Řady -ekv ne
ŘADY ČÍSEL 1. limita posloupnosti (operace založená na vzdálenosti bodů) 2. supremum nebo infimum posloupnosti (operace založená na uspořádání bodů). Z hlavních struktur reálných čísel zbývá použít aritmetické operace. V následující části bude probrán posloupnosti. Součin posloupnosti se nepoužívá často a jeho teorii lze vyvodit z teorie o součtu. DEFINICE. Je-li {a n } posloupnost reálných čísel, značí symbol a n její, tj. limitu částečných součtů lim (a 1 + + a n ). n Symbol a n se standardně užívá v obecnějším smyslu pro posloupnost {a n }, která se má sečíst, a to i v případě, kdy její neznáme nebo neexistuje. Příslušná posloupnost částečných součtů se často značí {s n }, tj. s n = a 1 +a 2 + +a n pro n N. konverguje, je-li její reálné číslo diverguje, jestliže její neexistuje (pak řada osciluje), nebo diverguje, jestliže je její nevlastní (pak též říkáme, že řada konverguje k + nebo ). 1 1 1 1 -ekv ne
VĚTA. Řada všechna n > m > k je a n konverguje právě když pro každé ε > 0 existuje k N tak, že pro a m + a m+1 + + a n < ε. VĚTA. Následující rovnosti platí, pokud mají smysl pravé strany: (an + b n ) = a n + b n, (k an ) = k a n. VĚTA. Jestliže a n konverguje, pak lim a n = 0. -ekv ne
Konvergence řad s kladnými (či zápornými) členy VĚTA. Jestliže v řadě a n nemění její členy od určitého indexu znaménko, řada vždy konverguje k vlastnímu nebo k nevlastnímu číslu. Pro z předchozího tvrzení zbývá najít kritéria, která umožní zjistit, zda řada konverguje k vlastnímu nebo k nevlastnímu číslu. Je zřejmé, že se stačí omezit na s nezápornými nebo kladnými členy. VĚTA. (Srovnávací kritérium) Necht 0 a n b n pro skoro všechna n N. 1. Jestliže 2. Jestliže b n konverguje, tak i a n konverguje. a n diverguje, tak i b n diverguje. -ekv ne
DŮSLEDEK. Necht a n > 0, b n > 0 pro všechna n N. 1. Jestliže existují kladná čísla k, K tak, že kb n a n Kb n pro skoro všechna n N, pak a n konverguje právě když řada b n konverguje. 2. Jestliže existuje kladná vlastní limita lim a n bn, pak a n konverguje právě když řada b n konverguje. Tvrzení 2 se nazývá limitní tvar tvrzení 1 a snadno z něho vyplývá. Tvrzení 1 je však obecnější, protože se může stát, že jeho podmínky jsou splněny, ale lim(a n /b n ) neexistuje. Podobně je tomu v následujících kritériích. Limitní tvary budou uváděny bez důkazů, nebot jsou obdobné předchozímu důkazu. 2a VĚTA. (Cauchyovo odmocninové kritérium) Necht a n 0 pro skoro všechna n N. (a) Je-li n a n q pro nějaké q < 1 a skoro všechna n, pak řada (b) Je-li n a n 1 pro skoro všechna n, pak řada a n diverguje. a n konverguje. -ekv ne
DŮSLEDEK. (Limitní tvar) Necht a n 0 pro skoro všechna n N. (a) Je-li lim n a n < 1, pak řada (b) Je-li lim n a n > 1, pak řada a n konverguje. a n diverguje. 2b 1 1 _ 1 1 _ 1 _ + + + + = 1 2 3 4... 4 4 4 4 3 -ekv ne
VĚTA. (d Alembertovo podílové kritérium) Necht a n > 0 pro skoro všechna n N. (a) Je-li a n+1 a n (b) Je-li a n+1 a n q pro nějaké q < 1 a skoro všechna n, pak řada 1 pro skoro všechna n, pak řada a n diverguje. a n konverguje. DŮSLEDEK. (Limitní tvar) Necht a n > 0 pro všechna n N. (a) Je-li lim a n+1 a n (b) Je-li lim a n+1 a n 2c < 1, pak řada > 1, pak řada a n konverguje. a n diverguje. DŮSLEDEK. (a) Jestliže pro posloupnost {a n } platí n a n q pro skoro všechna n a nějaké q < 1, pak lim a n = 0 (speciálně to platí, jestliže lim n a n < 1). (b) Jestliže pro posloupnost {a n } platí a n+1 a n q pro skoro všechna n a nějaké q < 1, pak lim a n = 0 (speciálně to platí, jestliže lim a n+1 a n < 1). -ekv ne
2d Následující jednoduché kritérium se používá pro některé důležité, pro které nelze použít podílové nebo odmocninové kritérium. VĚTA. (Kondenzační kritérium) Necht {a n } je monotónní. Pak řada + a n konverguje právě když konverguje řada + 2 n a 2 n. 2 2 2 2 n=0 -ekv ne
Konvergence řad s proměnnými znaménky Nejjednodušší případ je ten, kde se znaménka mění pravidelně po každé změně indexu. VĚTA. (Leibniz) Necht {a n } je monotónní a lim a n = 0. Pak řada + ( 1) n a n konverguje. 3a Jediná jednodušší kritéria pro obecnější případ jsou Dirichletovo kritérium a Abelovo kritérium. n=0 -ekv ne
