PRVIDELNÉ MNOHOĚNY Vlst Chmelíková, Luboš Morvec MFF UK 007 1
Úvod ento text byl vytvořen s cílem inspirovt učitele středních škol k zčlenění témtu prvidelné mnohostěny do hodin mtemtiky, neboť při výuce stereometrie bývjí čsto tto těles neprávem opomíjen. proč by vlstně toto tém mělo být do výuky podrobněji zřzeno? Jistě je vhodné studenty s existencí prvidelných mnohostěnů seznámit nvíc není účelné vyučovt stereometrii pouze n krychli prvidelném čtyřbokém jehlnu, protože studenti pk sndno přechází k bezduché plikci nučených postupů nmísto řešení úloh pomocí prostorové předstvivosti. Prvidelné mnohostěny jsou n první pohled zjímvá těles. Lze njít (npříkld n internetu) mnoho informcí o historii těchto těles, čímž je možné výuku zpestřit vzbudit zájem studentů. Při odvozování úprvách dále uvedených vzorců si studenti mohou procvičit práci se zlomky s odmocninmi. Pokud by výpočty byly pro studenty příliš složité, lze je částečně zjednodušit předpokldem, že délk hrny uvžovného těles je rovn jedné. V tbulce n následující strně je uveden výčet vzthů pro výpočet poloměrů vepsných opsných kulových ploch, objemů povrchů všech pěti prvidelných mnohostěnů. V dlším textu njdete postupy, pomocí kterých je možné tyto vzthy odvodit. Dále jsou zde vypočteny odchylky tělesových úhlopříček odchylky sousedních stěn mnohostěnů, nkonec je zmíněn dulit těchto těles vzthy s ní související. Použité znčení litertur jsou uvedeny n závěr textu. Všechny výpočty byly provedeny n zákldě znlostí několik mtemtických pojmů vzthů, které by (ž n dvě výjimky) měly být studentům střední školy známy. Jejich výčet je uveden níže. oučástí této práce jsou i přílohy, ve kterých nleznete prezentci pro interktivní tbuli, kterou lze použít při výuce jko vodítko (v prezentci nleznete odkzy n pohyblivé obrázky nkreslené v progrmech CbriD Cbri+), dále sítě prvidelných mnohostěnů (včetně návodů, jk s nimi prcovt) stručné informce o dlších zjímvých mnohostěnech (rchimedovy Keplerovy mnohostěny). utoři Přehled použitých vzthů, které nejsou v textu podrobně odvozovány: z v z obsh obecného trojúhelníku: výšk obsh rovnostrnného trojúhelníku (se strnou ): v, přičemž vz znčí výšku n strnu z, Pythgorov vět její zobecnění n obecný trojúhelník (kosinová vět) definice goniometrických funkcí v prvoúhlém trojúhelníku sin x vzthy mezi goniometrickými funkcemi: sin x cos x1, tg x cos x podíl úhlopříčky us strny prvidelného pětiúhelníku je roven zltému číslu: cos 7 1 1 5 u s 1 5 Poslední dv vzthy nepovžujeme z všeobecně známé, le jejich odvození je mimo rozsh této práce. Dále předpokládáme určitou zdtnost při usměrňování dlších úprvách lomených výrzů.
