8 DALŠÍ SPOJITÁ ROZDLENÍ PRAVDPODOBNOSTI a ke tudiu kapitoly: 30 iut Cíl: Po protudováí tohoto odtavce budete ut: charakterizovat další typy pojitých rozdleí:, Studetovo, Ficher- Sedocorovo - -
Výklad: Kapitolu o pojitých rozdleích vujee te dležitý rozdleí acházející uplatí zejéa pi odhadech a tetováí tatitických hypotéz. 8. rozdleí Mje ezávilé áhodé veliiy Z ; Z ;... ; Z, z ichž každá á orovaé orálí rozdleí. Pak ouet tverc tchto áhodých velii á rozdleí (chí-kvadrát) tupi voloti (degree of freedo, DF). Z i To, že á áhodá veliia rozdleí ozaujee: Poet tup voloti tedy ozauje poet ítaých ezávilých áhodých velii a je jediý paraetre tohoto rozdleí. Zárove je defiice rozdleí zejé, že áhodá veliia títo rozdleí že abývat pouze kladých hodot. Hutotu pravdpodoboti v obecé tvaru (pro tup voloti) ebudee pro zaou koplikovaot vztahu uvádt. Stedí hodota: E( ) Rozptyl: D( ) 00p%-í kvatily: Pro která výzaá p (0,0; 0,05; 0,0;...) a pro která jou kvatily rozdleí tabelováy (viz. píloha Tabulka 3). Bž lze také kvatily tohoto rozdleí taovit poocí tatitického oftware. Grafické zázorí hutoty pravdpodoboti pro rzé tup voloti - 3 -
8.. Vlatoti rozdleí. Pro ezávilé áhodé veliiy rozdleí e dá dokázat, že jejich ouet á opt rozdleí a poet tup voloti je rove outu tup voloti jedotlivých velii v outu.. Pokud áhodé veliiy,,..., ají orálí rozdleí N(, ) a jou avzáje ezávilé, pak výbrový rozptyl vyáobeý (-) a vydleý á rozdleí. (Plye to bezproted z toho, že teto výraz e dá pevét a ouet tverc (-) áhodých velii rozdleí N(0,)) Dkaz: ( i ) ( i x) ( ) x i x, Poocí dalších úprav (zdlouhavé), které vedou a ahrazeí prru tedí hodotou, bycho zjitili, že: ( ) i Z i (Nahrazeí prru tedí hodotou vede a ztrátu jedoho tup voloti.) Tuto kuteot žee tru zapat takto: 8.. Použití rozdleí ( ). Vlatoti, že: ( ) (výbrový rozptyl vyáobeý (-) a vydleý á rozdleí ) e využívá pi tetováí toho, zda rozptyl základího ouboru orálí rozdleí je rove. (viz. Tetováí hypotéz). rozdleí e používá pro oveí ezáviloti kategoriálích proých (tet ezáviloti v kobiaí tabulce) 3. Pokud tetujee, zda áhodé veliiy (aeá data) pocházejí z uritého rozdleí, žee také úpche použít chí-kvadrát rozdleí. Teto tet je zá pod ázve "tet dobré hody". - 4 -
ešeý píklad: Odvote ditribuí fukci a hutotu pravdpodoboti áhodé veliiy, která á rozdleí jedí tup voloti. ešeí: Z Z N ( 0; ) Náhodá veliia je fukcí áhodé veliiy Z a proto budee pi hledáí její ditribuí fukce dále potupovat již záý zpobe (pouze vezee v úvahu, že áhodá veliia rozdleí abývá pouze kladých hodot): pro x > 0 : F ( x) P( < x) P( Z < x) P( x < Z < x ) Φ( x ) Φ( x ) Φ( x ) [ Φ( x )] Φ pro x 0 : F ( x) 0 x t x t ( x ) e dt e dt π 0 π Hutotu pravdpodoboti pak uríe jedoduše jako derivaci ditribuí fukce: 0 f ( x) df dx x ϕ ( ) ( x ) ϕ( x ) x 0 x x e πx x > 0 x 0 Výklad: 8. Studetovo t rozdleí Uvažuje dv ezávilé áhodé veliiy Z a. Náhodá veliia Z á orovaé orálí rozdleí, áhodá veliia á rozdleí tupi voloti. Poto áhodá veliia t; - 5 -
T Z á Studetovo t rozdleí tupi voloti. Poet tup voloti je jediý paraetr tohoto rozdleí. Pro (vyoký poet tup voloti, v praxi pro >30) e Studetovo t rozdleí blíží orovaéu orálíu rozdleí. Hutotu pravdpodoboti ebudee ai v toto pípad pro její ložitot uvádt. Stedí hodota: E ( ) 0 T Rozptyl: ( T ) D 00p%-í kvatily - t p : Pro vybraá p a pro vybraé tup voloti jou 00p%-í kvatily tabelováy (viz. píloha Tabulka ). Vtšiou je tato tabelace provedea pouze pro p<0,5. Kvatily t p pro p>0,5 zíkáe poocí vztahu: t t p p Bž e pi urováí kvatil využívá rovž tatitický oftware. Grafické zázorí hutoty pravdpodoboti pro rzé tup voloti 8.. Vlatoti Studetova t rozdleí Náhodá veliia defiováa jako: - 6 -
