STATISTIKA. Základí pomy věda o metodách sběru, zpracováí a vyhodocováí statistických údaů. Zkoumá společeské, přírodí, techické a ié evy vždy a dostatečě rozsáhlém souboru údaů. Matematická statistika vychází ze shromážděých statistických údaů. Zabývá se eich matematickým zpracováím a rozborem výsledků. Statistické údae (data) sou číselé údae o společeských, přírodích, techických a iých skutečostech, o tzv. statistických evech. Statistický soubor e soubor osob, věcí, událostí, evů apod. shromážděých a základě určité společé vlastosti. Statistické edotky sou edotlivé prvky statistického souboru. Rozsah souboru (oz. ) e počet všech prvků statistického souboru. Statistický zak e společá vlastost statistického souboru, kterou vyšetřueme. Te může být buď kvatitativí (e vyádře číselým údaem, ako apř. zámka z testu, výška, váha, hrubý ročí příem, atd.) ebo kvalitativí (e vyádře slovím popisem apř. árodost, občaství, povoláí, druh emoci apod.).. Zpracováí statistického souboru Tříděí souboru Ve většiě šetřeí e počet růzých hodot sledovaého zaku meší, ež počet edotek tohoto statistického souboru. Zameá to tedy, že ěkolik růzých statistických edotek téhož souboru má steé hodoty. Hovoříme o tzv. četosti ebo také absolutí četosti. Absolutí četost (četost) hodoty zaku (oz. ) udává počet statistických edotek, kterým přísluší steá hodota zaku, tz. že pomocí této absolutí četosti lze roztřídit soubor do r tříd (r < ). Tedy místo hodot přičemž každá tato hodota,, L pracueme pouze s r hodotami, má svou absolutí četost.,, L r,, Součet četostí všech možých hodot zaku se rová rozsahu soboru, tedy. Relativí četost hodoty zaku ( v Součet relativích četostí se rová edé, tedy ) udává, aká část souboru má hodotu zaku r v Relativí četosti se velmi často vyadřuí v procetech a pak platí, že eich součet e 00 %. Všechy růzé hodoty zaku (tedy třídy,, L, r ) a im odpovídaící četosti (tedy,, L, r ), resp. relativí četosti v (tedy v, v, L, vr ) lze zapsat do tabulky, kterou azýváme tabulka rozděleí četostí a relativích četostí. Rozděleí četostí (absolutích či relativích) lze zázorit graficky, provádíme tzv. grafické zázorěí četostí. Nečastěi užíváme polygo četostí a histogram četostí.. r.
Příklad.. Ve třídě byly zazameáy tyto zámky z testu: Prvotí tabulka (etříděý soubor): Jméo žáka Zámka z testu ( ) Jméo žáka Zámka z testu ( ) Jméo žáka Zámka z testu ( ) Jméo žáka Zámka z testu ( ) Jméo žáka Adam Frézová Jaeček Opletalová Šedivá 3 Béla 3 Galatek 3 Kadeřavý 4 Paleček Ulrych Čeek Haáček 5 Lakomá Remuda 3 Válek 3 Dlouhá 3 Chromá 4 Mastý Řečý 3 Wilczek 5 Eli 4 Idra 3 Nedoma 3 Sitek Žežulka Řešeí: Proveďte roztříděí tohoto souboru a vhodé třídy a staovte absolutí a relativí četost každé třídy. Proveďte grafické zázorěí četostí. Zámka z testu ( ) V prvotí tabulce e zazameá tzv. etříděý soubor, který pomocí tříd a četostí roztřídíme: Tabulka rozděleí četostí a relativích četostí (tříděý soubor): Třída Četost zaku Relativí četost zaku 5 5 5 0, 6 6 5 0, 4 3 3 3 9 9 0, 36 5 4 4 4 3 3 5 0, 5 5 5 0, 08 5 součet 5 Grafické zázorěí rozděleí četostí: četost 0 9 8 7 6 5 4 3 0 5 5 v Polygo četosti (spoicový diagram) 3 4 5 zámka relativí četost (%) 40 35 30 5 0 5 0 5 0 Histogram četosti (sloupkový a kruhový diagram) 5 4 8% % 3 4 5 zámka 3 36% 0% 4%
Pozámka: Postupuí-li hodoty kvatitativího zaku po příliš malých krocích ebo e ich příliš moho, sdružueme e v itervaly a hodoty z téhož itervalu ahradíme středem tohoto itervalu. Příklad.. Statistickým soborem e 00 žáků školy, sledovaým zakem eich výška. Byly zištěy tyto údae: Výška (cm) 58-6 63-67 68-7 73-77 78-8 83-87 88-9 Počet žáků 8 0 36 80 36 6 4 Naděte střed každého itervalu (třídy) a staovte absolutí a relativí četost každé třídy. Proveďte grafické zázorěí četostí histogramy četosti. Řešeí: Místo celého itervalu zapíšeme eho střed: (cm) 60 65 70 75 80 85 90 (počet žáků) 8 0 36 80 36 6 4 v (%) 4% 0% 8% 40% 8% 8% % Histogram četosti (sloupkový a kruhový diagram) 80 četost 70 60 50 40 30 80 8% 85 8% 90 % 60 4% 65 0% 70 8% 0 0 0 60 65 70 75 80 85 90 výška (cm) 75 40% Cvičeí : ) Při zišťováí věku posluchačů edé studií skupiy a vysoké škole byly zištěy tyto hodoty: 8, 9, 8, 8, 9, 8, 0,, 0,,,, 8, 8, 8, 9, 9, 8, 9, 0. Určete rozsah souboru, sestavte tabulku rozděleí četostí edotlivých hodot zaku věk a určete relativí četosti. Sestrote spoicový diagram (tzv. polygo četosti) rozděleí četostí. ) Ve třídě s 5 žáky prospělo s vyzameáím 7 žáků, prospělo 4 žáků, eprospěli 3 žáci, ebyl klasifiková žák. Vypočtěte relativí četosti zaku prospěch a ukažte, že eich součet e rove. Sestrote kruhový diagram (tzv. histogram) rozděleí četostí. 