Prvidelné mnohostěny (Pltónov těles, pltónská těles) Pltónské těleso je prvidelný konvexní mnohostěn (tj. z kždého vrcholu vychází stejný počet hrn všechny stěny tvoří stejný prvidelný mnohoúhelník). ěmto tělesům lze vepst i opst kulovou plochu, přičemž obě kulové plochy mjí společný střed. V historii se těmto tělesům věnovlo mnoho význmných osobností. Npříkld Eukleides, Pltón, rchimedes, Luc Pcioli, Kepler j. Ve středoškolské učebnici pro gymnázi (Pomyklová, E. tereometrie ) je k tomuto témtu uvedeno: definice, výčet těles důkz, proč je prvidelných mnohostěnů právě pět dulit krychle osmistěnu dulit čtyřstěnu zmínk o dulitě dvnáctistěnu dvcetistěnu povrch prvidelného n-stěnu objem prvidelného n-stěnu (krychle, čtyřstěn) název s h v n hv P prvidelný čtyřstěn (tetredr) 6 prvidelný šestistěn, krychle (hexedr) 6 15 8 6 prvidelný osmistěn (oktedr) 8 1 6 V r 1 prvidelný 1 0 0 5 dvnáctistěn (dodekedr) 5 10 5 15 7 5 prvidelný dvcetistěn (ikosedr) 5 0 0 1 5 5 5 1 Znčení použité v tbulce: s...počet stěn těles h...počet hrn těles v...počet vrcholů těles n...počet strn jedné stěny hv...počet hrn vycházejících z jednoho vrcholu 6 6 1 6 6 1 5 10 5 11 5 0 5 5 5 1 P...povrch V...objem r...poloměr koule opsné ρ...poloměr koule vepsné...délk hrny ρ
Prvidelný čtyřstěn Prvidelný čtyřstěn (též prvidelný trojboký jehln) má čtyři vrcholy čtyři stěny tvořené shodnými rovnostrnnými trojúhelníky. Podle Pltón byl čtyřstěn symbolem ohně. Odchylk sousedních stěn Zvolíme řez čtyřstěnu rovinou kolmou n jednu hrnu. Řezem je rovnormenný trojúhelník se zákldnou s rmeny vs v s. Odchylk rmen je součsně odchylkou sousedních stěn. D Rovnormenný trojúhelník rozdělíme výškou n dv prvoúhlé. Nyní pltí: 1 sin, v vs s C 5 16 ', 70 '. Poloměr koule opsné Poloměr koule opsné prvidelnému čtyřstěnu je vzdálenost středu těles od libovolného vrcholu. Z střed konvexního těles můžeme povžovt jeho těžiště. ěžiště prvidelného kolmého jehlnu rozděluje výšku jehlnu v poměru :1. ělesovou výšku musíme vypočítt: D těnová výšk v s je dlouhá. Odtud v. Podle Pythgorovy věty pltí v s C D v 6. Nyní již můžeme spočítt poloměr koule opsné: 6 6 r v. v s v D Poloměr koule vepsné Poloměr koule vepsné je vzdálenost středu (těžiště) těles od jeho libovolné s stěny. Nvíc dotykové body vepsné koule jsou středy stěn. Vezmeme-li v úvhu prvoúhlý trojúhelník D ( je střed čtyřstěnu, D je vrchol čtyřstěnu je střed jedné stěny), můžeme použít D d 6, Pythgorovu větu: s d t, přičemž sr t v s odvěsn d je hledný poloměr ρ. Odtud: t
ϱd 6 6. 8 1 Povrch Povrch vypočítáme jko součet obshů jednotlivých stěn. Kždou stěnu tvoří rovnostrnný trojúhelník, jehož obsh je. Protože čtyřstěn má stěny čtyři, bude jeho povrch P roven čtyřnásobku obshu jedné stěny, tedy P. Objem Objem V určíme jko objem prvidelného trojbokého jehlnu. Vzorec pro objem jehlnu 1 je V p v, kde p znčí obsh podstvy v tělesovou výšku. V nšem přípdě je podstvou rovnostrnný trojúhelník, tedy p. Z předchozího víme, že tělesová výšk v je dlouhá 6. Můžeme tedy dosdit do vzorce pro objem uprvit: 1 V 6. 