Kapitola 4 Euklidovské prostory

Kapitola 4 Euklidovské prostory 4.1. Defiice euklidovského prostoru 4.1.1. DEFINICE Nechť E je vektorový prostor ad tělesem reálých čísel R,, : E 2 R. E se azývá euklidovský prostor, platí-li: (I) Pro všecha u E : u, u 0. (II) Pro všecha u E : u, u =0 právě tehdy, když u= 0. (III) Pro všecha u, v E : u, v = v, u. (IV) Pro všecha u, v, w E : u, v w = u, v u, w. (V) Pro všecha u, v E, pro všecha c R : u, c v =c u, v. Pro u, v E se číslo u, v azývá skalárí souči vektorů u a v. 4.1.2. PŘÍKLAD Uvažme vektorový prostor R. Defiujeme x, y =x 1 y 1 x 2 y 2 x 3 y 3 x y pro libovolá x= x 1, x 2 R, y= y 1, y 2,, y R. Pak R je euklidovský prostor. 4.2. Cauchyova erovost 4.2.1. DEFINICE Nechť E je euklidovský prostor, v E. Normou vektoru v rozumíme číslo v, v. Normu vektoru v začíme v. 4.2.2. VĚTA (Cauchyova) Nechť E je euklidovský prostor, x, y E. Platí: x, y x y, přičemž rovost astává právě tehdy, když x a y jsou lieárě závislé vektory. Důkaz: Rozlišíme dva případy: (I) y= 0 (II) y 0 ad (I): x, y = x, 0 = 0 =0, x y = x 0 = x 0=0. Uvědomme si také, že vektory x a y, tj. vektory x a 0, jsou lieárě závislé. ad (II): Pro libovolé c R položme f c = x c y, x c y. Platí: 0 f c = x, x 2 c x, y c 2 y, y. Je y, y 0. Kvadratická trojčle f c s reálými koeficiety má ekladý diskrimiat, tj. x, y 2 x, x y, y 0. Pak x, y 2 x, x y, y, čili x, y x y. Rovost astává právě tehdy, když f c má ulový diskrimiat, a to je právě tehdy, když existuje c 0 R tak, že f c 0 = x c 0 y, x c 0 y =0 a to je právě tehdy, když existuje c 0 R tak, že x=c 0 y, a to je právě tehdy, když vektory x a y jsou lieárě závislé. 4.3. Norma a metrika 4.3.1. VĚTA Nechť E je euklidovský prostor, v, w E, c R. Platí: (a) v 0 (b) v =0 právě tehdy, když v= 0 (c) c v = c v (d) v w v w (trojúhelíková erovost) Důkaz: (a) Důkaz přeecháváme čteáři. (b) Důkaz přeecháváme čteáři.

(c) Důkaz přeecháváme čteáři. (d) v w = v w, v w = v, v 2 v, w w, w = v 2 2 v, w w 2 v 2 2 v, w w 2. Podle Cauchyovy erovosti je v, w v w, takže v w 2 v 2 2 v w w 2 = v w 2. Odtud máme: v w v w. 4.3.2. DEFINICE Nechť M je možia, :M 2 R. Zobrazeí se azývá metrika a možiě M, platí-li: (I) Pro všecha x, y M : x, y 0. (II) Pro všecha x, y M : x, y =0 právě tehdy, když x= y. (III) Pro všecha x, y M : x, y = y, x. (IV) Pro všecha x, y, z M : x, z x, y y, z. 4.3.3. VĚTA Nechť E je euklidovský prostor. Platí: Zobrazeí : E 2 R defiovaé vztahem x, y = x y (pro každé x, y E ) je metrika a možiě E. Důkaz: Ověříme, že zobrazeí splňuje podmíky (I) (IV) z defiice 4.3.2. (I) ověřeí přeecháváme čteáři (II) ověřeí přeecháváme čteáři (III) ověřeí přeecháváme čteáři (IV) Nechť x, y, z E. Chceme: x, z x, y y, z. x, z = x z = x y y z x y y z = x, y y, z (využili jsme trojúhelíkovou erovost viz 4.3.1.). 4.4. Ortogoalita, velikost úhlu vektorů 4.4.1. DEFINICE Nechť E je euklidovský prostor, x, y E. Říkáme, že vektor x je ortogoálí k vektoru y, pokud x, y =0. Ozačeí x y. 4.4.2. POZNÁMKA x, y =0 právě tehdy, když y, x =0, eboť x, y = y, x. Takže x y právě tehdy, když y x. Proto říkáme, že vektory x, y jsou vzájemě ortogoálí. 4.4.3. VĚTA (Pythagorova) Nechť E je euklidovský prostor, x, y E. Platí: x y právě tehdy, když x y 2 = x 2 y 2. Důkaz: x y 2 = x y, x y = x, x 2 x, y y, y = x 2 y 2 2 x, y. Vidíme, že x y 2 = x 2 y 2 2 x, y =0 x, y =0 x y. Pozatek: Nechť E je euklidovský prostor x, y E, x 0, y 0. Podle Cauchyovy erovosti (4.2.2.) x, y platí: x, y x y. Pak x y 1 x, y, eboli ekvivaletě 1 x y 1. x, y Pak existuje právě jedo [0, ] tak, že cos = x y. Teto pozatek ospravedlňuje ásledující defiici.