3) V prodeě páské obuvi zazameávali velikosti prodaých párů během de s tímto výsledkem: 4, 4, 4, 4, 4, 4, 39, 4, 37, 4, 45, 4, 4, 38, 40, 39, 38, 4, 4, 38, 4, 39, 44, 43, 43, 44, 39, 39, 43, 43, 40, 4, 43, 4, 4, 43, 40, 40, 40, 4, 4, 4, 4, 40, 4. Určete rozsah souboru, vypočtěte absolutí a relativí četosti zaku velikost. Relativí četosti vyádřete v procetech a ověřte, zda eich součet e rove 00%. Sestrote sloupkový diagram rozděleí četostí. 4) Ze Školí statistické ročeky 008 vyměte část tabulky Počítačové dovedosti edotlivců v ČR v roce 007 týkaící se věkových skupi (str.6). Tabulku zapište a sestrote spoicový diagram a histogram (sloupkový či kruhový). Pozámka: Školí statistickou ročeku 008 alezete též a iteretových strákách Českého statistického úřadu (www.czso.cz) v sekci pro studety. 3
5) Kruhový diagram vyadřue v procetech volebí preferece pěti politických stra. Jsou-li volebí preferece stray A zázorěy kruhovou výsečí se středovým úhlem 7, sou preferece této stray: a) 5 % b) 0 % c) 5 % d) 30 % D E A B C V: 0 % 6) Na obrázku e spoicový diagram, který zázorňue četosti všech pěti hodot daého zaku : 60 50 četost 40 30 0 0-3 4 5 hodota zaku Z ásleduících sloupkových diagramů zázorňuících relativí četosti hodot tohoto zaku vyberte te, který odpovídá uvedeému spoicovému diagramu: Graf A Graf B relativí četost 0,5 0, 0,5 0, 0,05 relativí četost 0,3 0,5 0, 0,5 0, 0,05 0 3 4 5 hodota zaku 0 3 4 5 hodota zaku Graf C Graf D relativí četost 0,35 0,3 0,5 0, 0,5 0, 0,05 0 3 4 5 relativí četost 0,5 0,4 0,3 0, 0, 0 3 4 5 hodota zaku hodota zaku V: Graf B 4
3. Statistické charakteristiky Statistickými charakteristikami azýváme čísla, která podávaí stručou a souhrou iformaci o souboru. Pokud se omezíme a podmíku, že vyšetřueme statistický soubor a základě ediého kvatitativího zaku, edá se o charakteristiky polohy (úrově) a variability (promělivosti). Základí statistické charakteristiky slouží pro vzáemé porováváí růzých statistických souborů. Charakteristiky polohy hodoty zaku (eboli středí hodoty zaku) sou čísla, která zastupuí celý soubor. Jedo číslo ahrazue dlouhou řadu hodot zkoumaého zaku a e pak sadé porovat dva i více statistických souborů. Charakterizuí polohu zaku a číselé ose. Mezi ě patří aritmetický průměr, geometrický průměr, harmoický průměr, mediá, modus. Aritmetický průměr (oz. ) e eužívaěší statistická veličia, která v istém smyslu vyadřue typickou hodotu popisuící daý soubor moha hodot (apř. průměrý plat v ČR). Má smysl ako velmi důležitá charakteristika daého souboru tehdy, pokud sou odchylky aměřeých hodot ahodilé a v souboru se evyskytuí etrémě ízké ebo vysoké hodoty. Defiice aritmetického průměru: aritmetický průměr prostý: ( + + L + ) i, i aritmetický průměr vážeý: r ( + + L + r r ), kde,, L, r sou četosti tříd,, L, r. Užíváme tam, kde statistický soubor e slože z r podsouborů. Máme-li tedy sestaveu tabulku rozděleí četostí, užieme pro výpočet aritmetického průměru vážeý aritmetický průměr. Příklad 3.. V edom ročíku školy sou dvě paralelí třídy. Třída A má 0 studetů, třída B 3 studetů. Při edom testu získali žáci těchto tříd tyto body: Třída A: 6, 67, 7, 74, 76, 77, 78, 79, 79, 80, 80, 8, 8, 8, 83, 84, 86, 89, 93, 98. Třída B: 80, 8, 8, 83, 84, 85, 86, 87, 87, 88, 88, 89, 89, 89, 90, 90, 90, 90, 9, 9, 9, 9, 9, 93, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 00. Vypočtěte aritmetický průměr bodů ve třídě A, ve třídě B a v celém ročíku. 600 880 Řešeí: A 80, B 90 0 3 Chceme-li vypočítat průměr bodů za celý ročík, esmíme ho počítat ako průměr ze 80 + 90 získaých dvou průměrů, t. 85!!! Každý z ich má totiž iou váhu. Prví zastupue 0 žáků, druhý 3. Proto celkový průměr vyřešíme buď ako podíl součtu všech bodů v ročíku a celkového počtu žáků v ročíku 600 + 880 4480 & 86,54 0 + 3 5 ebo pomocí vážeého průměru 0 80 + 3 90 4480 & 86,54 0 + 3 5 V tomto případě stačilo k určeí celkové průměru zát průměry a počty žáků ve třídách (emusíme iž zát body u edotlivých žáků). Závěr: Průměr bodů ve třídě A e 80 bodů, ve třídě B 90 bodů, celkový průměr v ročíku e 86,54. 5
