Obsh Derivce 3 Integrály 7. Neurčité integrály.................. 7. Určité integrály................... 3.3 Aplikce v geometrii fyzice............ 6 3 Diferenciální rovnice 8 3. Motivce....................... 8 3. Diferenciální rovnice. řádu............ 8 3.3 Metody řešení diferenciálních rovnic. řádu... 3.3. Ortogonální systémy integrálních křivek.. 3 3.4 Lineární diferenciální rovnice. řádu....... 4 3.5 Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu..... 6 3.6 Metody řešení rovnic n-tého řádu......... 8 3.6. Homogenní rovnice............. 8 3.6. Nehomogenní rovnice............ 3 3.6.3 Fyzikální plikce.............. 34 3.7 Okrjové úlohy pro rovnice. řádu........ 35 3.8 Soustvy lineárních diferenciálních rovnic. řádu 38 3.9 Metody řešení soustvy diferenciálních rovnic.. 39 4 Lplceov trnsformce 48 5 Posloupnosti řdy funkcí 5 5. Posloupnosti funkcí................. 5 5. Funkční řdy.................... 55
Mtemtická nlýz pro FEL 5.3 Mocninné řdy................... 56 5.4 Trigonometrické Fourierovy řdy......... 6
Mtemtická nlýz pro FEL 3 Derivce Rozdíl t = t t se nzývá diference rgumentu, rozdíl s(t, t) = s(t) s(t ) se nzývá diference funkce s v bodě t podíl s(t) s(t ) t t se nzývá poměrná diference funkce s v bodě t. K výpočtu okmžité rychlosti v ut v čse t potřebujeme znát hodnotu limity v = lim t t s(t) s(t ) t t. Příkld. : Máme uto, jehož ujetá dráh je popsán V 7.století se m- funkcí s(t). Chceme-li spočítt jeho průměrnou rychlost v v čsovém intervlu t, t, pk v = s(t) s(t ) t t. temtici pokoušeli vyřešit tzv. Problém tečny - nlezení tečny ke grfu funkce Problém plochy - spočítt obsh plochy pod grfem funkce. N úspěšném vyřešení těchto problémů se nezávisle n sobě podíleli Isc Newton (643-77) Definice. : (derivce) Necht funkce f je definován n okolí bodu U(x ). Jestliže existuje limit f(x) f(x ) lim = f (x ) (= f x ), x x x x pk se nzývá derivce funkce f v bodě x. (Jestliže = ±, pk hovoříme o nevlstní derivci.) f(x) f(x lim ) x x x x f(x) f(x Jestliže existuje lim ) x x + x x = f +(x ), pk se nzývá derivce zprv. f(x) f(x Jestliže existuje lim ) x x x x = f (x ), pk se nzývá derivce zlev funkce f v bodě x. Funkce f : x f (x), x I n množině I. se nzývá derivce funkce f Gottfried Wilhelm von Leibniz (646-76). Dlší rozvoj v této oblsti vedl k získání velkého množství mtemtických pozntků, které nzýváme klkulus. Příkld. : Vypočítáme derivci funkce f(x)=x n, n N, x R. Dostneme f f(x) f(x (x ) = lim ) x x x x (x x lim )(x n +x n x + +x x x x x n ) = lim x x x n x n x x = = nx n (x n ) = nx n. y f(x) = x f(x) } f(x) f(x ) x }{{} x x x x
4 Mtemtická nlýz pro FEL Definice. : Necht k funkci f : U(x ) R existují konstnt A funkce ω : U(x ) R tkové, že x U(x ) : f(x) f(x ) = A (x x ) + ω(x x ) lim x x ω(x x ) x x =, pk řekneme, že funkce f je diferencovtelná v bodě x. Položíme h = x x. Funkce df(x, h) = A h se nzývá diferenciál funkce f v bodě x. Vět. : Funkce f má derivci v bodě x (je derivovtelná v x ) právě tehdy, když je diferencovtelná v bodě x. Nvíc pltí df(x, h) = f (x ) h. diferenciál funkce f y ω(h) f (x )h h x x x Poznámk. :. Pro funkci f(x) = x je f(x) f(x ) = (x x )+ = h. Tedy f (x) = df(x, h) = dx(x, h) = h, proto se pro diferenciál funkce f v bodě x zvádí znčení df(x, h) = f (x ) dx.. Diferenciál funkce f určuje hlvní (lineární) změnu funkce f v bodě x používá se pro výpočet přibližných hodnot dné funkce n okolí bodu x pomocí vzthu f(x). = f(x ) + f (x )(x x ). Npříkld pro funkci f(x) = x body x = 4,, x = 4 dostneme 4, =. 4+ (4, 4) =,5. 4 3. Rovnice tečny ke grfu funkce f v bodě [x, f(x )] má tvr y f(x ) = f (x )(x x ). 4. Pokud f (x ), pk rovnice normály ke grfu funkce f v bodě [x, f(x )] má tvr y f(x ) = f (x ) (x x ).
Mtemtická nlýz pro FEL 5 Vět. : (lgebr derivcí) Necht existují derivce f (x ), g (x ), pk pltí: i) ( f ± b g) (x ) = f (x ) ± b g (x ),, b R, ii) (f g) (x ) = f (x ) g(x ) + f(x ) g (x ), ( f ) (x iii) ) = f (x ) g(x ) f(x ) g (x ), g(x g g ). (x ) Vět.3 : (Derivce složené inverzní funkce) Necht funkce f je diferencovtelná v bodě x, y = f(x ) funkce g je diferencovtelná v bodě y, potom i složená funkce g(f(x)) je diferencovtelná v bodě x pltí (g(f(x))) (x ) = g (y ) f (x ). Necht f (x ), pk pro derivci inverzní funkce f v bodě y = f(x ) pltí Příkld.3 : (f ) (y ) = f (x ) = f (f (y )).. ( x ) = (e x ln ) = (y = x ln ) = (e y ) (x ln ) = e x ln ln ( x ) = x ln.. (rctg y) (y ) = (tn x) (x ) = cos (x ) = +tn (x ) = +tn (rctn(y )) = +(y ) (rctg x) = +x. = cos (x )+sin (x ) cos (x ) = ((x + ) cos x e x ) = cos x e x + (x + ) (cos x e x ) = cos x e x +(x+)( sin x) e x + (x + ) cos x e x. ( (tg x) sin x = cos x) = cos x cos x sin x( sin x) = cos x cos x (tg x) = cos x. Derivceinverznífunkce y y x f (x) f(x) x Npříkld = (x) = (e ln x ) = e ln x (ln x) = x (ln x) (ln x) = x.
6 Mtemtická nlýz pro FEL Tbulk : Přehled derivcí zákldních funkcí (e x ) = e x x R ( x ) = x ln >,, x R (ln x) = x x (, ) (log x) = x ln >,, x (, ) (x α ) = α x α α R, x (, ) (x n ) = n x n n N, x R (sin x) = cos x (cos x) = sin x (tg x) = cos x (cotg x) = sin x x R x R x (k + ) π, k Z x kπ, k Z (rcsin x) = x x (, ) (rccos x) = x x (, ) (rctg x) = +x x R (rccotg x) = +x x R (sinh x) = cosh x (cosh x) = sinh x (tgh x) = cosh x x R x R x R (cotgh x) = sinh x x (rgsinh x) = x + (rgcosh x) = x x R x (, ) (rgtgh x) = x x (, ) (rgcotgh x) = x x (, ) (, )
Mtemtická nlýz pro FEL 7 Integrály. Neurčité integrály Už víme, že derivce s (t) funkce s(t) popisující ujetou vzdálenost ut v závislosti n čse t udává jeho rychlost v(t). V této kpitole budeme řešit opčný problém. K dné rychlosti budeme hledt ujetou vzdálenost. Definice. : Funkce F se nzývá primitivní funkce k funkci f n množině M, jestliže x M : F (x) = f(x). Definice. : Množin všech primitivních funkcí k funkci f se nzývá neurčitý integrál funkce f znčí se f(x) dx = F (x) + C, C R. Necht G, F jsou primitivní funkce k funkci f n množině M, pk x M pltí: (G F ) (x) = f(x) f(x) =. Odtud vyplývá, že existuje konstnt C R tková, že G(x) F (x) = C. Konstnt C se nzývá integrční konstnt. Příkld. :. Funkce s(t) popisující dráhu ut je primitivní funkcí k funkci v(t) popisující rychlost ut.. Funkce x 3 +, x 3 3 jsou primitivní k funkci 3x n R pro neurčitý integrál k funkci 3x pltí 3x dx = x 3 + C, C R. Znk integrálu f(x) dx Integrnd Integrální proměnná Úloh njít primitivní funkci je obrácená k úloze nlézt derivci dné funkce. Z linerity operce derivování (vět (.) i)) plyne i linerit neurčitého integrálu. Vět. : Necht funkce f, g mjí primitivní funkce n intervlu I, α, β R, potom pltí [α f(x) ± β g(x)] dx = α f(x) dx ± β g(x) dx. Příkld. : 3 e x sin x dx = 3 e x dx sin x dx = 3 e x + cos x + C. Ze znlosti derivcí zákldních funkcí lze odvodit následující primitivní funkce.
