Krystalová říž, krystalové roviny, Millerovy indexy. Krystalografické soustavy. Bodová syetrie. Title page Bodové grupy - krystalografická oddělení. Translační syetrie, Bravaisovy řížky. Prostorové grupy.
Krystalová říž, struktura Mřížový bod: á stejné a stejně orientované okolí Mříž: nožina řížových bodů Mřížové body neusí být totožné s polohou atou. Struktura krystalu: prostorové uspořádání atoů, olekul Mříž vystihuje translační periodicitu tohoto uspořádání. říž + základní otiv (báze) struktura
Priitivní a centrované buňky Obsahuje-li rovnob žnost n vyezený základníi translacei pouze jediný ížový bod, je tento rovnob žnost n nazýván priitivní bu ka. Obsahuje-li rovnob žnost n vyezený základníi translacei více ížových rovnob žnost n nazýván centrovaná bu ka. bod, je tento Všechny priitivní bu ky ají stejný obje a tento obje je iniální, jaký že bu ka íže ít. Centrované bu ky ají obje rovný celistvéu násobku objeu priitivní bu ky (podle po tu ížových bod p ipadajících na centrovanou bu ku). Zavedení centrovaných bun k je dáno požadavke, aby syetrie základní bu ky byla stejná jako syetrie celé íže. Výb r bu ky:. Maxiální syetrie syetrie ížky.. Miniální obje jeden ížový bod v p ípad priitivní bu ky. 3. Úhly ezi stranai blízké 9 3
Krystalové sěry a roviny řížový vektor : t ua + vb + wc u,v,w celá čísla polohový vektor : r xa + yb + zc x,y,z frakční souřadnice [uvw] : krystalografický sěr (hkl) nožina rovnoběžných ekvidistantních rovin; h,k,l nesoudělná celá čísla () - - () -a -b b a [] - () -a - () -b b r a 4
Ortogonální a hexagonální řížka [uvw] : krystalografický sěr <uvw> : soubor ekvivalentních krystalografických sěrů (hkl) : nožina rovnoběžných ekvidistantních rovin {hkl} : soubor syetricky ekvivalentních rovin např. pro tetragonální říž: {}()()(-)(-) Speciálně pro hexagonální soustavu: (hkil) kde i-(h+k) {-}(-)(-)(-) (--)(--)(--) cyklická záěna hki d(hkl)d(-h-k-l) {}()(-)(-)(--)(-)(-) a (b) a (b) a +a a +a a +a a (a) -a a (a) a -a a 3 -a a -a 5
Mřížkové paraetry, ezirovinná vzdálenost d(hkl) řížkové vektory : a, b, c řížkové paraetry : a, b, c (Å), α, β, γ ( ) obje buňky : V a. [b c] V abc (+ cosα cosβ cosγ - cos α - cos β - cos γ) / r V a c abc cosγ r r [ b ] cos β cosγ cosα cos β cosα / a a* γ b* reciproká říž : d() V / b c (průět a do sěru kolého na rovinu bc) a* /d(), b* /d(), c* /d(), a* b c / V (průět /a do sěru kolého na rovinu bc) /d(hkl) ha*+kb*+lc* a* bc sinα / V ; cosα* (cosβ cosγ - cosα) / (sinβ sinγ) a*.a, a*.b, a*.c b 6 d()
d(hkl), Q(hkl) a a* γ b* b d() r V a c abc cosγ r r [ b ] cos β cosγ cosα cos β cosα / Q(hkl)/d (hkl) (ha*+kb*+lc*) (ha*) +(kb*) +(lc*) +klb*c*+hla*c*+hka*b* Ah + Bk + Cl + Dkl + Ehl + Fhk A(a*), B (b*), C (c*), Db*c*cosα*, Ec*a*cosβ*, Fa*b*cosγ* pro onoklinní soustavu (αβ9 ) : V abc sinγ A /(a sin γ), B /(b sin γ), C /c, D E, F -cosγ/(ab sinγ) 7
