Rovnice RNDr. Yvetta Bartáková Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou
Grafické řešení soustav rovnic a nerovnic VY INOVACE_0 0_M Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou
Soustav lineárních rovnic Soustavou rovnic nazýváme několik rovnic o větším počtu neznámých, které musí platit současně. Řešením soustav rovnic o n neznámých,,... n je každá uspořádaná n-tice čísel,,... n z daného číselného oboru patřící současně do množin kořenů všech rovnic soustav. Grafické řešení je založeno na grafickém znázornění všech řešení rovnic (ted dvou nebo více přímek) do jedné kartézské soustav souřadnic. Poznámka: Pokud se jedná o soustavu dvou lineárních rovnic o dvou neznámých a, řešením je uspořádaná dvojice čísel,, která vhovuje oběma rovnicím.
Př.. V RR řešte grafick soustavu rovnic: 0, 0 Rovnice upravíme na tvar lineární funkce:. a Do jedné soustav souřadnic znázorníme graf obou přímek. f : Funkci C 0;, D;0. pomocí bodů A ;, B; a funkci g : pomocí bodů.
Souřadnice průsečíku P obou přímek určují jediné řešení soustav rovnic. Početně ověříme správnost řešení. K výpočtu použijeme srovnávací metodu: 7 8 7 ; 7 K Poznámka: Jedná-li se o přímk rovnoběžné, nemá soustava žádné řešení, a pokud jsou přímk totožné, má soustava nekonečně mnoho řešení R f,.
Př.. V RR řešte grafick soustav rovnic: a) 7 6 7 b) 6 7 c) 0 6 d) 0 0 Procvičování:. Sbírka úloh z M pro nižší ročník víceletých gmnázií a pro. stupeň ZŠ, Geometrie a funkce, Fortuna, str., př.. Sbírka úloh z M pro OA a SOŠ, J. Klodner, str., př. ;. Maturitní minimum sbírka úloh pro SŠ, Prometheus, str., př. 6.
Soustav lineárních a kvadratických rovnic Grafické řešení je založeno na grafickém znázornění všech řešení rovnic (ted jedné nebo i více přímek a kuželosečk) do jedné kartézské soustav souřadnic. Pokud se jedná o soustavu lineární rovnice a rovnice kvadratické o dvou neznámých a, mohou vjít tato řešení, která vhovují oběma rovnicím:. jedna uspořádaná dvojice čísel,, pak má přímka s kuželosečkou společný bod. dvě uspořádané dvojice čísel,, pak má přímka s kuželosečkou společné bod. žádné řešení, kuželosečka nemá s přímkou žádný společný bod.
Př.. V RR řešte grafick soustavu rovnic: 0,. První rovnici upravíme na tvar lineární funkce:, grafem bude přímka. Druhá rovnice představuje rovnici kružnice se středem S 0;0 a poloměrem. Do jedné soustav souřadnic znázorníme graf obou rovnic. f pomocí bodů A ;0, B0; a kružnici k: 0;0 ; r Funkci : S. 6
Souřadnice průsečíků A, B přímk a kružnice určují dvě řešení soustav rovnic. Početně ověříme správnost řešení. K výpočtu použijeme dosazovací metodu ( z lineární rovnice vjádříme neznámou a dosadíme do rovnice kvadratické ). Po výpočtu neznámých, dopočteme příslušné hodnot. 0 0 0 0 0; ; 0 K 0; ; ;0 7
Př.. V RR řešte grafick soustav rovnic: a) 0, 0 b) 0, c), d) 6, 9 6 Procvičování:. Sbírka úloh z M pro SOŠ, SOU a nástavbové studium, Hudcová Kubíčková, Prométheus, str. 79, př. 0. Sbírka úloh z M pro OA a SOŠ, J.Klodner, str. -, př. - (kromě př.9), 6. Maturitní minimum sbírka úloh pro SŠ, Prometheus, str., př..,. 8
Soustav lineárních nerovnic o jedné neznámé Soustavou nerovnic nazýváme několik nerovnic, které musí platit současně. Množina kořenů soustav je průnikem množin kořenů všech nerovnic soustav. Grafické řešení je založeno na znázornění všech řešení nerovnic na jednu číselnou osu a určení jejich průniku. Výsledkem mohou být konstant, interval nebo prázdná množina. 9
0 Př.. V R řešte soustavu nerovnic: 6 0 7. Vřešíme každou nerovnici zvlášť: 0 7 6 Všechna řešení znázorníme na jednu číselnou osu a určíme průnik. ; K
Př.. V R řešte soustav nerovnic: a) 6 8 b) 6 6 c) 0 0 9 d) 0 e) f)
Procvičování:. Sbírka úloh z M pro nižší ročník víceletých gmnázií a pro. stupeň ZŠ, Početní úloh, Fortuna, str. 7-7; př.,, 6, 7. Maturitní minimum sbírka úloh pro SŠ, Prometheus, str.8-9, př..-.. Sbírka úloh z M pro OA a SOŠ, J.Klodner, str., př., 6, 7. Sbírka úloh z M pro SOŠ, SOU a nástavbové studium, Hudcová Kubíčková, Prométheus, str. 7-8, př.
