Přednáška 1. Definice 1.1. Nechť je množina. Funkci ρ : R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti: (1 pro každé x je ρ(x, x = 0; (2 pro každé x, y, x y, je ρ(x, y = ρ(y, x > 0; (3 pro každé x, y, z platí ρ(x, z ρ(x, y + ρ(y, z. nožinu, na které je definována metrika, nazýváme metrický prostor. Pokud budeme chtít zdůraznit, že je metrický prostor s metrikou ρ, budeme psát (, ρ. Definice 1.2. Nechť je (, ρ metrický prostor a x 0. Pro každé ε > 0 nazýváme množinu všech x, pro která je ρ ( x, x 0 < ε okolím bodu x0 (přesněji otevřeným ε ovým okolím bodu x 0. ε ové okolí bodu x 0 budeme značit U ε ( x0. nožinu všech bodů x, pro která je 0 < ρ ( x, x 0 < ε nazýváme prstencové okolí bodu x 0 a budeme jej značit P ε ( x0. Definice 1.3. Nechť (, ρ je metrický prostor a X. Bod x X nazveme vnitřní bod množiny X právě tehdy, když existuje okolí U ε (x takové, že U ε (x X. nožinu všech vnitřních bodů množiny X nazýváme vnitřkem množiny a značíme X. Definice 1.4. Nechť (, ρ je metrický prostor. nožina X se nazývá otevřená právě tehdy, je-li každý bod x X vnitřním bodem množiny X, tj. právě tehdy, když X = X. Definice 1.5. Nechť (, ρ a (, σ jsou metrické prostory. Jestliže existují reálná čísla a a b, 0 < a b taková, že pro každé x, y platí aρ(x, y σ(x, y bρ(x, y nazveme metriky ρ a σ ekvivalentní. Definice 1.6. Nechť je (, ρ metrický prostor a X. Bod x nazýváme hromadný bod množiny X právě tehdy, když každé prstencové okolí P ε (x obsahuje alespoň jeden bod množiny X. nožinu všech hromadných bodů množiny X budeme značit der X. Definice 1.7. Nechť (, ρ je metrický prostor a X. Pak množinu X = X der X nazýváme uzávěr množiny X. Definice 1.8. Podmnožina X metrického prostoru (, ρ se nazývá uzavřená právě tehdy, když obsahuje všechny své hromadné body, tj. právě když X = X. Definice 1.9. Nechť je (, ρ metrický prostor a X. Hranicí množiny X nazýváme množinu X = X \ X. Bod x X se nazývá hraniční bod množiny X. Typeset by AS-TEX 1
Definice 1.10. Nechť je (, ρ metrický prostor a X je neprázdná. Průměrem množiny X nazýváme číslo dia(x = sup ρ(x, y. x, y X Je-li X =, klademe dia(x = 0. nožina X se nazývá omezená, je-li dia(x <. Definice 1.11. Nechť je (, ρ metrický prostor. nožina X se nazývá nesouvislá právě tehdy, když existují podmnožiny A, B X takové, že X = A B a A B = A B =. nožina X se nazývá souvislá pravě tehdy, když není nesouvislá. Definice 1.12. Vzdáleností dvou neprázdných podmnožin X a Y metrického prostoru (, ρ nazýváme číslo dist(x, Y = inf ρ(x, y. x X y Y Definice 1.13. Nechť je V vektorový prostor nad tělesem R. Zobrazení ν : V R, pro které platí: (1 ν(x 0 (2 ν(x = 0 = x = 0 (3 ν(ax = a ν(x (4 ν(x + y ν(x + ν(y se nazývá norma. Vektorový prostor V, na kterém je definována norma se nazývá normovaný prostor. Jestliže chceme zdůraznit, že V je normovaný prostor s normou ν, budeme psát (V, ν. Definice 1.14. Dvě normy ν 1 a ν 2 vektorového prostoru V se nazývají ekvivalentní, jestliže existují a, b R, 0 < a b, takové, že aν 1 (x ν 2 (x bν 1 (x. Definice 1.15. Nechť je V vektorový prostor nad tělesem R. Pak funkci (, : V V R, která má pro každé x, y, z V a a, b R vlastnosti: (1 (ax + by, z = a(x, z + b(y, z, (2 (x, y = (y, x, (3 (x, x 0, (4 (x, x = 0 x = 0 nazýváme skalární součin. Často se značí (x, x = x 2. Definice 1.16. Nechť je V vektorový prostor a x, y V. nožina všech bodů z = x+(y xt, t 0, 1 se nazývá úsečka z bodu x do bodu y. Bod x je počáteční bod a y koncový bod této úsečky. 