8 Mezirovinná vzdálenost d(hkl) ( ) c l b k a h c l c l b k a h b k c l b k a h a h l k h hkl d / cos cos / cos / cos / cos cos / cos cos / cos / cos / cos cos / cos cos cos cos cos cos ) ( α β γ γ β α γ β α α β γ α β α γ β γ + + + + c b a
Krystalografické soustavy triklinická a b c α β γ 9 onoklinická a b c α β 9 γ 9 ortorobická a b c α β γ 9 9
Krystalografické soustavy tetragonální a b c α β γ 9 kubická a b c α β γ 9 hexagonální + trigonální a b c α β 9 γ
Krystalografické soustavy trigonální (roboedrická) a b c α β γ 9 h r hexagonální a a b b b c c a + b + c a sin( α / ) c 9 sin h a ( α ) h a r r h r r r h r r r /
Mřížkové paraetry a ezirovinná vzdálenost d(hkl) Q(hkl)/d (hkl) Ah + Bk + Cl + Dkl + Ehl + Fhk A B C D E F V h k l kl hl hk (a*) (b*) (c*) cosα* b*c* cosβ* c*a* cosγ* a*b* b c sin α triclinic V a c sin β V a b sin γ V a bc(cos β cosγ cosα) V ab c(cosα cosγ cos β ) V abc (cosα cos β cosγ ) V cubic /a A A a 3 tetragonal /a A /c a c orthorhobic /a /b /c abc hexagonal 4/3a A /c A a c (3/4) onoclinic /a sin γ /b sin γ /c -cosγ/ab.sin γ abc sinγ V abc (+ cosα cosβ cosγ - cos α - cos β - cos γ) / triklinická a b c, α β γ 9 A B C D E F onoklinická a b c, α β 9, γ 9 A B C F, D E ortorobická a b c, α β γ 9 A B C, D E F tetragonální a b c, α β γ 9 A B C, D E F kubická a b c, α β γ 9 A B C, D E F hexagonální a b c, α β 9, γ A B F C, D E
Bodová syetrie operace prvek IS Schönfließ rotace osa,,3,4,6 C,C,C 3,C 4,C 6 inverze st ed i zrcadlení rovina () s rota ní inverze osa 3,4,6 S 3,S 4,S 6 Základní operace: E(),, 3, 4, 6, i(), (), 4 3 4 3 3 4 6 6 3 3
Osové kobinace Osové kobinace jsou vždy složeny ze tří protínajících se os, neboť třetí osa vzniká autoaticky při kobinaci dvou os. Eulerova konstrukce: cos( A, B) cos( γ / ) + cos( α / )cos( β / ) sin( α / )sin( β / ) A α8 úhel(b,c)~(3,4)54.74 B3 β úhel(a,c)~(,4)45 C4 γ9 úhel(a,b)~(,3)35.6 4
Reprezentační atice bodové operace syetrie transforace: u u u 3 a a a 3 a a a 3 a a a 3 3 33 u u u 3 usí být : lineární, izoetrická podínka izoetričnosti: a ij usí být ortogonální 3 k aika kj δ ij [ ( )] Det ( a ) ( ) T ij a ij a ij Det Det ( ) a ij ( ) a ij rotace inverze, reflexe nebo součin inverze a rotace 5
6 Reprezentační atice bodové operace syetrie C C i identita inverze reflexe ( ) P ( ) P ( ) P
7 Reprezentační atice bodové operace syetrie cos sin sin cos ϕ ϕ ϕ ϕ C ϕ C rotace 3 3 C 3 3 C 3 C 3 3 C 3 C 4 3 3 C 6
Určení typu atice bodové operace syetrie A. Det(A), tj. rotační osa (- : inverzní osa). Četnost osy: Stopa atice χ a + a + a 33 + cosϕ χ(a), cosϕ -/, ϕ, tj. trojčetná rotační osa 3 χ Det -3 - - 3 - - 3 4 6-6 4 3 - - 3. Sěr osy: (je-li det(a)-, tak atici M počítat z A) v a a a3 v a a a3 v a a a3 v M (A) M a a a3 ; Det( M ) v3 a3 a3 a3 v3 a3 a3 a3 pro k,,3 c i (-) i+k M ik M ik inor atice M (deterinant atice M(A) bez i.řádku a k.sloupce) c : c : c3 M 3 : M 3 : M 33 : : :: tj. sěr podél úhlopříčky (příklad výpočtu pro i3) 8