8 Mtemtická nlýz pro FEL Tbulk : Zákldní primitivní funkce e x dx = e x + C x dx = x + C ln x R >,, x R x n dx = xn+ n+ + C n N, x R x dx = ln x +C x R \ {} x α dx = xα+ α+ + C α, x (, ) sin x dx = cos x + C x R cos x dx = sin x + C dx = tg x + C x cos x dx = cotg x + C x sin x x R (k + ) π, k Z kπ, k Z x dx = rcsin x + C = rccos x + C x (, ) dx = rctg x + C = rccotg x + C +x x R cosh x dx = sinh x + C x R sinh x dx = cosh x + C dx = tgh x + C x cosh x x R R dx = cotgh x + C x sinh x +x dx = rgsinh x + C = ln x + + x +C x R dx = rgcosh x +C = ln x + x x +C x (, ) dx = rgtgh x + C x (, ) x dx = rgcotgh x + C x (, ) (, ) x
Mtemtická nlýz pro FEL 9 Ze vzthu pro derivci součinu dvou funkcí (vět (.) ii)) plyne následující vět. Vět. : (integrce per prtes) Necht funkce u, v jsou derivovtelné n intervlu I existuje primitivní funkce k součinu u v n I, pk n I pltí u (x) v(x) dx = u(x) v(x) u(x) v (x) dx. Příkld.3 : ) Vypočtěte integrál x cos x dx. [ ] u = cos x v = x x cos x dx = u = sin x v = x sin x sin x dx = = x sin x + cos x + C. ) Vypočtěte integrál log x dx. [ ] u log x dx = = v = log x u = x v = x ln x log x x ln + C. 3) Vypočtěte integrál (+x ) dx. u = x v = = x log x x x ln dx = Obecně oznčíme I n = (+x ) dx, n N pomocí n metody per prtes dostneme I n = [ ] u = v = x (+x ) dx = = n (+x ) n x( n x) (+x ) n+ dx = x (+x ) n + n (+x ) n n x (+x ) n+ +x x (+x ) dx = n+ (+x ) + n n ( (+x ) n (+x ) dx) = x n+ (+x ) + n (I n n I n+ ). ( ) Odtud vyplývá I n+ = x n (+x ) + (n )I n n. Podobně počítáme integrály funkcí x n cos kx, x n sin kx, x n e kx, k, n N. Podobně počítáme integrály funkcí rcsin x, rccos x, rctg x, R p. Nyní vypočítáme (+x ) dx = (n = ) ( x (+x ) + ( ) ) ( ) +x dx = x +x + rctn x + C.
Mtemtická nlýz pro FEL Typickými integrály, které lze spočítt pomocí věty o substituci jsou ln x tg x dx ; x dx ; rcsin x x dx ; rgsinh x + x dx p. Vět.3 : (integrce substitucí) Necht f : D(f) H(f), g : D(g) H(g) H(f) D(g). Jestliže funkce f je derivovtelná n D(f) existuje primitivní funkce G k funkci g n D(g), potom n D(f) pltí g(f(x)) f (x) dx = g(y) dy = G(f(x)) + C, C R. Příkld.4 : Větu.3 je vhodné použít v příkldech, kdy se v integrálu vyskytuje funkce f její diferenciál f dx, pk provedeme substituci z funkci f. ( cotg x dx = cos x y = sin x ) sin x dx = = dy = cos x dx y dx = ln y + C = ln sin x + C. Obráceně je někdy výhodné proměnnou x nhrdit funkcí x(t). V tomto přípdě všk musíme mít zručenou existenci inverzní funkce x (t). x dx = ( x = cos t t (, π) dx = sin t dt t = rccos x ) = ( sin t) dt = ( pro t (, π) cos sin t t sin t dt = je sin t > dt = t + C = rccos x + C. ) = Rcionální lomené funkce mjí tvr R(x) = P (x) Q(x), kde P (x), Q(x) jsou polynomy. Integrály typu R(x) dx Nejdříve budeme integrovt zákldní rcionální funkce typu. A x x dx, kde A, x R. ( 3 u = x 4 ) x 4 dx = = 3 du = dx u du = 3 ln x 4 + C.. A (x x dx, kde A, x ) k R, k N \ {}. ( u = x ) ( x) dx = 3 du = dx ( x) + C. = u 3 ( du) = u = 3. Ax+B x +px+q dx, kde A, B, p, q R jmenovtel zlomku má komplexní kořeny. x+ x +x+ dx = ( x+ u = x x +x+ dx = + x + ) = du = (x + )dx
Mtemtická nlýz pro FEL ( u du v = x + ) (x+) + dx= =ln u +C dv = dx v + dv = ln x + x + rctg (x + ) + C. 4. Ax+B dx, kde A, B, p, q R, k N \ {} jmenovtel zlomku má komplexní (x +px+q) k kořeny. 6x 3 (x +4) dx = 3 ( x u = x (x +4) dx = + 4 ) = du = x dx 3 u du 3 ( v = x ) dx = = 6(( x +) dv = dx ) 3 u + C 3 ( 8 ) 3 8 ( v v + + rctg v) (v +) dv = (viz příkld (.) 3) = 3 x +4 + C = 3 x +4 3 6 ( x x +4 + rctg x ) + C. Rozkld n prciální zlomky Z lgebry víme, že polynom Q(x) lze rozložit n součin polynomů nejvýše druhého stupně. Tedy Q(x) = (x x i ) k i (x +p j x+q j ) r j, k i, r j N, p j, q j R. i=,...,n j=,...,m Rcionální lomenou funkci R(x) = P (x) Q(x), kde P (x), Q(x) jsou polynomy stupeň P (x) < stupeň Q(x) rozložíme n součet zákldních rcionálních funkcí: R(x) = n A i x x i + A i (x x i ) + + A k i (x x i ) + m B j x+c j k i x +p j x+q j + B j x+c j (x +p j x+q j ) + i= + B r j x+c rj (x +p j x+q j ) r j jednotlivé zlomky integrujeme zvlášt, npříkld: x+ x 4 x 3 +x x+ dx= x+ (x ) (x +) dx= A x + B (x ) + Cx+D x + dx = A(x )(x +)+B(x +)+(Cx+D)(x ) (x ) (x +) j= dx = x + (x ) + x x + dx = ln x (x ) + ln x + rctg x + C. Konstnty A, B, C, D vypočítáme z rovnosti x + = A(x )(x + ) + B(x + ) + (Cx + D)(x ). Pro x = je 4 = B B =. Pro x = i je i + = (Ci + D)(i ) i + = C id C =, D =. Pro x = je = A( ) + A =. Rozkld n prciální zlomky je inverzní o- perce k operci hledání společného jmenovtele. V přípdě, kdy stupeň P (x) stupeň Q(x), nejdříve vydělíme polynom P (x) polynomem Q(x) pk přejdeme k prciálním zlomkům.