2
Definice 1.17. Podmnožina vektorového prostoru V se nazývá konvexní, jestliže pro každé dva body x, y leží celá úsečka z bodu x do bodu y v množině, tj. pro každé t 0, 1 je x + (y xt. Definice 1.18. Podmnožina R n s metrikou generovanou normou ν p se nazývá kompaktní, jestliže je omezená a uzavřená. 3
Přednáška 2. Definice 2.1. Posloupností v metrickém prostoru nazýváme každé zobrazení f : N. Definice 2.2. Posloupnost x n v metrickém prostoru (, ρ se nazývá omezená právě tehdy, když je omezená množina {x n ; n N}, tj. když existuje x a K R takové, že pro každé n N je ρ(x, x n < K. Definice 2.3. Nechť je x n posloupnost a k 1 < k 2 < k n, k i N. Pak posloupnost y n = x kn nazýváme vybranou posloupností z posloupnosti x n. Definice 2.4. Nechť je x n posloupnost v metrickém prostoru (, ρ. Prvek x se nazývá limitou posloupnosti x n právě tehdy, když lim ρ(x, x n = 0, tj. když ke n každému ε > 0 existuje n 0 N takové, že pro každé n N, n > n 0 je ρ(x, x n < ε. Jestliže je x limitou posloupnosti x n, píšeme lim x n = x a říkáme, že posloupnost n x n konverguje k prvku x. Posloupnosti x n, které mají limitu se nazývají konvergentní a posloupnosti, jejichž limita neexistuje nazýváme divergentní posloupnosti. Definice 2.5. Nechť je f n (x posloupnost omezených funkcí na množině R. Řekneme, že posloupnost f n (x konverguje bodově k funkci f(x, jestliže pro každé ε > 0 a pro každé x existuje n 0 (x takové, že pro každé n > n 0 (x je fn (x f(x < ε. Bodovou konvergenci posloupnosti funkci fn (x k funkci f(x budeme značit f n (x f(x. Definice 2.6. Nechť je f n (x posloupnost omezených funkcí na množině R. Řekneme, že posloupnost f n (x konverguje stejnoměrně k funkci f(x, jestliže pro každé ε > 0 existuje n 0 N takové, že pro každé x a pro každé n > n 0 je fn (x f(x < ε. Stejnoměrnou konvergenci posloupnosti funkcí fn (x k funkci f(x budeme značit f n (x f(x. Definice 2.7. Posloupnost x n v metrickém prostoru se nazývá Cauchyovská právě tehdy, když splňuje Cauchy Bolzanovu podmínku: Ke každému ε > 0 existuje n 0 takové, že pro všechna m, n > n 0 platí nerovnost ρ(x m, x n < ε. Definice 2.8. etrický prostor (, ρ se nazývá úplný, má-li každá Cauchyovská posloupnost x n v limitu v. 4
