@127 11. Soustava lineárních rovnic - adiční metoda Adiční neboli sčítací metoda spočívá ve dvou vlastnostech řešení soustavy rovnic: vynásobením libovolné rovnice nenulovým číslem se řešení nezmění, součtem dvou rovnic dostaneme rovnici, která má stejné řešení jako společné řešení obou původních Nejlépe si to zase ukážeme na příkladech. Příklad: Řešte soustavu rovnic (1) 3x - 5y = 1 (2) 2x + 3y = 7 Řešení: rozbor Každou rovnici vynásobíme vhodným číslem různým od nuly a pak je sečteme. Cílem je zbavit se (eliminovat) některou neznámou. Vpravo naznačujeme, co se s rovnicemi děje. č. rov. 1. varianta 2. varinta (3) (4) (1) krát 3 (2) krát 5 9x - 15y = 3 10x + 15y = 35 (1) krát 2 (2) krát -3 6x - 10y = 2-6x - 9y = -21 rovnice jsme upravili tak, že nyní jejich sečtením zmizí jedna neznámá (3)+(4) 19x = 38 (3)+(4) - 19y = -19 (5) x = 2 y = 1 získaný výsledek dosadíme do jedné z původních rovnic (5) -> (1) 3.2-5y = 1-5y = -5 y = 1 (5) -> (1) 3x 5.1 = 1 3x = 6 x = 2 kandidát řešení z obou variant musí být, samozřejmě, stejný [2; 1] Zkouška: L 1 = 3.2 5.1 = 1 P 1 = 1 L 1 = P 1 L 2 = 2.2 + 3.1 = 7 P 2 = 7 L 2 = P 2 Úkol: Řešte soustavu rovnic (1) x + 3y = 1 (2) 2x - y = 2 pokračování výsledek
@130 zpět Správně. A) x + y = 1 B) x + y = 1 C) -4x + 2y = -2 2x + 2y = 1 2x - y = 1 2x - y = 1 Řešení: žádné [2/3; 1/3] [t; 2t-1], t R Možná se ptáte, kde se tu vzalo to t. To je jen jiný způsob zápisu; jako parametr můžeme použít písmeno podle volby. Že je to skutečně řešení se snadno přesvědčíme zkouškou. L 1 = -4t + 2(2t - 1) = -2 = P 1 L 2 = 2t - (2t - 1) = 1 = P 2 Zrovna tak jsme mohli položit x = 2q a vypočíst y = 4q 1, tedy [q; 4q-1], q R L 1 = -8q + 2(4q - 1) = -2 = P 1 L 2 = 4q - (4q - 1) = 1 = P 2 Gaussova eliminační metoda. Poznámka: Při řešení soustavy lineárních rovnic s více neznámými než dvě, je nutné zavést do adiční metody řádný systém. Jeden z nich se nazývá Gaussova eliminační metoda. Metoda spočívá v tom, že se výměnou rovnic, násobením a sčítáním rovnic dosáhneme toho, že pod diagonálou budou koeficienty u neznámých 0 (nula). Ukážeme si to na příkladu. Ilustrace pro 4 rovnice pro 4 neznámé. a 11 x + a 12 y + a 13 z +a 14 t = d 1 b 11 x + b 12 y + b 13 z +b 14 t = f 1 a 21 x + a 22 y + a 23 z +a 24 t = d 2 0.x + b 22 y + b 23 z +b 24 t = f 2 a 31 x + a 32 y + a 33 z +a 34 t = d 3 0.x + 0.y + b 33 z +b 34 t = f 3 a 41 x + a 42 y + a 43 z +a 44 t = d 4 0.x + 0.y + 0.z +b 44 t = f 4 Příklad: Řešte soustavu rovnic se čtyřmi neznámými (a) x + y + z - t = 1 (b) x + y - z + t = 1 (c) x - y + z + t = 1 (d) - x + y + z + t = 1 Řešení: rozbor Vybereme si jednu rovnici jako základní. Kterou? Vybíráme tu, kde koeficient u první neznámé je 1 nebo 1, pokud to jde. Jinak je to věcí intuice. V našem případě je to ale jedno. Vezměme tedy první.