Mtemtická nlýz pro FEL Zákldní vzthy pro goniometrické funkce cos x + sin x = cos x = cos x sin x cos +cos x x = sin cos x x = sin x = sin x cos x. t=tg x t = sin x cos x t cos x = cos x cos x(t + )= cos x = +t. Integrály typu R(sin x, cos x) dx Řešíme přechodem k rcionálním lomeným funkcím pomocí následujících substitucí.. Pokud R( sin x, cos x) = R(sin x, cos x), pk t = cos x. Pokud R(sin x, cos x) = R(sin x, cos x), pk t = sin x. ( t = cos x ) sin x cos x dx = = t dt = sin x dx dt = t3 3 + C = cos3 x 3 + C. ( t = sin x t, ) cos x dx = = dt dt = cos x dx cos x cos x = dt = dt sin x t = rgtgh t + C = rgtgh (sin x) + C.. Pokud R( sin x, cos x) = R(sin x, cos x), pk t = tg x, x (k+)π, k Z pltí x = rctg t, dx = dt +t, sin x = t +t, cos x = +t. dx = +t dt = +t dt = sin x+ t +t + t ++t +t ( dt = t) + ( u = t du = ) = du dt u + = rctg ( tg x) + C. V některých speciálních přípdech je vhodné použít zákldní vzthy pro goniometrické funkce. dx = sin x+cos x sin 4 x sin 4 x ( u = cotg x du = dx sin x Metod snižování stupně. cos x dx = +cos x = ( u = x du = dx dx = sin x + sin x cotg x dx = ) = cotg x u du= cotg x cotg 3 x 3 +C. dx = ) = (x + [ + cos x] dx cos u du) = x + 4 sin x + C. 3. V obecném přípdě používáme univerzální substituci t = tg x, x (k + )π, k Z. Potom x = rctg t, dx = dt +t, sin x = t +t, cos x = t +sin x dx = = ( u = t + du = dt 4 3 ) dt +t dx = dt + t +t t +t+ = dt (t+ ) + 3 4 +t. = du = ( du v = u + 3 3 4 4(( 3 u) +) = 3 u dv = 3 du 3 dv v + = 3 rctg v + C = 3 rctg ( 3 tg x + 3 ) + C. ) =
Mtemtická nlýz pro FEL 3. Určité integrály Definice.3 : Necht k funkci f :, b R existuje primitivní funkce F :, b R (v krjních bodech uvžujeme jednostrnné derivce). Pk rozdíl F (b) F () nzýváme Newtonovým určitým integrálem funkce f n intervlu, b píšeme F (b) F () = b f(x) dx. Uvedený vzth se nzývá Newtonov-Leibnizov formule tké píšeme F (b) F () = [F (x)] b = Číslo se nzývá dolní mez, číslo b se nzývá horní mez Newtonov integrálu. Množinu všech funkcí, které mjí Newtonův integrál n intervlu, b znčíme N (, b ). b f. Pro jednoduchost si nyní předstvíme, že rychlost nšeho ut je konstntní v(t) = c. Ujetá dráh ut s(t) v čse t od počátku měření v čse t je pk dán vzthem s(t) s(t ) = c (t t ). Rozdíl s(t) s(t ) se zároveň rovná ploše pod grfem funkce v n intervlu t, t. Připomeňme, že funkce s(t) je primitivní k funkci v(t). Pltí, že i v obecnějším přípdě lze primitivní funkci využít k výpočtu plochy pod grfem funkce. Vět.4 : (vlstnosti Newtonov integrálu) ) Newtonův integrál nezávisí n volbě primitivní funkce. ) Necht f N (, b ), c, b, pk pltí b b f(x) dx = f(x) dx = c b f(x) dx, f(x) dx + b c f(x) dx. f(x) dx =, 3) Necht f, g N (, b ), α, β R, pk pltí b αf(x) + βg(x) dx = α b f(x) dx + β (Tedy množin N (, b ) je lineární prostor.) Příkld.5 : x dx = [x + C] = [x ] = 4. b g(x) dx. π π [3 cos x sin x] dx = 3 cos x dx + sin x dx = π 3 [sin x] π + [ cos x] π = 3 ( ) ( ( )) = 4.
4 Mtemtická nlýz pro FEL Následující dvě věty vyplývjí z vět (.) (.3). Vět.5 : (per prtes v Newtonově integrálu) Necht funkce u, v jsou derivovtelné n intervlu, b (v krjních bodech zprv, popř. zlev) u v N (, b ), potom tké u v N (, b ) pltí Produkce plynu Ze zkušeností víme, že nový vrt produkuje si f(t) =. t e.t milionů kubických metrů plynu z t měsíců. Pokud chceme odhdnout celkovou produkci P (t) vrtu z jeden rok, pk musíme spočítt integrál P (t) =. t e.t dt. Pomocí metody per prtes dostneme. t e.t dt = ( [t e.t ] + e.t dt).=. b u (x) v(x) dx = Příkld.6 : [ ] b b u(x) v(x) Vypočtěte integrál u(x) v (x) dx. e x sin x dx. Metodu per prtes použijeme dvkrát. [ ] u e x sin x dx = = e x v = sin x u = e x v = [e = cos x x sin x] [ ] u e x cos x dx = = e x v = cos x u = e x v = [e = sin x x sin x] [e x cos x] e x sin x dx. Odtud vyplývá e x sin x dx = [ex (sin x cos x)] = e (sin cos ) +. Vět.6 : (substituce v Newtonově integrálu) Necht f : D(f) H(f), g : D(g) H(g) H(f) D(g). Jestliže funkce f je derivovtelná n D(f) existuje primitivní funkce G k funkci g n D(g), potom pro, b D(f) pltí b g(f(x)) f (x) dx = f(b) g(y) dy = G(f(b)) G(f()). f() e ln x dx = x ( y = ln x ) dy = dx x ln e ln [ y dy = ] y = =. ) Příkld.7 : = π π x dx = cos t dt = sin t dt = [t] = π π. ( x = sin t = sin = π dx = cos t dt = sin b b = π ( cos t pro t ( π cos t dt = ), ) ) = je cos t >
Mtemtická nlýz pro FEL 5 Definice.4 : (nevlstní integrál vlivem meze) Necht funkce f N (, b ) pro kždé b >. Necht existuje b limit lim f(x) dx, pk se nzývá nevlstní Newtonův b integrál vlivem meze píšeme b lim f(x) dx = b f(x) dx. Znčíme f N (, )) říkáme, že nevlstní integrál konverguje; v opčném přípdě diverguje. Anlogicky f(x) dx = b c f(x) dx = lim f(x) dx + c b f(x) dx definujeme f(x) dx, c R. Příkld.8 : ) x α b dx = lim x α dx = lim [ b b α+ (bα+ )] = { α > diverguje α+ α < konverguje. ) x dx = lim [ln b x ]b = [ln x] = diverguje. Integrál sin x dx neexistuje, někdy je proto vhodné prcovt s hlvní hodnotou nevlstního integrálu, která je definován vzthem v.p. f(x) dx = lim c c c f(x) dx. (v.p. je z frncouzského vleur principle). Definice.5 : (nevlstní integrál vlivem funkce) Necht t (, b) je funkce f N (, t ) f N (, b ). Necht existuje limit lim t b t f(x) dx, pk se nzývá nevlstní Newtonův integrál vlivem funkce píšeme t lim t b f(x) dx = b f(x) dx. Znčíme f N (, b)) říkáme, že nevlstní integrál konverguje, v opčném přípdě diverguje. Anlogicky b f(x) dx = lim t + b t f(x) dx. Podobně pro nevlstní integrál vlivem funkce definujme hlvní hodnotu vzthem v.p. c ( b δ lim δ + c b+δ f(x) dx = f(x) dx + ) f(x) dx.
6 Mtemtická nlýz pro FEL Příkld.9 : ) ) x α dx = lim t + t x α dx = lim [ t + α+ ( tα+ )] = { α < diverguje α+ α > konverguje. x dx = lim [ ln x t + ] t = [ln x] = diverguje..3 Aplikce v geometrii fyzice Při zvedení Riemnnov integrálu jsme sčítli nekonečně mnoho nekonečně mlých ploch -tzv. elementů dostli jsme vlstně obsh plochy pod grfem funkce f. Tento postup lze použít i při výpočtu objemu těles, délek křivek, vykonné práce p. Popis Vzth Obrázek Ploch pod grfem funkce Ploch S je ohrničen grfem funkce f, přímkmi x =, x = b osou x. S = b f(x) dx Element plochy ds = f(x) dx Délk křivky Délk s křivky určené grfem funkce f. s = b + (f (x)) dx Element délky ds. = (dx) + (df) = (dx) + f (x) (dx) = + f (x) dx
Mtemtická nlýz pro FEL 7 Povrch rotčního těles Velikost S plochy vzniklé rotcí grfu funkce f kolem osy x. b S =π f(x) + (f (x)) dx Element povrchu ds. = πf(x) ds = πf(x) + f (x) dx Objem rotčního těles Objem V těles vzniklého rotcí plochy pod grfem funkce f kolem osy x. b V = π f (x) dx Element objemu dv = πf (x) dx Sttický moment Sttické momenty M x, M y plochy S o hustotě ϱ = ϱ(x) vzhledem k osám x, y. M x = M y = b b y (x)ϱ(x) dx xy(x)ϱ(x) dx Sttický moment M těles o hmotnosti m vzhledem k ose otáčení o, která je ve vzdálenosti d od těžiště těles, je dán vzthem M = m d. Těžiště plochy Těžiště T = [x T, y T ] plochy S má souřdnice: x T = M y S, y T = M x S. S je velikost plochy pod grfem funkce f n intervlu [, b]. Moment setrvčnosti Momenty setrvčnosti I x, I y křivky dné grfem funkce f vzhledem k osám x, y. Hmotnost křivky je reprezentován její délkou. b I x = f (x) + (f (x)) dx b I y = x + (f (x)) dx Moment setrvčnosti I těles o hmotnosti m vzhledem k ose otáčení o, která je ve vzdálenosti d od těžiště těles, je dán vzthem I = m d.