Příklad 3.. Výsledky srovávací písemé práce z matematiky ve dvou paralelích třídách 4.A a 4.B ukázaly ásleduící: Třída 4.A (počet žáků 30) apsala písemou práci s průměrem,50, třída 4.B (počet žáků 5) apsala tuto práci s průměrem,60, ale a rozdíl od sousedí třídy zde ikdo eměl edostatečou zámku. Marek, studet třídy 4.B, si uvědomil, že kdyby apsal písemku lépe, mohla skočit eho třída lépe ež sousedí. Jakou zámku z písemky dostal? Řešeí: A,50, B, 60 Ozačíme-li celkový počet bodů získaých třídou 4.B ako s, pak platí, že s B,60 s,60 5 s 65 5 Kdyby Marek dostal zámku o m stupňů lepší ež ve skutečosti a eho třída by tedy dopadla lépe ež 4.A, muselo by platit 65 m <,50 m >,5 5 Závěr: Marek se tedy musel zlepšit o 3 stupě. Protože však žádý žák v eho třídě eměl pětku, měl tedy čtyřku a musel by se zlepšit až a edičku. Příklad 3.3. Průměrá deí teplota se v meteorologii staovue ako průměr z teploty vzduchu aměřeé v 7 hodi ráo, teploty ve 4 hodi a teploty v hodi, přičemž posledí úda se započítává s dvoásobou vahou. Vypočtěte průměrou deí teplotu, estliže raí teplota byla -4 C, odpoledí C a večerí -3 C. Řešeí: Závěr: ( ) t Platí tedy 7 + t 4 + t 4 + + 3 t t 4 4 Průměrá deí teplota byla - C. Příklad 3.4. Průměrý měsíčí plat zaměstaců firmy v prvím až třetím čtvrtletí byl 3 600 Kč. Ve čtvrtém čtvrtletí vyplatila firma zaměstacům mimořádé odměy, a tak eich průměrý měsíčí plat za celý loňský rok čiil 4 800 Kč. O kolik koru byla průměrá měsíčí mzda zaměstaců firmy ve čtvrtém čtvrtletí větší ve srováí s eich průměrou měsíčí mzdou v prvím až třetím čtvrtletí? Řešeí: Závěr: I.- III.čtvrtletí, t. 9 měsíců 3 600 Kč za měsíc IV.čtvrtletí, t. 3 měsíce Kč za měsíc celý rok, t. měsíců. 4 800 Kč za měsíc Odtud plye rovice: 3600 9 + 3 4800 8400 Rozdíl čií 8400 3600 4800 Kč. Průměrá měsíčí mzda zaměstaců firmy ve čtvrtém čtvrtletí byla o 4 800 Kč větší ve srováí s eich průměrou měsíčí mzdou v prvím až třetím čtvrtletí. 6
Vlastosti aritmetického průměru: Změí-li se každá z hodot i aritmetický průměr:,, L, o steou kostatu c, pak se o tuto kostatu změí ( c) + ( + c) + + ( + c) ( + + L+ + c) + L + + L+ 7 + c + c Změí-li se každá z hodot,, L, k-ásobě, pak se k-ásobě změí i aritmetický průměr: ( k ) + ( k ) + L+ ( k ) k( + + L+ ) k Příklad 3.5. Každý z stromků vyrostl za 5 let do dvoásobé výše. Kolikrát se zvětšila průměrá výška všech těchto stromků? Řešeí: Závěr: Jedá se o přímé užití výše uvedeé vlastosti: ( ) + ( ) + L+ ( ) ( + + L + ) Průměrá výška stromků se zvětšila dvakrát. Příklad 3.6. Maitel stavebí firmy vyplatil za řádé plěí zakázky každému ze šesti pomocíků steou částku, každému ze čtyř zedíků také steou částku, ale vyšší ež pomocíkům, evyšší částku vyplatil mistrovi. Průměrě vyplaceá částka byla 6 730 Kč. Pozděi se maitel firmy rozhodl vyplatit eště každému z uvedeých pracovíků 0 % částky, kterou mu vyplatil původě. Jak vysoká byla průměrá dodatečě vyplaceá částka? Řešeí: Závěr: Původě bylo v průměru zaměstacům vyplaceo: 6 + 4y + z 6730 Kč Po dodatečém zvýšeí bylo celkem průměrě vyplaceo: 6, + 4, y +, z, ( 6 + 4y + z) Průměrá dodatečě vyplaceá částka byla 673 Kč., 6730 6730 + 0, 6730 + 673 Příklad 3.7. Na sportoví utkáí chce obec prodávat vstupeky za edotou ceu, a to za 50 Kč, 00 Kč, 50 Kč ebo 00 Kč. Podle předběžého průzkumu e 8 záemců ochoto koupit si vstupeku evýše za 50 Kč, dalších 05 záemců evýše za 00 Kč, dalších 48 záemců vstupeku evýše za 50 Kč a pouze dalších 76 záemců vstupeku až do cey 00 Kč. Při aké ceě vstupeky bude mít obec evyšší zisk? Řešeí: Závěr: Vstupeku za 50 Kč by koupilo (8 + 05 + 48 + 76) záemců, zisk by byl ( 8 + 05 + 48 + 76) 50 3350 Kč. Zisk za vstupeky po 00 Kč.. ( 05 + 48 + 76) 00 4900 Kč. Zisk za vstupeky po 50 Kč.. ( 48 + 76) 50 33600 Kč. Zisk za vstupeky po 00 Kč.. 76 00 500 Kč. Zisk obce bude evětší, bude-li vstupeka stát 00 Kč.
