Teorie řízení technologických procesů II

Nadpis kapitoly nebo odstavce Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava Teorie řízení technologických procesů II učební text Milan HEGER, Alois BURÝ Ostrava 27

Nadpis kapitoly nebo odstavce POKYNY KE STUDIU Teorie řízení technologických procesů II Pro předmět Teorie řízení technologických procesů II, jste obdrželi studijní balík obsahující integrované skriptum pro kombinované studium obsahující i pokyny ke studiu. Prerekvizity Pro studium tohoto předmětu se doporučuje absolvování předmětu Teorie řízení technologických procesů I, bakalářského studia. Cílem předmětu a výstupy z učení Cílem předmětu je seznámení s problematikou automatického řízení a problematice řešení úloh řízení technologických agregátů obecně. Po prostudování předmětu by měl student být schopen: výstupy znalostí: Student bude znát základní pojmy a vztahy teorie automatického řízení. Student bude znát pokročilé principy řízení. Student bude znát pokročilé funkce řídicích systémů. výstupy dovedností: Student bude umět řídit základní technologické procesy. Student bude umět zhodnotit vhodnost jednotlivých metod řízení pro konkrétní technologický proces. Student bude umět interpretovat probranou problematiku do technických aplikací automatického řízení. Student bude umět demonstrovat možnosti aplikace umělé inteligence do řídicích systémů. Pro koho je předmět určen Předmět je zařazen do bakalářského studia na FMMI, ale může jej studovat i zájemce z kteréhokoliv jiného oboru, pokud splňuje požadované prerekvizity. Studijní opora se dělí na části, kapitoly, které odpovídají logickému dělení studované látky, ale nejsou stejně obsáhlé. Předpokládaná doba ke studiu kapitoly se může výrazně lišit, proto jsou velké kapitoly děleny dále na číslované podkapitoly a těm odpovídá níže popsaná struktura. Při studiu každé kapitoly doporučujeme následující postup: Pozorně přečíst teoretickou část kapitoly. 2

Ihned si na počítači vyzkoušet všechny, byť jen dílčí příklady. Nadpis kapitoly nebo odstavce Vytvořit všechny programy, které jsou v zadání úloh k řešení a snažit se je tvůrčím způsobem modifikovat. Způsob komunikace s vyučujícími: Podrobnější pokyny, tak jako úkoly, programy a projekty budou zadány vyučujícím na počátku přímé kontaktní výuky. Výsledky budou kontrolovány dle pokynů vyučujícího. Konzultace je možno domluvit s vyučujícím přímo ve výuce nebo e-mailem s vyučujícím, který naleznete v kontaktech VŠB-TU Ostrava. K orientaci v textu vám mohou sloužit následující ikony: Čas ke studiu: xx hodin Na úvod kapitoly je uveden čas potřebný k prostudování látky. Čas je orientační a může vám sloužit jako hrubé vodítko pro rozvržení studia celého předmětu či kapitoly. Čas strávený nad každou kapitolou bude značně závislý na množství příkladů, které budete řešit samostatně na počítači a hloubce jejich propracování. Cíl: Po prostudování tohoto odstavce budete umět popsat... definovat... vyřešit... Nejprve se seznámíte s cíli, kterých máte dosáhnout po prostudování této kapitoly. Jde o konkrétní dovednosti, znalosti a praktické zkušenosti, které studiem kapitoly získáte. Výklad Následuje výklad studované látky, zavedení nových pojmů, jejich vysvětlení, vše doprovázeno obrázky, tabulkami, příklady a odkazy na výukové programy s animacemi. Shrnutí pojmů Na závěr kapitoly jsou stručně zopakovány významné pasáže a pojmy, které si máte osvojit. Otázky 3

Nadpis kapitoly nebo odstavce Pro ověření, že jste dobře a úplně látku kapitoly zvládli, máte k dispozici několik teoretických, ale i praktických otázek. Úlohy k řešení Protože většina teoretických pojmů tohoto předmětu má bezprostřední význam a využití v praxi, jsou Vám nakonec předkládány i praktické úlohy k řešení. V nich je hlavní význam předmětu, a to schopnost aplikovat čerstvě nabyté znalosti při řešení reálných situací. Spojení s pedagogem Pro studenty kombinovaného studia jsou přednášející a cvičící pedagogové připraveni konzultovat probíranou problematiku formou e-mailu, které je aktuálně snadné získat v kontaktech VŠB-TU Ostrava. Úspěšné a příjemné studium s touto učebnicí Vám přeje autor výukového materiálu Milan Heger 4

Obsah Spojení s pedagogem... 4 STABILITA REGULAČNÍCH OBVODŮ... 6. Základní pojmy a definice... 6.2 Kritéria stability... 9.3 Řešení stability pomocí frekvenčních charakteristik... 2 PŘESNOST REGULACE A ŘÍZENÍ... 5 2. Přesnost řízení... 5 2.2 Přesnost regulace... 8 3 KVALITA REGULACE... 2 3. Kritéria kvality regulace... 2 4 METODA INVERZE DYNAMIKY... 24 4. Matematická definice... 24 4.2 Úprava přenosu soustavy na standardní tvar... 28 5 NELINEÁRNÍ SYSTÉMY... 3 5. Základní nelinearity... 3 6 LINEARIZACE... 36 6. Základní metody linearizace... 36 7 STABILITA NELINEÁRNÍCH SYSTÉMŮ... 39 7. Pojem stability nelineárních obvodů... 39 8 STAVOVÝ POPIS SYSTÉMŮ... 42 8. Univerzální stavový popis dynamických systémů... 42 9 Z TRANSFORMACE... 49 9. Diskrétní systémy... 49 DISKRÉTNÍ REGULAČNÍ OBVOD... 53. Stabilita diskrétního regulačního obvodu... 53..... 53 NASTAVENÍ DISKRÉTNÍCH REGULÁTORŮ... 58. Metoda inverze dynamiky při použití diskrétních regulátorů... 58 2 ADAPTIVNÍ ŘÍZENÍ... 62 2. Adaptabilita a adaptivní regulace... 62 3 FUZZY ŘÍZENÍ... 65 3. Idea fuzzy řízení... 65 4 VYUŽITÍ PRVKŮ UMĚLÉ INTELIGENCE V REGULACI... 69 4. Fuzzy regulátory... 69 5