8 Mtemtická nlýz pro FEL 3 Diferenciální rovnice R. P. Feymn: Existuje jediný způsob formulce fyzikálních zákonů, to ve tvru diferenciálních rovnic. Nejen fyzik, le i e- kologie, biologie nebo chemie popisují své vzthy pomocí diferenciálních rovnic. z(t)=ce ut z C 3. Motivce N účet v bnce vložíme v čse t = peníze v hodnotě z(). Při úročení s denním úrokem u máme po t dnech n účtu zůsttek z(t ) = z() + z() u t. N účtu tedy přibude z(t ) z() = z() u t rychlost růstu = z() u. Okmžitou změnu účtu dostneme pro je z(t ) z() t z(t t, potom lim ) z() t t t = z () z () = z() u. Uvedená rovnost pltí v libovolném čse t. Tedy z (t) = z(t) u C C 3 t jejím (obecným) řešením je funkce z(t) = C e ut, C R. Pro (počáteční) podmínku z() = z dostneme z = C e C = z (prtikulární) řešení nší úlohy má tvr z(t) = z e ut. 3. Diferenciální rovnice. řádu Definice 3. : (diferenciální rovnice.řádu) Rovnice pro neznámou funkci y = y(x), x I, I R, v níž vystupuje derivce y která je zpsán ve tvru Zobrzení f : R n R se nzývá funkce n- reálných proměnných. Funkce f = f(x, y) je funkce dvou reálných proměnných. F (x, y, y ) = implicitní tvr nebo y = f(x, y) explicitní tvr se nzývá obyčejná diferenciální rovnice prvního řádu. Diferencovtelná funkce y = y(x), x I, která splňuje rovnici () pro kždé x I se nzývá řešení diferenciální rovnice. Podmínk y(x ) = y x I () se nzývá počáteční podmínk úloh (), () se nzývá počáteční (Cuchyov) úloh. ()
Mtemtická nlýz pro FEL 9 Definice 3. : (geometrický popis dif. rovnice.řádu) Grf řešení y = y(x) diferenciální rovnice () se nzývá integrální křivk diferenciální rovnice. Funkce f(x, y) z rovnice y = f(x, y) určuje směrové pole diferenciální rovnice, což je systém tečných vektorů ke grfu řešení. Množin bodů [x, y], pro které je funkce f(x, y) konstntní se nzývá izoklin. Příkld 3. : Pro diferenciální rovnici y = x mjí rovnice izoklin tvr x=c, c je libovolné číslo, což jsou přímky rovnoběžné s osou y. Obecné řešení má tvr y = x + C = ϕ(x, C). Integrální křivky jsou prboly. Pro počáteční podmínku y() = 3 má počáteční úloh (prtikulární) řešení tvr y = x + 3. Definice 3.3 : Obecným řešením diferenciální rovnice y =f(x, y) se nzývá funkce ϕ(x, C) závislá n volitelném prmetru C tková, že k libovolné bodu [x, y ] D(f) (D(f) je definiční obor funkce f) existuje (jediný) prmetr C tkový, že y = ϕ(x, C ) funkce y(x) = ϕ(x, C ) řeší dnou diferenciální rovnici n I. Jestliže kždým bodem integrální křivky nějkého řešení ỹ diferenciální rovnice prochází jiná integrální křivk, pk ỹ nzýváme singulárním řešením rovnice. Příkld 3. : je kždá funkce tvru Řešením rovnice y = y 3 Tečné vektory v rovině-xy mjí tvr (, y ), resp. (, f(x, y)). Izoklin je geometrické místo bodů [x, y], ve kterých tečné vektory k integrál. křivkám jsou rovnoběžné. Rovnici izoklin píšeme ve tvru f(t, x) = C (C je konstnt). Geometricky popíšeme obecné řešení diferenciální rovnice. řádu jko jednoprmetrický systém křivek. Integrální křivk singulárního řešení tvoří tzv. obálku systému křivek obecného řešení. V bodech integrální křivky singulárního řešení je porušen jednoznčnost řešení počáteční úlohy. y(x)= 7 (x+c)3 y y(x) = 7 (x + C)3 (C je libovolná konstnt). Nulová funkce y(x) = je všk tké řešením dné rovnice. Je to singulární řešení, nebot libovolným bodem [x, ] prochází integrální křivk řešení tvru y(x) = 7 (x x ) 3. Cvičení 3. : rovnice Dokžte, že obecné řešení tzv. Clirutovy y xy + y = je funkce y(x) = Cx C singulární řešení má tvr y(x) = 4 x. Nkreslete integrální křivky. [ Zderivováním doszením do původní rovnice ověříme tvrzení. ] x
Mtemtická nlýz pro FEL y(x)=cx C y Vět 3. : Funkce y = y(x), x I je řešením počáteční úlohy (), () právě tehdy, když je řešením integrální rovnice y(x) = y + x x f(ξ, y(ξ)) dξ. (3) x 3.3 Metody řešení diferenciálních rovnic. řádu Při řešení diferenciálních úloh se budeme snžit njít obecné řešení úlohy () tké řešení počáteční úlohy (), (). Metod přímé integrce.. Chceme njít obecné řešení rovnice y = f(x), x I. Určíme systém primitivních funkcí k funkci f, tj. y(x) = F (x) + C.. Chceme-li njít řešení počáteční úlohy y = f(x), y(x ) = y, x I, Necht g(ξ)=f(ξ, y(ξ)) funkce G je primitivní funkce k funkci g, potom G(x) G(x ) = x x g(ξ) dξ pltí (G(x) G(x )) =g(x) =f(x, y(x)). Poznmenejme, že neexistuje žádná univerzální metod n řešení všech typů diferenciálních rovnic. pk ) ze systému primitivních funkcí y(x) = F (x) + C vybereme tkovou, která splňuje počáteční podmínku y = F (x ) + C. (Grf funkce y prochází bodem [x, y ].) Odtud vypočteme C = y F (x ), tkže y(x) = F (x) + y F (x ). b) nebo využijeme větu (3.), potom y(x) = y + x x f(ξ) dξ. Tento výsledek lze smozřejmě tké psát ve tvru x y(x) = y + F (x) F (x ), nebot F (x) = f(ξ) dξ x (primitivní funkce vyjádřená integrálem s proměnnou horní mezí, viz definice 8. v MA).
Mtemtická nlýz pro FEL Příkld 3.3 : Řešíme počáteční úlohu y = x 3 + sin x, y() =, x R. ) Z obecného řešení vypočteme konstntu C: y(x) = x4 4 cos x + C = + C C =. Řešení úlohy má tvr: y(x) = x4 4 cos x +. b) Přímou integrcí dostneme: y(x) = + x Metod seprce proměnných. Touto metodou řešíme rovnice typu y = f (x) f (y), [ξ 3 + sin ξ] dξ = + x4 4 cos x +. kde f, f jsou dné funkce. Rovnici můžeme psát ve tvru dy dx = f (x) f (y), resp. f (y) dy = f (x) dx (seprce proměnných) chápt jko rovnost dvou diferenciálů. Protože y = y(x), pk integrováním dostneme rovnost neboli x x f (y(ξ)) y (ξ) dξ = x x f (ξ) dξ, F (y(x)) = F (x) + C, kde F, F jsou primitivní funkce k funkcím f, f. Poznámk 3. : Vzthu F (y(x)) = F (x) + C říkáme funkcionální rovnice pro neznámou funkci y(x). Tké se nzývá obecný integrál dné diferenciální rovnice, nebot její řešení y(x) je obecným řešením diferenciální rovnice. Říkáme tké, že obecné řešení je obecným integrálem dáno implicitně.
Mtemtická nlýz pro FEL Příkld 3.4 : Stnovme obecné řešení (obecný integrál) diferenciální rovnice y = x sin y. Seprcí proměnných převedeme rovnici n tvr dy dx = x sin y integrováním dostneme sin y dy = x dx nebo cos y = x + C obecný integrál x cos y = C implicitní tvr řešení. Rovnice umožňující přechod k seprci proměnných. Rovnici tvru y = f(x + by + c) rovnice s přímkou převedeme substitucí u = x + by + c n rovnici se seprovtelnými proměnnými. Příkld 3.5 : Příkld dy (x y + ) + dx (4x y + 6) = vyřešíme substitucí u = x y + du = dx dy dy = dx du, potom ( dx du)u + dx (u + 4) = du u + dx (4u + 4) = dx = 4 u u+ du x + C = 4 (u ln u + ) x + C = 4 (x y + ln x y + ) obecný integrál. Rovnici tvru y = f(x, y), kde t R : f(tx, ty) = f(x, y) převedeme substitucí u = y x n rovnici se seprovtelnými proměnnými.