Geometrický průměr z kladých čísel a,..., součiu:, a a e defiová ako -tá odmocia z eich a K a Π ai i a Geometrický průměr G se ve statistice využívá k výpočtu průměrého tempa růstu v árodohospodářských časových řadách, tedy tempa růstu průmyslové či ié výroby. Jsou-li hodoty růstu,, L, uvedey v procetech, pak průměré ročí tempo růstu získáme rověž v procetech. L G Příklad 3.8. Vypočtěte průměrý růst ce za posledí čtyři roky, estliže byl zazameá postupý árůst o 0 % z předchozího roku a pak 0 %, poté 5 % pokles ce, ale pak zase 0 % růst ce. Řešeí: Průměré ročí tempo růstu ce vyádříme geometrickým průměrem: 4 0 0 85 0 05,40 % Závěr: Průměré ročí tempo růstu ce bylo 5,4 %. G Pozámka: Do vzorce pro geometrický průměr lze samozřemě dosazovat i desetiá čísla vystihuící růst či pokles: 4,0,0 0,85,0,054, což odpovídá vzrůstu o 5,4 %. G Příklad 3.9. Geometrický průměr čtyř kladých čísel 4, 6,, e. Určete ezámá čísla, vypočtěte pak eich aritmetický průměr a porovete s průměrem geometrickým. Řešeí: 4 4 6 0, 5 4 + 6 + 0,5 + 0,5 Aritmetický průměr 5, 5 4 Závěr: Hledaá čísla sou rova číslu 0,5. Aritmetický průměr všech čtyř čísel e 5,5, což e číslo větší ež eich průměr geometrický. Nerovost aritmetického a geometrického průměru V matematice říká erovost aritmetického a geometrického průměru (krátce AG-erovost), že aritmetický průměr skupiy ezáporých čísel e vždy větší ebo rove geometrickému průměru těchto čísel. Navíc, rovost astává tehdy a e tehdy, pokud sou všecha čísla ve skupiě steá. Formálě se erovost zapíše + + L + L. Příklad 3.0. Dokažte AG-erovost pro dvě ezáporá čísla, y. + y Tatro erovost e splěa pro všecha ezáporá čísla, y (druhá mocia e vždy ezáporá). Rovost astává pouze pro y. Řešeí: y ( + y) 4y y + y 0 ( y) 0 8
Harmoický průměr z eulových hodot statistického souboru e defiová ako podíl rozsahu souboru (počtu čleů) a součtu převráceých hodot zaků. Jiými slovy e to převráceá hodota aritmetického průměru převráceých hodot zadaých čleů. h + + L+ i i Harmoický průměr užíváme ečastěi při výpočtu průměré rychlosti či průměrého času. Příklad 3.. Řidič zkušebího automobilu el do cílového místa rychlostí 70 km/h a zpět rychlostí 90 km/h. Jakou průměrou rychlost dosáhl a celé trase? Řešeí: h 78, 75 + 70 90 Závěr: Průměrá rychlost řidiče byla 78,75 km/h. Příklad 3.. Tři pracovíci opakovaě prováděí steou operaci. Prvímu trvá operace miuty, druhému 3 miuty, třetímu 4 miuty. Jak dlouho trvá průměrě eda operace? 3 Řešeí: h &, 8 + + 3 4 Závěr: Jedá operace trvá průměrě asi miuty 48 sekud. Předěme yí od průměrů k doplňuícím charakteristikám polohy, ako sou modus a mediá. Modus zaku e hodota, která má v souboru evětší četost. Začíme Mod () ebo taky ˆ. Představue akousi typickou hodotu sledovaého souboru a eho určeí předpokládá roztříděí souboru podle obmě zaku. Modus emusí být urče edozačě (tz., že se steou evyšší frekvecí se může vyskytovat více hodot). Jeho výhodou e, že ho lze použít i pro ečíselá data, kde apř. aritmetický průměr použít elze. Např. modus souboru {ablko, pomerač, hruška, pomerač, ablko, ablko, hruška} e ablko. Mediá zaku e prostředí hodota zaku, sou-li hodoty,, L, uspořádáy vzestupě. Začíme Med () ebo taky ~. Mediá dělí řadu podle velikosti seřazeých výsledků a dvě steě početé poloviy. Platí, že eméě 50 % hodot e meších ebo rových a eméě 50 % hodot e větších ebo rových mediáu. Pro alezeí mediáu daého souboru stačí hodoty seřadit podle velikosti a vzít hodotu, která se alézá uprostřed sezamu. Pokud má soubor sudý počet prvků, obvykle se za mediá ozačue aritmetický průměr prostředích dvou hodot. Základí výhodou mediáu ako statistického ukazatele e fakt, že eí ovlivěý etrémími hodotami. Proto se často používá v takových souborech, u kterých aritmetický průměr dává obvykle evhodé výsledky. Např. u souboru {,,, 3, 9 } e mediá (steě ako modus) rove dvěma, což e zřetelě vhoděší ukazatel převažuící tedece ež aritmetický průměr, který e zde rove 3,4. Mediá e epoužívaěší kvatil (kokrétě kvatil dělící soubor a dvě části). Kromě mediáu se velmi často používaí kvartily (soubor se dělí a čtyři části), decily (a deset částí) a percetily (a sto částí). 9