Zařazení krystalů do soustav Krystalografické soustavy - Syngonie eleentární buňka axiu syetrie holoedrie x eroedrie Soustava Miniu vnější souěrnosti Triklinická nebo Monoklinická nebo Ortorobická nebo Trigonální 3 nebo 3 Tetragonální 4 nebo 4 Hexagonální 6 nebo 6 Kubická 3 (4x) (podél tělesových úhlopříček) 9
Definice grupy : x y z Množina prvků a,b,c,..., ezi niiž je definována operace násobení ( ), a pro které platí. a b je rovněž prvke grupy ( x y z ). existuje jednotkový prvek e, pro který platí a e e a a ( x x ) 3. ke každéu prvku a existuje inverzní a -, pro který platí a a - e ( x x ) 4. Platí asociativní zákon a (b c) (a b) c řád grupy počet prvků podgrupa; index podgrupy řád grupy / řád podgrupy Prvky krystalografických grup jsou operace syetrie, jejich násobení znaená postupné provedení operací syetrie.
Bodové grupy syetrie Mezinárodní Herann-Mauguinův sybol prvky souěrnosti ve význačných sěrech Soustava Schöfliesův Mezinárodní sybol význačné sěry sybol úplný zkrácený Triklinická C C i Monoklinická C b C s C h / / Ortorobická D a b c C v D h / / /
Bodové grupy syetrie Soustava Schöfliesův Mezinárodní sybol význačné sěry sybol úplný zkrácený Tetragonální C 4 4 4 c a a-b S 4 4 4 C 4h 4/ 4/ D 4 4 4 C 4v 4 4 D d 4 4 D 4h 4/ / / 4/
Bodové grupy syetrie Soustava Schöfliesův Mezinárodní sybol význačné sěry sybol úplný zkrácený Trigonální C 3 3 3 c a C 3i 3 3 D 3 3 3 C 3v 3 3 D 3d 3 / 3 Kubická T 3 3 c a+b+c a+b T h / 3 3 O 43 43 T d 43 43 O h 4/ 3 / 3 3
Bodové grupy syetrie Soustava Schöfliesův Mezinárodní sybol význačné sěry sybol úplný zkrácený Hexagonální C 6 6 6 c a a-b C 3h 6 6 C 6h 6/ 6/ D 6 6 6 C 6v 6 6 D 3h 6 6 D 6h 6/ / / 6/ celke 3 bodových grup (krystalografických oddělení) 4
Bodové grupy syetrie 5
Speciální bodové grupy Centrické grupy () -, /,, 4/, 4/, -3, -3, 6/, 6/, -3, -3 - obsahují střed syetrie Laueho grupy (grupy difrakční syetrie) - liší se pouze přítoností středu syetrie /,, /,, 3-43, 43, -3 Enancioorfní grupy (),, 3, 4, 6,, 3, 4, 6, 3, 43 - neají střed syetrie ani roviny reflexe Holoedrické grupy (7), /,, 4/, -3, (Bravaisovy řížky) 6/, -3 6
Morfologie krystalů Tvar krystalu odpovídá jeho krystalografické bodové grupě. Každá vnější plocha krystalu je rovnoběžná s osnovou řížových rovin. V isotropní prostředí : fora soubor ekvivalentních rovin {hkl} obecná fora : vychází z obecné polohy speciální fora : vychází ze speciální polohy Vnější tvar krystalu je zpravidla průnike několika fore. krystalová t ída -3 speciální fory krystalové t ídy -3 obecná fora krystalové t ídy -3 7
