V = gap E zdz. ( 4.1A.1 ) f (z, ξ)dξ = g(z),

Podobné dokumenty
x + F F x F (x, f(x)).

Příklad 22 : Kapacita a rozložení intenzity elektrického pole v deskovém kondenzátoru s jednoduchým dielektrikem

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT listopad r r. . b = A

Větu o spojitosti a jejich užití

URČITÝ INTEGRÁL FUNKCE

Jak již bylo uvedeno v předcházející kapitole, můžeme při výpočtu určitých integrálů ze složitějších funkcí postupovat v zásadě dvěma způsoby:

+ c. n x ( ) ( ) f x dx ln f x c ) a. x x. dx = cotgx + c. A x. A x A arctgx + A x A c

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU

Obecně: K dané funkci f hledáme funkci ϕ z dané množiny funkcí M, pro kterou v daných bodech x 0 < x 1 <... < x n. (δ ij... Kroneckerovo delta) (4)

Lineární nerovnice a jejich soustavy

ELEKTŘINA A MAGNETIZMUS Řešené úlohy a postupy: Kapacita a uložená energie

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa.

Hlavní body - magnetismus

Digitální učební materiál

R n výběr reprezentantů. Řekneme, že funkce f je Riemannovsky integrovatelná na

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b b2 2.

2.8.5 Lineární nerovnice s parametrem

( t) ( t) ( t) Nerovnice pro polorovinu. Předpoklady: 7306

INTEGRACE KOMPLEXNÍ FUNKCE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL

M A = M k1 + M k2 = 3M k1 = 2400 Nm. (2)

1. Pokyny pro vypracování

Laboratorní práce č. 6 Úloha č. 5. Měření odporu, indukčnosti a vzájemné indukčnosti můstkovými metodami:

1.1 Numerické integrování

7 Analytická geometrie

5.1 Modelování drátových antén v časové oblasti metodou momentů

4. cvičení z Matematiky 2

Pružnost a plasticita II

Podobnosti trojúhelníků, goniometrické funkce

8. cvičení z Matematiky 2

a i,n+1 Maticový počet základní pojmy Matice je obdélníkové schéma tvaru a 11

( a, { } Intervaly. Předpoklady: , , , Problém zapíšeme snadno i výčtem: { 2;3; 4;5}?

Ohýbaný nosník - napětí

Hyperbola, jejíž střed S je totožný s počátkem soustavy souřadnic a jejíž hlavní osa je totožná

Matice. a B =...,...,...,...,..., prvků z tělesa T (tímto. Definice: Soubor A = ( a. ...,..., ra

SYLABUS PŘEDNÁŠKY 7 Z GEODÉZIE 1

3. APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU

Hledání hyperbol

Vlnová teorie. Ing. Bc. Michal Malík, Ing. Bc. Jiří Primas. TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií

Riemannův určitý integrál.

Vzorová řešení čtvrté série úloh

Křivkový integrál prvního druhu verze 1.0

DERIVACE A INTEGRÁLY VE FYZICE

OBECNÝ URČITÝ INTEGRÁL

3. ROVNICE A NEROVNICE Lineární rovnice Kvadratické rovnice Rovnice s absolutní hodnotou Iracionální rovnice 90

NMAF061, ZS Písemná část zkoušky 16. leden 2018

II. 5. Aplikace integrálního počtu

M - Příprava na 3. zápočtový test pro třídu 2D

Při výpočtu obsahu takto omezených rovinných oblastí mohou nastat následující základní případy : , osou x a přímkami. spojitá na intervalu

17 Křivky v rovině a prostoru

Hyperbola a přímka

Zavedení a vlastnosti reálných čísel PŘIROZENÁ, CELÁ A RACIONÁLNÍ ČÍSLA

ZÁKLADY. y 1 + y 2 dx a. kde y je hledanou funkcí proměnné x.

je parciální derivace funkce f v bodě a podle druhé proměnné (obvykle říkáme proměnné

Matematika II: Testy

Laboratorní práce č.8 Úloha č. 7. Měření parametrů zobrazovacích soustav:

3.2.1 Shodnost trojúhelníků I

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodná proměnná Vybraná spojitá rozdělení

Studijní materiály ke 4. cvičení z předmětu IZSE

LectureIII. April 17, P = P (ρ) = P (ε)

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru

Komplexní čísla. Pojem komplexní číslo zavedeme při řešení rovnice: x = 0

5.2. Určitý integrál Definice a vlastnosti

NMAF061, ZS Písemná část zkoušky 25. leden 2018

Integrály definované za těchto předpokladů nazýváme vlastní integrály.

9 Axonometrie ÚM FSI VUT v Brně Studijní text. 9 Axonometrie

S t e j n o s měrné stroje Ing. Vítězslav Stýskala, Ph.D., únor 2006

V předchozích kapitolách byla popsána inverzní operace k derivování. Zatím nebylo jasné, k čemu tento nástroj slouží.

{ } ( ) ( ) Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507

m n. Matice typu m n má

NEWTONŮV INTEGRÁL. V předchozích kapitolách byla popsána inverzní operace k derivování. Zatím nebylo jasné, k čemu tento nástroj slouží.

Kapitola Křivkový integrál 1. druhu Délka oblouku

56. ročník Matematické olympiády. b 1,2 = 27 ± c 2 25

11. cvičení z Matematické analýzy 2

7.5.8 Středová rovnice elipsy

KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY. Křivka v prostoru je popsána spojitými funkcemi ϕ, ψ, τ : [a, b] R jako množina bodů {(ϕ(t), ψ(t), τ(t)); t

( ) Mechanická práce II. Předpoklady: 1501

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

integrovat. Obecně lze ale říct, že pokud existuje určitý integrál funkce podle různých definic, má pro všechny takové definice stejnou hodnotu.