1 Prvidelný šestistěn Prvidelný šestistěn (též krychle) má osm vrcholů šest stěn tvořených shodnými prvidelnými čtyřúhelníky (tj. čtverci). Podle Pltón byl šestistěn symbolem země. ělesová úhlopříčk Podle Pythgorovy věty pltí: u u s, po úprvách: u. u us Odchylk tělesových úhlopříček Průsečík tělesových úhlopříček spolu s krjními body jedné hrny tvoří rovnormenný trojúhelník. ento trojúhelník rozdělíme výškou k zákldně n dv prvoúhlé. Potom pltí: 1 sin, u 5 16 ', 70 '. Odchylk sousedních stěn nd je všem n první pohled zřejmé, že 90. 5
Poloměr koule opsné Poloměr koule opsné je roven polovině délky tělesové úhlopříčky u procházející středem, tedy r. Poloměr koule vepsné Poloměr koule vepsné krychli je vzdálenost středu krychle od libovolné stěny, tedy. Povrch Povrch vypočítáme jko součet obshů jednotlivých stěn. Kždou stěnu tvoří čtverec o obshu. Krychle má šest stěn, tedy P6 6. Objem Vzorec pro výpočet objemu krychle by měl být studentům znám už n zákldní škole. Díky kolmosti stěn se objem vypočítá následovně: V. Prvidelný osmistěn Prvidelný osmistěn má šest vrcholů osm stěn tvořených shodnými rovnostrnnými trojúhelníky. Podle Pltón byl osmistěn symbolem vzduchu. ělesová úhlopříčk ělesová úhlopříčk osmistěnu je totéž jko úhlopříčk čtverce se strnou délky. edy u. u Odchylk tělesových úhlopříček Odchylkou tělesových úhlopříček osmistěnu je odchylk úhlopříček čtverce, tedy 90. Odchylk sousedních stěn Vezmeme-li řez těles kolmý npříkld k hrně C procházející vrcholem E, získáme kosočtverec EGFH. V trojúhelníku EGF potom pltí: E E u E 6 5 ' sin, vs, H D G C G C 109 8'. G F 6 F
Poloměr koule opsné Poloměr koule opsné je roven polovině délky tělesové u úhlopříčky procházející středem osmistěnu, tedy r. Poloměr koule vepsné Poloměr koule vepsné je roven vzdálenosti středu (těžiště) osmistěnu od libovolné stěny. Vezmeme si n pomoc prvoúhlý trojúhelník s přeponou délky r s odvěsnmi dlouhými ρ v s. Potom podle Pythgorovy věty pltí: v s r, tedy 6. 6 6 E E D v s r C F s Objem Objem můžeme určit jko součet objemů dvou shodných jehlnů se společnou čtvercovou podstvou p výškou r. 1 V p r Povrch Povrh prvidelného osmistěnu vypočítáme jko součet obshů všech stěn. Kždá stěn je tvořen rovnostrnným trojúhelníkem se strnou délky, tedy. P8 8 7
Prvidelný dvnáctistěn Prvidelný dvnástistěn má dvcet vrcholů dvnáct stěn tvořených shodnými prvidelnými pětiúhelníky. Podle Pltón předstvovl jsoucno nebo vesmír. Prvidelný pětiúhelník Výpočty s prvidelným dvnáctistěnem jsou už trochu komplikovnější. Pro jejich usndnění je vhodné nejprve vyřešit některé rozměry v prvidelném pětiúhelníku, bychom je v dlších úvhách mohli využít. Délk úhlopříčky Pro poměr délek úhlopříčky strny prvidelného pětiúhelníku pltí: D u s 1 5. Odtud u s 1 5. E C us Poloměr kružnice opsné Pro trojúhelník pltí kosinová vět: r s r s r s r s cos 7, přičemž 1 cos 7. Z této rovnice vyjádříme poloměr rs: 1 5 1 5 r s, po úprvách r s 10 5 5. 