Příklad 3.3. Ve třídě s 3 studety byla zišťováa výše eich kapesého a týde. Výsledky šetřeí sou zpracováy v ásleduící tabulce rozděleí četostí: Výše kapesého 50 Kč 00 Kč 00 Kč 500 Kč Počet studetů 5 3 Určete průměrou hodotu, modus a mediá kapesého ve třídě. Porovete tyto charakteristiky polohy. 5 50 + 00 + 3 00 + 500 Řešeí: Průměr: & 98 Kč 3 Modus: Nečastěi vyskytuící se hodota e 50,- Kč ˆ 50, Kč. Mediá: Seřadíme-li 3 hodot vedle sebe ve vzrůstaícím pořadí, pak prostředí hodota e a 6. místě, což e 00,- Kč ~ 00, Kč Závěr: Protože eda hodota zaku v tomto souboru e výrazě odlišá, e ako doplňková charakteristika polohy vhoděší mediá. To dokládá i porováí aritmetického průměru s mediáem. Modus e výrazě ižší ež aritmetický průměr a mediá. Cvičeí 3( část): ) Při statistickém průzkumu v edé obci byly zištěy ásleduící počty čleů v domácostech této obce. Vypočtěte průměrý počet čleův edé domácosti. Počet čleů domácosti 3 4 5 6 7 8 Počet domácostí 5 3 9 85 63 9 7 V: & 3,504 ) Průměrý obsah stříbra v áhodě vybraých vzorcích rudy udává ásleduící tabulka. Vypočtěte průměrý obsah stříbra v této rudě. Obsah stříbra v % 0-4 4-8 8- -6 6-0 0-4 Počet vzorků 88 75 44 4 3 8 V: & 5,7 % 3) Určete aritmetický průměr, modus a mediá čísel,, L, 5, estliže se číslo vyskytue mezi imi pětkrát, číslo 7 osmkrát a čísla 0 a edou. V: & 5, 87 ; ˆ 7 ; ~ 7 4) Ve třídě e 8 žáků zařazeo do volitelého předmětu iformatika, 0 do cvičeí z biologie a 4 do aglické koverzace. Průměrý prospěch v iformatice byl,60, ve cvičeí z biologie,40 a v aglické koverzaci,0. Jaký e průměrý prospěch třídy ve volitelých předmětech? V: &,365 5) Aritmetický průměr tří čísel e 38,4. Součet dvou z ich 77,4. Určete třetí číslo. V: 37,8 6) Několik ablek má průměrou hmotost 80 g. Kdybychom k im přidali edo ablko o hmotosti 0 g, zvětšila by se průměrá hmotost ablek o 3g. Určete původí počet ablek. V: 9 ablek 7) Deset hráčů soutěžilo v hodu a koš. Prví hráč získal bodů, druhý 8 bodů, třetí také 8 bodů, čtvrtý dosáhl aritmetického průměru počtu bodů prvích tří hráčů. Podobě pátý a každý další hráč získal počet bodů, který se rová aritmetickému průměru počtu bodů všech hráčů, kteří házeli a koš před ím. Kolik bodů získal desátý hráč? V: 9 bodů 0
8) Sportovci čtyř družstev edoho oddílu byli testovái a fyzickou zdatost. Každý obdržel zámku od (elepší) do 5 (ehorší). Výsledky sou uvedey v ásleduící tabulce: 3 4 5. družstvo 4 3 3 5. družstvo 4 6 0 4 5 3. družstvo 5 9 3 3 3 4. družstvo 4 7 4 4 a) Jaká byla průměrá zámka v celém oddílu? Počítete s přesostí a dvě desetiá místa. b) Které družstvo bylo v průměru elepší a které ehorší? c) Určete četosti edotlivých zámek v celém oddílu a sestrote příslušý polygo četosti. d) Určete relativí četosti (v %) edotlivých zámek v celém oddílu s přesostí a dvě desetiá místa. (Samostatá práce! Vypracovaý úkol odevzdete a volém listu papíru.) 9) Určete mediá čísel, 3, 4 3, + 4, 6, 9, 4, eichž aritmetický průměr e 4. V: ~ 5 0) Statistický soubor o rozsahu 000 statistických edotek vyšetřueme z hlediska istého kvatitativího zaku. Vzestupě uspořádaé hodoty zaku pro edotlivé statistické edotky sou,, L, 000. Předpokládeme, že se hodoty zaku u všech edotek vyšetřovaého souboru zvětší o pět (pětkrát). Jak se změí aritmetický průměr, mediá a modus tohoto souboru? V: vše se zvětší o pět (pětkrát) ) Číslo e z aměřeých hodot 3,, 5,, 7, 8, 0,, evětší. Určete toto číslo, estliže mediá tohoto souboru e rove aritmetickému průměru. V: 4 ) V akciové společosti e průměrý plat 3 500 Kč, přitom 30 % pracovíků s eižším platem má průměrě 9 000 Kč. Této skupiě pracovíků byla počátkem roku zvýšea mzda edotě o 500 Kč. O kolik procet vzrostl průměrý plat v celé společosti ásledkem tohoto zvýšeí eižších platů? V: o, % 3) U sta studetů byla zišťováa výše