Stabilita regulačních obvodů. Základní pojmy a definice Čas ke studiu: hodina Cíl Po prostudování tohoto odstavce budete umět definovat pojem stabilita regulačních obvodů (RO) popsat možnosti určení stability RO vyřešit otázku stability RO s využitím rozmístění pólů v komplexní rovině. Výklad Regulační pochod nastává v systému vždy, jestliže je porušen jeho stacionární stav. To může nastat vždy při výskytu poruchové veličiny, nebo při změně řídicí veličiny. Je tedy regulační pochod vlastně přechodným dějem, jehož výsledkem má být nový stacionární stav, nebo vyregulovanému vlivu poruchové veličiny. Jestliže je regulační obvod schopen zaujmout nový stacionární stav, t.j. jestliže přechodový děj s časem doznívá, pak jde o stabilní regulační pochod. Jestliže však přechodový děj nedoznívá a regulační obvod tedy nezaujme nový stacionární stav, pak jde o nestabilní regulační pochod. V takovém případě je činnost regulačního systému (obvodu) narušena a ten nemůže regulovat. Regulační obvod je tedy stabilní, jestliže po vychýlení regulačního obvodu z rovnovážného stavu a po odstranění podnětu, který tuto odchylku způsobil, se regulační obvod během času vrátí do původního rovnovážného stavu. Stabilita je tedy základní podmínkou správné činnosti regulačního systému. Při vyšetřování stability se vychází z polynomu ve jmenovateli kteréhokoli přenosu (řízení, poruchy, odchylky). Tento polynom obecně zapsaný: n n 2 N(s) = an. s an. s... a2. s a. s a 6

se nazývá charakteristickou rovnicí regulačního systému a z jeho vypočtených kořenů lze usuzovat na stabilitu. Podle stability rozlišujeme tři typy systémů: stabilní, na mezi stability a nestabilní. Nutná a postačující podmínka stability pro spojité systémy: regulační systém je stabilní, ležíli všechny kořeny charakteristické rovnice v záporné polovině komplexní roviny. stabilní Im nestabilní Re Oblast stability regulačního systému Na základě této podmínky lze vyslovit tři zjednodušující premisy o stabilitě systémů: regulační systém je nestabilní vždy jestliže charakteristická rovnice má členy s různými znaménky, nebo chybí-li některý z členů je-li charakteristická rovnice nejvýše 2. řádu a všechny koeficienty jsou kladné a žádný z nich nechybí, potom regulační systém je vždy stabilní bez ohledu na velikost konstant je-li charakteristická rovnice 3. a vyššího řádu, obsahuje-li všechny koeficienty a ty jsou všechny kladné, pak stabilita regulačního systému závisí na velikosti jednotlivých koeficientů a je nutné ji dále vyšetřovat tím, že buď řešíme kořeny charakteristické rovnice, anebo aplikujeme kritéria stability. Řešené úlohy Příklad.. Zjistěte, zda je systém se jmenovatelem operátorového přenosu ve tvaru a. s a stabilní nebo není. Řešení Charakteristický polynom položíme roven nule a obdržíme charakteristickou rovnici: a. s a odtud řešením rovnice získáme hodnotu komplexní proměnné s: 7

a s a protože jde o záporně vzatý podíl dvou konstant, je kořenem charakteristické rovnice (pólem) záporné reálné číslo. Leží tedy v levé části komplexní roviny, proto je systém stabilní. Shrnutí pojmů kapitoly (podkapitoly) Stabilita patří k základním požadavkům, které klademe na regulační obvod. Je to vlastnost regulačního obvodu vrátit se do rovnovážného stavu, jestliže skončí působení vzruchu, který ho z rovnovážného stavu vyvedl. Rovnovážným stavem regulačního obvodu rozumíme stav, kdy se regulovaná veličina s časem nemění. Matematická definice stability regulačního obvodu[28]: lim y t Na obrázku jsou znázorněny průběhy regulačního pochodu u stabilního a nestabilního obvodu a také obvodu na mezi stability, kdy vzniknou kmity o konstantní amplitudě. stabilní na mezi stability nestabilní Stabilitu regulačního obvodu můžeme ovlivňovat změnou dynamických vlastností regulátoru nastavováním jeho volitelných parametrů. Parametry a dynamické vlastnosti regulované soustavy jsou dány konstrukcí nebo technologickým procesem, a proto je nemůžeme měnit. Shrnutí pojmů kapitoly (podkapitoly) V této kapitole jste se seznámili s následujícími pojmy, které byly v textu rozebrány, a které je nutné znát (můžete je stručně charakterizovat): Stabilita Póly Charakteristická rovnice... 8

Otázky k probranému učivu. Co znamená Stabilita RO? 2. Co nazýváme charakteristickou rovnicí?.2 Kritéria stability Čas ke studiu: 5 hodin Cíl Po prostudování tohoto odstavce budete umět definovat kritéria stability popsat způsob použití kritérií stability vyřešit stabilitu pomocí kritérií stability Výklad Zjišťování kořenů charakteristické rovnice mnohdy nebývá snadné a je tím obtížnější, čím je větší řád charakteristické rovnice. Proto se ke zjišťování stability systému používají kritéria stability, pomoci níž lze se snadněji přesvědčit o stabilitě. Kritéria stability jsou v zásadě dvojího typu. První typ - výpočtová kritéria, jako například Hurtwitzovo kritérium, Schurovo kritérium aj., poskytují pouze odpověď zda je či není regulační systém stabilní. Druhý typ kritérií (grafická kritéria) navíc ilustrují, jak musíme změnit parametry regulátoru, aby regulační systém stabilní byl. Práce s nimi však vyžaduje znalost komplexních čísel, aj. Pro ilustraci si uvedeme nejznámější z prvního typu kritérií Hurtwitzovo kritérium stability. Toto kritérium se opírá o sestavení Hurtwitzova determinantu z konstant charakteristické rovnice: 9

n an. s a. s... a. s a s a = n 2 n 2. D a n a n a a a a n3 n2 n n a a a a a a n5 n4 n3 n2 n n a a a a a a n7 n6 n5 n4 n3 n2............................. a Hurtwitzův determinant Znění Hurtwitzova kritéria stability: Lineární regulační systém je dle Hurtwitzova kritéria stabilní, když hodnota D>, t.j, když všechny subteterminanty jsou kladné. Protože a musí být kladné, stačí vyšetřit subdeterminanty do (n-) řádu. Vyskytne-li se alespoň jeden nulový, je systém na mezi stability a je-li alespoň jeden záporný, je systém nestabilní. Řešené úlohy Příklad.2. Zjistěte zda regulační systém je stabilní, jestliže jeho charakteristická rovnice je : N(s) = 4 s 3 + 6 s 2 + s + 2 Řešení Po sestrojení Hurtwitzova determinantu pro 3. řád, dle Sarusova pravidla obdržíme: 6. 2. 4 = 52 > systém je stabilní. Příklad.3. Zjistěte, pro jakou hodnotu a bude na mezi stability. Systém je popsán vztahem: N(s) = 4 s 3 + 6 s 2 + s + a Řešení Po sestrojení Hurtwitzova determinantu pro 3. řád, dle Sarusova pravidla obdržíme: 6. a. 4 = a = 6/4 systém je na mezi stability pro a = 5.

Shrnutí pojmů kapitoly (podkapitoly) V této kapitole jste se seznámili s následujícími pojmy, které byly v textu rozebrány, a které je nutné znát (můžete je stručně charakterizovat): Kritéria stability. Hurtwitzův determinant. Hurtwitzovo kritérium stability. Otázky k probranému učivu 3. Co nazýváme kritérií stability? 4. Jaká kritéria stability znáte? 5. Jak zní Hurtwitzovo kritérium stability?.3 Řešení stability pomocí frekvenčních charakteristik Čas ke studiu: 2 hodiny Cíl Po prostudování tohoto odstavce budete umět definovat Nyquistovo kritérium stability popsat způsob použití Nyquistova kritérií stability vyřešit stabilitu pomocí Nyquistova kritérií stability Výklad Pro určení, zda je systém stabilní nebo není, se často používá Nyquistovo kritérium stability, které vychází z frekvenčních charakteristik otevřeného obvodu (frekvenční přenos získaný součinem frekvenčního přenosu soustavy a frekvenčního přenosu regulátoru). Zde si vysvětlíme pojem fázové bezpečnosti γ, který nám dobře poslouží při určení stability analýzou frekvenčně logaritmických charakteristik. Nyquistovo kritérium stability a fázová bezpečnost