10 5 r r s Poloměr kružnice vepsné Poloměr kružnice vepsné můžeme vypočítt pomocí Pythgorovy věty plikovné n prvoúhlý trojúhelník s přeponou rs, jednou odvěsnou ρs druhou odvěsnou. r s s s rs 1 5 5 5 s r s 5 5 Obsh prvidelného pětiúhelníku s Obsh můžeme spočítt jko součet obshů pěti shodných rovnormenných trojúhelníků se zákldnou s výškou ρs. 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 10 5 5 5 s Vzdálenost y (vzdálenost bodů OD, kde O je střed úhlopříčky CE) uto vzdálenost vypočítáme pomocí Pythgorovy věty plikovné n prvoúhlý trojúhelník CDO: E y us 1 5 10 5. 8 D y C
Odchylk sousedních stěn udeme uvžovt pomocný prvidelný trojboký jehln odříznutý z prvidelného dvnáctistěnu tk, že hrny podstvy mjí délku úhlopříčky prvidelného pětiúhelníku boční hrny jsou hrny dvnáctistěnu. Předstvíme si řez tohoto jehlnu rovinou kolmou k boční hrně procházející hrnou podstvy. Řezem je rovnormenný trojúhelník se zákldnou us rmeny délky x, přičemž pltí (užití vzorce pro obsh trojúhelníku): u s y x, odtud x 1 5 10 5. 8 Nyní pomocí goniometrických funkcí určíme odchylku rmen, která je součsně odchylkou sousedních stěn: us 58 17', 116 '., sin x 10 5 us x x us us x x x us us Poloměr koule vepsné Poloměr koule vepsné vypočteme s užitím prvoúhlého trojúhelníku M (s prvým úhlem u vrcholu ), kde je střed dvnáctistěnu, je střed stěny M je střed hrny (ležící v téže stěně). Odvěsn ρs svírá s přeponou úhel, druhou odvěsnu ρ chceme vypočítt. V tomto trojúhelníku pltí: M tg, s tg. s s y us M Z předchozího výpočtu víme, že sin. 10 5 Použijeme-li vzthy mezi goniometrickými funkcemi, sin x konkrétně: sin x cos x1, tg x, dostáváme: cos x cos 6 5, 10 5 5 5 10 5 5 5 5 10 5 11 5. 5 5 0 6 5 6 5 10 5 Poloměr koule opsné Poloměr koule opsné můžeme vypočítt užitím prvoúhlého trojúhelníku s přeponou r odvěsnmi ρ rs. 9
Pltí: r r s r 1 5 [10 5 11 5 ] 5 9 8 5 0 5 9 5 9 5 6 1 5 1 5. 8 ělesová úhlopříčk Délk tělesové úhlopříčky procházející středem je dvojnásobkem 1 5. poloměru koule opsné, tedy u r Odchylk tělesových úhlopříček Odchylku dvou úhlopříček protínjících se ve středu dvnáctistěnu určíme pomocí obdélníku, který získáme jko řez dvnáctistěnu rovinou určenou těmito úhlopříčkmi. Úhlopříčky obdélníku jsou tělesové úhlopříčky, krtší strn obdélníku je hrnou dvnáctistěnu. Pltí: L K K L sin, r 1 5 r 1 5 0 5,5 ', 1 9 '. Objem Známe-li poloměr koule vepsné, můžeme objem dvnáctistěnu vypočítt jko objem dvnácti shodných prvidelných pětibokých jehlnů, jejichž podstvy jsou tvořeny stěnmi dvnáctistěnu výšk těchto jehlnů je rovn poloměru koule vepsné. Objem jednoho tkového jehlnu bude: 1 1 10 5 5 10 5 11 5 V J p 10 5 5 10 5 11 5 0 1 0 5 70 10 5 5 10 5 5 15 7 5 15 7 5. 1 0 8 8 8 objem celého dvnáctistěnu: V 1V J 1 15 7 5 15 7 5. 8 Povrch Povrch prvidelného dvnáctistěnu vypočítáme jko součet obshů jednotlivých stěn. Kždá stěn je tvořen prvidelným pětiúhelníkem se strnou obshem. edy: P1 1 5 10 5 5 10 5. 10