Mtemtická nlýz pro FEL 3 Příkld 3.6 : Příkld y = e y x + y x vyřešíme substitucí u = y x u x = y y = u x + u, potom u x + u = e u + u du dx x = eu e u du = x dx e u = ln x + C e y x = ln x + C obecný integrál. 3.3. Ortogonální systémy integrálních křivek. Z definice (3.) víme, že integrální křivky rovnice y = f(x, y) tvoří jednoprmetrický systém křivek že funkce f(x, y) určuje v bodě [x, y] směrnici tečny k jedné z těchto křivek. Potom hodnot f(x,y) určí směrnici přímky kolmé (normály) v tomtéž bodě. Proto obecné řešení (obecný integrál) rovnice Připomeňme, že dvě přímky ve směrnicovém tvru y = k x + q y = k x + q jsou kolmé, jestliže k k =. y = f(x, y) určí systém integrálních křivek ortogonálních k systému původnímu. Příkld 3.7 : diferenciální rovnice y = y x obecné řešení y(x) = C x systém přímek procházející počátkem ortogonální rovnice y = x y y + x = C systém kružnic se středem v počátku Vidíme, že znlost jednoho systému dovoluje určit systém ortogonální. S úlohmi tohoto typu se můžeme setkt npř. v teorii pole (systém siločr systém ekvipotenciálních čr).
4 Mtemtická nlýz pro FEL 3.4 Lineární diferenciální rovnice. řádu Definice 3.4 : Diferenciální rovnice tvru y = (x) y + b(x), x I (4) se nzývá lineární diferenciální rovnice. řádu. Funkce (x) se nzývá koeficient rovnice funkce b(x) prvá strn rovnice (4). Rovnice y = (x) y se nzývá homogenní diferenciální rovnice. Řešení rovnice (4) metodou vrice konstnty.. Určíme obecné řešení homogenní rovnice y = (x) y seprcí proměnných dy y = (x) dx A(x) je primitivní ln y = A(x) + K funkce k funkci (x) y = e A(x)+K y h = C e A(x) y = e A(x) K R, položíme C = ±e K obecné řešení homogenní rovnice se nzývá fundmentální řešení. Řešení nehomogenní rovnice (4) hledáme ve tvru: y(x) = C(x) e A(x) vrice konstnty C. Zákldem metody vrice konstnty je hledt řešení y ve tvru součinu dvou funkcí, tedy y = C y h. Po doszení do (4) dostneme C y h +Cy h =Cy h+b, což pltí, pokud C y h = C y h zároveň C y h = b. Po doszení do rovnice (4) dostneme C (x) e A(x) + C(x) e A(x) (x) = (x) C(x) e A(x) + b(x). Tedy C (x) e A(x) = b(x) C(x) = prtikulární řešení rovnice (4) má tvr y p (x) = b(x) e A(x) dx ea(x). b(x) dx ea(x)
Mtemtická nlýz pro FEL 5 3. Pro obecné řešení y nehomogenní rovnice (4) pltí y = y h + y p, neboli y = C e A(x) + b(x) e A(x) dx ea(x). Obecné řešení rovnice y = (x)y + b(x) je součtem obecného řešení příslušné homogenní rovnice prtikulárního řešení nehomogenní rovnice. Příkld 3.8 : Njděte obecné řešení rovnice y = y + e x.. Homogenní rovnice y = y má obecné řešení y h (x) = C e x (e x fundmentální řešení).. Řešení nehomogenní rovnice hledáme ve tvru y(x) = C(x) e x, tj. y = C (x)e x + C(x) e x. Po doszení do původní rovnice obdržíme C(x) e x + C(x) e x = C(x) e x + e x, tj. C(x) e x = e x C(x) = e x + K. Bez újmy n obecnosti položíme K = (K e x je homogenní řešení) dostneme prtikulární řešení y p (x) = e x e x = e x. 3. Obecné řešení nehomogenní rovnice má tedy tvr y(x) = y h (x) + y p (x) = Ce x + e x.
6 Mtemtická nlýz pro FEL 3.5 Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu Definice 3.5 : Necht (x), (x),..., n (x), f(x), x I jsou reálné funkce. Lineární diferenciální rovnici n-tého řádu pro neznámou funkci y = y(x) se nzývá rovnice y (n) +... + (x)y + (x)y = f(x), x I. (5) Zkráceně píšeme L[y] = f, říkáme, že L je lineární diferenciální operátor n-tého řádu. Je-li f(x) =, pk se rovnice (5) nzývá homogenní, jink nehomogenní. Funkce y = y(x), která splňuje rovnici (5) pro kždé x I pro x I splňuje počáteční podmínky y(x ) = y, y (x ) = y,, y n (x ) = y n (6) se nzývá řešení počáteční úlohy (5), (6). Anlogii k Peno-Picrdově větě zručující existenci jednoznčnost řešení pro rovnice.řádu je následující vět. Vět 3. : (o existenci jednoznčnosti) Necht funkce,,..., n, f jsou spojité n otevřeném intervlu I R. Pk počáteční úloh (5), (6) má právě jedno řešení definovné n celém intervlu I. Příkld 3.9 : Rovnice y + 4y = je diferenciální rovnice. řádu. Tto rovnice má nekonečně mnoho řešení. Jsou to npříkld funkce y (x) = sin x, y (x) = cos x jejich libovolná lineární kombince y = C y + C y obecné řešení. Počáteční podmínky y() =, y () = splňuje funkce y = cos x. Podle předchozí věty (3.) je tto funkce určen jednoznčně ( =, =, = 4, f = jsou spojité funkce n R).
Mtemtická nlýz pro FEL 7 Dále budeme předpokládt, že,,..., n, f jsou spojité funkce n otevřeném intervlu I R n (x) n I. Definice 3.6 : Funkce y (x), y (x),..., y n (x), x I se nzývjí lineárně závislé, jestliže existují konstnty c, c,..., c n tkové, že lespoň jedn je nenulová pltí x I : c y (x) + c y (x) +... + c n y n (x) =. V opčném přípdě říkáme, že funkce y (x), y (x),..., y n (x) jsou lineárně nezávislé. Vět 3.3 : Oznčme K = {y(x) : L[y] = } množinu všech řešení homogenní rovnice. Potom K je lineární prostor dimenze n. Definice 3.7 : Báze prostoru K se nzývá fundmentální systém homogenní diferenciální rovnice L[y] =. Fundmentální systém je tvořen n lineárně nezávislými funkcemi Funkce y (x), y (x),..., y n (x), x I. y(x)=c y (x) + c y (x) +... + c n y n (x), kde c, c,..., c n jsou libovolné konstnty, se nzývá obecné řešení homogenní rovnice. Volbou konstnt c, c,..., c n nebo počátečních podmínek y(x ) = y, y (x ) = y,, y n (x ) = y n získáme řešení (počáteční) úlohy. Množin K se nzývá jádro operátoru L. Konstnty c, c mohou být i z těles komplexních čísel. Existence jednoznčnost funkcí y i plyne z věty (3.). Příkld 3. : Fundmentální systém rovnice y + y = je tvořen funkcemi y (x) = cos x, y (x) = sin x funkce y(x) = c cos x + c sin x je obecným řešením dné rovnice.
8 Mtemtická nlýz pro FEL 3.6 Metody řešení rovnic n-tého řádu 3.6. Homogenní rovnice Rovnice x n y (n) + n x n y (n ) + + x y + y =, kde,,..., n jsou reálné konstnty, se nzývá Eulerov rovnice. Je to lineární rovnice se speciálními proměnnými koeficienty její fundmentální systém tvoří funkce ve tvru y(x) = x λ, (popř. x λ ln x,..., x λ ln k x) λ C. Výkld provedeme n příkldech. A) (jednoduché kořeny) Pro rovnici x 3 y 3x y + 6xy 6y = chceme stnovit tkové hodnoty prmetru λ, by funkce y(x) = x λ byl řešením této rovnice. Protože y = λx λ, y = λ(λ )x λ, y = λ(λ )(λ )x λ 3, pk po doszení do diferenciální rovnice obdržíme x 3 λ(λ )(λ )x λ 3 3x λ(λ )x λ +6xλx λ 6x λ =, tudíž (λ 3 6λ + λ 6) x λ =. Tto rovnost je splněn (při x ) pouze pro kořeny λ =, λ =, λ 3 = 3 uvedeného polynomu. Trojice funkcí y (x) = x, y (x) = x, y 3 (x) = x 3 je lineárně nezávislá, nebot příslušný Wronskián je nenulový (W (x) = x 3, x ), tvoří tedy fundmentální systém Eulerovy rovnice. Obecné řešení rovnice má tvr y = C x + C x + C 3 x 3. B) (vícenásobné kořeny) V přípdě, že λ je k-násobným kořenem polynomu příslušného Eulerově rovnici, potom k tomuto kořenu máme k lineárně nezávislých řešení tvru y (x) = x λ, y (x) = x λ ln x,... y k (x) = x λ ln k x, ptřících do fundmentálního systému.