Systém je stabilní, je-li hodnota fázové bezpečnosti γ > (na obrázku jde o γs). Systém je nestabilní, je-li hodnota fázové bezpečnosti γ < (na obrázku jde o γn). Systém je na mezi stability, je-li hodnota fázové bezpečnosti γ = (na obrázku jde o γm). mez stability γ n nestabilní systém Im stabilní systém γ m γ s Re Znění zjednodušeného Nyquistova kritéria stability Uzavřený regulační obvod je stabilní, pokud frekvenční charakteristika otevřeného regulačního obvodu prochází zápornou reálnou osu napravo od bodu -. Prochází-li tímto bodem je obvod na mezi stability a prochází nalevo, je nestabilní. Určení stability z frekvenčně logaritmických charakteristik Nyquistovo kriterium stability lze snadno interpretovat pro frekvenčně logaritmické charakteristiky. V komplexní rovině jsou klíčové dva parametry: kružnice o poloměru - představuje zesílení otevřené smyčky ko = záporná reálná osa - představuje úhel φ = π (-8 ) Kružnice o poloměru se transformuje do amplitudové části frekvenční logaritmické charakteristiky jako osa ω ( db) a záporná reálná osa se transformuje do fázové části frekvenční logaritmické charakteristiky jako přímka rovnoběžná s osou ω v hodnotě φ = π (- 8 ). 2

Fázová bezpečnost se určí z fáze pro ωdb, kdy amplitudová část frekvenční logaritmické charakteristiky protne osu ω ( db). I zde je fázová bezpečnost γ = φ + π. L [db] db ω db ω ω - π -φ γ > stabilní γ < nestabilní Řešené úlohy Příklad.4. Zjistětě pomocí Nyquistova kriteria stability, zda je regulační obvod s přenosem otevřené smyčky následujícím přenosem stabilní: G o Řešení s 3s 3 2 s s Operátorový přenos přepíšeme na přenos frekvenční: G o j 3 3 2 j j j jmenovatel rozdělíme na reálnou a imaginární část: G o j 2 3 j j3 po vynásobení komplexně sdruženým číslem a úpravě obdržíme vztahy pro reálnou a imaginární část frekvenčního přenosu: Re G o j 2 2 2 3 3 2 3

Im G o j j 3 3 2 2 3 3 2 Nyní můžeme sestrojit frekvenční charakteristiku tak, že dosazujeme ω v rozmezí od do :,2 Im -,2,2,4,6 Re,8 -,2 -,4 -,6 Z grafu je patrno, že frekvenční charakteristika protíná zápornou reálnou osu napravo od bodu -, proto je regulační obvod stabilní. Shrnutí pojmů kapitoly (podkapitoly) V této kapitole jste se seznámili s následujícími pojmy, které byly v textu rozebrány, a které je nutné znát (můžete je stručně charakterizovat): Nyquistovo kriterium stability. Fázová bezpečnost. Reálná a imaginární část G(jω). Otázky k probranému učivu 6. Jak zní Nyquistovo kriterium stability? 7. Co nazýváme fázovou bezpečností? 8. Pro jakou hodnotu fázové bezpečnosti je systém stabilní? 4

2 Přesnost regulace a řízení 2. Přesnost řízení Čas ke studiu: hodina Cíl Po prostudování tohoto odstavce budete umět definovat pojem přesnosti řízení popsat způsob výpočtu vyřešit přesnost řízení s použitím limit Výklad Přesnost řízení regulačního systému je charakterizována tím, jak přesně se nastaví regulovaná veličina dle požadované hodnoty (y (t)~w(t) ). Zjišťuje se trvalá regulační odchylka v ustáleném stavu e(). Má-li být řízení přesné, pak musí být trvalá regulační odchylka: e () =. Zjišťujeme tedy: e () = limt e(t), s využitím věty o konečné hodnotě z vlastností Laplaceovy transformace obdržíme: e () = limt e (t) = lims s. E (s) Obraz regulační odchylky E (s) získáme z přenosu odchylky GE (s) : G E E( s) ( s) W ( s) G R ( s) G S ( s) 5

kde za GR (s) a GS (s) se dosadí konkrétní obrazové přenosy regulátoru a regulované soustavy. Pak: e( ) lims s E( s) lims s W ( s) G ( s) G ( s) R S Trvalá regulační odchylka je nenulová a proto regulační obvod s regulátorem typu P a proporcionální soustavou reguluje s trvalou odchylkou, která bude tím menší, čím bude nastaveno větší zesílení KR na regulátoru. U vícekapacitních soustav, však zvětšování zesílení regulátoru může vést k nestabilitě regulačního pochodu. Dosažené hodnoty přesnosti řízení regulačního systému pro jednotkový skok a různé změny řídicí veličiny w = f(t), například pro skok rychlosti a zrychlení a pro různé typy regulátorů a regulovaných soustav, ukazuje následující tabulka[28]: Regulátor Soustava ideální, bez astatismu P, PD ideální, s astatismem I, PI, PID Proporcionální K. K R S K. K R S Integrační stupeň astatismu K. K R S K. K R S Integrační stupeň astatismu 2 K. K R S Obraz řídicí veličiny /s /s 2 /s 3 /s /s 2 /s 3 Pozn.: Regulovaná soustava má vliv na přesnost řízení (uplatní se zde vliv astatismu soustavy). Stupeň astatismu regulačního systému určuje možnost stupně odchylky, při kterém bude regulační systém sledovat změnu řídicí veličiny bezchybně. Čím se požaduje větší přesnost řízení, tím je potřebný vyšší stupeň astatismu, což je ale opět v rozporu s požadavky na stabilitou systému. 6

Řešené úlohy Příklad.5. Určete přesnost řízení regulačního systému, je-li použit regulátor typu P a regulovaná soustava bude proporcionální, prvního řádu. Předpokládá se změnu řídicí veličiny skokem (polohy). Řešení Matematický model regulátoru typu P bude dán obrazovým přenosem: G R(s) = K R a matematický model regulované soustavy proporciálního typu,. řádu bude dána obrazovým přenosem: K S GS ( s) Ts Změně řídící veličiny skokem polohy odpovídá obraz: W(s) = / s. Přenos odchylky je dán vztahem: a po dosazení je trvalá regulační odchylka: G E ( s) K R K S Ts e ( ) lims s lims s K R K S Ts Ts Ts K K R S K K R S K R K S Shrnutí pojmů kapitoly (podkapitoly) V této kapitole jste se seznámili s následujícími pojmy, které byly v textu rozebrány, a které je nutné znát (můžete je stručně charakterizovat): Přesnost řízení Trvalá regulační odchylka.. Otázky k probranému učivu 9. Co znamená trvalá regulační odchylka?. Co nazýváme přesností řízení? 7