Prvidelný dvcetistěn Prvidelný dvcetistěn má dvnáct vrcholů dvcet stěn tvořených shodnými rovnostrnnými trojúhelníky. Podle Pltón byl dvcetistěn symbolem vody. Odchylk sousedních stěn Z dvcetistěnu oddělíme prvidelný pětiboký jehln uvžujeme řez tohoto jehlnu rovinou kolmou k boční hrně jehlnu protínjící podstvu ve stěnové úhlopříčce. Řezem je rovnormenný trojúhelník s rmeny vs zákldnou us, přičemž rmen svírjí úhel. V tomto trojúhelníku pltí: us 1 5 1 5 69 05 ', 18 11'. sin, vs E V E C V X vs X vs C us C Poloměr koule vepsné Poloměr koule vepsné prvidelnému dvcetistěnu je vzdálenost středu těles od středu libovolné stěny. Využijeme (obdobně jko u prvidelného dvnáctistěnu) prvoúhlý trojúhelník s odvěsnmi ρ, ρs ( ρs je třetin vs) s přeponou rovnou vzdálenosti středu dvcetistěnu od středu některé hrny. V tomto trojúhelníku pltí: M tg 1. M v s s sin Z předchozího výpočtu víme, že 1 5. Použijeme-li vzthy mezi sin x goniometrickými funkcemi, konkrétně: sin x cos x1, tg x, dostáváme: cos x 1 5 1 5 6 5 5 tg, cos 6 cos 6 5 5 5 sin 1 5 5 5 5 5 5 5 5 5 11
1 6 5 9 6 5 5 5 5, vs 5 5. tg tg 6 1 Poloměr koule opsné Poloměr koule opsné je vzdálenost od středu těles k libovolnému vrcholu. to vzdálenost je součsně přeponou prvoúhlého trojúhelníku s odvěsnmi stěnové výšky vs. Podle Pythgorovy věty dostáváme: r 5 1 6 5 15 5, v s 1 1 16 8 r 15 5 5 5 5 5. v s r ělesová úhlopříčk Délk tělesové úhlopříčky procházející středem je dvojnásobkem poloměru koule L K u r 5 5 opsné, tedy. Odchylk tělesových úhlopříček Odchylku dvou úhlopříček protínjících se ve středu dvcetistěnu určíme pomocí obdélníku, který získáme jko řez dvcetistěnu rovinou určenou těmito úhlopříčkmi. Úhlopříčky obdélníku jsou tělesové úhlopříčky, krtší strn obdélníku je hrnou dvcetistěnu. Pltí: L K r sin, 6 6'. r 10 5 10 5 Objem Známe-li poloměr koule vepsné, můžeme objem dvcetistěnu vypočítt jko objem dvceti shodných prvidelných trojbokých jehlnů, jejichž podstvy jsou tvořeny stěnmi dvcetistěnu výšk těchto jehlnů je rovn poloměru koule vepsné. Objem jednoho tkového jehlnu je: 1 1 5 5 V J p. 1 8 1
Objem celého dvcetistěnu: 5 5 5 V 0 V J 0. 8 1 Povrch Povrch prvidelného dvcetistěnu tvoří dvcet shodných rovnostrnných trojúhelníků se strnou délky. Obsh jedné stěny je tedy:. konečně povrch celého dvcetistěnu: P0 0 5. 1
Dulit prvidelných mnohostěnů Jedno těleso je duální k druhému, lze-li je nvzájem (při vhodném poměru velikostí) do sebe vepst tk, že vrcholy jednoho těles leží ve středech stěn druhého. Je tedy nutné, by počet vrcholů jednoho těles byl stejný jko počet stěn těles druhého ( nopk). Čtyřstěn čtyřstěn Prvidelný čtyřstěn je duální sám se sebou. Nechť větší čtyřstěn CD má hrnu délky, menší čtyřstěn KLMN (vepsný do prvního) hrnu délky b. Uvžujeme řez čtyřstěnu CD rovinou CD. V této rovině leží i hrn KL, která je součsně střední příčkou v trojúhelníku CD. Pltí: D K L C D C (délk střední příčky trojúhelníku C), v s D v s, KD v s., po úprvě. Dále díky podobnosti pltí: b b K vs L b C Oznčíme-li V1 objem čtyřstěnu CD V objem čtyřstěnu KLMN, potom oznčíme-li P1 povrch čtyřstěnu CD P povrch čtyřstěnu KLMN, potom poměry lze získt doszením do vzorců pro objem/povrch čtyřstěnu b uvědomit, že V1 P 7 obdobně 1 9. V b P b Krychle osmistěn Krychle je duální s prvidelným osmistěnem ( nopk). Nechť krychle má hrnu délky, osmistěn hrnu délky b. Objem krychle dále znčíme VK, objem osmistěnu VO, povrch krychle PK, povrch osmistěnu PO. 1 V1 7, V P1 9. yto P nebo si stčí