kapesého. Určete chyběící údae a, b v ásleduící tabulce, estliže bylo zištěo, že průměrá výše kapesého studetů byla 873,50 Kč. Určete mediá a modus v tomto souboru. Výše kapesého (Kč) 800 a 500 580 0 000 700 Počet studetů 30 8 0 b 0 5 V: a 750 Kč, b 5, ~ 800, ˆ 800 4) Vypočtěte průměrou rychlost automobilu, který ede z místa A do místa B stálou rychlostí 80 km/h a zpět tutéž trasu rychlostí 0 km/h. V: 96 km/h 5) Tři popelky přebíraí hromadu hrachu. Prví Popelka by ho přebrala za hodiy, druhá za 3 hodiy, třetí za 6 hodi. Za ak dlouho by hromadu přebrala průměrá Popelka? V: 3 hodiy 6) Jede stro vyrobí výrobek za 0 sekud, druhý za 30 sekud, třetí za 6 sekud. Určete průměrou rychlost výroby edoho výrobku. V: sekud
7) Geometrický průměr pěti kladých čísel, 4, 8,, e 4. Vypočtěte eich harmoický průměr. 40 V: 4, h 8) Průmyslový podik vykázal v posledích letech tyto hodoty růstu produkce: 05,5 %, 00,6 %, 04, %, 0, %, v pátém roce pak pokles o,4 %. Jaké bylo eho průměré ročí tempo růstu? V: 0,78 % 9) V tabulce sou uvedey koeficiety růstu prodee automobilů začky Škoda a začek dovozových zahraičích automobilů v ČR v letech 00 006. Určete, zda byl v uvedeém období vyšší přírůstek u začky Škoda ebo u začek zahraičích automobilů. Rok 00 003 004 005 006 Škoda,3,,49 0,84 0,99 Zahraičí začky,46,563,04 0,80,4 V: G (Škoda),036 < G (zahr.),66 0) Ze Školí statistické ročeky 008 vyměte část tabulky Výdae a žáka/studeta podle druhu/typu školy týkaící středího vzděláváí v uvedeých letech (str.0). Tabulku zapište, sestrote sloupkový diagram výdaů v těchto letech a gymáziích, SOŠ a SOU a pak určete průměré výdae a edoho žáka a gymáziích, SOŠ a SOU v těchto letech. Pozámka: Školí statistickou ročeku 008 alezete též a iteretových strákách Českého statistického úřadu (www.czso.cz) v sekci pro studety.
Jak iž bylo vyložeo, každou charakteristiku polohy chápeme ako číslo, kolem ěhož edotlivé hodoty zaku kolísaí. Velikost tohoto kolísáí vyadřuí charakteristiky variability (promělivosti) zaku. V souboru, ve kterém ako charakteristiku polohy zvolíme aritmetický průměr, e vhodou charakteristikou variability rozptyl a směrodatá a odchylka. Průměrá absolutí odchylka (oz. d ) e aritmetický průměr absolutích hodot odchylek edotlivých hodot zaku všech prvků daého souboru od eich aritmetického průměru: r v evážeém tvaru: d i ebo ve vážeém tvaru: d i Rozptyl zaku (oz. s ) e aritmetický průměr druhých moci odchylek hodot zaku od aritmetického průměru: v evážeém tvaru: s ( ) 3 r ebo ve vážeém tvaru: ( ) i s i Jedotka (fyzikálí edotka) rozptylu e druhou mociou edotky hodot zaku (apř. sou-li hodoty zaku uvedey v cm, pak edotkou rozptylu e cm ). Směrodatá odchylka (oz. s ) e druhá odmocia z rozptylu: v evážeém tvaru: s ( ) i i r ebo ve vážeém tvaru: s ( ) Jedotka (fyzikálí edotka) směrodaté odchylky e steá ako edotka hodoty zaku. Směrodatá odchylka ukazue, ak se rozprostíraí hodoty v souboru dat. Přesěi, e to míra průměré vzdáleosti hodot dat od eich průměru. Pokud budou všechy hodoty dat steé, pak směrodatá odchylka bude ulová. Variačí koeficiet (oz. v ) e mírou relativí variability a užívá se při porováváí variability růzých souborů. Je defiová ako podíl směrodaté odchylky a aritmetického průměru. Vyadřue se obvykle v procetech: s v 00% Má smysl e tehdy, abývá-li zak e ezáporých hodot. Příklad 3.4. V příkladu 3.3. (str. 0) sme vyšetřovali průměré týdeí kapesé 3 studetů. Vypočtěte průměrou absolutí odchylku, rozptyl, směrodatou odchylku a variačí koeficiet průměrého týdeího kapesého studetů. Řešeí: Již sme vypočetli průměr kapesého 98 Kč. Pro další potřebé výpočty zpracueme tabulku: Výše kapesého 50 Kč 00 Kč 00 Kč 500 Kč 48 0 40 Počet studetů 5 3 5 48 + + 3 0 + 40 Průměrou absolutí odchylka: d & 47 Kč 3 5 48 + + 3 0 + 40 Rozptyl: s & 7336 (Kč) 3 Směrodatá odchylka: s 7336 & 85, 65 Kč 85,65 Variačí koeficiet: v 00 87,4% 98 Tato hodota vypovídá o tom, že v daém souboru e velký rozptyl kolem středí hodoty.