Přednáška 3. Definice 3.1. Nechť f : X Y je zobrazení metrického prostoru (X, ρ do metrického prostoru (Y, σ. Nechť a je hromadný bod X. Řekneme, že A Y je limitou zobrazení f a bodě a, jestliže ke každému ε > 0 existuje δ > 0 takové, že pro každé x X, ρ(a, x < δ, x a, je σ ( A, f(x < ε. Definice 3.2. Nechť f : X Y je zobrazení metrického prostoru (X, ρ do metrického prostoru (Y, σ a X. Řekneme, že funkce f(x má v bodě a, který je hromadný bod množiny limitu A vzhledem k množině právě tehdy, když má funkce f = f v bodě a limitu A. Pak píšeme lim x a f(x = A. x Definice 3.3. Nechť je f : X R, kde X R n, je funkce n proměnných a a je hromadný bod množiny X. Řekneme, že funkce f(x má v bodě a limitu plus nekonečno, resp. limitu mínus nekonečno, jestliže ke každému K R existuje prstencové okolí P δ (a takové, že pro každé x X P δ (a je f(x > K, resp. f(x < K. Pak píšeme lim x a f(x = +, resp. lim x a f(x =. Definice 3.4. Nechť f : S je zobrazení metrického prostoru (, ρ do metrického prostoru (S, σ. Řekneme, že zobrazení f je spojité v bodě a, jestliže ke každému ε > 0 existuje δ > 0 takové, že pro každé x, pro které je ρ(a, x < δ, platí nerovnost σ ( f(a, f(x < ε. Definice 3.5. Nechť je f : S zobrazení metrického prostoru do metrického prostoru S a nechť X. Říkáme, že zobrazení f je spojité v bodě a X vzhledem k množině X, jestliže ke každému ε > 0 existuje δ > 0 takové, že pro každé x X, pro které je ρ(a, x < δ, platí nerovnost σ ( f(a, f(x < ε. Definice 3.6. Nechť je f : S zobrazení metrického prostoru (, ρ do metrického prostoru (S, σ a X. Říkáme, že zobrazení f je spojité na množině X právě tehdy, když je spojité v každém bodě množiny X. 5
Přednáška 4. Definice 4.1. Nechť je dána funkce f : R n R a bod a Df. Jestliže existují reálná čísla c k, k = 1, 2,, n taková, že platí n f(a + h = f(a + c 1 h 1 + c 2 h 2 + + c n h n + η(a, h = f(a + c k h k + η(a, h, η(a, h a lim h 0 h = 0, nazýváme lineární funkci df(a, h = c 1 h 1 + c 2 h 2 + + c n h n = k=1 n c k h k = c h proměnné h = ( h 1, h 2,, h n diferenciálem funkce f(x v bodě a. Jestliže existuje diferenciál funkce f(x v bodě a, nazývá se funkce diferencovatelná v bodě a. Funkce f(x se nazývá diferencovatelná na množině R n, je-li diferencovatelná v každém bodě množiny. Definice 4.2. Nechť je f : R n R k a a Df. Nechť existuje matice C typu (k n s prvky c ij taková, že a Pak lineární zobrazení k=1 f(a + h = f(a + Ch + η(a, h η(a, h lim h 0 h y = Ch y i = = 0. n c ij h j nazýváme diferenciálem zobrazení f(x v bodě a. Jestliže existuje diferenciál zobrazení f(x v bodě a, nazýváme toto zobrazení diferencovatelné v bodě a. Zobrazení f(x se nazývá diferencovatelné na množině R n, jestliže je diferencovatelné v každém bodě a. Definice 4.3. Nechť je f : R n R, a D f a v = ( v 1, v 2,, v n vektor v R n. Nechť je bod a hromadným bodem množiny = { x ; x = a + vt, t R } D f a F (t = f ( a + vt. Jestliže existuje derivace F (0, řekneme, že funkce f(x má v bodě a derivaci podle vektoru v rovnou F (0. Derivaci funkce f(x podle vektoru v značíme f v, f,v apod. Jestliže je v = 1, nazýváme derivaci podle vektoru v derivace ve směru v. Jestliže je vektor v jeden z jednotkových vektorů ve směru souřadnicových os, tj. v = e i, nazýváme derivaci f ei ve směru e i parciální derivací podle proměnné x i. Parciální derivace budeme značit f x i nebo f,i. j=1 6