2.2 Přesnost regulace Čas ke studiu: hodina Cíl Po prostudování tohoto odstavce budete umět definovat pojem přesnosti regulace popsat způsob výpočtu vyřešit přesnost regulace s použitím limit Výklad Přesnost regulace Přesnost regulace je charakterizována tím, jak přesně je vyregulován (vyeliminován) vliv poruchové veličiny v ustáleném stavu (pro t ). Porucha v(t) způsobí na výstupu regulačního obvodu změnu regulované veličiny y (t) od žádané hodnoty (y (t) ~ w (t)). Zjišťuje se tedy: y () = limty (t) S využitím věty o konečné hodnotě: y () = limt y (t) = lims s. Y (s) Obraz regulované veličiny Y (s) se obdrží z přenosu poruchy Gv (s): Y ( s) Gv ( s) Z( s) GS ( s) G ( s) G S R ( s) kde za GR(p) a GS (p) se dosadí konkrétní obrazové přenosy dle typu regulátoru a typu regulované soustavy. 8

GS ( s) Pak: y( ) lims s Y ( s) lims V ( s) G ( s) G ( s) S R Vlastnosti regulačních obvodů z hlediska přesnosti řízení jsou uvedeny v následující tabulce[28]: Soustava Regulátor Proporcionální (bez astatismu typ: P, PD, PI pasivní PID Integrační typ: I, PI, PID (vše ideální) Proporcionální Integračního typu Stupeň astatismu Integračního typu Stupeň astatismu 2 Obraz regulační odchylky K S K R K S K R s 2 s K S K R 3 s K S K R K S K R Pozn.: Soustava má vliv na přesnost řízení (uplatní se astatismus soustavy). Čím chceme větší přesnost řízení, tím je potřebný vyšší stupeň astatismu, což je ale v rozporu s požadavky na stabilitu regulačního obvodu. Třetí stupeň astatismu již prakticky stabilizovat klasickým PD regulátorem nelze. s 2 s 3 s Řešené úlohy Příklad.6. Zjistěte jaká bude přesnost regulace u regulačního systému tvořeného regulovanou soustavou proporcionálního typu, prvního řádu a regulátoru typu I, za předpokladu skoku (polohy) poruchové veličiny. Řešení Matematické modely regulátoru a regulované soustavy jsou: GR ( s) (regulátor typu I.) T. s i KS GS ( s) (soustava proporciálního typu,. řádu) Ts 9

Potom obrazový přenos poruchy je dán: K G Ts v ( s) K S Ts T. s Obraz poruchy je: V(s) = / s Pak: y S i K S ( Ts ) s. T K lims s s ( Ts ). Ti. s K s ( Ts ). Ti. s K ( Ts ). T. s i S s lim i s Shrnutí pojmů kapitoly (podkapitoly) Přesnost regulačního obvodu posuzujeme v ustáleném stavu, který zaujme stabilní regulační obvod po skončení regulačního pochodu (teoreticky v čase t ). Uvažujeme klasický regulační obvod. Můžeme určit přesnost řízení a přesnost regulace. Přesnost řízení vyžaduje, aby při změně řídící veličiny w(t) byla regulační odchylka v ustáleném stavu nulová (nejmenší). Přesnost regulace vyžaduje, aby při změně poruchové veličiny v(t) byla regulační odchylka v ustáleném stavu nulová (nejmenší). V této kapitole jste se seznámili s následujícími pojmy, které byly v textu rozebrány, a které je nutné znát (můžete je stručně charakterizovat): Přesnost regulačního obvodu Přesnost regulace Přesnost řízení... Otázky k probranému učivu. Co znamená přesnost regulace? 2. Kdy je dosaženo nulové regulační odchylky? 2

3 Kvalita regulace 3. Kritéria kvality regulace Čas ke studiu: 2 hodiny Cíl Po prostudování tohoto odstavce budete umět definovat pojem kvality regulace popsat kvalitu regulace z přechodové charakteristiky vyřešit kvalitu regulace v metalurgické praxi Výklad Podmínka stability regulačního systému je podmínkou nutnou, ne však postačující pro jeho optimální činnost při regulačním pochodu. Obvykle se oceňuje regulační pochod (přechodný děj) dle časového průběhu regulované veličiny při jednotkovém skoku řídicí veličiny nebo poruchové veličiny, protože skoková změna je nejnepříznivější případ, který musí regulační systém zvládnout. Stabilní regulační pochod může být aperiodický i periodický. Kvalita periodického regulačního pochodu se hodnotí dle následujícího obrázku. y(t) Y max T +5% y() -5% Y max t t max t reg Ukazatelé kvality periodického regulačního pochodu. 2

Kvalita periodického regulačního pochodu se hodnotí dle těchto ukazatelů : a) dobou regulace t reg pro kterou platí: y(t reg) y() <,5.y() b) maximální hodnotou překmitu Y max, vyjádřenou nejčastěji v procentech ustálené veličiny dle vztahu: y max y ymax t y % % c) je charakterizován i čas, za který dojde k tomuto maximu t amx. d) periodou T tlumených kmitů. Požadavky na kvalitu regulačního pochodu mohou být navzájem protichůdné. Například požadavek na krátkou dobu přechodového děje (doby regulace t reg) je vždy v rozporu s požadavkem malého překmitu regulované veličiny y max, popřípadě i s požadavkem na její aperiodický průběh. Proto se požadavek na dobu trvání přechodového děje a velikost přechodové odchylky obvykle převádí na společné měřítko tak, že se kvalita regulačního pochodu posuzuje dle plochy, kterou uzavírá křivka znázorňující průběh regulované veličiny a hodnota řídící veličiny. Tato plocha se nazývá regulační plochou a její minimum určuje optimální poměr mezi dobou přechodného děje regulačního systému (dobou regulace) a velikosti přechodné odchylky. Je li regulační pochod aperiodický, pak pro regulační plochu platí následující integrální kritérium ( kritérium lineární regulační plochy): I = [ w(t)- y(t) ]. dt = e(t). dt min Pro periodický regulační pochod se používá kritérium kvadratické regulační plochy: I 2 = [ w(t)- y(t) ] 2. dt = e(t) 2. dt min Dále se používá kritérium ITAE: I 2 = t / w(t)- y(t)/]. dt = t/ e(t)/. dt min 22

Řešené úlohy Příklad.7. Vytvořte algoritmus výpočtu hodnoty kriteria ITAE. Řešení Budeme předpokládat, že jsou k dispozici data přechodového děje v poli p, které obsahuje vždy dvojici čas regulační odchylka, a to v casech až s. var Form: TForm; var p:array[..,..2] of real; i:integer; integral:real; procedure ITAE; begin integral:=; for i := to do begin integral := integral + (p[i,]-p[i-,])*(p[i,2]+p[i-,2])/2; end; end; Výsledná hodnoty kritéria ITAE je v proměnné integral. Shrnutí pojmů kapitoly (podkapitoly) V této kapitole jste se seznámili s následujícími pojmy, které byly v textu rozebrány, a které je nutné znát (můžete je stručně charakterizovat): Kvalita řízení Integrální kritéria.. Otázky k probranému učivu 3. Co znamená pojem kvalita regulace? 4. Co nazýváme integrálními kritérii kvality regulace? 23

4 Metoda inverze dynamiky 4. Matematická definice Čas ke studiu: 2 hodiny Cíl Po prostudování tohoto odstavce budete umět definovat metodu inverze dynamiky určit typ regulátoru ke konkrétní regulované soustavě vyřešit otázku optimálního nastavení regulačního obvodu Výklad Otázka optimálního regulačního pochodu je podřízena volbě vhodného kritéria, které je podřízeno konkrétním podmínkám a požadavkům na regulaci. Jako poměrně univerzální se jeví následující požadavky na přechodovou charakteristiku regulačního pochodu: Nevykazuje-li regulovaná soustava dopravní zpoždění, pak bude vhodné, aby přechodová charakteristika odpovídala systému prvního řádu se zesílením kro = a volitelnou časovou konstantou Tw, kterou je nutno volit s ohledem na energetické možnosti akčních členů. k RO = h(t) T w 25 t Žádaná přechodová charakteristika RO bez dopravního zpoždění 24