Protože chceme ve všech ostatních řádcích docílit zmizení prvního sloupce (přesněji: chceme dosáhnout u první neznámé koeficientů 0), odečteme druhou od první, odečteme třetí od první a sečteme první se čtvrtou. Pamatujme cílem je mít neznámou x pouze v první rovnici druhého kola. (e) = (a) x + y + z - t = 1 (f) = (b)-(a) 2z - 2t = 0 (g) = (c)-(a) 2y - 2t = 0 (h) = (d)+(a) 2y + 2z = 2 Druhou, třetí a čtvrtou vydělíme 2 a z taktických důvodů (už má 0 u y a nemá 0 u ostatních neznámých) vložíme druhou nakonec a dostaneme: (A) = (e) x + y + z - t = 1 (B) = (g)/2 y - t = 0 (C) = (h)/2 y + z = 1 (D) = (f)/2 z - t = 0 První, druhou a čtvrtou rovnici opíšeme. Místo třetí dáme rozdíl třetí rovnice a druhé. (E) = (A) x + y + z - t = 1 (F) = (B) y - t = 0 (G) = (C)-(B) z + t = 1 (H) = (D) z - t = 0 Nyní opíšeme první tři a místo čtvrté vezmeme rozdíl třetí a čtvrté. (1) = (E) x + y + z - t = 1 (2) = (F) y - t = 0 (3) = (G) z + t = 1 (4) = (G)-(H) 2t = 1 Tohoto jsme chtěli dosáhnout trojúhelníku 0 pod diagonálou. Nyní je již hračkou dostat hodnoty jednotlivých neznámých. Začneme od čtvrté rovnice (4) t = 1/2 (4) -> (3) z + 1/2 = 1 z = 1/2 (4) -> (2) y - 1/2 = 0 y = 1/2 (4),(3),(2) -> (1) x + 1/2 + 1/2 1/2 = 1 x = 1/2 kandidátem řešení tedy je [1/2; 1/2; 1/2; 1/2] Zkoušku musíme udělat do původní soustavy souřadnic. L 1 = 1/2 + 1/2 + 1/2-1/2 = 1 = P 1 L 2 = 1/2 + 1/2-1/2 + 1/2 = 1 = P 2 L 3 = 1/2-1/2 + 1/2 + 1/2 = 1 = P 3
L 4 =-1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 = 1 = P 4 Úkol: Udělejte závěr, shrnutí, popis postupu při řešení soustavy lineárních rovnic Gaussovou eliminační metodou. pokračování
@133 Bohužel Museli jste udělat chybu. Najděte si ji. znovu propočtěte
@135 Bohužel Obě soustavy rovnic mají, co? - jediné řešení - nekonečně mnoho řešení - nemají žádné řešení znovu propočítejte
@128 zpět Řešte soustavu rovnic (1) x + 3y = 1 (2) 2x - y = 2 Řešení: rozbor (3) = (1) x + 3y = 1 (4) = (2) krát 3 6x - 3y = 6 (3)+(4) 7x = 7 (5) x = 1 (5) -> (1) 1 + 3y = 1 y = 0 kandidát na řešení [1; 0] zkouška L 1 = 1 + 3.0 = 1 = P 1 L 2 = 2.1-0 = 2 = P 2 Studujme tyto dva případy řešte soustavu rovnic (1) 3x 5y = 1 (1) 2x y = 3 (2) 6x 10y = 20 (2) -6x + 3y = -9 (3) = (1) krát 2-6x + 10y = -2 (3) = (1) krát 3 6x 3y = 9 (2) 6x 10y = 20 (2) -6x + 3y = -9 (3)+(2) 0 = 18 (3)+(2) 0 = 0 nepravdivý výrok soustava nemá žádné řešení pravdivý výrok soustava má nekonečně mnoho řešení Má-li soustava nekonečně mnoho řešení, musíme řešení parametrizovat. Vybereme si jednu neznámou za parametr a další neznámé vyjádříme jako funkci parametru. Volme x jako parametr, pak z první rovnice snadno vypočteme y = 2x - 3 Kandidátem řešení je každá dvojice [x; 2x-3], kde x R Zkouška: L 1 = 2x - (2x-3) = 3 = P 1 L 2 = -6x + 3(3x-3) = -9 = P 2 Poznámka: Všimněte si, že když soustava nemá žádné řešení, dříve nebo později se dopracujeme k vždy nepravdivému výroku. Když soustava má nekonečně mnoho řešení, dojdeme jistě k výroku, který je vždy pravdivý.