4.4.4. DEFINICE x, y Nechť E je euklidovský prostor, x, y E, x 0, y 0. Nechť [0, ], cos = x y. Číslo se azývá velikost úhlu vektorů x, y. 4.5. Ortogoálí báze 4.5.1. TVRZENÍ Nechť E je euklidovský prostor, N, v 1,, v E { 0}. Jestliže v i v j pro každé i, j {1, 2,, }, i j, pak vektory v 1,, v jsou lieárě ezávislé. Důkaz: Nechť c 1,, c R, c 1 v 1 c v = 0. Chceme: c 1 = =c =0. Buď i {1,, }. Platí: 0= 0 = c 1 v 1 c v =c 1 v 1 c i 1 v i 1 c i v i c i 1 v i 1 c v =c 1 0 c i 1 0 c i v i c i 1 0 c 0 =c i v i. Protože v i 0, je v i 0 a tudíž c i =0. 4.5.2. DEFINICE Nechť E je euklidovský prostor, B E. B se azývá ortogoálí báze prostoru E, platí-li: (I) B je báze vektorového prostoru E. (II) Pro všechy vektory x, y B : Jestliže x y, pak x y. Je-li avíc splěa podmíka (III) Pro všechy vektory x B : x =1. azývá se B ortoormálí báze prostoru E. 4.5.3. ALGORITMUS (Gramův-Schmidtův ortogoalizačí proces) Nechť E je euklidovský prostor. VSTUP: Lieárě ezávislé vektory v 1,, v. VÝSTUP: Neulové vektory g 1, g 2,, g splňující { g 1,, g,, v } a g i g j pro každé i, j {1,, }, i j. PROCES: Na počátku klademe g 1 = v 1. Nechť 1 k a echť jsou již sestrojey vektory g 1 1. Klademe g k = c 1 g 1 1 g k 1, kde c 1 = g, 1 v k g 1, g 1, c = g, 2 v k 2 g 2, g 2,, c = g, k 1 v k k 1 g k 1, g k 1. Důkaz korektosti algoritmu: Idukcí pro k =1, 2,, dokážeme: (I) vektory g 1, g 2 jsou eulové. (II) { g 1 }. (III) g i g j pro každé i, j {1,, k }, i j. k=1 : ad (I) g 1 = 0 by zamealo, že v 1 = 0 a že vektory v 1,, v jsou lieárě závislé;to by byl spor. Takže g 1 0. ad (II): zřejmě platí ad (III): zřejmě platí k 1 : ad (I): Z idukčího předpokladu víme, že vektory g 1 1 jsou eulové. Zbývá ukázat, že g k 0. Předpokládejme opak, tj. g k = 0. Pak = c 1 g 1 c k 1 g k 1 1 }

