDNÁŠEJÍCÍ ALEŠ NEKVINDA. Přednášk Oznčme R = R {, } jko v minulém semestru. V tomto semestru se budeme zbývt opčným úkonem k derivování. Primitivní funkce. Definice.
Více18. x x 5 dx subst. t = 2 + x x 1 + e2x x subst. t = e x ln 2 x. x ln 2 x dx 34.
I. Určete integrály proved te zkoušku. Určete intervl(y), kde integrál eistuje... 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 0... 3. 4. 5. 6. 7. e d substituce t = ln ln(ln ) d substituce t = ln(ln ), dt = ln 3 e 4 d substituce
Víceje parciální derivace funkce f v bodě a podle druhé proměnné (obvykle říkáme proměnné
1. Prciální derivce funkce více proměnných. Prciální derivce funkce dvou proměnných. Je-li funkce f f(, ) definován v množině D f R 2 bod ( 1, 2 ) je vnitřním bodem množin D f, pk funkce g 1 (t) f(t, 2
VícePro jakou hodnotu parametru α jsou zadané vektory kolmé? (Návod: Vektory jsou kolmé, je-li jejich skalární součin roven nule.)
Vybrané příklady ze skript J. Neustupa, S. Kračmar: Sbírka příkladů z Matematiky I I. LINEÁRNÍ ALGEBRA I.. Vektory, vektorové prostory Jsou zadány vektory u, v, w a reálná čísla α, β, γ. Vypočítejte vektor
VíceLogaritmická funkce teorie
Výukový mteriál pro předmět: MATEMATIKA reg. č. projektu CZ..07/..0/0.0007 Logritmická funkce teorie Eponenciální funkce je funkce prostá, proto k ní eistuje inverzní funkce. Tto inverzní funkce se nzývá
VíceLimita posloupnosti a funkce
Limita posloupnosti a funkce Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy I c Petr Hasil (MUNI) Limita posloupnosti a funkce MA I (M1101) 1 / 90 Obsah 1 Posloupnosti reálných čísel Úvod Limita posloupnosti
Více2. INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ
. INTEGRÁLNÍ POČET FUNKE JEDNÉ PROMĚNNÉ Při řešení technických prolémů, ve fyzice pod. je velmi čsto tře řešit orácenou úlohu k derivování. K zdné funkci f udeme hledt funkci F tkovou, y pltilo F f. Budeme
VíceFunkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015
Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární
VíceMENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ MATEMATIKA K PŘIJÍMACÍM ZKOUŠKÁM NA PEF
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ MATEMATIKA K PŘIJÍMACÍM ZKOUŠKÁM NA PEF RNDr. Petr Rádl RNDr. Bohumil Černá RNDr. Ludmil Strá 0 Petr Rádl, 0 ISBN 97-0-77-9- OBSAH Předmluv... Poždvky k přijímcí zkoušce z mtemtiky..
VícePoznámka. Je-li f zobrazení, ve kterém potřebujeme zdůraznit proměnnou, píšeme f(x) (resp. f(y), resp. f(t)) je zobrazení místo f je zobrazení.
2. ZOBRAZENÍ A FUNKCE 2.1 Zobrazení 2. 1. 1 Definice: Nechť A a B jsou množiny. Řekneme že f je zobrazení množiny A do množiny B jestliže (i) f A B (ii) ke každému z množiny A eistuje právě jedno y z množiny
Více8. cvičení z Matematiky 2
8. cvičení z Mtemtiky 2 11.-1. dubn 2016 8.1 Njděte tři pozitivní čísl jejichž součin je mximální, jejichž součet je roven 100. Zdání příkldu lze interpretovt tké tk, že hledáme mximální objem kvádru,
VíceMatematická analýza I (pro učitelské obory) Stanislav Trávníček Pavel Calábek Jaroslav Švrček
Mtemtická nlýz I (pro učitelské obory) Stnislv Trávníček Pvel Clábek Jroslv Švrček Mtemtická nlýz I (pro učitelské obory) Stnislv Trávníček Pvel Clábek Jroslv Švrček Obsh Úvod.........................................
VíceTechnická univerzita v Liberci. Pedagogická fakulta. Katedra matematiky a didaktiky matematiky. Matematika I. (Obor: Informatika a logistika)
Technická univerzit v Liberci Pedgogická fkult Ktedr mtemtiky didktiky mtemtiky Mtemtik I (Obor: Informtik logistik) Václv Finěk Kpitol Zákldní pojmy Cílem této kpitoly je vysvětlit význm zákldních pojmů
VíceObsah rovinného obrazce
Osh rovinného orzce Nejjednodušší plikcí určitého integrálu je výpočet oshu rovinného orzce. Zčneme větou. Vět : Je-li funkce f spojitá nezáporná n n orázku níže roven f ( ) d. ;, je osh rovinného orzce
VíceText může být postupně upravován a doplňován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na stažení souboru. Veronika Sobotíková
Tento text není samostatným studijním materiálem. Jde jen o prezentaci promítanou na přednáškách, kde k ní přidávám slovní komentář. Některé důležité části látky píšu pouze na tabuli a nejsou zde obsaženy.