á Studetovo t rozdleí (-) tupi voloti. t Odvozeí bude provedeo v áledující Prvodci tudie. 8.. Použití Studetova t rozdleí Studetovo t rozdleí á široké uplatí. Uvedee alepo které ožoti použití.. Užívá e k tetováí hypotéz o tedí hodot áhodého výbru, pokud je rozptyl ezáý. Mlo by platit, že teto áhodý výbr pochází z orálího rozdleí, ale teto pedpoklad je vtšiou alepo pibliž pl, jak dále pozáe.. Užívá e k tetováí hypotéz o hod tedích hodot dvou áhodých výbr, e tejýi pedpoklady jako v pedcházející pípad. - avíc uí být tyto výbry ezávilé. 3. Rozdleí je vhodý protedke pro aalýzu výledk regreí aalýzy. Prvodce tudie: Pvod ázvu Studetovo á zajíavou hitorii. Irký tatitik W. S. Goet poprvé publikoval toto rozdleí aoy pod peudoye "Studet", protože jeho zatavatel, pivovar Guie v Dubliu, zakázal vý zatac publikovat pod vý vlatí jée z obavy, že kokurece by odhalila tajetví jejich exceletího piva. Ve vé pvodí láku, Goet použil ozaeí "t" pro voji tatitiku. Odtud Studetovo t rozdleí pravdpodoboti. Na práci Goeta avázalo ožtví dalších tatitik; jeuje alepo R. A. Fihera, jehož jéo žee ajít té ve všech rech dalšího vývoje tatitiky. Náledující odvozeí je opt ureo zájec o ateatické pozadí používaých vztah. t Odvozeí vlatotí, že: Pokud áhodé veliiy,,..., ají orálí rozdleí N(, ) a jou avzáje ezávilé, pak lze ado ukázat (viz. Cetrálí liití vta), že N(, ) a dále po tadardizaci (traforaci orálí a orovaou orálí áhodou veliiu) platí: - 7 -
- 8 - (0,) N Dále víe, že: ) ( Protože Studetova áhodá veliia je defiováa jako: Z T Proto: Z T Jako áhodé veliiy Z a tedy je: ) ( ; Z Pak: ) ( t Po úprav: ) ( t
Výklad: 8.3 Fiherovo-Sedecorovo rozdleí - F rozdleí Poledí pojitý rozdleí, který e budee zabývat, je F rozdleí. Mje dv ezávilé áhodé veliiy a. Ob ají rozdleí chí-kvadrát. Prví z ich á poet tup voloti, druhá á poet tup voloti (obec ají rzý poet tup voloti). Pak áhodá veliia F,,; F, á Fiherovo-Sedecorovo rozdleí o a tupích voloti. Toto rozdleí á tedy dva paraetry- a. Ai v toto pípad ebudee uvádt vztah pro hutotu pravdpodoboti (za ložitý). Stedí hodota: E( F ) Rozptyl: D 00p%-í kvatily - F p :, + ) ( ) ( 4) ( F, Pro praktické aplikace jou pro vybraé pravdpodoboti (p>0,5) a vybraé tup voloti a tabelováy kvatily F p (viz. píloha Tabulka 4). Pro p>0,5 e kvatily F p urí ze vztahu: Fp F, p ( ) Grafické zobrazeí hutoty pravdpodoboti pro rzé hodoty a - 9 -
8.3. Vlatoti Ficherova-Sedecorova rozdleí Je zejé použití tohoto rozdleí jako rozdleí výbrových rozptyl dvou ezávilých áhodých vektor, e tejou rodatou odchylkou. Nech áe dva áhodé vektory: ; j j N(, ); N(, ); j, j, S ; S jou áhodé veliiy defiovaé jako: S j ( ) ( ) i i j j j ; S Pak: S S F, 8.3. Použití Ficherova-Sedecorova rozdleí Toto rozdleí á opt široké uplatí, pedevší pi hodoceí výledk tatitických aalýz. Používá e pedevší:. k tetu o hodoti rozptyl dvou áhodých výbr. k tet o hod tedích hodot pro více áhodých výbr, v aalýze rozptylu. 3. k tet v regreí aalýze. Shrutí: Spojitá rozdleí, kterýi je e v této kapitole ezáili acházejí uplatí zejéa pi odhadech a tetováí tatitických hypotéz. Jejich 00p%-í kvatily jou pro vybraé p a vybraé paraetry tabelováy Název rozdleí Defiice NV daý rozdleí Z i Paraetry Vlatoti ( ) - 0 -
Studetovo Ficherovo-Sedecorovo T F Z t S, F, S, Otázky. Defiujte áhodé veliiy:, Studetovu a Ficher-Sedecorovu (prokažte orietaci v tabulkách kvatil tchto rozdleí) - -