Ovšem dle idukčího předpokladu { g 1 1 1 }, takže 1 }. Tedy vektory v 1 1, ejsou lieárě ezávislé. Pak též vektory v 1 1,,, v ejsou lieárě ezávislé, spor. Nutě tedy g k 0. ad (II): { g 1 } { v 1 } : Stačí ukázat, že g 1 }. Dle idukčího předpokladu { g 1 1 1 }, takže g 1 1 1 1 } { v 1 1, }. Zbývá ukázat, že g k }. Víme, že g k = c 1 g 1 1 g k 1. Ovšem, g 1 1 }, takže g k }. { v 1 } { g 1 } : Stačí ukázat, že v 1 }. Dle idukčího předpokladu { v 1 1 } = { g 1 1 }, takže v 1 1 1 } = { g 1 1 } { g 1 1, g k }. Zbývá ukázat, že }. Víme, že = c 1 g 1 c k 1 g k 1 g k. Nutě tedy }. ad (III): Nechť i, j {1,, k }, i j. Chceme: g i g j. Jestliže i, j k 1, pak g i g j dle idukčího předpokladu. Zbývá tedy ukázat, že g k g 1, g k g 2,, g k g k 1. Zvolíme libovolě i {1,, k 1} a počítejme: g k = c 1 g 1 1 g k 1 = = c 1 g 1 c i 1 g i 1 c i g i c i 1 g i 1 1 g k 1. Ještě jedou si uvědomme, že dle idukčího předpokladu g 1 =0,, g i 1 =0, g i 1 =0,, g k 1 =0. Pak g k = c 1 0 c i 1 0 c i g i c i 1 0 1 0= = c i g i = g i, g i g i = = g i, =0. Tudíž g k g i. 4.5.4. VĚTA V každém euklidovském prostoru koečé dimeze existuje ortogoálí báze. Důkaz: Nechť E je euklidovský prostor koečé dimeze. Nechť dim E=. Je-li =0, je ortogoálí báze prostoru E. Nechť 0. Nechť { v 1, v 2,, v } je báze prostoru E. Aplikujeme Gramův-Schmidtův ortogoalizačí proces (4.5.3.) a vektory v 1,, v. Obdržíme vektory g 1,, g. Ukážeme, že { g 1,, g } je ortogoálí báze prostoru E. Víme, že { g 1,, g,, v } =E. Dále g j pro každé i, j {1,, }, i j. Zbývá dokázat, že vektory g 1,, g jsou lieárě ezávislé. To ihed plye z 4.5.1. (Uvědomme si, že vektory g 1,, g jsou eulové). 4.5.5. DŮSLEDEK V každém etriviálím euklidovském prostoru koečé dimeze existuje ortoormálí báze. Důkaz: Nechť E je etriviálí euklidovský prostor koečé dimeze. Dle 4.5.4. existuje ortogoálí báze B prostoru E. Nechť B={ g 1,, g } ( =dim E ). Je g i 0 pro každé i {1,, } - jiak bychom měli spor s lieárí ezávislostí vektorů g 1,, g. Položme e 1 = 1 g 1 g,, 1 e = 1 g g. Ukážeme: { e 1,, e } je ortoormálí báze prostoru E. Protože g 1,, g jsou eulové, jsou též e 1,, e eulové. Nechť i, j {1,, }, i j. Počítejme: 1 e i, e j = g i, 1 g j g j = 1 1 g j g i, g j =0, eboť g i g j. Takže e i e j.

Dále: Nechť i {1,, }. Počítejme e i = 1 i g = 1 g = 1 i g =1 i. Protože e 1,, e jsou eulové a e i e j pro každé i, j {1,, }, i j, jsou vektory e 1,, e lieárě ezávislé (viz 4.5.1.). Jelikož dim E=, je { e 1,, e } báze prostoru E, která je ortoormálí. 4.6. Izomorfismus euklidovských prostorů 4.6.1. DEFINICE Nechť E 1 je euklidovský prostor se skalárím součiem, 1, echť E 2 je euklidovský prostor se skalárím součiem, 2, E 1 E 2. Zobrazeí se azývá izomorfismus euklidovských prostorů E 1 a E 2 platí-li: (I) je izomorfismus vektorových prostorů E 1 a E 2. (II) Pro všecha x, y E 1 platí: x, y 1 = x, y 2. Pokud existuje izomorfismus euklidovských prostorů E 1 a E 2, říkáme, že prostory E 1 a E 2 jsou izomorfí. 4.7. Věta o reprezetaci euklidovských prostorů koečé dimeze 4.7.1. VĚTA (o reprezetaci euklidovských prostorů koečé dimeze) Nechť E je euklidovský prostor koečé dimeze, dim E= ( N ). Platí: euklidovské prostory E a R jsou izomorfí. Důkaz: Dle 4.5.5. existuje ortoormálí báze B={ e 1,, e } euklidovského prostoru E. Pro každé x= x 1 R položme x = x 1 x 2 e 2 x e. Zřejmě zobrazuje R do E. Ukážeme, že je izomorfismus euklidovských prostorů: (I) je izomorfismus vektorových prostorů R a E. (a) je homomorfismus Nechť x= x 1, y= y 1,, y R. Chceme: x y = x y. x y = x 1 y 1,, y = x 1 y 1 y = x 1 y 1 x y e =x 1 y 1 x e y e = x 1 x e y 1 y e = x y. Nechť x= x 1 R, c R. Chceme: c x =c x. c x = c x 1 = c x 1,, c x = c x 1 c x e =c x 1 c x e =c x 1 x e =c x. (b) je ijekce Nechť x= x 1, y= y 1,, y R, x = y. Chceme: x= y. 0= x y = x 1 x e y 1 y e = x 1 y 1 x y e. Vektory e 1,, e jsou lieárě ezávislé, takže x 1 y 1 = = x y =0, což dává x 1 = y 1,, x = y. (c) je surjekce Nechť y E. Chceme: existuje x R tak, že x = y. Víme, že B =E. Existují tedy y 1,, y R, y= y 1 y e. Položme x= y 1,, y. Pak x = y 1 y e = y. (II) Nechť x= x 1, y= y 1,, y R. Chceme: x, y = x, y.