Tomu odpovídá operátorový přenos: K RO G( s) T s T w w s Vykazuje-li regulovaná soustava dopravní zpoždění, pak bude vhodné, aby přechodová charakteristika odpovídala systému druhého řádu s dopravním zpožděním rovným dopravnímu zpoždění soustavy. I zde se očekává zesílení kro = a volitelným parametrem je požadovaný relativní překmit κ v přechodové charakteristice RO. κ T d Žádaná přechodová charakteristika RO s dopravním zpožděním Pro regulované soustavy s dopravním zpožděním volíme požadovaný relativní překmit v přechodové charakteristice uzavřeného regulačního obvodu a z následující tabulky odečteme odpovídající hodnoty aβ. Tabulka[2]: Hodnoty koeficientů a β κ,5,,5,2,25,3,35,4,45,5,282,984,884,832,763,697,669,64,68,599,577 β 2,78,944,72,56,437,337,248,72,4,45,992 Ze vztahu [Vítečková]: 25

určíme hodnotu konstanty a, kde T představuje vzorkovací periodu A/D převodníku při použití číslicového regulátoru. Doporučený typ regulátoru a odpovídající hodnoty jeho stavitelných parametrů se určí dle typu regulované soustavy z následující tabulky. Tabulka[2]: Doporučené typy regulátorů a výpočet jejich stavitelných parametrů REGULOVANÁ SOUSTAVA TYP REGULÁTOR Td = Td P PI - - - PD - PID PID Pokud je dopravní zpoždění Td velmi malé, je nutno hodnotu konstanty a je třeba snížit s ohledem na energetické možnosti akčních členů. Řešené úlohy Příklad.8. Navrhněte typ spojitého regulátoru a nastavte jeho stavitelné hodnoty pro regulovanou soustavu zadanou přenosem: G( s) 26 s5 s

Řešení Popis soustavy odpovídá integračnímu systému prvního řádu se setrvačností prvního řádu. Použijeme tabulku doporučených typů regulátorů pro výpočet jejich stavitelných parametrů a v ní nalezneme obecný tvar odpovídající regulované soustavy, který je: G ( s) s k e s T s Td s tomu odpovídá regulátor typu PD, jehož přenos je ve tvaru: G ( s) k T s r r D Protože jde o regulovanou soustavu bez dopravního zpoždění (T d = ), a regulátor není číslicový, volíme T = a například T w = s. Pro určení stavitelných parametrů pak použijeme vztahy: * T T D T T 5s 2 k P k 2 2T T w k T w, Shrnutí pojmů kapitoly (podkapitoly) V této kapitole jste se seznámili s následujícími pojmy, které byly v textu rozebrány, a které je nutné znát (můžete je stručně charakterizovat): Metoda inverze dynamiky. Nastavení regulátorů metodou inverze dynamiky.. Otázky k probranému učivu 5. Co znamená pojem metoda inverze dynamiky? 6. Co je jejím principem? 27

4.2 Úprava přenosu soustavy na standardní tvar Čas ke studiu:,5 hodiny Cíl Po prostudování tohoto odstavce budete umět definovat standardní tvar popsat a korigovat na standardní tvary regulovaných soustav vyřešit otázku optimálního nastavení regulačního obvodu pro nestandardní tvary přenosů regulovaných soustav Výklad V tabulce uvedené tvary přenosu regulované soustavy nazýváme jako standardní. Pokud je tvar přenosu regulované soustavy jiný, než standardní, snažíme se jej na standardní převést. K tomu nám bude sloužit několik zjednodušení:. Nedominantní časové konstanty je možno sečíst (například). G s ( s) s, s, s s, s 2. Setrvačný člen (ve jmenovateli) s nedominantní časovou konstantou je možno přičíst k dopravnímu zpoždění (například). Gs ( s) s G ( s) s s, s s s,2 s,s e s s s s e e,9s,s 3. Obdobný člen v čitateli je možno odečíst od dopravního zpoždění (nesmí však výsledná hodnota Td kladná) (například). Řešené úlohy Příklad.9. Převeďte soustavu s následujícím popisem na standardní tvar. G ( s) s, s e s s s s 28,s

Řešení Regulovaná soustava musí být převedena na integrační soustavu prvního řádu se setrvačností prvního řádu a s dopravním zpožděním ve tvaru: Gs ( s) s k Gs ( s) e s T s Nejprve můžeme sečíst nedominantní konstanty ve jmenovateli a tím redukujeme řád systému o jeden:, s s 2 s s, s Gs ( s) s e 2, s Td s e,s Následně můžeme člen s časovou konstantou 2s převést do dopravního zpoždění: Pak můžeme člen v čitateli převést rovněž do dopravního zpoždění, ale tentokrát hodnotu časové konstanty,s přičteme ke stávajícímu dopravnímu zpoždění Td = 2,s. G ( s) s s s e 2,9s Shrnutí pojmů kapitoly (podkapitoly) Pokud je tvar přenosu regulované soustavy jiný, než standardní, snažíme se jej na standardní převést. K tomu nám bude sloužit několik zjednodušení:. Nedominantní časové konstanty je možno sečíst. 2. Setrvačný člen (ve jmenovateli) s nedominantní časovou konstantou je možno přičíst k dopravnímu zpoždění. 3. Obdobný člen v čitateli je možno odečíst od dopravního zpoždění (nesmí však výsledná hodnota Td kladná). Otázky k probranému učivu 7. Co znamená standardní tvar regulované soustavy? 8. Jakým způsobem jej můžeme získat? 29

5 Nelineární systémy 5. Základní nelinearity Čas ke studiu: hodina Cíl Po prostudování tohoto odstavce budete umět definovat pojem nelineární systém popsat základní typy nelineárních systémů vytvořit jejich matematický popis. Výklad Doposud jsme se zabývali řízením lineárních systému. Šlo o zjednodušení, neboť většina fyzikálních systému obsahuje nelineární části. Jsou-li nelinearity malé, linearizují se, nebo se nelinearita zanedbává. Jsou však nelinearity, které nelze zanedbat ani linearizovat. Nelineární dynamický systém je takový, který je popsán nelineárními diferenciálními rovnicemi. Často se nelinearity projevují ve statické charakteristice. Několik základních si zde uvedeme. Typy nelinearit Nelinearita typu nasycení Nelinearita typu necitlivost Nelinearita typu tření Nelinearita typu hystereze Nelinearita typu vůle v převodech Nelinearity kombinované a obecné Nelinearita typu relé 3

