Stavební mechanika (K13SM0) ednáší: doc. Ing. Matj Lepš, Ph.D. Katedra mechaniky K13 místnost D034 e-mail: matej.leps@fsv.cvut.cz konzultaní hodiny Pá 10:00-11:30 Matj Lepš 016
3.1 Prh vnitních sil po délce prutu Pro zaátek uvažujme pímý prut, spojit zatížený v rovin. Polohu prezu a, v nmž urujeme vnitní síly, ozname jako s. x M(s) N(s) x s a s V(s) z z N(s) V(s) M(s) s s s Pokud zmníme délku s, zmní se i vypotené vnitní síly. Vnitní síly mžeme vyjádit jako funkce polohy prezu s. Prh vnitních sil po délce prutu.
.: A x A z z f = 5 kn/m a s l = 3 m B x Reakce: A x = 0 kn A z = B = -fl/ = -7.5 kn f. s M Vnitní síly v prezu a (výpoet zleva): A x A z s N N( s) A 0 x V( s) A f s7.5 5s z s M( s) Az s f s 7.5s.5s V
Vnitní síly v prezu a (výpoet zprava): N V f. (l-s) M l-s B Ns ( ) 0 V( s) B f ( ls) 7.5 5 (3 s) 7.5 5s M( s) B( ls) f ( ls) ( ls) 7.5 (3 s) 5 (3 s) 7.5s.5s
Vnitní síly vykreslíme po délce prutu (jako graf: vodorovná osa s, svislá osa vnit síla) Ns ( ) 0 V( s) 7.5 5s f = 5 kn/m M( s) 7.5s.5s s Hodnoty vnit. sil ve vybraných prezech: N (kn) 7.5 0 V (0) 7.5 50 7.5 V (3) 7.5 53 7.5 M (1.5) 7.51.5.51.5 5.65 knm kn kn V (kn) M (knm) + + 5.65 - -7.5
Zásady (konvence) pro vykreslování vnitních sil Normálová síla N: + x N < 0 N > 0 z - x z Posouvající síla V: + x V < 0 x V > 0 - z z Ohybový moment M: M > 0 + z x - M < 0 z x M zásadn na stranu tažených vláken
Poznámka. 1: Momenty M(x) vynášíme zásadn na stranu tažených vláken. Pokud M > 0 pak na stranu zvolených spodních vláken Pokud M < 0 pak na stranu zvolených horních vláken Matj Lepš 016
F F a b L / L / c L / 4 d F/4 L 7F/4 FL 4 - HORNÍ FL 8 + DOLNÍ Matj Lepš 016
Vztah ohybových moment a železobetonové výztuže [Krátký et al.: Betonové konstrukce. Zásady projektování, 1983]
Vztah ohybových moment a železobetonové výztuže [Krátký et al.: Betonové konstrukce. Zásady projektování, 1983]
Vztah ohybových moment a železobetonové výztuže [Krátký et al.: Betonové konstrukce. Zásady projektování, 1983]
Vztah ohybových moment a železobetonové pedpínané výztuže [Hrdoušek a Kuka.: Betonové mosty 0 - cviení, 00]
Vztah volby spodních vláken a znaménka ohybových moment F L M (knm) FL
Vztah volby spodních vláken a znaménka ohybových moment F F F F L + +
Extrémy vnitních sil Známe-li funkce N(s), V(s), M(s), pak polohu extrém urují rovnice: N : dn 0 snext... V : dv 0 svext... M : dm 0 smext... s ext s nebo extrémy mohou nastat na okrajích zkoumaného intervalu. s
Hodnoty extrém: N V ext ext M ext Ns ( ) Next V( s ) Vext M( s ) Mext s ext s
íklad: Ns ( ) 0 V( s) 7.5 5s M( s) 7.5s.5s f = 5 kn/m dv dv 5 ešení 0 extrémy na okrajích int. neexistuje V (kn) s 7.5 + - -7.5 dm 7.55s ešení dm 0... s 1. Mext 5 m M (knm) s Mext =1.5 m + 5.65 extrémní moment: M ext M ( 1.5) 5. 65 knm
TROCHA MATEMATIKY: p x A x 3 Bx Cx D n = 3 x dp 3A x dx Bx C n = d p dx x 6A x B n = 1 3 d p dx x 3 6A n = 0 4 d p dx x 4 0 016 Matj Lepš
TROCHA MATEMATIKY: 0 dx C C 1 1 dx C1 x C x C x C dx C C x 3 1 1 C x x x ( C 6 3 1 C x C3) dx C1 C C3 x C4 n = 0 n = 1 n = n = 3 016 Matj Lepš
F(x) = x -4 +4 Derivace 1-1 1 1 f(x) = x
F(x) = x -3 +4 Integrace -1 f(x) = x
3. Zobecnní vztah mezi zatížením a vnitními silami prutu (rovinný prut zatížený v rovin) f z f x N V M dm df z z df x M+dM x N+dN V+dV Obecný rovinný prut: spojité zatížení silové ( f x, f z ), momentové () Náhradní emena: df x =f x. df z =f z. dm =.