Mtemtická nlýz pro FEL 9 Při řešení rovnice dostneme: x y + 3xy + y = y(x) = x λ, y = λx λ, y (x) = λ(λ )x λ po doszení x λ(λ )x λ + 3x λ x λ + x λ =, λ λ + 3λ + =, λ + λ + =, λ, =. Do fundmentálního systému rovnice tedy ptří funkce y (x) = x, y (x) = x ln x obecné řešení rovnice má tvr y = C x + C x ln x. C) (komplexní kořeny) Využijeme-li vzthu Jsou-li kořeny polynomu Eulerovy rovnice komplexní, mohou být funkce fundmentálního systému (tj. komplexní funkce reálné proměnné) x +ib, x ib, resp. x +ib ln k x, x ib ln k x, nhrzeny reálnými funkcemi x cos(b ln x), resp. x cos(b ln x) ln k x, x sin(b ln x), x sin(b ln x) ln k x. Při řešení rovnice dostneme: x y + xy + y = x λ(λ )x λ + x λ x λ + x λ =, λ + =, λ = i λ = i. Do fundmentálního systému tedy ptří funkce y (x) = x i, y (x) = x i nebo y (x) = cos(ln x), y (x) = sin(ln x) obecné řešení rovnice má tvr y = C cos(ln x) + C sin(ln x). b = e b ln ( > ) Eulerovy identity e ix = cos x + i sin x, pk pro x > dostneme x ib = cos(b ln x)+ i sin(b ln x). ( Pro x < volíme ln( x) místo ln x. ) Poznmenejme, že L[y + iy ] = L[y ] + il[y ] = L[y ]= L[y ]=.
3 Mtemtická nlýz pro FEL Metod chrkteristické rovnice Řešení homogenní lineární diferenciální rovnice s konstntními koeficienty n-tého řádu n y (n) + n y (n ) +... + y + y = hledáme ve tvru y(x) = e λx (popř. xe λx,..., x k e λx ), kde číselný prmetr λ je kořenem chrkteristické rovnice (chrkteristického polynomu) n λ n + n λ n +... + λ + =. A) (jednoduché kořeny) Řešení rovnice y 4y + 3y = hledáme ve tvru y(x) = e λx. Potom y (x) = λe λx, y (x) = λ e λx po doszení do rovnice máme λ e λx 4λe λx + 3e λx =. Hledáme tedy kořeny chrkteristické rovnice λ 4λ + 3 =, které jsou λ = 3, λ =. Fundmentální systém rovnice je tedy tvořen funkcemi e 3x, e x obecné řešení rovnice má tvr y(x) = C e 3x + C e x. B) (vícenásobný kořen) Chceme vyřešit rovnici Její chrkteristická rovnice y 3y + 3y y =. λ 3 3λ + 3λ = má trojnásobný (k = 3) kořen λ =. V tomto přípdě je fundmentální systém rovnice tvořen funkcemi y (x) = e x, y (x) = x e x, y 3 (x) = x e x obecné řešení rovnice má tvr y = C e x + C x e x + C 3 x e x.
Mtemtická nlýz pro FEL 3 C) (komplexní kořeny) Hledáme obecné řešení rovnice y + 4y + 3y =. Kořeny chrkteristického polynomu λ +4λ+3 jsou komplexní čísl λ = + 3i, λ = 3i. Fundmentální systém je tvořen funkcemi y (x) = e ( +3i)x = e x (cos 3x + i sin 3x), y (x) = e ( 3i)x = e x (cos 3x i sin 3x), které lze zpst jko lineární kombince funkcí ŷ (x) = e x cos 3x, ŷ (x) = e x sin 3x. Z lineární lgebry víme, že jestliže komplexní číslo z = +ib je kořenem polynomu, potom tké komplexně sdružené číslo z = ib je kořenem dného polynomu. Máme tedy jinou bázi lineárního prostoru K ={y : L[y]=} obecné řešení tk můžeme psát ve tvru y(x) = e x (C cos 3x + C sin 3x). Cvičení 3. : Stnovte obecné řešení rovnice y y 3y =. [ y(x) = C e x + C e 3x. ] Cvičení 3.3 : Vyřešte rovnici y (5) 3y (4) + 3y y =. [ λ, = dvojnásobný kořen λ 3,4,5 = trojnásobný kořen, obecné řešení y(x) = C + C x + C 3 e x + C 4 x e x + C 5 x e x. ] Cvičení 3.4 : Vyřešte rovnici y (4) + 8y + 6y =. [ λ, = i dvojnásobný kořen λ 3,4 = i dvojnásobný kořen, obecné řešení y(x) = C cos x + C x cos x + C 3 sin x + C 4 x sin x. ]
3 Mtemtická nlýz pro FEL 3.6. Nehomogenní rovnice Metod vrice konstnt pro řešení nehomogenních lineárních diferenciálních rovnic n tého řádu L[y] = n (x)y (n) + n (x)y (n ) + + (x)y + (x)y = f(x).. Určíme fundmentální systém y (x), y (x),..., y n (x) obecné řešení y h (x) = C y (x) + C y (x) + + C n y n (x) homogenní rovnice L[y] =.. Prtikulární řešení nehomogenní rovnice L[y] = f hledáme ve tvru y p (x) = C (x) y (x) + C (x) y (x) + + C n (x) y n (x), Po doszení obecného tvru prtikulárního řešení y p (x) do původní rovnice, dostneme jednu rovnici s n neznámými funkcemi C (x),, C n (x). Prvních n rovnic v dné soustvě si tedy můžeme volit. Determinnt této soustvy je Wronskián, který je podle věty?? nenulový. Uvedená soustv má tedy řešení kde funkce C (x), C (x),, C n (x) získáme jko řešení soustvy C y + C y + + C ny n =, C y + C y + + C ny n =,.. C y (n ) + C y (n ) + + C ny (n ) n =, C y (n ) + C y (n ) + + C ny n (n ).. = f(x) n (x). 3. Obecné řešení původní nehomogenní diferenciální rovnice je součtem homogenního prtikulárního řešení y(x) = y h (x) + y p (x). Příkld 3. : Stnovme obecné řešení rovnice ( + x ) y x y + y =.. Určíme obecné řešení homogenní rovnice (viz metod snižování řádu příkld (??)) y h (x) = C x + C (x ).
Mtemtická nlýz pro FEL 33. Prtikulární řešení y p nehomogenní rovnice hledáme ve tvru y p (x) = C (x) x + C (x)(x ). Po zderivování: y p = C x + C (x ) + C + x C. Položíme C x + C (x ) = znovu derivujeme y p = C + C + x C. Po doszení do dné rovnice obdržíme (+x )(C + C +x C ) x (C +x C )+ (C x + C (x )) =, odtud po úprvě dostneme ( + x )(C + x C ) =. Dostáváme soustvu lgebrických rovnic pro neznámé funkce C, C : Odtud C = x + C x + C (x ) =, C + x C = x +. x x = (x ) x x (x +) C (x) = x +x + K, x (bez újmy n obecnosti pokládáme : K = ). Jestliže y h je řešením homogenní rovnice L[y h ] =, pk tké L[C y h ] =, C R. Jestliže tedy máme správně řešení homogenní rovnice, potom v metodě vrice konstnt musí vypdnout členy z nederivovnými funkcemi C, C. C = x x + x x x = x (x +) C (x) = +x +(K =). Prtikulární řešení dostáváme ve tvru y p (x) = x + x x + + x (x ) = 3x +. + x 3. Obecné řešení úlohy je tedy funkce y(x) = y h (x) + y p (x) = C x + C (x ) + 3x + + x. Cvičení 3.5 : Metodou vrice konstnt vyřešte počáteční úlohu y y + y = e x, y() =, y () =. [ Obecné řešení y(x) = C e x + C xe x + x ex, řešení poč. úlohy y(x) = e x + x ex. ]
34 Mtemtická nlýz pro FEL 3.6.3 Fyzikální plikce Kirchhoffův zákon v tzv. RLC obvodu Necht i(t) je proud v elektrickém obvodu v závislosti n čse t, u R je npětí n odporu R >, u L je npětí n cívce s indukcí L >, u C je npětí n kondenzátoru s kpcitou C >, u(t) = U sin ωt je npětí n svorkách zdroje, potom pltí u R + u L + u C = u(t), nebo-li Rovnice elektrického obvodu jednoduchého mechnického systému se z mtemtického pohledu neliší, proto hovoříme o rovnici kmitů (elektrických, mechnických). Funkce F cos ω t n prvé strně předstvuje vnější buzení, přičemž F je mplitud ω frekvence vnějšího periodického buzení. K jednoznčnému určení těchto funkcí musíme nvíc znát počáteční hodnoty y(t ), y (t ), resp. i(t ), di(t ). dt Řešení příslušné počáteční úlohy se nzývá odezv systému n počáteční stv n vnější buzení. Ri(t) + L di(t) dt + C t t i(τ) dτ = u(t), t t. Hledáme-li funkci i = i(t) splňující tento zákon, pk derivováním obdržíme diferenciální rovnici. řádu pro neznámou funkci i: L d i dt + R di dt + i C = ωu cos ωt. Rovnice mechnického systému Uvžujeme jednoduchý mechnický systém pohybující se po nerovném povrchu. Vertikální pohyb se řídí Newtonovým pohybovým zákonem my (t) = ky(t) γy (t) + F (t), kde y = y(t) je čsově závislá výchylk těles od klidové polohy, m > je hmotnost systému, k > je tuhost pružiny, γ je koeficient tlumení. Vnější síl F může mít tvr. F (t) = [kϕ(t) + γ ϕ(t)] (buzení vlivem nerovností terénu),. F (t) = F cos ω t (periodické vnější buzení).