Cvičeí 3 (.část): ) Ve které ze dvou pětičleých skupi pracovíků (viz tabulka) se steým průměrým platem e lépe uplatňováa mzdová difereciace (mzdy esou tzv. ivelizováy) a základě vypočteého variačího koeficietu:.. 3. 4. 5. celkem Mzdy. skupiy 7 4 8 3 6 368 8 630 9 46 39 780 Mzdy. skupiy 8 468 4 950 9 464 0 47 6 46 39 780 V: v ( ),94%, v () 5,9 % ) Při opakovaém měřeí délky součástky mikrometrem byly aměřey ásleduící hodoty v mm:,;,0;,09;,;,0;,03;,03;,0;,05;,05. Vypočtěte průměr, směrodatou odchylku a variačí koeficiet (charakterizue přesost měřeí). V:,06 mm; s 0,037 mm; v,8 % 3) Skupia 0 studetů odpracovala o prázdiách v lese 3 60 hodi (viz tabulka). Vypočtěte aritmetický průměr, směrodatou odchylku a variačí koeficiet: Počet odpracovaých hodi 00 40 60 80 90 Počet studetů 3 4 4 5 4 V: 58 h; s 9,9 h; v 8,9 % 4) Následuící tabulka uvádí deí doivost krav v litrech. Vypočtěte průměrou doivost, směrodatou odchylku a variačí koeficiet: Doivost za de 0- -4 4-6 6-8 8-0 0- Počet krav 5 8 5 30 5 7 V: 7,6 l; s,7 l; v 37,33 % 5) Určete v procetech průměrý obsah bromidu stříbrého ve fotografických roztocích (viz tabulka) a vypočtěte směrodatou odchylku a variačí koeficiet: Číslo roztoku 3 4 5 6 7 8 Obsah AgBr v % 38,5 40,4 40,35 38,6 37,0 40,55 37,3 39,84 V: 39,045%; s,34%; v 3,43 % 6) Sir Weldo opakoval 4 096krát hod kostkami a v každém hodu zazameal počet šestek. Rozděleí četostí tohoto zaku udává ásleduící tabulka. Určete aritmetický průměr, modus, mediá, směrodatou odchylku a variačí koeficiet: Počet šestek 0 3 4 5 6 7 a více Četost 447 45 8 796 380 5 4 8 V: &,00; ˆ ; ~ ; s &,9; v 64,5 % 7) Ze Školí statistické ročeky 008 vyměte část tabulky Sňatky podle vzáemého věku soubeců v roce 006 týkaící věku evěsty (prví tučě vytištěý řádek, str.47). Vypočtěte aritmetický průměr věku evěsty a určete mediá a modus tohoto souboru. Pozámka: Školí statistickou ročeku 008 alezete též a iteretových strákách Českého statistického úřadu (www.czso.cz) v sekci pro studety. 4
4. Statistická závislost zaků Statistická edotka e ositelkou ěakého statistického zaku. Často e třeba zkoumat případy, kdy e statistická edotka ositelkou dvou zaků. Nás přitom zaímá, aká e souvislost mezi těmito zaky (apř. výos a vodí srážky, prospěch žáka a eho absece apod.) Ozačme tyto zaky a y, rozsah souboru ako obvykle a vytvořme prvotí tabulku: Statistická edotka (číslo i) Hodota zaku Hodota zaku y y y M M M y Vzáemá souvislost mezi zaky a y e vyádřea tzv. koeficietem korelace r : k y r, s s kde k y e tzv. kovariace : k y ( i )( yi y), i s, sou směrodaté odchylky statistických zaků a y. s y Vlastosti koeficietu korelace r: r, Je-li r > 0, pak hodota zaku y roste s rostoucím zakem, e-li r < 0, pak hodota zaku y klesá s rostoucím zakem. Podle velikosti koeficietu korelace r hovoříme o růzých stupích vazby mezi zaky a y: Jestliže 0 r < 0,3, pak se edá o ulový stupeň vazby, 0,3 r < 0,5, pak se edá o mírý stupeň vazby, 0,5 r < 0,7, pak se edá o výzačý stupeň vazby, 0,7 r < 0,9, pak se edá o vysoký stupeň vazby, 0,9 r, pak se edá o těsý stupeň vazby. Pozámka: Je-li mezi zaky lieárí závislost, e r ±. y Závislost mezi zaky lze často vystihout lieárí závislostí regresí přímka. Jeí rovice e k y y ( ) + y s y a + b, eímž grafem e tzv. 5