N V M dm df z z df x M+dM x N+dN V+dV Rovnováha prutového elementu N N dn df x 0 (1) V V dv dfz 0 M V df / M z dm dm 0 () (3)
Úprava podmínek rovnováhy dn f x 0 dv fz 0 0 V df / dm z 0 :
Schwedlerovy vty soustava diferenciálních rovnic pro N, V, M Johann Wilhelm Schwedler (183-1894) Významný nmecký inženýr dn fx dv fz dm V m (4) (5) (6) dm Je-li navíc = 0, pak V (7) extrém ohybového momentu nastává v míst, kde dm 0, tj. V = 0 Taktéž: d M dv f (8) z d s
3.3 Dsledky diferenciálních vztah mezi zatížením a vnitními silami dns () f () x s (4) dns () fx( s) 0 0 Ns ( ) fce. klesající (a) dns () fx( s) 0 0 Ns ( ) fce. rostoucí (b) dns () fx( s) 0 0 extrém nebo inflex. b. fce Ns ( ) (c) f x (s) + - s, x N(s) + (a) s, x - (c) (b)
derivace (4) dns () df () x s x() () fxs df s dns 0 ( ) rostoucí 0 Ns ( ) fce. konkávní dfx() s dns () 0 fx( s) klesající 0 Ns ( ) fce. konvexní (a) (b) (a) (b) f x (s) - + s, x f x (s) + - s, x N(s) + s, x N(s) + s, x - -
dvs () f () z s (5) dvs () fz( s) 0 0 Vs ( ) fce. klesající (a) dvs () fz( s) 0 0 Vs ( ) fce. rostoucí (b) dvs () fz( s) 0 0 extrém nebo inflex. b. fce Vs ( ) (c) f z (s) + z - s, x V (s) + (a) s, x - (c) (b)
dvs derivace (5) () df () z s df s df s z() dvs () fzs 0 ( ) rostoucí 0 Vs ( ) fce. konkávní dvs 0 ( ) klesající 0 Vs ( ) fce. konvexní z() () fzs (a) (b) (a) (b) f z (s) + s, x f z (s) + s, x z - z - V(s) + s, x V(s) + s, x - -
dms () Vs () (pedp. (s) = 0) (7) Vs ( ) 0 dms () 0 Ms ( ) fce. rostoucí (a) Vs ( ) 0 dms () 0 Ms ( ) fce. klesající (b) Vs ( ) 0 dms () 0 extrém nebo inflex. b. fce Ms ( ) (c) V(s) + s, x z M(s) - rostoucí (a) - s, x + (c) (b) klesající
dms () dvs () f () s z (8) f ( s) 0 z f z (s) z - s, x dvs () 0 Vs ( ) rostoucí V(s) + - s, x dms () 0 Ms ( ) fce. konvexní M(s) - s, x +
dms () dvs () f () z s (8) fz ( s) 0 f z (s) z + s, x dvs () 0 Vs ( ) klesající V(s) + s, x - dms () 0 Ms ( ) fce. konkávní M(s) - s, x +
dn f () x s fce. f x 0 konst. lineární polynom n (4) fce. N konst. lineární kvadratická polynom (n+1) o o dv fz() s dm V () s ms () (5) (6) fce. f z 0 konst. lineární polynom n o fce. V konst. lineární kvadratická fce. M lineární kvadratická kubická polynom (n+1) o polynom (n+) o fce. 0 konst. lineární polynom n o fce. M konst. lineární kvadratická polynom (n+1) o
Závry: -f z Integrace V Derivace M
f z = konst. f z c f z = 0 d c f z = 0 d c d dvs () f () z s V = konst. V = lin. V c V = 0 d c d c d dms () Vs () M = konst. M = lin. M = kvadr. M c d c d c d (nebo M = 0)