Mtemtická nlýz pro FEL 35 3.7 Okrjové úlohy pro rovnice. řádu Okrjovou úlohou nzveme lineární diferenciální rovnici. řádu (x)y + (x)y + (x)y = f(x), (7) kde (x), (x), (x), f(x) jsou funkce n intervlu, b s okrjovými podmínkmi α y() + β y () = γ α, β, γ R, α y(b) + β y (b) = γ α, β, γ R. (8) Podle tvru okrjových podmínek tké dělíme okrjové úlohy n následující typy. Dirichletov okrjová úloh Při této úloze hledáme funkci y = y(x), x, b tk, by pltilo (x)y + (x)y + (x)y = f(x), x (, b), y() = γ, y(b) = γ. kde γ, γ jsou dná reálná čísl. Neumnnov okrjová úloh Nyní hledáme funkci y = y(x), x, b tk, by pltilo John Von Neumnn (93-957). (x)y + (x)y + (x)y = f(x), x (, b), y () = γ, y (b) = γ. Příkld 3. : ) Dirichletov úloh y + y =, x (, π), y() =, y(π) =. Obecným řešením úlohy je y(x) = C cos x+c sin x z okrjových podmínek dostneme = C cos + C sin, = C cos π + C sin π, } C =, C R. teoreticky vybudovl ideu smočinného počítče s progrmem uloženým ve vnitřní pměti některé části teorie utomtů kybernetiky. Řešením okrjové úlohy je funkce y(x) = C sin x.
36 Mtemtická nlýz pro FEL b) Neumnnov úloh y + y =, x (, b), y () = γ, y (b) = γ, y(x)= C cos x+c sin x, } y γ = C sin +C cos, (x)= C sin x+c cos x, γ = C sin b+c cos b, C = γ, γ γ cos b = C sin b. Protože γ, γ, b jsou dná čísl, mohou nstt následující situce. sin b, potom C = γ cos b γ sin b jediné řešení y(x) = γ cos b γ sin b úloh má tedy cos x + γ sin x.. sin b =, γ γ cos b =, potom má úloh nekonečně mnoho řešení tvru y(x) = C cos x + γ sin x, kde C je libovolné reálné číslo. 3. sin b =, γ γ cos b, pk neexistuje řešení dné úlohy. Npříkld Vidíme, že otázky řešitelnosti okrjových úloh jsou mnohem složitější než u počátečních úloh, kde stčil spojitost koeficientů k jednoznčnosti řešení. Obecně pro operátorovou rovnici L[y]=λy hledáme vlstní číslo vlstní funkci, které splňují dnou rovnici. y + y =, y () =, y (π) = nemá žádné řešení. Zde b = π, γ =, γ =. Okrjová úloh s prmetrem neboli Sturmov-Liouvilleov úloh je speciálním přípdem okrjové úlohy (7). Nyní hledáme prmetr λ nenulovou funkci y(x), x, b, tk, by pltilo (x)y + (x)y + (x)y = λy x (, b) s homogenními okrjovými podmínkmi α y() + β y () =, α y(b) + β y (b) =. T hodnot prmetru λ, pro kterou existuje nenulové řešení y(x) této úlohy, se nzývá vlstní číslo úlohy funkce y(x) se nzývá vlstní funkce úlohy odpovídjící vlstnímu číslu λ.
Mtemtická nlýz pro FEL 37 Určíme vlstní čísl vlstní funkce okr- Příkld 3.3 : jové úlohy y = λy, y() =, y(π) =. Pro λ < pro λ = vyplývá z tvru obecného řešení, že úloh má pouze nulové řešení (prověřte!). Pro λ > má obecné řešení tvr y(x) = C cos λx + C sin λx. Z okrjových podmínek dostáváme soustvu rovnic pro neznámé konstnty C, C Odtud = C + C, = C cos λπ + C sin λπ. C =, C sin λπ =. Aby mohlo být C (zjímá nás nenulové řešení!), musí nstt rovnost sin λπ =, tj. λπ = kπ, kde k =,, 3,.... Pro hodnoty λ = λ k úloh nenulové řešení = k : (, 4, 9, 6,...) má okrjová y k (x) = C sin kx. Dostáváme tk posloupnost vlstních čísel {, 4, 9, 6,...} posloupnost jim odpovídjících vlstních funkcí je {sin x, sin x, sin 3x,...}.
38 Mtemtická nlýz pro FEL 3.8 Soustvy lineárních diferenciálních rovnic. řádu Řešením soustvy jsou npříkld funkce y = k sin( k k x), y = k cos( k k x). Motivce: Systém lovec-kořist Necht funkce y popisuje počet lovců (npř. lišek) funkce y počet kořisti (npř. zjíců). Velice zjednodušeně si můžeme předstvit, že rychlost přibývání lovců (tj. y ) je přímo úměrná počtu kořisti, neboli y = k y, k R +. Zároveň rychlost úbytku kořisti (tj. y ) závisí přímo úměrně n počtu lovců, tedy pltí y = k y, k R +. Dostáváme tk soustvu dvou diferenciálních rovnic o dvou neznámých y = k y, y = k y. Obecnou soustvu lineárních diferenciálních rovnic. řádu píšeme ve tvru y = (x)y + (x)y +... + n (x)y n + b (x), y = (x)y + (x)y +... + n (x)y n + b (x),................................................. y n = n (x)y + n (x)y +... + nn (x)y n + b n (x), kde ij (x), b i (x), i, j =,..., n jsou funkce definovné n nějkém intervlu I. Jestliže oznčíme (x), (x),..., n (x) A(x) = (x), (x),..., n (x)............................, n (x), n (x),..., nn (x) Vektorovou funkci y = y(x) řešící počáteční úlohu můžeme geometricky interpretovt jko prmetrické rovnice křivky, fyzikálně pk jko polohový vektor pohybujícího se bodu ve fázovém prostoru. Hovoříme o fázové křivce nebo trjektorii soustvy. b(x) = (b (x), b (x),..., b n (x)) T, y(x) = (y (x), y (x),..., y n (x)) T, můžeme soustvu psát v mticovém tvru y = A(x) y(x) + b(x). Podobně jko v definici (3.5) formulujeme počáteční úlohu. y (x) = A(x) y(x) + b(x), (9) y(x ) = x, x I, x R n () Vektorová funkce y = y(x) splňující rovnici (9) počáteční podmínky () se nzývá řešení počáteční úlohy. Mtice A(x) se nzývá mtice soustvy, vektor b(x) se nzývá vektor prvých strn. Je-li b(x) =, potom se soustv (9) nzývá homogenní.