Takhle je to teoreticky. Člověk je ale tvor omylný, a měl by si toho být vědom a proto by se měl stále kontrolovat. Úkol: Řešte soustavy rovnic A) x + y = 1 B) x + y = 1 C) -4x + 2y = -2 2x + 2y = 1 2x - y = 1 2x - y = 1 Počet řešení soustav rovnic je tento: varianta 1: C) nekonečně mnoho B) jediné A) žádné varianta 2: B) žádné A) nekonečně mnoho C) jediné varianta 3: A) jediné C) žádné B) jediné
@131 zpět Gaussova eliminační metoda řešení soustavy rovnic sestává ze dvou kroků. 1. Nejprve se snažíme z původní sestavy sčítáním a násobením rovnic reálným číslem různým od nuly dosáhnout "trojúhelníkové" sestavy nulových koeficientů pod diagonálou. 2. Druhý krok sestává z postupného výpočtu jednotlivých neznámých. Poznámka: Je nesmírně důležité znovu a znovu opisovat soustavu rovnic. Může se to jevit jako otravná práce, ale ujišťuji vás, se tak chráníme před hloupými chybami. A pokud se chyby někde přece jen dopustíme, snadněji ji odhalíme. Úkol: Řešte soustavu rovnic x + y + z = 1 x + 2y + 2z = 2 2x + 2y + z = 3 pokračování výsledek
@134 zpět Správně. Součet první a druhé rovnice dá levou stranu třetí rovnice, ale na pravé straně je součet roven 3 nikoli 5. Rozdíl těchto rovnic pak vede k nepravdivému výroku. Úkol: Řešte soustavy rovnic Platí: A) x - y = 2 B) 3x - 5y = 2 x + y = 6 2x + 3y = 14 varianta A: obě soustavy rovnic mají stejné řešení varianta B: každá ze soustav rovnic má jiné řešení
@129 Bohužel znovu prostudujte
@132 zpět Řešte soustavu rovnic (a) x + y + z = 1 (b) x + 2y + 2z = 2 (c) 2x + 2y + z = 3 Řešení: rozbor (d) = (a) x + y + z = 1 x=0 (e) = (b)-(a) y + z = 1 y=2 (f) = 2(a)-(c) z = -1 => z=-1 (f) z = -1 (f) -> (e) y = 2 (f),(e) -> (d) x = 0 kandidát řešení je [0; 2; -1] zkouška L 1 = 0 + 2 + (-1) = 1 = P 1 L 2 = 0 + 2.2 + 2(-1) = 2 = P 2 L 3 = 2.0 + 2.2 + (-1) = 3 = P 3 Úkol: Řešte soustavu rovnic Platí x + y + z = 1 x - 2y + 3z = 2 2x - y + 4z = 5 soustava nemá žádné řešení soustava má jediné řešení soustava má nekonečně mnoho řešení
@136 zpět Správně. Soustavy rovnic A) x - y = 2 B) 3x - 5y = 2 x + y = 6 2x + 3y = 14 mají jediné řešení, které je stejné pro obě soustavy a to jedinou uspořádanou dvojici [4; 2]. poznámka: To znamená, že v grafickém řešení všechny čtyři přímky procházejí společným bodem. KONEC LEKCE