Přijímací zkoušky z matematiky pro akademický rok 6/7 NMgr. studium Učitelství matematiky ZŠ, SŠ Datum zkoušky: Varianta Registrační číslo uchazeče: Příklad 3 5 Celkem Body Ke každému příkladu uved te podrobný, přiměřeně okomentovaný postup. Řešení podtrhněte. Povolené pomůcky: psací a rýsovací potřeby. Zadání Je dána funkce f : y = x. Určete definiční obor, obor hodnot a derivaci funkce. Určete rovnici tečny funkce v bodě T = [,?. Načrtněte graf funkce a vypočtené tečny. Vypočtěte integrál x dx, x R. x + Určete základní vlastnosti (definiční obor D(f), paritu, průsečíky s osami, limity v krajních bodech D(f)) a načrtněte její graf. 3 Nalezněte vlastní čísla a vlastní vektory matice [ a b M = b a a spočtěte úhel, který svírají její vlastní vektory (uvažujte obecně a, b ). Uvažujte množinu zbytkových tříd Z 8 = {,,..., 7} spolu s operacemi sčítání a násobení (modulo osm). Množina invertibilních (tj. inverzi majících) prvků Z 8 tvoří spolu s násobením abelovskou grupu. Rozhodněte zda je tato grupa izomorfní s C, nebo C C, přičemž C k značí cyklickou grupu řádu k. Izomorfizmus napište. 5 Je dána přímka p : 3x y + =. Určete obvod trojúhelníku vymezeného přímkou p a osami x, y souřadnicového systému. Načrtněte graf. tel.: + 85 35 55 kmd.fp.tul.cz www.fp.tul.cz IČ: 67 7 885 DIČ: CZ 67 7 885
Řešení Příklad Musí platit x, tedy D(f) = R \ { } (3 body), H(f) = R \ {} (3 body). Derivace je f (x) = (x ) (3 body). Bod dotyku T = [x, f(x) = [,, směrnice tečny je hodnota derivace pro x =, tj. f () =. Tečnu hledáme ve směrnicovém tvaru y = kx + q = f (x)x + q = x + q. Dosazením bodu dotyku = f(x) = f (x)x + q = + q získáme q = 3. Rovnice tečny je tedy y = x + 3, po úpravě x + y 3 = ( body). Grafem funkce je hyperbola, viz obrázek. 3 f(x)=(x ) x+y 3= T=[, 3 3 3 Obrázek : Graf funkce f ( body) a její tečny (3 body) v bodě T = [, z příkladu. tel.: + 85 35 55 kmd.fp.tul.cz www.fp.tul.cz IČ: 67 7 885 DIČ: CZ 67 7 885
Příklad Integrujeme pomocí substituce x x + dx = Substituce : t = x (6 bodů) + dt = x dx dt = xdx = dt = ln( t ) + Const. t = ln(x + ) + Const. (6 bodů). Označme integrand f(x) = x. Zřejmě D(f) = R, f(x) = f( x) (lichá funkce, tj. její x + graf je symetrický podle počátku), speciálně f() = ; dále f(x) > pro x > (a f(x) < pro x < ), navíc lim x ± f(x) = ±( body). Graf funkce viz obrázek. f(x)=x(x +).5.5.5.5 3 3 Obrázek : Graf funkce f ( body) z příkladu. Příklad 3 Pro vlastní číslo λ a vlastní vektor v platí Mv = vλ, v. Speciálně tedy det(m λi) =, kde det(m λi) = a λ b b a λ = (a λ) + b = λ aλ + (a + b ) ( body). tel.: + 85 35 55 kmd.fp.tul.cz www.fp.tul.cz IČ: 67 7 885 DIČ: CZ 67 7 885 3
Použitím vzorce pro kořeny kvadratické rovnice dostáváme vlastní čísla λ, = a ± bi (6 bodů). Označme x l, y l složky vlastního vektoru v l = [ x l y l, l =,. Zbývá vyřešit soustavy (M λ l I)v l =, l =,, tj. [ a (a ± bi) b b a (a ± bi) tedy [ i i ix l y l =. [ i Řešením jsou například vektory v = [ x y = [ i a v = [ x y = [ i (6 bodů). Úhel ϕ mezi vektory v a v spočteme podle vztahu cos(ϕ) = v,v v v ( body), kde, je skalární součin vektorů (nezapomínejme na nekomutativitu skalárního součinu související s komplexním sdružováním druhým z jeho argumentů) a je norma vektoru, tj. cos(ϕ) = x x + y y x + y x + y = = a tedy ϕ = π ( body). Alternativně lze úhel určit následující úvahou: Matice je zřejmě normální MM T = M T M (množina takových matic je spolu se sčítáním a násobením izomorfní s množinou komplexních čísel a jejich sčítání a násobením). Vlastní vektory normálních matic odpovídající různým vlastním číslům (b = λ λ ) jsou navzájem ortogonální, hledaný úhel je tedy π/. Příklad Invertibilní prvky jsou nesoudělné s modulem, tj. Z 8 = {, 3, 5, 7} ( body) (případně je získáme z tabulky násobení), zřejmě (6 bodů) : Z 8 3 5 7 3 5 7 3 3 7 5 5 5 7 3 7 7 5 3, C a b c d a a b c d b b c d a c c d a b d d a b c, C C (a, a) (a, b) (b, a) (b, b) (a, a) (a, a) (a, b) (b, a) (b, b) (a, b) (a, b) (a, a) (b, b) (b, a) (b, a) (b, a) (b, b) (a, a) (a, b) (b, b) (b, b) (b, a) (a, b) (a, a). Porovnáním řádů všech prvků (řád prvku s je ord(s) = {s k ; (6 bodů) k Z} ) jednotlivých grup Z 8 : ord() =, ord(3) =, ord(5) =, ord(7) = C : ord(a) =, ord(b) =, ord(c) =, ord(d) = C C : ord((a, a)) =, ord((a, b)) =, ord((b, a)) =, ord((b, b)) = vidíme, že Z 8 C (izomorfizmus na sebe zobrazuje prvky stejných řádů a C obsahuje prvky řádu (generátory), které v Z ( 8 nejsou), musí tedy být izomorfní s C C body). Zbývá najít některý ze šesti možných izomrfismů ϕ : Z ( bodů) 8 C C. Zřejmě ϕ() = (a, a), zvoĺıme-li například ϕ(3) = (a, b) a ϕ(5) = (b, a), pak ϕ(7) = (b, b). tel.: + 85 35 55 kmd.fp.tul.cz www.fp.tul.cz IČ: 67 7 885 DIČ: CZ 67 7 885
Příklad 5 První vrchol trojúhelníka P = [, je průsečík os. Průsečík přímky p s osou y: x = = y + = = y = 3 = R = [, 3 ( body). Průsečík přímky p s osou x: y = = 3x + = = x = = S = [, ( body). Vzdálenost RS = ( ) + ( 3) = 5 ( body). Obvod trojúhelníka RSP je o = 5 + + 3 = ( body). Náčtr viz obrázek 3. 5 y p 3 R=[,3 S=[, P=[, x 3 5 3 3 Obrázek 3: Náčrt situace ( body) z příkladu 5. tel.: + 85 35 55 kmd.fp.tul.cz www.fp.tul.cz IČ: 67 7 885 DIČ: CZ 67 7 885 5