Nelinearita typu nasycení Jde o nejběžnější typ nelinearity, který se uplatňuje při překročení mezních hodnot lineárního pásma práce technických zařízení. Jde o různé mechanické dorazy, signálové překročení napájecího napětí zesilovačů a podobně. Může být využit například i jako úmyslný omezovač signálů z bezpečnostních důvodů. Jeho ideální statická charakteristika a matematický popis je následující: y max y u min u max u y min Matematický popis takové nelinearity není možné popsat žádnou klasickou funkcí, je nutno rozdělit celý interval, na kterém je definovaná, na tři části: y min pro u< u min y = k u pro u min u u max y max pro u> u max kde k je směrnice lineární části a udává sklon střední přímky. Nelinearita typu necitlivost Jde rovněž o běžný typ nelinearity, který se uplatňuje necitlivosti technických zařízení reagovat při hodnotách vstupního signálu v okolí nuly. Jde hlavně o nelinearity vzniklé vůlemi v mechanických částech apod. Jeho ideální statická charakteristika a matematický popis je následující: y u min u max u 3

Matematický popis takové nelinearity také není možné popsat žádnou klasickou funkcí, je nutno rozdělit celý interval, na kterém je definovaná, na tři části: ku + q pro u< u min y = pro u min u u max ku + q 2 pro u> u max kde k je směrnice lineární části a udává sklon šikmých přímek, q a q 2 jsou parametry přímek (průsečíky s osou y). Nelinearita typu tření Jde o častý typ nelinearity, který se uplatňuje při například při rozběhu mechanických zařízení, případně je závislé na rychlosti pohybu nebo otáčení mechanizmů. Jeho statická charakteristika je následující: y max y u y min Matematický popis takové nelinearity je příliš komplikovaný a je závislý na konkrétním fyzikálním zařízeni. Nelinearita typu hystereze Jde o velmi častý typ nelinearity, který se uplatňuje nejčastěji u elektromagnetických zařízení, ale i u mechanických. Jeho statická charakteristika je následující: y u 32

Matematický popis takové nelinearity je příliš komplikovaný a je závislý na konkrétním fyzikálním zařízeni. Nelinearita typu vůle v převodech Jde o velmi častý typ nelinearity, který se uplatňuje jako vůle v mechanických převodech (převodovky apod.). Jeho ideální statická charakteristika a matematický popis je následující: y q 2 u q Matematický popis takové nelinearity je poměrně komplikovaný, ale je možné ho vyjádřit následujícími vztahy: ku + q pro u = (y-q )/k and du/dt > y = y pro u min u u max ku + q 2 pro u = (y-q 2)/k and du/dt < Nelinearita typu hystereze Jde o obecný typ nelinearity, který se může uplatnit u mnoha systémů libovolného typu. Příklad jeho statické charakteristiky je následující: y u Matematický popis takové nelinearity je příliš komplikovaný a je závislý na konkrétním fyzikálním zařízeni. 33

Nelinearita typu relé Velmi často se v regulaci setkáváme s nelinearitami typu relé. Prvky s těmito nelinearitami jsou často využívány jako řídicí členy (regulátory). Mohou byt dvoupolohové nebo třípolohové, bez hystereze (bez pásma necitlivosti) nebo s hysterezí (s pásmem necitlivosti) Příklad statických charakteristik je reléových členů: BEZ HYSTEREZE S HYSTEREZI DVOUPOLOHOVÉ vypnuto y zapnuto e vypnuto y zapnuto e roz e spin e TŘÍPOLOHOVÉ zapnuto- vypnuto y zapnuto+ e -e spin -e roz zapnuto- y vypnuto zapnuto+ e roz e spin e Uvedeme si zde jen matematický popis třípolohového relé s hysterezi: y = zapnuto+ y = zapnuto- y = vypnuto y t = y t- kde y t je nová hodnota y t- je stará hodnota pro e > e spin pro e < -e spin pro e > -e roz and e < e roz pro (e > e roz and e < e spin) or e < -e roz and e > -e spin) 34

Řešené úlohy Příklad.. Nakreslete statickou charakteristiku nelinearity typu necitlivost s nasycením Řešení y u min2 u min u max u max2 u Shrnutí pojmů kapitoly (podkapitoly) V této kapitole jste se seznámili s následujícími pojmy, které byly v textu rozebrány, a které je nutné znát (můžete je stručně charakterizovat): Nelineární systém Nasycení Necitlivost Tření Hystereze Převod Relé....... Otázky k probranému učivu 9. Co znamená necitlivost? 2. Co nazýváme nasycením? 2. Jaké releové charakteristiky znáte? 35

6 Linearizace 6. Základní metody linearizace Čas ke studiu: hodina Cíl Po prostudování tohoto odstavce budete umět definovat pojem linearizace nelineárních systémů popsat metody linearizace vyřešit linearizaci nelineárních systémů Výklad Řízení nelineárních systémů je z hlediska matematiky značně komplikované oproti řízení systémů lineárních. Proto se často provádí u mnohých nelinearit tzv. linearizace a obvod se řeší jako lineární. Linearizace spočívá v náhradě nelineárního matematického modelu dynamického systému lineárním matematickým modelem. Jde-li o zanedbatelné nelinearity, pak je možno provézt linearizaci v celém pracovním rozsahu, například metodou nejmenších čtverců. Je-li však nelinearita významná, často se provádí linearizace v pracovním bodě. Pracovní bod je určen hodnotou akční veličiny v ustáleném stavu při stabilizaci regulované veličiny. Změní-li se pracovní bod, pak je třeba znovu provést linearizaci. y Δy y u u Δu Obrázek: Linearizace nelineárního matematického modelu dynamického systému 36

Linearizace statické charakteristiky dynamického systému Často bývá nelinearita pouze v těch členech diferenciální rovnice, ve kterých se nevyskytuje derivace. Pak je možno provést linearizaci statické charakteristiky v pracovním bodě pomocí tečny. Vstup systému v ustáleném stavu označíme u a výstup y. Systém má nelineární statickou charakteristiku popsanou vztahem obecnýn vztahem: y = f(u). Je-li dán pracovní bod souřadnicemi u, y, pak je možno posunout počátek nové linearizované souřadnice soustavy do tohoto bodu a v něm sestrojit tečnu. Jelikož směrnice tečny je v bode u je dána hodnotou první derivace v tomto bodě, můžeme napsat matematický vztah pro linearizovanou statickou charakteristiku dynamického systému takto: Δy = k Δu kde Δu = u u a Δy = y y Linearizovaný model tak bude s dostatečnou přesností platit pouze pro malé změny vstupního signálu u v okolí pracovního bodu, což je v případě stabilizace vyhovující. Řešené úlohy Zadání a řešení praktických příkladů jako součást výukového textu Nemusí se uvádět, místo toho mohou být ukázky a zkušenosti např. z praxe. Úlohy mohou být zařazeny také až za poslední kapitolu. Příklad.. Linearizujte statickou charakteristiku popsanou vztahem y = u 2 v pracovním bodě [;]. Řešení Pro pracovní bod [;] bude platit: u = y = Provedeme první derivaci funkce u 2 podle u a dostaneme vztah: y = 2u y (u ) = 2u u= y () = 2 k = 2 Rovnice linearizované funkce pak je: Δy = 2 Δu 37

Shrnutí pojmů kapitoly (podkapitoly) V této kapitole jste se seznámili s následujícími pojmy, které byly v textu rozebrány, a které je nutné znát (můžete je stručně charakterizovat): Linearizace tečnou Linearizace met. nejmenších čtverců.. Otázky k probranému učivu 22. Co znamená pojem linearizace? 23. Jaké způsoby linearizace známe? 38