Poznámka. 1: Praktické využití znalostí diferenciálních vztah 6 kn 15 kn 9 kn m m m +9 1 kn + A=18 +3 A=6-1 A=-4 V (kn) - 0 0 9 1 +18 3 1 + +4 1-1 M (knm)
ešení pr vnitních sil pomocí diferenciálních rovnic s okrajovými podmínkami Rovnice (4), (5) a (6) nebo (8) nezávislé diferenciální rovnice pro N, V, M. Umíme ešit pímou integrací. t 1 n N f C V f C M ( V) C f C sc 3 n 3 C 1, C a C 3 integraní konstanty, které uríme z okrajových podmínek (známých hodnot N, V, M na okrajích zkoumaného prutu). úloha s okrajovými podmínkami M = 0 V = 0, M = 0 016 Matj Lepš
. : Analyzujte prhy vnitních sil. A v s A h Normálová síla: dn f max = 10 kn/m z 5 m x 10 o s 1 s N( s) sc1 C okrajová podmínka (= rovnováha v b): takže 5 N(5) 0 C1 0C1 1,5 s Ns ( ) 1,5 B 1 Reakce: A h = -1.5 kn A v = -7,17 kn B = -14,433 kn Transformace spoj. zatížení f 5 f 5 m0 max fx scos60 1s max fz ssin60 1,73s 0 Nab N(0) 1,5 1,5 kn ( Ah) 016 Matj Lepš
Posouvající síla: dv 1,73s 1,73 sv( s) 1,73sC C... pro výpoet integraní konstanty bychom mohli použít rovnováhu posouvající síly a svislé reakce v jednom z krajních bod. Následující postup je však výhodnjší: Ohybový moment: dm 1,73s 1,73s V C M() s C C 3 1,73s M() s C sc 6 3 3 okrajové podmínky pro moment (momentová rovnováha v a a b) : 3 1,730 M(0) 0 C0C3 0C3 0 6 016 Matj Lepš
okrajové podmínky pro moment (pokraování) : 3 1,735 M(5) 0 C5 0 0 C 7,17 6 3 1,73 s takže M( s) 7,17s 6 a 1,73 s Vs ( ) 7,17 1,730 Vab V(0) 7,17 7,17 kn A 1,735 Vba V(5) 7,17 14,433 kn B v i použití statických okrajových podmínek (pedepsaná síla nebo moment nulová i nenulová) není nutno pedem poítat reakce. Reakce pak žeme použít pro kontrolu výsledk. 016 Matj Lepš
dn extrémní normálová síla: ( fx) 01sextN 0sextN 0m N N(0) 1,5 kn ext dv extrémní posouvající síla: ( fz) 01,73sextV 0sextV 0m V V(0) 7,17 kn ext extrémní moment: dm 1,73 sextm ( V ) 0 7.17 0 s extm,887 m 3 1,73,887 Mext M(,887) 7,17,887 13,889 knm 6 Další extrémy hledáme na okrajích intervalu. 016 Matj Lepš
1,5 N (kn) + V (kn) 7,17 +,887 m - -14,433 M (knm) + 13,889 016 Matj Lepš
Použití: Nap. Diferenciální rovnice ohybové áry (13PRPE, 3. semestr) M( x) F L F x Youngv modul pružnosti (PRPE) FL F Moment setrvanosti (SM0) d w EIw'' EI M( x) dx dw x EI M x dx F L x F dx ( ) 3 x x EIw M( x) dx F L F 6 dw dx, EIw F L w( L) (0) 0, 1 F EI x 3 L F F w(0) 0 x 6 3 L 6 3 3 FL 3EI C 1 C C C 1 1 F x C 0 x M (knm) -FL - L 016 Matj Lepš
Poznámka. : Prh vnitních sil M(x), N(x), V(x) : V prezu s osamlou silou kolmou ke stednici prutu: V hg g F z j s V V hj F z h M V prezu s osamlou silou rovnobžnou se stednicí prutu (s tenou ke stednici prutu): g F x j s N N hj F x N hg h 016 Matj Lepš