Více17 Křivky v rovině a prostoru
17 Křivky v rovině prostoru Definice 17.1 (rovinné křivky souvisejících pojmů). 1. Nechť F (t) [ϕ(t), ψ(t)] je 2-funkce spojitá n, b. Rovinnou křivkou nzveme množinu : {F (t) : t, b } R 2. 2-funkce F [ϕ,
VíceDefinice derivace v bodě
Definice derivace v bodě tgϕ = f ( ) f () f () : = tgϕ = lim f f () tgϕ = f f () Obecně: f f f ( ) ( ) : = lim f ( + h) f f : = lim h h Derivace zleva (zprava): f ( ) : = lim f f ( ) f ( ) : = lim + +
VíceDefinice. Nechť k 0 celé, a < b R. Definujeme. x < 1. ϕ(x) 0 v R. Lemma [Slabá formulace diferenciální rovnice.] x 2 1
9. Vriční počet. Definice. Nechť k 0 celé, < b R. Definujeme C k ([, b]) = { ỹ [,b] : ỹ C k (R) } ; C 0 ([, b]) = { y C ([, b]) : y() = y(b) = 0 }. Důležitá konstrukce. Shlzovcí funkce (molifiér, bump
Více5. Limita funkce a spojitost strana 1/5 2018/KMA/MA1/přednášky. Definice 5.1. Mějme funkci f : D R a bod x 0 R.
5. Limita funkce a spojitost strana 1/5 2018/KMA/MA1/přednášky Definice 5.1. Mějme funkci f : D R a bod 0 R. a) Číslo c R je částečná ita funkce f v bodě 0, pokud eistuje posloupnost ( n ) taková, že platí
Více1. Těleso komplexních čísel Definice. Množinou komplexních čísel rozumíme množinu R 2.
1. Těleso komplexních čísel Definice. Množinou komplexních čísel rozumíme množinu R 2. Množinu komplexních čísel znčíme C. N množině C definujeme operce sčítání + jko v R 2 násobení. předpisem (x, y).(u,
VíceText m ºe být postupn upravován a dopl ován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na staºení souboru. Veronika Sobotíková
Tento text není smosttným studijním mteriálem. Jde jen o prezentci promítnou n p edná²kách, kde k ní p idávám slovní komentá. N které d leºité ásti látky pí²u pouze n tbuli nejsou zde obsºeny. Text m ºe
VícePosloupnosti a řady. 28. listopadu 2015
Posloupnosti a řady Přednáška 5 28. listopadu 205 Obsah Posloupnosti 2 Věty o limitách 3 Řady 4 Kritéria konvergence 5 Absolutní a relativní konvergence 6 Operace s řadami 7 Mocninné a Taylorovy řady Zdroj
VíceNeřešené příklady z analýzy funkcí více proměnných
České vysoké učení technické v Prze Fkult elektrotechnická Neřešené příkldy z nlýzy funkcí více proměnných Miroslv Korbelář Pol Vivi Prh 16 Tento dokument byl vytvořen s podporou grntu RPAPS č. 1311/15/15163C5.
VíceMatematika 1A. PetrSalačaJiříHozman Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Technická univerzita v Liberci
Mtemtik 1A. PetrSlčJiříHozmn Fkult přírodovědně-humnitní pedgogická Technická univerzit v Liberci petr.slc@tul.cz jiri.hozmn@tul.cz 21.11.2016 Fkult přírodovědně-humnitní pedgogická TUL ZS 2016-2017 1/
Vícef(c) = 0. cn pro f(c n ) > 0 b n pro f(c n ) < 0
KAPITOLA 5: Spojitost a derivace na intervalu [MA-8:P5] 5 Funkce spojité na intervalu Věta 5 o nulách spojité funkce: Je-li f spojitá na uzavřeném intervalu a, b a fa fb < 0, pak eistuje c a, b tak, že
VíceElementární funkce. Polynomy
Elementární funkce 1 Elementární funkce Elementární funkce jsou níže uvedené funkce a jejich složenin : 1. Polnom.. Racionální funkce. 3. Mocninné funkce. 4. Eponenciální funkce. 5. Logaritmické funkce.
VíceFI: JARO 2017 Verze: 9. února 2017
FI: JARO 7 Verze: 9. únor 7 Přednášky k předmětu MB Autor: Romn Šimon Hilscher Přednášející: Petr Hsil Obsh Přehled přednášek podle strny ukončení iii. Polynomy interpolce.. Interpolce.. Lgrngeův interpolční
Více56. ročník Matematické olympiády. b 1,2 = 27 ± c 2 25
56. ročník Mtemtické olympiády Úlohy domácí části I. kol ktegorie 1. Njděte všechny dvojice (, ) celých čísel, jež vyhovují rovnici + 7 + 6 + 5 + 4 + = 0. Řešení. Rovnici řešíme jko kvdrtickou s neznámou
VíceLimita a spojitost LDF MENDELU
Limita a spojitost Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu
VícePožadavky k ústní části zkoušky Matematická analýza 1 ZS 2014/15
Požadavky k ústní části zkoušky Matematická analýza 1 ZS 2014/15 Klíčové pojmy Neznalost některého z klíčových pojmů bude mít za následek ukončení zkoušky se známkou neprospěl(a). supremum infimum limita
VíceBakalářská matematika I
1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,
VíceZÁKLADY. y 1 + y 2 dx a. kde y je hledanou funkcí proměnné x.
VARIAČNÍ POČET ZÁKLADY V prxi se čsto hledjí křivky nebo plochy, které minimlizují nebo mximlizují jisté hodnoty. Npř. se hledá nejkrtší spojnice dvou bodů n dné ploše, nebo tvr zvěšeného ln (má minimální
Více