Definice 4.4. Nechť má funkce f(x v bodě a diferenciál. Pak vektor grad f(a = ( f,1 (a, f,2 (a,, f,n (a nazýváme gradient funkce f(x v bodě a. Definice 4.5. Jestliže má zobrazení f(x na otevřené množině R n spojité parciální derivace, tj. všechny jeho složky f i (x, i = 1, 2,, n, mají na spojité parciální derivace, nazýváme zobrazení f(x zobrazením třídy C 1 na množině. nožina všech zobrazení třídy C 1 na množině se obvykle značí C 1 (. 7
Přednáška 5. Definice 5.1. Řekneme, že funkce f(x má v bodě a diferenciál druhého řádu neboli druhý diferenciál, jestliže (1 funkce f(x má diferenciál prvního řádu v jistém okolí bodu a, (2 všechny parciální derivace f,k mají v bodě a diferenciál prvního řádu. Druhý diferenciál funkce f(x v bodě a budeme značit d 2 f(a, h a platí n ( d 2 f f(a, h = (a h r h s. x r x s r,s=1 Definice 5.2. Nechť parciální derivace f (x existuje v jistém okolí bodu a. ( x i f Jestliže existuje parciální derivace (a nazýváme tento výraz druhou x k x i parciální derivací funkce f(x podle proměnných x i a x k v bodě a. Druhé parciální derivace se často značí ( f (a = 2 f (a = f,ik (a. x k x i x k x i Definice 5.3. Nechť je f(x funkce n proměnných. Jestliže existuje parciální derivace ( k 1 f k f (a = (a = f,i1 i x ik x ik 1 x ik 2 x i1 x ik x ik 1 x 2...i k 1 i k (a, i1 nazýváme tento výraz parciální derivací funkce f(x podle proměnných i 1, i 2,, i k v bodě a. Definice 5.4. Nechť je dána funkce f(x = f ( x 1, x 2,, x n. Řekneme, že funkce f(x má v bodě a diferenciál řádu k nebo diferenciál k tého řádu, jestliže (1 všechny parciální derivace funkce f(x až do řádu (k 2 včetně mají diferenciál prvního řádu v jistém okolí bodu a (2 všechny parciální derivace funkce f(x řádu (k 1 mají v bodě a diferenciál prvního řádu. Pak definujeme k tý diferenciál funkce f(x v bodě a vztahem d k f(a, h = d ( d k 1 f(x, h (a, h, kde diferenciál řádu (k 1 považujeme za funkci proměnné x. Definice 5.5. Nechť je R n otevřená množina. Jestliže má funkce f(x na množině všechny parciální derivace až do řádu k včetně spojité, říkáme, že je třídy C k (. Jestliže má funkce f(x na otevřené množině R n spojité parciální derivace všech řádů, říkáme, že je třídy C ( neboli že je hladká na. 8
Přednáška 6. Definice 6.1. Nechť je R n otevřená množina a f : R n. Řekneme, že zobrazení f je regulární zobrazení množiny, jestliže všechny funkce f k (x mají na spojité všechny parciální derivace prvního řádu a pro každé x je f 1 f 1 f 1 x 1 x 2 x n f 2 f 2 f 2 det x 1 x 2 x n (x = D( f 1, f 2,, f n. D ( (x 0. x 1, x 2,, x n f n f n f n x 1 x 2 x n atice f 1 f 1 f 1 x 1 x 2 x n f f 2 f 2 f 2 (x = x 1 x 2 x n (x. f n f n f n x 1 x 2 x n se nazývá Jacobiho matice a její determinant det ( f (x = D( f 1, f 2,, f n D ( (x x 1, x 2,, x n nazýváme Jacobiho determinant neboli jakobián zobrazení f. 9