Poznámka. : Prh vnitních sil M(x), N(x), V(x) : V prezu s osamlým momentem: g M j x V V hg = V hj h M M V míst lomu konstrukce: g h M j 016 Matj Lepš
Poznámka. 3: i návrhu konstrukcí velice asto o jejich únosnosti rozhoduje extrém ohybového momentu. Prez s extrémem ohybového momentu je svázán s jednou z podmínek: V(s) = 0 V(s) mní znaménko + - ; - + Prez s osamlým momentem 016 Matj Lepš
ad. V(s) = 0 g h x V ad.v(s) mní znaménko M g F z j x V ad. prez s M g M h j h x M M 016 Matj Lepš
Vztah mezi f z (x), V(x) a M(x): V gh F M gh F 1 g M 1 V n = n = 1 n = 1 n = 3 n = n = 1 M n = 016 Matj Lepš
n = 1 n = 3 n = 1 n = 1 n = n = 1 n = 1 M V f z 016 Matj Lepš
Poznámka. 4: Vykreslení momentu pod konstantním spojitým zatížením L gh / L gh / hg M hg M gh hg 1 8 f z L gh hg
gngh h V gh Vhg N hg x EX M gh M EX M hg V x 0 dm x dx 0 M(x) EXTRÉM d M x dx f z x d M x dx 0 M(x) fce konkávní 016 Matj Lepš
gvgh Pozn.: Extrém momentu od konstantního spojitého zatížení f z h V x 0 dm x dx 0 M(x) EXTRÉM x EX V hg V x V gh f z x x EX V f gh z M gh M EX M hg M EX M gh x EX V gh 0,5 016 Matj Lepš
gvgh Pozn.: KONTROLA extrému momentu od konstantního spojitého zatížení f z h x EX x E V hg x V hg E, xe f z x EX L gh M gh M EX M hg M EX M hg x E Vhg 0,5 016 Matj Lepš
íklad: vykreslete prhy M(x), N(x), V(x) na zadaném nosníku: F x = kn f = 11,547 knm F -1 z = 4 kn b a Bx c 1,5 3,0 5,0 Bz d D f x ROZKLAD ZATÍŽENÍ: f x = f. cos 60 o = 11,547. cos 60 o = 5,774 knm -1 f z = f. sin 60 o = 11,547. sin 60 o = 10,000 knm -1 f z VÝPOET REAKCÍ: B x = 6,870 kn B z = 0,375 kn D = 33,65 kn
N [kn] -,0 -,0-8,870-8,870 V [kn] -4,0-4,0 +16,375 +16,375-33,65 016 Matj Lepš
V [kn] -4,0-4,0-33,65 M [knm] -6,0 +16,375 +16,375 +43,15 M EX =+56,53 016 Matj Lepš
Tento dokument je uren výhradn jako doplnk k pednáškám z pedmtu Stavební mechanika pro studenty Stavební fakulty VUT v Praze. Dokument je pržn doplován, opravován a aktualizován a i pes veškerou snahu autora mže obsahovat nepesnosti a chyby. i píprav této pednášky byla použita ada materiál laskav poskytnutých doc. Ing. Janem Zemanem, Ph.D., prof. Ing. Michalem Polákem, CSc. a prof. Ing. Petrem Kabelem, Ph.D., ze Stavební fakulty VUT. Ostatní zdroje jsou ocitovány v míst použití. Prosba. V pípad, že v textu objevíte njakou chybu nebo budete mít námt na jeho vylepšení, ozvte se prosím na matej.leps@fsv.cvut.cz. Datum poslední revize: 5.10.016 Matj Lepš 016