Vepíšeme-li krychli do osmistěnu, pltí: b vs (nlogicky jko u čtyřstěnu viz obrázek), po úprvách:. b v s E E O v s P C C O F VK, VO 9 vs P b C P K (tyto poměry získáme doszením do vzorců pro objem PO 9 povrch příslušných těles). Vepíšeme-li osmistěn do krychle, pltí: (b je polovinou úhlopříčky čtverce) b VK PK 6, (tyto poměry získáme opět doszením do vzorců pro objem VO PO povrch příslušných těles). Dále si můžeme všimnout, že odchylk tělesových úhlopříček krychle je rovn odchylce rovin, ve kterých leží stěny osmistěnu (přibližně 70 '), odchylk tělesových úhlopříček osmistěnu je rovn odchylce rovin, ve kterých leží stěny krychle (90 ). Dvnáctistěn dvcetistěn Prvidelný dvnáctistěn je duální s prvidelným dvcetistěnem ( nopk). Obdobným postupem jko u předchozích těles lze odvodit poměry délek hrn. Vepíšeme-li dvnáctistěn do dvcetistěnu, bude mít poměr délky hrny dvcetistěnu ku délce hrny 5 1 dvnáctistěnu hodnotu vepíšeme-li dvcetistěn do dvnáctistěnu, bude poměr délky hrny dvnáctistěnu ku délce hrny dvcetistěnu roven poměrů objemů povrchů už nevede k pěkným číselným vyjádřením. 15 5 5. Výpočet
Dále si můžeme všimnout, že odchylk tělesových úhlopříček dvnáctistěnu je rovn odchylce rovin, ve kterých leží stěny dvcetistěnu (přibližně 1 9'), odchylk tělesových úhlopříček dvcetistěnu je rovn odchylce rovin, ve kterých leží stěny dvnáctistěnu (přibližně 6 6'). 16
Příloh : Poloprvidelné mnohostěny Poloprvidelnými mnohostěny nzýváme tkové mnohostěny, jejichž stěny jsou tvořeny prvidelnými mnohoúhelníky dvou nebo tří typů jejichž vrcholy jsou stejného typu (tj. v kždém vrcholu se setkává ve stejném pořdí stejný počet stěn téhož typu). ěchto těles známe ptnáct, z toho třináct jich odvodil rchimédes z pltónských těles odřezáváním vrcholů nebo hrn (tto těles se nzývjí rchimédov). V následující tbulce je přehled všech rchimédových těles. Názvy těles uvádíme v ngličtině (do češtiny se většinou nepřekládjí). V třetím sloupci je uveden počet vrcholů, ve čtvrtém počet hrn těchto těles. U počtu stěn nvíc uvádíme, o jké stěny jde (npř. zápis 8 + 6 znmená, že těleso má osm stěn, z toho čtyři jsou rovnostrnné trojúhelníky čtyři prvidelné šestiúhelníky). V posledním sloupci uvádíme, z jkého pltónského těles dný poloprvidelný mnohostěn vznikl. Obrázky rchimédových mnohostěnů nleznete n následující strně. Obrázek Název v h Počet stěn Pltónské těleso 1 truncted tetrhedron 1 18 8 + 6 čtyřstěn cubocthedron 1 1 8 + 6 krychle, osmistěn truncted octhedron 6 1 6 + 86 osmistěn truncted cube 6 1 8 + 68 krychle 5 rhombicubocthedron 8 6 8 + 18 krychle, osmistěn 6 truncted cubocthedron 8 7 6 1 + 86 + 68 krychle, osmistěn 7 icosidodechedron 0 60 0 + 15 dvnáctistěn, dvcetistěn 