Příklad 4.. Na 0 pokusých polích byl pozorová hektarový výos a možství srážek (viz tabulka). Jaká e vzáemá vazba možství srážek a hektarových výosů? Určete rovici regresí přímky a sestrote graf. Pole (i) Závlaha (mm) Výos (q/ha) i y i 50 33 00 4 3 5 30 4 50 35 5 85 45 6 45 30 7 60 38 8 70 40 9 0 45 0 90 4 0 Řešeí: průměry: i 68, 5 ; y y i 38 0 0 směrodaté odchylky: 0 i 0 i i 0 s ( 68,5) 665, 5 ; s ( 38) 9, 6 i 0 y y i 0 i kovariace: ( )( ) ( 68,5)( 38) 30, 5 k y 0 i yi y k y 0 i i koeficiet korelace: k y 30,5 r r 0, 93 s s 665,5 9,6 & k y 30,5 665,5 y & 0,0 + 4,95 y + regresí přímka: y ( ) + y y ( 68,5) 38 s i y i Závěr: Mezi srážkami a výosy e těsý stupeň vazby. Graf: výos (q/ha) 60 50 40 30 0 0 0 y 0,0 + 4,95 0 00 00 300 závlaha (mm) 6
Příklad 4.. V ásleduící tabulce sou uvedey zámky z matematiky a koci. a. ročíku. Na základě hodoty koeficietu korelace určete stupeň vazby mezi těmito zámkami. Určete regresí přímku a sestrote graf. Řešeí: Zámka a Zámka a koci.ročíku koci. ročíku 3 4 3 6 5 3 7 8 4 Tabulku uto přepsat do tvaru uvedeého a začátku této kapitoly, abychom si uasili hodoty a y : i i. ročík ( i ). ročík ( i 3 6 3 5 3 7 3 3 8 4 3 4 4 Celkem žáků 35 35 y ) Četost (, ) průměry: i &, 49 ; y y i &, 34 35 i 35 i směrodaté odchylky: 35 i 35 i i y i 0 35 y y i 35 i s (,49) 0, 6498 ; s (,34) 0, 568 35 kovariace: k (,49)( y,34) 0, 3763 y i i 35 i 0,3763 koeficiet korelace: r & 0, 69 0,6498 0,568 regresí přímka: y 0,58 + 0, 90 Závěr: Mezi zámkami z. a. ročíku e výzačý stupeň vazby. Graf: 5 y 0,58 + 0,90 4.ročík 3 0 0 3 4 5.ročík 7
Cvičeí 4: ) Vypočítete koeficiet korelace mezi věkem matky a pořadím arozeého dítěte (Návod: Uvažute vždy střed itervalu věku matky. Tabulku přepište podobě ako v příkladě 4..) Pořadí arozeých Věk matky 3 4 0-4 66 649 50 606 9 37 649 5-9 8 336 40 05 7 879 4 08 30-34 3 799 46 9 633 3 404 V: r 0,39 (mírý stupeň vazby) ) Ze Školí statistické ročeky 008 vyměte část tabulky Jedotlivci v ČR využívaící iteret k akupováí týkaící se věkových skupi v roce 007 (str.4). Vypočtěte koeficiet korelace a určete typ vazby mezi věkem a užíváím iteretu k této čiosti. Určete regresí přímku a sestrote graf. Pozámka: Školí statistickou ročeku 008 alezete též a iteretových strákách Českého statistického úřadu (www.czso.cz) v sekci pro studety. 3) V ásleduící prvotí tabulce sou uvedey zámky studetů z matematiky (oz. ) a fyziky (oz. y). Srovete variabilitu zámek z matematiky a fyziky. Vypočtěte koeficiet korelace mezi těmito zámkami a zistěte, aká e vzáemá vazba mezi zámkami z matematiky a fyziky. Určete regresí přímku závislosti zámky z fyziky (y) a zámce z matematiky () a sestrote graf. Žák č. i Zámka z M i Zámka z F y i Žák č. i Zámka z M i 3 7 3 8 3 3 9 4 4 4 0 5 6 Zámka z F y i V: v 4,4%, v 47,37 %, r 0,595, y 0,5 + 0, 7 M 4) Dopraví podik zišťue závislost délky dráhy ueté vagóem po geerálí opravě a áklady a údržbu. Na základě uvedeých údaů vyádřete závislost ákladů a délce ueté dráhy. Vagó č. i Délka dráhy (km) i F Náklady (hal/km) y i 30 000 30 60 000 40 3 70 000 4 4 80 000 47 5 90 000 50 6 95 000 5 (Samostatá práce! Vypracovaý úkol odevzdete a volém listu papíru.) 8