7 Stabilita nelineárních systémů 7. Pojem stability nelineárních obvodů Čas ke studiu: 2 hodiny Cíl Po prostudování tohoto odstavce budete umět definovat stabilitu nelineárních systémů popsat metodu určení stability nelineárních systémů vyřešit stabilitu nelineárních systémů. Výklad Stabilita lineárních, ale i nelineárních regulačních obvodů je nutnou podmínkou jejich provozování. Problematika stability nelineárních obvodů je značně odlišná od problematiky stability systémů lineárních. U nelineárních systémů na rozdíl od lineárních rozlišujeme dva typy ustálených stavů: Rovnovážný ustálený stav se vyznačuje tím, že se výstupní veličina v čase nemění (derivace stavových veličin jsou nulové). Periodický ustálený stav se vyznačuje periodickými (teoreticky neharmonickými) kmity s konstantní amplitudou a frekvenci (mezní cykly). Při vyšetřování stability nelineárních systémů většinou nemluvíme o stabilitě systému obecně, ale o stabilitě jeho rovnovážných stavů. Rovnovážným ustáleným stavům odpovídají body stavového prostoru, ve kterých nejsou definované směrnice stavové trajektorie. Tyto body se nazývají singulární body. Mají-li stavové trajektorie v okolí singulárního bodu směr dovnitř, je tento singulární bod stabilní. Naopak, jestliže stavové trajektorie opouští singulární body, je tento singulární bod nestabilní. 39

Definice stability nelineárních systémů Podle Ljapunova je rovnovážný stav stabilní, když stavová trajektorie začínající v nějaké oblasti O stavové roviny zůstane uvnitř nějaké (libovolně velké) oblasti O2. Dále je podle Ljapunova rovnovážný stav asymptoticky stabilní, když je stabilní podle předcházející definice a navíc se stavová trajektorie ustálí v rovnovážném stavu (daném některým singulárním bodem). [7] Popovovo kritérium stability Stabilita se však i u nelineárních systémů vyšetřuje pomocí kritérií stability. Zde si uvedeme tzv. Popovovo kritérium stability[7], které předpokládá, že systém lze rozdělit na lineární dynamickou část a nelinearita je vyjádřena nelineární statickou charakteristikou procházející nulou. Pak statickou charakteristiku nahradíme přímkou (y = ku) procházející počátken a jejíž sklon k je volen tak, aby celá nelineární charakteristika ležela celá pod touto přímkou. y y = ku u min u max u Popovovo kritérium [7]: Nelineární systém s lineární částí danou přenosem G(s) a jednoznačnou nelinearitou, ležící pod přímkou o směrnici k je globálně asymptoticky stabilní, existuje-li libovolné reálné číslo q pro něž je pro všechna ω splněna nerovnost Re > k j qg j Častěji se vyšetřuje stabilita graficky. [7] 4

Popovovo kritérium stability grafická verze Nelineární regulační obvod je globálně asymptoticky stabilní tehdy, existuje-li libovolná přímka vedená bodem [-/k ; ] tak, aby modifikovaná frekvenční charakteristika Gm(jω) lineární části ležela celá vpravo od této přímky, kde modifikovanou frekvenční charakteristiku Gm(jω) získáme z klasické frekvenční charakteristiky vynásobením imaginární části odpovídající hodnotou frekvence ω. Im -/k Re Shrnutí pojmů kapitoly (podkapitoly) V této kapitole jste se seznámili s následujícími pojmy, které byly v textu rozebrány, a které je nutné znát (můžete je stručně charakterizovat): Rovnovážný ustálený stav Periodický ustálený stav Ljapunova definice stability Popovovo kritérium stability.... Otázky k probranému učivu 24. Co znamená rovnovážný a periodický ustálený stav? 25. Jak je definována stabilita dle Ljapuna? 26. Jak zní Popovovo kritérium stability? 4

8 Stavový popis systémů 8. Univerzální stavový popis dynamických systémů Čas ke studiu: 3 hodiny Cíl Po prostudování tohoto odstavce budete umět definovat pojem stavový popis systémů popsat dynamický systém stavovými rovnicemi vyřešit popis základních typů regulovaných soustav Výklad Doposud jsme systém popisovali tzv. vnějším popisem, který je založen na analýze průběhu vstupní veličiny a jí odpovídající odezvy. Výsledkem je diferenciální rovnice případně pro lineární systémy například operátorový přenos. Vedle vnějšího popisu byl vyvinut i tzv. vnitřní popis, který je založen na analýze zákonitostí probíhajících uvnitř systému. Výsledkem analýzy pak je tzv. stavový popis systému. Ten však vyžaduje dokonalou znalost všech fyzikálních dějů a principů, které determinují daný systém. Na druhou stranu jsou pak známy hodnoty všech veličin uvnitř systému v libovolném čase a jejich průběhy je možno vypočítat ze znalosti stavového popisu, počátečního stavu a průběhu vstupní veličiny. Stav systému je pak vyjádřen pomocí stavových veličin, které systém jednoznačně určují v daném časovém okamžiku. Stav systému je pak vyjádřen vektorem o n složkách, kde n je dáno řádem systému: x(t) = [x (t), x 2(t), x n(t)] T Výstup systému y(t) je pak jednoznačně dán funkcí stavových proměnných. Přepis vnějšího popisu systému na stavový popis Často vyžadujeme stavový popis systémů (ať už z důvodu užitečnosti např. pro modelování a simulace nebo pro vylepšení regulace stavovým regulátorem), když je znám popis pomocí diferenciální rovnice. V tom případě lze provézt matematickou úpravu, kdy diferenciální rovnice n-tého řádu je přepsána na 42

n diferenciálních rovnic prvního řádu. Tento převod sice již neprezentuje fyzikální zákony uvnitř systému, ale i tak je velmi užitečný. Zde si ukážeme jeden z možných přepisů, který se nejčastěji používá a který je vhodný i pro popis nelineárních systémů. Budeme předpokládat dynamický systém n-tého řádu s jedním vstupem u(t) a jedním výstupem y(t) (obecný vztah platí i pro vice vstupů a výstupů, kdy tyto veličiny popíšeme vektory). u(t) Dynamický systém y(t) x(t) Stavový popis pak bude obecně vypadat následovně: x (t) = f(x(t),u(t),t) rovnice dynamiky y(t) = g(x(t),u(t),t) rovnice výstupu Pokud je systém lineární, můžeme stavové rovnice přepsat do maticového tvaru: x (t) = Ax(t) + Bu(t) rovnice dynamiky y(t) = Cx(t) + Du(t) rovnice výstupu A - matice systému B - matice vstupu C - matice výstupu D - matice převodu -matice přímé vazby vstupu na výstup Grafické vyjádření stavové veličiny v čase se nazývá stavová trajektorie. Stavový popis lineárního dynamického systému Předpokládejme, že je systém popsán lineární diferenciální rovnicí n-tého řádu s konstantními koeficienty: any (n) + an-y (n-) + an-2y (n-2) + + aiy (i) + a2y + ay + ay = bu + bu + b2u + +bmu (m) kde ai a bj jsou konstanty diferenciální rovnice, n je řád diferenciální rovnice, m je řád nejvyšší derivace pravé strany diferenciální rovnice. 43