Mtemtická nlýz pro FEL 39 Poznámk 3. : Kždá soustv n diferenciálních rovnic.řádu y = A y + b(x), kde... y (x)... A=...., y (x) b(x)=., y(x)= y 3 (x).... p p p... p n f(x) y n (x) je ekvivlentní lineární diferenciální rovnici n-tého řádu y (n) + p (n ) y (n ) + + p y + p y = f(x). N soustvy diferenciálních rovnic používáme stejné metody jko pro rovnici jedinou. Použití těchto metod je všk složitější, zvláště když mtice A nemá speciální tvr (digonální, trojúhelníkový, Jordnův). Připomeňme, že všechn řešení homogenní rovnice L[y] = lze zpst ve tvru y h = c y + c y + + c n y n, kde funkce y, y,, y n tvoří fundmentální systém rovnice (viz definice (3.7) vět (3.3)). Podobně lze ukázt, že všechn řešení homogenní soustvy y = A(x) y se djí vyjádřit jko lineární kombince jednoho (zvoleného) fundmentálního systému. 3.9 Metody řešení soustvy diferenciálních rovnic Metod převodu n jednu rovnici n-tého řádu (eliminční metod) Převodem n rovnici. řádu njdeme řešení homogenní soustvy diferenciálních rovnic y = 4y y, y = y + y. Z. rovnice vyjádříme y = y y, zderivujeme y = y y Obecně soustvu obě rovnice dosdíme do. rovnice. Dostneme y (x)=a(x) y + b(x) y y = 4(y y ) y y 5y + 6y =. Obecné řešení této rovnice má tvr y (x) = C e 3x +C e x, potom y (x) = (C e 3x + C e x ) (C e 3x + C e x ) = C e 3x + C e x. Obecným vektorem řešení soustvy je vektorová funkce ( ) ( ) ( ) C e y(x) = 3x + C e x e 3x e x = C +C. C e 3x + C e x e 3x } {{ } y e x } {{ } y převádíme n jednu rovnici n-tého řádu derivováním, npříkld první rovnice, postupnou elimincí osttních neznámých funkcí.
4 Mtemtická nlýz pro FEL ( ) ( ) e 3x e x Říkáme, že vektorové funkce y = e 3x, y = e x tvoří ( ) e fundmentální systém soustvy mtice Y = 3x e x se nzývá fundmentální mtice soustvy. ( ) Oznčíme-li vektor konstnt C C =, pk řešení soustvy C ( ) ( ) e můžeme psát ve tvru y = 3x e x C = Y C. e 3x Všimněme si, že ( čísl λ) = 3, λ = jsou( vlstní ) čísl( mtice soustvy A = vektory ) 4 h =, h = jsou jim odpovídjící vlstní vektory. Obecné řešení soustvy tedy můžeme psát ve tvru y(x) = C h e λx + C h e λx. Tento pozntek zobecníme v následujícím prgrfu. e x C e 3x e x Metod fundmentálního systému fundmentální mtice Nyní máme homogenní soustvu n diferenciálních rovnic s konstntními koeficienty y = A y, x I. () Řešení soustvy () hledáme ve tvru y = he λx, kde h je konstntní vektor. Po doszení do () dostneme λ he λx = A he λx, nebo-li (λi A) h =, kde I je jednotková mtice. Tudíž λ je vlstní číslo mtice A h je odpovídjící vlstní vektor. Různá násobnost vlstního čísl vede k následujícím možnostem. V přípdě, že máme n různých vlstních čísel mtice A, pk kždé je jednonásobné. ) Necht λ i, i =,..., n jsou nvzájem různá vlstní čísl (obecně komplexní) mtice A h i (i =,..., n) jsou odpovídjící lineárně nezávislé vlstní vektory. Potom vektorové funkce y i (x) = h i e λ ix, i =,,..., n
Mtemtická nlýz pro FEL 4 jsou lineárně nezávislá řešení homogenní soustvy y = A y tvoří fundmentální systém dné homogenní soustvy. Mtice Y(x) (řádu n), jejíž sloupce jsou tvořeny fundmentálním systémem, tj. ( Y(x) = h e λx, h e λx,..., h n e nx) λ se nzývá fundmentální mticí soustvy (). Obecné řešení soustvy () definujeme jko vektorový násobek fundmentální mtice resp. v rozepsné podobě y(x) = Y(x) C, y(x) = C h e λ x + C h e λ x + + C n hn e λ nx, kde C = (C, C,..., C n ) T je libovolný konstntní vektor. Příkld 3.4 : Určíme fundmentální mtici obecné řešení soustvy y = 5y y y 3 y = y + y + y 3 y 3 = 4y 6y 6y 3. Zde máme det(λi A) = det A = 5 4 6 6 λ 5 λ 4 6 λ + 6, =λ(λ )(λ+). Vlstní čísl odpovídjící vlstní vektory mtice A jsou: λ =, h =(,, ) T (řešení soustvy A h= ), λ =, h =(,, ) T (řešení soustvy (I A) h= ), λ 3 =, h3 =(,, 4) T (řešení soustvy ( I A) h= ). Fundmentální mtice má tedy tvr Y(x)=, obecné řešení má tvr e x, 4 e x e x e x = e x e x 4e x y(x) = Y(x) C = C h + C h e x + C 3 h3 e x.
4 Mtemtická nlýz pro FEL b) Necht λ i je r i -násobným vlstním číslem mtice A. V tomto přípdě je situce složitější v závislosti n počtu lineárně nezávislých vlstních vektorů mtice A příslušných vlstnímu číslu λ. Abychom se vyhnuli použití Jordnov tvru mtice A, musíme se spokojit s konsttováním, že ve fundmentálním systému, fundmentální mtici v obecném řešení vystupují lineární kombince funkcí typu (viz tké metodu chrkteristické rovnice pro diferenciální rovnici n- tého řádu) e λ ix, xe λ ix, x e λ ix,..., x k e λ ix, k r i. Vektorové funkce, které ve fundmentálním systému přísluší vlstnímu číslu λ i budeme hledt ve tvru P i (x) P i (x) y(x) =. eλ ix, P in (x) kde koeficienty polynomů P ij (x) stupně nejvýše r i určíme z poždvku, by funkce y(x) byl řešením soustvy bychom dostli chybějící lineárně nezávislá řešení. Sestrojíme pk fundmentální mtici Y(x) obecné řešení vyjádříme ve tvru y(x) = Y(x) C, C = (C, C,..., C n ) T. Příkld 3.5 : Stnovme obecné řešení, fundmentální systém fundmentální mtici soustvy y = A y tvru y = y y, y = y. ( ) Mtice A = dné soustvy má dvojnásobné vlstní číslo λ, = jeden vlstní vektor h = (, ) T. Odpovídjící řešení y(x) = he x nestčí k určení obecného řešení. Budeme jej proto hledt ve tvru ( ) + y(x) = x e x. b + b x
Mtemtická nlýz pro FEL 43 Doszením do soustvy y = A y dostneme ( ) ( ) ( ) ( + x e x + e x + = x b + b x b + b x b ) e x neboli + x + = + x b b x, b + b x + b = + x. Odtud plyne b =, b = ; tkže obecné řešení má tvr ( ) ( ) ( ) + y(x) = x x e x = ( ) + x e x + e x. + x Fundmentální mtici sestvíme z funkcí fundmentálního systému, tj. ( ) e x xe Y(x) = x e x ( + x)e x sndno prověříme, že pltí Y = AY. Pozorování: obecné řešení lze uprvit n tvr ( ) (( ) ( )) y(x)= e x + +x e x = he x + ( v + x h) e x, kde h = (, ) T je vlstní vektor mtice A odpovídjící dvojnásobnému vlstnímu číslu λ, = v je nenulové řešení nehomogenní soustvy (A λ, I) v = h. Příkld 3.6 : Njdeme obecné řešení soustvy y = y y = y + y 3 y 3 = y 3 Kořeny chrkteristické rovnice λ det λ = (λ ) 3 = λ jsou λ,,3 =. K vícenásobnému vlstnímu číslu může ptřit více lineárně nezávislých vlstních vektorů, popřípdě řetězec vektorů.
44 Mtemtická nlýz pro FEL Vlstní číslo λ = je trojnásobné. Obecné řešení proto hledáme ve tvru + x + 3 x y(x) = b + b x + b 3 x e x. c + c x + c 3 x Doszením do původní soustvy po vydělení e x dostneme + 3 x + + x + 3 x = + x+ 3 x b + b 3 x + b + b x + b 3 x = b +b x +b 3 x +c +c x+c 3 x c + c 3 x + c + c x + c 3 x = c +c x +c 3 x. Odtud plyne 3 = 3 3 + = + = b 3 = b 3 + c 3 b 3 + b = b + c b + b = b + c c 3 = c 3 c 3 + c = c c + c = c, Vlstnímu číslu λ= přísluší dv lineárně nezávislé vlstní vektory h = (,, ) T, h = (,, ) T s vektorem h tvoří řetězec vektor v = (,, ) T. neboli = 3 =, R, b = c, b 3 =, b R, c = c 3 =, c R. Obecné řešení má tedy tvr y(x) = b +c x e x = e x +b e x +c +x e x. c Příkld 3.7 : Stnovme obecné řešení fundmentální mtici soustvy y = y + y, y = y + 4y 3, y 3 = y 4y 3. Kořeny chrkteristické rovnice λ + det λ + 4 = λ 3 + 6λ + 9λ = λ + 4 jsou λ, = 3, λ 3 =.