Translační syetrie Operace prvek sybol translace translace příka ua+vb+wc kluzný pohyb kluzná a,b,c, n ½a, ½b, ½c, ½(a+b), rovina d ¼(a±b) (pouze I a F grupy) šroubový pohyb šroubová, 3,3 / t, /3 t osa 4,4,4 3 /4 t 6,6,6 3,6 4,6 5 /6 t a,b 4 6 c 3 4 6 n 3 4 3 6 3 d 8
Šroubové osy /3 /3 (x/3) /3 (x ) Provedení operací syetrie šroubové osy 3 odpovídá posunu o 4/3 (p i ež z transla ní syetrie plyne, že posun o 4/3/3.) a oto ení o 4 ( ). Šroubovou osu 3 lze proto považovat za levoto ivou ve srovnání s pravoto ivou osou 3. pravotočivé osy: 3, 4, 6, 6 levotočivé osy: 3, 4 3, 6 5, 6 4 9
Bravaisovy řížky triklinická a b c α β γ 9 onoklinická a b c α β 9, γ 9 ortorobická a b c α β γ 9 tetragonální a b c α β γ 9 kubická a b c α β γ 9 hexagonální a b c α β 9, γ hexagonální R roboedrická a b c α β γ 9 3
Bravaisovy řížky triklinická - P P C roboedrická R (P) onoklinická 3
Bravaisovy řížky hexagonální - P P tetragonální I 3
Bravaisovy řížky P I C F ortorobická 33
Bravaisovy řížky P I F kubická 34
Prostorové grupy syetrie Množiny všech operací syetrie krystalové soustavy - bodové prvky syetrie + translace (Bravaisovy říže) + (šroubové osy + kluzné roviny) každá bodová grupa několik prostorových grup (izogonálních) Př. Bodová Schöfliesův Mezinárodní sybol grupa sybol úplný zkrácený C, C P P C P P C 3 C C celke 3 prostorových grup http://www.cryst.ehu.es http://cci.lbl.gov/sginfo 35
Prostorové grupy syboly Prostorové grupy v krystalografických třídách, Herannovy Mauguinovy syboly: Soustava Kryst.s ry Bodové grupy Centrace buňky buňka triklinická P [-], - X P triklinická onoklinická X b (Xb),, / X P,C,[A,B,I] onoklinická [X c (Xc), X a (Xa)] ortorobická X a b c,, X P,C,I,F,[A,B] ortorobická tetragonální X c a a-b [a+b] 4, -4, 4/, 4, 4, -4, 4/ X P,I tetragonální kubická X a a+b+c a+b 3, -3, 43, -43, -3 X P,I,F kubická hexagonální P c a a-b [a+b] 6, -6, 6/, 6, 6, -6, 6/ X P hexagonální trigonální P c a 3, -3, 3, 3, -3 X P hexagonální R c a H 3, -3, 3, 3, -3 X R hexagonální R a+b+c a-b R 3, -3, 3, 3, -3 X R roboedrická,a,b,c,n,d;, ; 33,3,3 ; 44,4,4,4 3 ; 66,6,6,6 3,6 4,6 5 a (b) a +a a +a a (b) a +a -a a (a) a (a) -(a +a ) -a a -a a -a 36
Hexagonální a trigonální soustava trigonální a (b) hexagonální a (b) a (a) a (a) a 3 a 3 /3, /3, /3 soustava, centrace Prost. grupa buňka hexagonální P P6.. hexagonální P trigonální P P3. hexagonální P trigonální R R3. hexagonální R roboedrická P /3, /3, /3 /3, /3, /3 37 /3, /3, /3
38 Seitzovy atice Maticová reprezentace operací syetrie obsahujících translaci: 3 33 3 3 3 3 t t t t M S r 3 3 3 3 33 3 3 3 3 3 t x x x x x x x t t t x x x + + + t Mx x r r + M atice rotace (inverze, zrcadla) t vektor translace + 3 3 33 3 3 3 3 3 t t t x x x x x x Seitzova atice:
Hallovy syboly prostorových grup S.R. Hall: Space-Group Notation with an Explicit Origin ; Acta Cryst. A37, 57-55 (98). Hallovy syboly jsou založeny na iniální počtu operací syetrie (generátorů) ve forě Seitzových atic. Obsahují explicitní určení počátku. Jsou výhodné pro autoatické generování operací syetrie prostorových grup. Srovnání Herannových Mauguinových a Hallových sybolů: Číslo H.-M. Hall. 5 F -3 -F 4 3 (Znaénko ínus na začátku Hallova sybolu znaená přítonost četnost grupy: četnosti generátorů četnosti generátorů středu inverze) 9 4 6 4 4 3 (z H.-M. sybolu nevyplývají všechny potřebné generátory) 96! 9 9 P P ac ab (Z H.-M. sybolu nevyplyne, že je počátek posunut do bodu ¼,¼,¼. V Hallově sybolu je posun počátku explicitně uveden). Generátory prostorové grupy: Mřížková translace Centrace buňky (není-li P) Vybrané operace syetrie (v počtu -3) Inverze (pro centrosy. grupy) 39
Generátory prostorové grupy Herannův Mauguinovův sybol: Hallův sybol: P4 P 4 ~ 4 x Obecná poloha: xyz xyz yxz yxz xyz xyz yxz yxz 4 : xyz xyz yxz yxz x : xyz xyz yxz yxz : yxz yxz xyz xyz : yxz yxz xyz xyz 4 y, x, z x, y, z x, y, z x x, y, z shodné s již vytvořenýi polohai Generátory prostorové grupy: Mřížková translace Centrace buňky (není-li P) Vybrané operace syetrie (v počtu -3) Inverze (pro centrosy. grupy) x, y, z y, x, z xy 4
Ekvivalentní polohy P-4 četnost Wyckoff syetrie souřadnice 8 l 4 k 4 j 4 i 4 h g f e d 4 c 4 b 4 a 4 xyz, xyz, xyz, xyz, yxz, yxz, yxz, x xz, xz, xz, xz xx xx, xx, xx, xx z, z z, z z, z z,, x xx z,, xz, xx, xx xz a j j j j yxz 4
4 Transforace řížkových vektorů c b a c b a Hex Rho Det M v r r r r r : 3 Transforační atice M M : řížkové paraetry a, indexy hkl a M a, a M - a (M T ) - : polohy atoů x, reciproké řížkové paraetry a*, sěr v řížce uvw x (M T ) - x, x (M T ) x M T : transponovaná M - : inverzní 4 F P Det M 4 / P F DetM I P DetM / P I DetM
Podgrupy podnožiny všech operací syetrie dané grupy, které say splňují definici grupy I (t) - translationengleiche zachovány pouze translace II (k) - klassengleiche zůstává zachována bodová I4/c (-I 4 c ) P4/c P4/cc P4 /c atd... C/ k P/ grupa, zěna translační grupy IIa zěna centrace, zachování paraetrů IIb znásobení eleentární buňky IIc i (izoorfní) jako IIb, stejný sybol t C i 3 (b 3b) C/ Index inverzní hodnota podílu operací podgrupy ke vše operací grupy je-li prvočíslo axiální podgrupa 43
Podgrupy α-as rodokeny grup R3 P3 k a a a 3 t α-po 4 t R3 GeTe ½ (a + a 3 ) ½ (a + a 3 ) ½ (a + a ) t F3 t 4 R3 NaCl -¼ -¼ -¼ a -a 3 -a +a a +a +a 3 R3 k c P3 CaTiO 3 t4 k a a a 3 R3c LaAlO 3, α-al O 3 F3 t 4 ½ (a -a 3 ) ½ (-a +a ) a +a +a 3 t a +a t t 3 R3c C/c R3 LiNbO 3 44
Podgrupy F3 (fccccp) I3 (bcc) P6 3 /c (hcp) 45
Podgrupy 46