Soustav nerovnic se dvěma neznámými Každou nerovnici upravíme osamostatněním, grafick zobrazíme jako polorovinu do kartézské soustav souřadnic (s hraniční přímkou nebo bez ní) a průnik všech jednotlivých výsledků nerovnic (polorovin) je řešením soustav.
Př.. V RR řešte soustavu nerovnic: 0 Osamostatníme v obou nerovnicích neznámou a získáme nerovnice určující polorovin. První polorovina obsahuje hraniční přímku s určujícími bod A ;, B ;. Druhá polorovina je bez hraniční přímk, kterou je osa. a. kvadrantu. Do obou řešení (polorovin) patří bod nad hraničními přímkami. Obě polorovin zobrazíme do jedné soustav souřadnic a určíme průnik..
Početně určíme -ovou souřadnici průsečíku hraničních přímek bodu R. ; R Průnikem obou řešení je rovinný úhel JRB bez ramene RJ. Zapíšeme výsledek: K ;,, ;,,
6 Př.. V RR řešte soustav nerovnic: a) 0 b) 7 0 7 c) 0 0 d) Procvičování: Maturitní minimum sbírka úloh pro SŠ, Prometheus, str., př.6., 6.a
Soustav rovnic a nerovnic se dvěma neznámými Každou rovnici nebo nerovnici upravíme osamostatněním, grafick zobrazíme jako přímku nebo polorovinu do kartézské soustav souřadnic a průnik všech jednotlivých výsledků nerovnic je řešením soustav. 7
Př.. V RR řešte soustavu rovnice a nerovnice:. Osamostatníme v rovnici i nerovnici neznámou. Rovnice představuje přímku, která je určena bod ;, B;0 A. Nerovnice určuje polorovinu s hraniční přímkou, na které leží bod 0;, A; C. Do polorovin patří bod pod hraniční přímkou. Přímku i polorovinu zobrazíme do jedné soustav souřadnic a určíme průnik. 8
Průsečíkem přímk AB s hraniční přímkou polorovin je bod A ;. Průnikem obou řešení je polopřímka AH. Zapíšeme výsledek: K,, ; 9
0 Př.. V RR řešte soustavu rovnice a nerovnice: a) 0 b) c) 0 d) 0 6 0 Procvičování: Maturitní minimum sbírka úloh pro SŠ, Prometheus, str., př. 6.
Soustav rovnic a nerovnic v množině C Absolutní hodnota kompleního čísla je rovna vzdálenosti jeho obrazu v Gaussově rovině od počátku soustav souřadnic. Absolutní hodnota rozdílu kompleních čísel určuje jejich vzdálenost v Gaussově rovině.
Př.. V Gaussově rovině zobrazte množinu všech kompleních čísel z, pro něž platí: z i z i z. První rovnice znamená, že hledaná komplení čísla z, mají mít vzdálenost od čísla i rovnu. Leží ted na kružnici se středem v bodě i a s poloměrem. Druhá nerovnice vžaduje, ab vzdálenost hledaného kompleního čísla z od čísla i bla větší nebo rovna než od čísla (-), které představuje nulový bod druhé absolutní hodnot. Hledané bod leží v polorovině s hraniční přímkou, která je osou úsečk s koncovými bod i a (-), a vnitřním bodem (-).
Obě množin zobrazíme do jedné Gaussov rovin a určíme jejich průnik. Řešením jsou t bod na kruhovém oblouku s krajními bod E a F, které leží ve vznačené polorovině.
Př.. V Gaussově rovině zobrazte množinu všech kompleních čísel z, pro něž platí: a) z i z z b) i z i z i z 8 6 c) i z i z d) i z i z i z
Procvičování:. Maturitní minimum sbírka úloh pro SŠ, Prometheus, str., př. 6.. Sbírka úloh z M pro SOŠ, SOU a nástavbové studium, Hudcová Kubíčková, Prométheus, str. 87, př.