a podmínka fyzikální realizovatelnosti systému: n m V technické praxi se nejčastěji setkáváme s dynamickými členy, které jsou popsány jednodušší diferenciální rovnicí, kde na pravé straně nevystupují derivace vstupní veličiny: any (n) + an-y (n-) + an-2y (n-2) + + aiy (i) + a2y + ay + ay = bu V takovém případě je převod na stavový popis jednoduchý. V tomto případě přiřadíme jednotlivýn složkám stavového vektoru jednotlivé derivace výstupní veličiny: x (t) = y(t) x 2(t) = y (t) atd. Systém n-tého řádu je realizován zapojením n integračních členů do série: y (n) (t) x n(t) y (n-) (t) x n(t)= x n-(t) y (t) x 3(t)= x 2(t) y (t) x 2(t)= x (t) y(t) x (t) Z obrázku je patrno, že: x (t) = x 2(t) x 2(t) = x 3(t). x n-(t) = x n(t) Poslední rovnici dynamiky získáme z diferenciální rovnice tak, že osamostatníme y (n) (t): y (n) = b/an*u - an-/an*y (n-) - an-2/an*y (n-2) - - ai/an*y (i) - a2/an*y - a/an*y - a/an*y Rovnice dynamiky vznikne náhradou výstupní proměnné a jejich derivací odpovídající složkou stavové proměnné: x n(t) = b/an*u - an-/an* xn(t)- an-2/an* xn-(t)- - ai/an* xi+(t) - a2/an* x3(t) - a/an* x2(t) - a/an*x(t) Jelikož je x n(t) vstupem konstrukce uvedené na předešlém obrázku a je získaná součtem váženého vstupu a vážených hodnot xi, můžeme snadno získat kompletní stavové schéma dynamického systému: 44

45 Rovnice výstupu je jednoduchá, vychází z námi předdefinovaného vztahu: x(t) = y(t) Protože jde o lineární systém, můžeme stavový popis vyjádřit i v maticovém tvaru: - rovnice dynamiky u a b x x x x a a a a a a a a x x x n n n n n n n n n 2 2 2.................................... - rovnice výstupu u x x x x y n n...... 2 Řešené úlohy Příklad.2. Popište obecný proporcionální kmitavý systém II. řádu pomocí stavových rovnic, v maticovém tvaru a nakreslete stavové schéma. Řešení Obecný systém II. řádu je popsán diferenciální rovnicí ve tvaru: x n(t) x n(t) y(t) = x (t) x 2(t) x 3(t) u(t) b/an -a/an -a2/an -an-/an -a/an -

a 2y (t) + a y (t) + a y(t) = b u(t) Obecný proporcionální kmitavý systém II. řádu pak můžeme popsat: T 2 y (t) + 2aTy (t) + y(t) = ku(t) kde k - je zesíleni, a - je tlumení T - je časová konstanta Protože diferenciální rovnice neobsahuje na pravé straně žádné derivace vstupní proměnné (n=2, m=), zvolíme za x (t) přímo veličinu y(t) a další x i(t) její derivace y (i-) (t): x (t) = y(t) Z diferenciální rovnice vyjádříme nejvyšší derivaci výstupní proměnné y (n) (t): y (t) = k/t 2 *u(t) - 2a/ T 2 *y (t) - / T 2 *y(t) Nyní nahradíme výstupní proměnnou a její derivace odpovídajícími složkami stavové proměnné: x 2 (t) = k/t 2 *u(t) - 2a/ T 2 *x 2(t) - / T 2 *x (t) dostáváme tak stavové rovnice dynamiky: x (t) = x 2(t) x 2 (t) = k/t 2 *u(t) - 2a/ T 2 *x 2(t) - / T 2 *x (t) Stavová rovnice výstupu pak bude mít tvar: y(t) = x (t) Nyní můžeme zapsat stavové rovnice v maticovém tvaru: x x 2 T 2 x 2a k x T 2 2 T u 46

x y x u a nakreslit stavové schéma: 2 u(t) k/t 2 x 2(t) x 2(t) y(t) = x (t) - -2a/T -/T 2 Příklad.3. Nakreslete stavové schéma z předchozího příkladu pro identifikované hodnoty: k=, T= a tlumení,5. Řešení Stavové schéma je stejné, jen je třeba dosadit konkrétní parametry zkoumaného systému: u(t) x 2(t) x 2(t) y(t) = x (t) - - - Shrnutí pojmů kapitoly (podkapitoly) V této kapitole jste se seznámili s následujícími pojmy, které byly v textu rozebrány, a které je nutné znát (můžete je stručně charakterizovat): Vnější popis Vnitřní popis Stavový popis Stavová proměnná Stavový trajektorie..... 47

Stavové rovnice Rovnice dynamiky Rovnice výstupu... Otázky k probranému učivu 27. Co představuje vnější a vnitřní popis systému? 28. Co nazýváme stavovou trajektorií? 29. Z čeho se skládají stavové rovnice? 3. Jak vypadají rovnice dynamiky a jak rovnice výstupu? 48

9 Z transformace 9. Diskrétní systémy Čas ke studiu: 5 hodin Cíl Po prostudování tohoto odstavce budete umět definovat pojem diskrétní systém popsat časovou funkci v z-transformaci Výklad Definice diskrétního systému Diskrétní systémy (resp. regulační obvody) jsou charakteristické tím, že alespoň jeden jejich člen pracuje diskrétně, tj. informaci zpracovává v diskrétních časových okamžicích (zpravidla ekvidistantních s danou periodou). Tzn., že alespoň jedna veličina systému má tvar posloupnosti diskrétních hodnot v diskrétních časech. Časová diskretizace časové funkce f(t) se nazývá vzorkování (zřízením zvaným vzorkovač) a funkční diskreditace se nazývá kvantování. Obě funkce obvykle zastává tzv. A/D převodník. Z transformace Při analýze a syntéze diskrétních regulačních systémů je často použitý matematický aparát, který se nazývá z transformace. Obdobně jako u spojitých systémů, kde se používá Laplaceova transformace. Vzorkujeme-li vzorkovačem s periodou T časovou funkci f(t), dostaneme diskrétní funkci f(kt) a její Laplaceův obraz získáme sumačním vztahem: L f kt f kt k e skt Nyní provedeme následující substituci za přenos odpovídající dopravnímu zpoždění e -st s novou proměnnou z: 49

z = e st dostaneme tak vztah pro z-transformaci: Z k 2 k f kt f ktz f f T z f 2T z... f kt z... k Z obrazy nejužívanějších funkcí Tabulka L a Z transformace [2]: Originál L-transformace Z-transformace x(t), x(kt) Obraz X(s) Obraz X(z) (t) (t) t 5

Originál L-transformace Z-transformace sin t cos t Řešené úlohy Příklad.4. Proveďte diskretizaci časové funkce f(t) = t; Řešení Vyjdeme ze vztahu: Z k 2 k f kt f ktz f f T z f 2T z... f kt z... k jeho úpravou získáme výraz: Z k 2 k f kt ktz f z T z 2T z... kt z... nebo Z k 2 k f kt Tz 2Tz... ktz... f(t) f(kt) spojitá funkce vzorkovaná funkce T 2T 3T 4T 5T 6T t 5

Shrnutí pojmů kapitoly (podkapitoly) V této kapitole jste se seznámili s následujícími pojmy, které byly v textu rozebrány, a které je nutné znát (můžete je stručně charakterizovat): Diskrétní systém Z-transformace.. Otázky k probranému učivu 3. Co znamená pojem diskrétní systém? 32. Jak se popisuje časová funkce v z-transformaci? 52