x, y = x 1 x e, y 1 y e = x 1 x e, y 1 x 1 x e, y e = = x i e i, y 1 x i e i, y e x i y 1 e i, e 1 x i y e i, e. Uvědomme si, že e i, e j =0 pro každé i, j {1,, }, i j. Pak x, y = x 1 y 1 e 1, e 1 x 2 y 2 e 2, e 2 x y e, e = x i y i e i 2 = 4.8. Ortogoálí doplěk podprostoru x i y i 1 2 = x i y i = x, y. 4.8.1. DEFINICE Nechť E je euklidovský prostor, W je podprostor prostoru E. Říkáme, že vektor v je ortogoálí k podrpostoru W, jestliže v x pro každý vektor x W (začeí: v W ). 4.8.2. DEFINICE Nechť E je euklidovský prostor, W je podprostor prostoru E. Možia { v E v W } se azývá ortogoálí doplěk podprostoru W (v prostoru E ). Ozačeí: W. 4.8.3. DEFINICE Nechť E je euklidovský prostor, W je podprostor prostoru E, v E. Vektor v 0 W se azývá ortogoálí průmět vektoru v do podprostoru W, jestliže v v 0 W. 4.8.4. TVRZENÍ Ortogoálí průmět vektoru do podprostoru koečé dimeze vždy existuje a je urče jedozačě. Důkaz: Buď E euklidovský prostor, W jeho podprostor koečé dimeze, v E. Rozlišme dva případy: (I) W je triviálí. Položíme v 0 = 0. Jiá možost ai eí. (II) W je etriviálí. Podle 4.5.5. existuje ortoormálí báze { e 1,, e k } podprostoru W ( k =dimw ). Nejdříve si uvědomme: x W právě tehdy, když x e i pro každé i {1,, k }. ( x je libovolý vektor z E ). Zdůvoděí:

Nechť y W, x e i pro,, k. Chceme: x y. Existují d 1,, d k R tak, že y=d 1 d k. Pak x, y = x, d 1 d k =d 1 x, e 1 d k x, e k =d 1 0 d k 0=0. Takže x y. Hledáme c 1,, c k R tak, aby v c 1 e i pro každé i {1,, k }. K ukočeí důkazu tvrzeí stačí ukázat, že ásledující systém k rovic o ezámých c 1,, c k má právě jedo řešeí: v c 1, e 1 =0 Soustavu ozačíme. v c 1, e k =0. Nechť i {1,, k }. Počítejme: v c 1, e i = v, e i c 1, e i k = v, e i c j e j, e i = v, e i c i e i, e i j =1 = v, e i c i 1= v, e i c i. Soustava ( ) má tedy tvar v, e 1 c 1 =0 v, e k c k =0 a je vidět, že má právě jedo řešeí. 4.8.5. VĚTA Nechť E je euklidovský prostor, W je podprostor prostoru E. Platí: W je podprostor prostoru E a (v případě, že E má koečou dimezi) dim W dimw =dim E, W W =E. Důkaz: (I) Dokážeme, že W je podprostor. Nechť u, v W. Chceme: u v W. Nechť x W. Počítejme: u v, x = u, x v, x =0 0=0, tedy u v W, u v W. Nechť u W, c R. Chceme: c u W. Nechť x W. Počítejme: c u, x =c u, x =c 0=0. Tedy c u W, c u W. Ještě chceme: 0 W. Zřejmě pro každé x W je 0, x =0, tedy 0 W, 0 W. (II) Předpokládejme, že E má koečou dimezi. Nejdříve dokážeme, že W W =E. W W E : To je jasé. E W W : Nechť v E. Protože E má koečou dimezi, má koečou dimezi též podprostor W. Dle 4.8.4. existuje ortogoálí průmět v 0 vektoru v do prostoru W. Platí: v= v 0 v v 0, v 0 W, v v 0 W, tj. v v 0 W. Vidíme, že v W W. Dle 3.2.2. platí: dim W dimw =dim W W dim W W. Vzhledem k výše dokázaému dim W dimw =dim W W dim E. Nechť x W W. Pak x x, tedy x, x =0, což dává x= 0. Proto W W ={ 0}, dim W W =0, dim W dimw =dim E. 4.8.6. VĚTA Nechť E je euklidovský prostor, P je podprostor prostoru E, v E, v 0 je ortogoálí průmět vektoru v do P ( v 0 P ). Platí: Pro všecha x P je v v 0 v x, přičemž rovost astává právě tehdy, když x= v 0. Důkaz: Nechť x P. v x= v v 0 v 0 x. Je v v 0 P, tedy specielě v v 0 v 0 x.

Podle Pythagorovy věty (4.4.3.) platí: v x 2 = v v 0 2 v 0 x 2. Pak v v 0 2 v x 2, takže v v 0 v x. Rovost astává právě tehdy, když v 0 x =0, což je právě tehdy, když x= v 0.