8 truncted icoshedron 60 90 15 + 06 dvcetistěn 9 truncted dodechedron 60 90 0 + 110 dvnáctistěn 10 snub cube 60 8 + 6 krychle 11 rhombicosidodechedron 1 60 10 6 0 + 0 + 15 dvnáctistěn, dvcetistěn triuncted icosidodechedron 10 180 6 0 + 06 + 110 dvnáctistěn, dvcetistěn 1 snub dodechedron 60 150 9 80 + 15 dvnáctistěn Dlší dv typy poloprvidelných mnohostěnů jsou hrnoly ntihrnoly. Podstvmi hrnolů jsou shodné prvidelné n-úhelníky bočními stěnmi jsou čtverce. Podstvmi ntihrnolů jsou tké shodné prvidelné n-úhelníky, které jsou vůči sobě pootočeny o úhel π/n, bočními stěnmi jsou rovnostrnné trojúhelníky. ntihrnol Hrnol 17
Obrázek 1 Obrázek Obrázek Obrázek Obrázek 5 Obrázek 6 Obrázek 7 Obrázek 8 Obrázek 9 Obrázek 10 Obrázek 11 Obrázek 1 Obrázek 1 N obrázku je nznčeno, jk ořezáním vrcholů prvidelného dvcetistěnu získáme jeden z poloprvidelných mnohostěnů (truncted icoshedron). tbilní molekul uhlíku, tzv. fulleren C60, má 60 tomů umístěných právě ve vrcholech tohoto těles. 18
Příloh : Keplerov Poinsotov těles (hvězdicovité mnohostěny) Johnnes Kepler (1571 160) objevil dv hvězdicové mnohostěny hvězdicovitý dvnáctistěn hvězdicovitý dvcetistěn. Jedná se o nekonvexní mnohostěny vytvořené protžením stěn prvidelného dvnáctistěnu dvcetistěnu. Frncouzský mtemtik Louis Poinsot (1777 1859) popsl popsl mnohostěny k nim duální. Hvězdicovitý dvnáctistěn Mnohostěn duální k hvězdicovitému dvnáctistěnu Hvězdicovitý dvcetistěn Mnohostěn duální k hvězdicovitému dvcetistěnu N následujících internetových stránkách njdete (mimo jiné) sítě mnohostěnů z příloh, : http://www.korthlsltes.com http://www.computing.dcu.ie/~cschellewld/pltonicolids/pltonicolids.html http://mthworld.wolfrm.com/rchimedenolid.html 19
Příloh C: ítě prvidelných mnohostěnů tudenti většinou intuitivně tuší, jk vypdá síť mnohostěnu. Jde-li o čtyřstěn, tvoří síť čtyři shodné rovnostrnné trojúhelníky, síť krychle je složen z šesti shodných čtverců td. ítě pltónských těles nkreslené pomocí příkzu síť těles v progrmu CbriD vypdjí vždy stejně. Je všk vhodné studenty upozornit n možnost přesunout některou ze stěn n jiné místo. Můžete pk necht studenty zkoumt, který obrázek je ještě sítí těles který již není (viz ukázk se sítí krychle). ítě pltónských těles nkreslené v progrmu CbriD: Čtyřstěn Osmistěn Krychle Dvnáctistěn Dvcetistěn 0
Dlší možné sítě krychle: Z těchto obrázků už krychli složit nelze: 1
Příloh D: Konstrukce ve volném rovnoběžném promítání Volné rovnoběžné promítání je jedním ze způsobů, jk zobrzit prostorové útvry do roviny. ody prostoru promítáme dným směrem do dné roviny. to rovin (bývá většinou svislá), se nzývá nákresn. Úsečky rovnoběžné s nákresnou se nezkreslí, úsečky kolmé k nákresně se zobrzí n úsečky svírjící s vodorovným směrem dný úhel α, které jsou k krát krtší (k je koeficient zkrácení). Zprvidl se používá promítání s koeficientem zkrácení 0,5 úhlem α 5. Ne vždy je všk tto volb vhodná, neboť může zhoršit názornost obrázku (může dojít ke splynutí různých přímek). tudenti by měli