Přednáška 7. Definice 7.1. Nechť je f : R, kde R n je funkce n proměnných, a a funkce f(x je definována na nějakém okolí bodu a. Jestliže existuje δ > 0 takové, že pro všechna x, pro která je 0 < x a < δ, platí nerovnost f(x > f(a, (1 řekneme, že funkce f(x má v bodě a ostré lokální minimum. Jestliže místo (1 platí f(x f(a, říkáme, že funkce f(x má v bodě a (neostré lokální minimum. Jestliže existuje δ > 0 takové, pro která je 0 < x a < δ, platí nerovnost f(x < f(a, (2 řekneme, že funkce f(x má v bodě a ostré lokální maximum. Jestliže místo (2 platí f(x f(a, říkáme, že funkce f(x má v bodě a (neostré lokální maximum. Společný název pro (ostrá lokální maxima a minima je (ostré lokální extrémy a pro neostrá maxima a minima neostré lokální extrémy. Definice 7.2. Nechť je f : E R, kde E R n je funkce n proměnných, E a a. Jestliže existuje δ > 0 takové, že pro všechna x, pro která je 0 < x a < δ, platí nerovnost f(x > f(a, (3 řekneme, že funkce f(x má v bodě a ostré lokální minimum vzhledem k množině. Jestliže místo (3 platí f(x f(a, říkáme, že funkce f(x má v bodě a (neostré lokální minimum vzhledem k množině. Jestliže existuje δ > 0 takové, že pro všechna x, pro která je 0 < x a < δ, platí nerovnost f(x < f(a, (4 řekneme, že funkce f(x má v bodě a ostré lokální maximum vzhledem k množině. Jestliže místo (4 platí f(x f(a, říkáme, že funkce f(x má v bodě a (neostré lokální maximum vzhledem k množině. Společný název pro (ostrá lokální maxima a minima vzhledem k množině je (ostré lokální extrémy vzhledem k množině a pro neostrá maxima a minima vzhledem k množině neostré lokální extrémy vzhledem k množině. 10
Přednáška 8. Definice 8.1. Nechť je I R n interval a 1, b 1 a2, b 2 an, b n. Každou množinu bodů x ij, i = 1, 2,, n, j = 0, 1, 2, N i N, kde x i0 = a i x i1 x i2 x ini = b i, nazýváme dělení intervalu I. Dělení intervalu, tj. výše uvedenou množinu bodů, budeme značit D. nožinu všech dělení intervalu I budeme značit D. Definice 8.2. Nechť je I je interval a D 1, D 2 jeho dvě dělení. Je-li každý bod dělení D 1 bodem dělení D 2, nazveme dělení D 2 zjemněním dělení D 1. Definice 8.3. Čísla s(f, resp. S(f z (12, viz přednášky, nazýváme dolní, resp. horní, Riemannův integrál funkce f(x přes interval I. Jestliže v (12 platí rovnost s(f = S(f nazýváme toto číslo (Riemannův integrál funkce f(x přes interval I a říkáme, že funkce f(x je integrovatelná na intervalu I. Pro tento integrál používáme označení f ( x 1, x 2,, x n dx1 dx 2 dx n = f(x dv, a pod. I Definice 8.4. Nechť R n je omezená množina a χ (x je tzv. charakteristická funkce množiny, která je definována předpisem { 1 pro x χ (x = 0 pro x / Protože je omezená, existuje interval I R n takový, že I. Jestliže existuje Riemannův integrál d( = χ (x dv, I říkáme, že množina je (Riemannovsky měřitelná a číslo d( se nazývá mírou (obsahem množiny. Definice 8.5. Nechť je R n je Riemannovsky měřitelná množina a f(x funkce omezená na množině. Nechť je I interval v R n takový, že I. Definujme funkci { f(x pro x f(x = 0 pro x I \ Jestliže je funkce f(x integrovatelná na intervalu I, říkáme, že funkce f(x je integrovatelná na množině a píšeme f(x dv = f ( x 1, x 2,, x n dx1 dx 2 dx n = = I f ( x 1, x 2,, x n dx1 dx 2 dx n. nožinu všech funkcí, které mají Riemannův integrál přes množinu budeme značit R(. I 11