VĚTA. Necht {a n }, {b n } jsou dvě posloupnosti reálných čísel. Řada a n b n konverguje, jestliže {a n } je monotónní a bud (a) lim a n = 0, {b n } má omezené částečné součty (Dirichlet) nebo (b) {a n } je omezená a řada b n konverguje (Abel), 3 3 3 3 -ekv ne
Absolutní konvergence DEFINICE. + a n. Jestliže řada + neabsolutně. 4 Říkáme, že řada + a n konverguje, ale + a n konverguje absolutně, jestliže konverguje řada a n = +, říkáme, že řada + a n konverguje VĚTA. Absolutně konvergentní řada konverguje. Navíc konverguje ke stejnému číslu i po libovolném přerovnání. Protože řada + + a n je řada s neměnícími se znaménky, pro absolutní konvergenci a n platí všechna kritéria uvedená v části o řadách s neměnícími znaménky, jen je nutné místo a n psát a n. Tedy např., jestliže existuje q < 1 tak, že n a n q, pak řada + absolutně. a n konverguje -ekv ne
Jestliže řada konverguje i po libovolném přerovnání (není nutné požadovat, že ke stejnému číslu), pak řada konverguje absolutně. VĚTA. Necht řada + a n konverguje neabsolutně. Pak pro každé p R existuje prosté zobrazení ϕ množiny N na N takové, že + p a existuje takové ϕ, že přerovnaná řada osciluje. 4 4 4 a ϕ(n) = -ekv ne
ŘADY FUNKCÍ Před definicí obecné mocniny byla definována bodová konvergence posloupnosti funkcí a podobně lze definovat funkcí: DEFINICE. Říkáme, že f n konverguje (bodově) na množině A R k funkci f, jestliže pro každé x A konverguje řada čísel f n (x) k číslu f(x) (symbol fn = f). Speciálním případem funkcí jsou tzv. mocninné (funkce f n je násobek n-té mocniny, tj. f n (x) = a n x n ). Teorie těchto řad bude probírána později, ale je vhodné se nyní zabývat nejdůležitějším speciálním případem mocninných řad, a to jsou Taylorovy. DEFINICE. Taylorova řada funkce f v bodě a je (mocnin) f (n) (a) (x a) n. n! n=0 Taylorovy polynomy funkce e x 2 v bodě 0 jsou nulové a tedy konvergují k 0 na R (viz 7 v kapitole o použití derivací); tato limita nemá s původní funkcí vlastně nic společného. VĚTA. Taylorova řada funkce f konverguje k f v bodě x právě když lim n R n (x) = 0, kde R n (x) je příslušný n-tý zbytek Taylorova polynomu funkce f v bodě a. -ekv ne
Taylorovy polynomy následujících funkcí spolu s určením příslušného zbytku byly probrány v Příkladech 7 v kapitole o použití derivací. Nejdříve je vždy uveden rozklad funkce na její Taylorův polynom a zbytek a potom je uvedeno tvrzení, pro které body zbytek konverguje k 0 a tedy pro které body Taylorova řada konverguje k dané funkci. Taylorovy budou sestrojovány v bodě 0, takže slova,,v bodě a" budou vynechána. Exponenciální funkce e x = 1 + x + x2 2! + + xn n! + ec x n+1 (n + 1)! = n pro nějaké c mezi 0 a x. VĚTA. 5 k=0 Taylorova řada funkce e x konverguje k e x na R a tedy x k k! = ex, x R. pro nějaké c mezi 0 a x. k=0 Goniometrické funkce sin x = x x3 3! + x 2n 1 ( 1)(n 1) (2n 1)! + ( 1)n x 2n+1 (2n + 1)! x k k! + ec x n+1 (n + 1)! cos c -ekv ne
cos x = 1 x2 2! pro nějaké c mezi 0 a x. + ( 1)n x2n (2n)! + ( 1)n+1 x 2n+2 (2n + 2)! cos c VĚTA. 6 Taylorovy funkcí sin x, cos x konvergují na R k těmto funkcím a tedy ( 1) k 1 x 2k 1 = sin x, x R (2k 1)! k=1 ( 1) k x2k = cos x, x R. (2k)! k=0 Logaritmická funkce lg(x + 1) = x x2 2 + x3 3 + ( 1)n 1xn n + ( 1) n x n+1 (n + 1)(1 + c) n+1 n k 1 xk = ( 1) k + ( 1) n x n+1 ( n x(x ) c)n popř. ( 1) (n + 1)(1 + c) n+1 (1 + c) n+1 k=1 pro nějaké c mezi 0 a x, kde x > 1. -ekv ne
VĚTA. Taylorova řada funkce lg(x + 1) konverguje k lg(x + 1) na ( 1, 1] a tedy ( 1) k xk = lg(x + 1), x ( 1, 1]. k k=0 Binomický rozvoj (1 + x) p = 1 + px + p(p 1) 2 x 2 + p(p 1) (p n+1) n! x n + R n (x) = n ( p k) x k + p(p 1)...(p n)(1 + c) p n 1 x(x c) n n!, k=0 pro x > 1, c mezi 0 a x (kde ( ) p k = p(p 1) (p k+1) k! ). VĚTA. Taylorova řada funkce (1 + x) p, kde p R, konverguje k (1 + x) p na intervalu ( 1, 1) a tedy ( p ) k x k = (1 + x) p, x ( 1, 1). k=0 Speciálně pro p = 1/2 a p = 1/2: x 1 + x = 1 + 2 + ( 1) k 1(2k 3)!! x k, x ( 1, 1) (2k)!! k=2 -ekv ne
1 1 + x = 1 + 7 7 ( 1) k(2k 1)!! x k, x ( 1, 1) (2k)!! k=1 -ekv ne