znát konstrukci krychle, osmistěnu čtyřstěnu ve volném rovnoběžném promítání. Nejsndnější je konstrukce krychle. Úsečk délky (hrn krychle) se nezkreslí, úsečky C, D svírjí s úsečkou úhel α jejich délk je k. k získáme dolní podstvu CD. Horní podstvu EFGH dostneme posunutím dolní podstvy nhoru o vektor délky kolmý k úsečce. Prvidelný osmistěn můžeme nrýsovt tké sndno, předstvíme-li si, že se skládá ze dvou shodných čtyřbokých jehlnů se společnou podstvou. outo podstvou je čtverec CD (konstrukce viz dolní podstv krychle). estrojíme střed čtverce CD (npříkld jko průsečík úhlopříček C, D) posuneme ho nhoru i dolů o vektor délky ( je délk hrny je polovin délky úhlopříčky čtverce) kolmý k úsečce. Získáme tk vrcholy E, F. kutečnou délku úhlopříčky čtverce CD její polovinu si musíme zkonstruovt zvlášť pomocnou konstrukcí. osmistěnu, Prvidelný čtyřstěn lze nrýsovt jko trojboký jehln. Nejprve opět zkonstruujeme podstvu. Podstvou je rovnostrnný trojúhelník C. Hrnu sestrojíme nezkreslenou její střed oznčíme O. od O je ptou stěnové výšky OC n strnu. to výšk je oproti skutečné velikosti k krát zkreslená (skutečnou délku výšky OC musíme předem zjistit pomocnou konstrukcí) s úsečkou svírá úhel α (ve skutečnosti je úsečk OC kolmá k nákresně). Určíme střed podstvy C ( je průsečík stěnových výšek) posuneme ho nhoru o vektor délky tělesové výšky (skutečnou délku tělesové výšky určíme opět pomocnou konstrukcí nrýsujeme si npříkld prvoúhlý trojúhelník D) kolmý k úsečce. Získáme tk vrchol D. Výše popsným postupům odpovídjí přiložené konstrukce v progrmech CbriII+ GeoGebr.0. Vstupními údji jsou vždy délk hrny těles, koeficient zkrácení úhel, který svírjí průmět vodorovné přímky (rovnoběžné s nákresnou) průmět přímky kolmé k nákresně. yto prmetry lze měnit. N obrázcích sestrojených v progrmu CbriII+ je vyznčen viditelnost jednotlivých hrn těles odpovídjící prvému ndhledu ( 0, 90 ). N obrázcích sestrojených v progrmu GeoGebr.0 viditelnost vyznčen není, by nemátl při změně velikosti úhlu α.
Litertur rtsch, H. J.: Mtemtické vzorce. Mldá front, 00. ečvář, J., Štoll, I.: rchimedes. Prometheus, 005. Chmelíková, V.: Zltý řez. klářská práce, KDM, MFF UK, 006. Pomyklová, E.: tereometrie. Řd učebnic Mtemtik pro gymnázi, Prometheus, 1995. Robová, J.: Cbri II+. tudijní text k předmětu plikce počítčů ve výuce geometrie I n MFF UK, 006/007. Robová, J.: Cbri D. tudijní text k předmětu plikce počítčů ve výuce geometrie II n MFF UK, 006/007. vobodová, V.: Historie prvidelných mnohostěnů. In: borník Mtemtik v proměnách věků IV. kdemické nkldtelství Cerm, 007. Šolcová,.: Johnnes Kepler. Prometheus, 00. Internetové zdroje http://www.korthlsltes.com http://www.computing.dcu.ie/~cschellewld/pltonicolids/pltonicolids.html http://mthworld.wolfrm.com/rchimedenolid.html http://www.theweebsite.com/polyhedr/pmftc/pmftc.html http://mthworld.wolfrm.com/kepler-poinsotolid.html http://en.wikipedi.org/wiki/rchimeden_olid http://cs.wikipedi.org/wiki/pltónské_těleso http://cs.wikipedi.org/wiki/mnohostěn