Definice 8.6. Nechť je f : R, kde R n. Funkci f + (x = max ( f(x, 0, resp. f (x = max ( f(x, 0 nazýváme nezápornou, resp. nekladnou, částí funkce f(x. Definice 8.7. Jestliže je R n měřitelná množina taková, že d( = χ (x dv = 0, nazýváme množinu množinou míry nula nebo množinou nulové míry. Definice 8.8. Jestliže nějaká vlastnost V (x platí pro všechna x mimo bodů z množiny N a množina N má míru nula, budeme říkat, že vlastnost V (x platí skoro všude na množině. Tvrzení V (x platí skoro všude na budeme často psát jako: V (x platí s.v. na. 12
Přednáška 9. Definice 9.1. Nechť X je množina. Neprázdný systém podmnožin množiny X se nazývá množinovou algebrou, jestliže platí (1 Pro každou množinu A je X \ A. n (2 Jestliže A i, i = 1, 2,, n, pak A i. (3 Jestliže A i, i = 1, 2,, n, pak i=1 n A i. Definice 9.2. Nechť X je množina. Neprázdný systém podmnožin množiny X se nazývá množinovou σ algebrou, jestliže platí i=1 (1 Pro každou množinu A je X \ A. (2 Jestliže A i, i N, pak A i. (3 Jestliže A i, i N, pak i=1 A i. i=1 Definice 9.3. Nechť je X metrický prostor a B je nejmenší σ algebra, která obsahuje všechny otevřené podmnožiny X. nožiny ze systému B se nazývají Borelovské množiny. Definice 9.4. Každá funkce µ na množinové σ algebře množiny X, pro kterou platí (1 pro každou množinu A je 0 µ(a, (2 µ( = 0, ( (3 pro každou disjunktní posloupnost A n je µ A n = n=1 µ ( A n se nazývá míra. Pro A se nezáporné číslo µ(a nazývá míra množiny A. nožiny, které patří do σ algebry, na které je definována míra µ, se nazývají µ měřitelné. Definice 9.5. Je-li A a µ(a = 0 říkáme, že A je množina míry nula. Definice 9.6. Jestliže je každá podmnožina každé množiny míry nula měřitelná, říkáme, že míra µ je úplná. Definice 9.7. Jestliže je µ(a <, říkáme, že množina A má konečnou míru. Jestliže je míra celého prostoru X konečná, tj. jestliže je µ(x <, řekneme, že míra µ je konečná. Je-li celý prostor X sjednocením spočetné posloupnosti množin konečné míry, říkáme, že míra µ je σ konečná. n=1 13
Definice 9.8. Nechť je f funkce definovaná na měřitelné množině. Řekneme, že funkce f(x je měřitelná, jestliže pro každé a R je měřitelná množina f ( 1 (, a = { x ; f(x < a }. Definice 9.9. Nechť f(x je reálná funkce. Funkce f + (x = max ( f(x, 0, resp. f (x = max ( f(x, 0, se nazývají nezáporná, resp. nekladná, část funkce f(x. Definice 9.10. Jednoduchou funkcí budeme nazývat každou konečnou nezápornou měřitelnou funkci, která nabývá pouze konečného počtu hodnot. Definice 9.11. Nechť jednoduchá funkce f(x definovaná na měřitelné množině má tvar n f(x = a k χ k (x, k=1 kde k jsou měřitelné množiny. Integrálem jednoduché funkce f(x přes množinu při míře µ nazýváme číslo (konečné nebo nekonečné f(x dµ = n a k µ ( k. k=1 Definice 9.12. Nechť je N měřitelná množina a f(x je jednoduchá funkce na. Pak definujeme f(x dµ = f(x χ N (x dµ. N Definice 9.13. Nechť je f(x nezáporná měřitelná funkce definovaná na měřitelné množině. Integrálem funkce f(x přes množinu při míře µ nazýváme číslo f(x dµ = lim f n (x dµ, n kde f n (x je neklesající posloupnost jednoduchých funkcí, které konvergují k funkci f(x. Definice 9.14. Nechť je f(x měřitelná funkce na měřitelné množině. Nechť f + (x a f (x jsou nezáporná a nekladná část funkce f(x. Integrálem funkce f(x přes množinu při míře µ nazýváme číslo f(x dµ = f + (x dµ f (x dµ za předpokladu, že rozdíl vpravo existuje. 14
Definice 9.15. Říkáme, že funkce f(x je integrovatelná přes množinu (nebo, že integrál konverguje právě tehdy, když je f(x dµ konečné číslo. Definice 9.16. Nechť je N měřitelná množina a f(x je měřitelná funkce definovaná na množině. Integrálem funkce f(x přes množinu N budeme rozumět integrál f(x dµ = f(x χ N (x dµ. N Definice 9.17. Nechť je měřitelná množina. Řekneme, že skoro všechny body množiny mají jistou vlastnost V, má-li množina všech bodů x, které nemají vlastnost V míru rovnou nule. Definice 9.18. Řekneme, že množina R n je měřitelná (nebo podrobněji měřitelná v Lebesgueově smyslu, pokud pro každou množinu Z R n platí rovnost Z + Z \ = Z. nožinu měřitelných množin budeme značit. Definice 9.19. Nechť je. írou (přesněji Lebesgueovou mírou množiny nazveme číslo µ( =, kde je vnější míra množiny. 15
Přednáška 10. Definice 10.1. Nechť je S R n. nožina S se nazývá otevřená v množině S právě tehdy, když existuje otevřená množina U R n taková, že = U S. Je-li x S, nazveme množinu V ε (x = S U ε (x, kde U ε (x R n je otevřené ε ové okolí bodu x v R n, ε ové okolí bodu x v množině S. Definice 10.2. Neprázdnou množinu S R n nazýváme k rozměrnou nadplochou (v R n, jestliže pro každý bod x S existuje okolí U ε (x v S a vzájemně jednoznačné zobrazení Φ : G U ε (x, kde G R k, takové, že obě zobrazení Φ a Φ ( 1 jsou spojitá. Definice 10.3. Nechť je S R n k rozměrná nadplocha. Jestliže pro každý bod x 0 S existuje okolí U ( x 0 v S zobrazení Φ : G Uε ( x0, kde G je otevřená množina v R k, takové, že (1 Φ je vzájemně jednoznačné (2 obě zobrazení Φ a Φ ( 1 jsou spojitá (3 Φ = ( ϕ 1, ϕ 2,, ϕ n je třídy Cm (G (4 hodnost matice je pro každé t G rovna k ϕ 1 ϕ 1 ϕ 1 t 1 t 2 t k ϕ W(t = 2 ϕ 2 ϕ 2 t 1 t 2 t k.. ϕ n ϕ n ϕ n t 1 t 2 t k říkáme, že S je regulární nadplocha (třídy C m. Zobrazení Φ pak nazýváme regulárním parametrickým popisem (třídy C m okolí U ( x 0. 16
Přednáška 11. Definice 11.1. Nechť je C regulární orientovaná křivka v R n, Φ : (a, b C její parametrický popis a F (x měřitelná vektorová funkce, tj. všechny její složky jsou měřitelné funkce, na křivce C. Pak se C F (x ds = b a F ( Φ(t Φ (t dt nazývá křivkový integrál druhého druhu funkce F (x přes křivku C. Definice 11.2. Nechť je S regulární 2 rozměrná orientovaná plocha v R 3 s orientací danou spojitým vektorovým polem n 0, Φ : G S její parametrizace a F (x vektorové pole definované na ploše S. Plošný integrál druhého druhu nazýváme výraz ( F ds = F Φ n du dv, S kde n = ± ( Φ u Φ v, kde znaménko ± se volí tak, aby n = cn0, kde c > 0. G 17