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK. Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20. Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.

14. cvičení z Matematické analýzy 2

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 1 / 26

MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH

UC485S. PŘEVODNÍK LINKY RS232 na RS485 nebo RS422 S GALVANICKÝM ODDĚLENÍM. Převodník UC485S RS232 RS485 RS422 K1. přepínače +8-12V GND GND TXD RXD DIR

A DIRACOVA DISTRIBUCE 1. δ(x) dx = 1, δ(x) = 0 pro x 0. (1) Graficky znázorňujeme Diracovu distribuci šipkou jednotkové velikosti (viz obr. 1).

( t) ( t) ( ( )) ( ) ( ) ( ) Vzdálenost bodu od přímky I. Předpoklady: 7308

Definice. Nechť k 0 celé, a < b R. Definujeme. x < 1. ϕ(x) 0 v R. Lemma [Slabá formulace diferenciální rovnice.] x 2 1

Funkce jedné proměnné

2.7.7 Obsah rovnoběžníku

Říkáme, že přímka je tečnou elipsy. p T Přímka se protíná s elipsou právě v jednom bodě.

Pohybové možnosti volných hmotných objektů v rovině

2. Funkční řady Studijní text. V předcházející kapitole jsme uvažovali řady, jejichž členy byla reálná čísla. Nyní se budeme zabývat studiem

Obsah rovinného obrazce

( ) ( ) Sinová věta II. β je úhel z intervalu ( 0;π ). Jak je vidět z jednotkové kružnice, úhly, pro které platí. Předpoklady:

(1) přičemž všechny veličiny uvažujeme absolutně. Její úpravou získáme vztah + =, (2) Přímé zvětšení Z je dáno vztahem Z = =, a a

METODICKÝ NÁVOD MODULU

Měření momentu setrvačnosti

4. Ná hodné procesy { }

2. INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ

Matematika 1A. PetrSalačaJiříHozman Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Technická univerzita v Liberci

Transkript:

4.1 Drátový dipól Zákldní teorie V této kpitole se seznámíme s výpočtem prmetrů drátového dipólu pomocí momentové metody. Veškeré informce se snžíme co nejsrozumitelněji vysvětlit ve vrstvě A. Vrstvu B v tomto přípdě využíváme k uvedení nglické verze této kpitoly. Činíme tk proto ychom čtenáře seznámili s nglickou terminologií využívnou v olsti ntén numerických metod. Všechny důležité technické prmetry ntén jkými jsou npř. zisk vstupní impednce neo směrová chrkteristik mohou ýt reltivně sndno vypočteny pokud známe rozložení proudu n nténním vodiči. Výpočet rozložení proudu je všk ohužel dosti komplikovný protože při jeho určování je tře řešit integrální rovnice. K řešení integrálních rovnic existují dv zákldní přístupy iterční momentový. Iterční metody vycházejí z hrué proximce proudového rozložení (uvžujeme npř. sinusové rozložení proudu n drátovém dipólu) která je iterčně zpřesňován. Oproti tomu momentové metody převádějí řešení integrální rovnice n řešení soustvy rovnic lineárních s nimiž si ez prolémů pordí npř. Mtl. V této kpitole nší učenice se udeme zývt pouze momentovou nlýzou drátových ntén. Ve všech přípdech udeme předpokládt že ntén je tvořen kruhovým válcem o poloměru že je dlouhá 2h. Osu nténního vodiče umístíme do osy z (or. 4.1A.1) válcového souřdného systému (r ρ z). Dále předpokládáme že se ntén nchází ve vkuu (µ = µ 0 ε = ε 0 σ = 0) že veškeré možné ztráty jsou nulové. Or. 4.1A.1 Drátový dipól Uprostřed nténního vodiče (z = 0) udeme uvžovt krátkou štěrinku. Tuto štěrinku připojíme k hypotetickému hrmonickému zdroji který vytváří rotčně souměrné udicí pole (or. 4.1A.2). pětí ve štěrince pk můžeme popst vzthem V = gp dz. ( 4.1A.1 ) Dále předpokládáme že toto npětí je rovno jednomu voltu. Ve vzthu (4.1A.1) znčí z-ovou složku intenzity udícího elektrického pole ve štěrině tedy i n (válcovém) povrchu této krátké části ntény (or. 4.1A.2). Mimo štěrinu je nulové protože předpokládáme dokonlou elektrickou vodivost vodiče ntény. I. Momentová metod Uvžujme oecnou integrální rovnici ve tvru Or. 4.1A.2 Budicí elektrické pole ve vstupní štěrině f (zdξ = g(z) ( 4.1A.2 ) kde f je neznámá funkce (v nšem přípdě rozložení proudu n nténě) <> znčí nlyzovnou olst g je známá funkce popisující půsoení zdrojů. Momentové řešení rovnice (4.1A.2) potom můžeme rozepst do následujících tří kroků: 1. eznámou funkci f proximujeme pomocí lineární komince známých ázových funkcí f n neznámých koeficientů c n f f = cn f n. n = 1 ( 4.1A.3 ) 2. Formální proximci (formální proto že neznáme koeficienty c n ) hledné funkce f ~ dosdíme zpět do řešené rovnice změníme pořdí sčítání integrování cn f n = 1 n (zdξ = g(z) + R(z). ( 4.1A.4 ) V uvedeném vzthu znčí R(z) tzv. reziduum které vyjdřuje skutečnost že proximce řešení f ~ není identická se zcel přesným řešením rovnice. Vzth (4.1A.4) je jednou rovnicí pro neznámých koeficientů c n. 3. Co možná nejpřesnější proximci řešení získáme tehdy když reziduum R ude minimální. Reziduum tudíž minimlizujeme tzv. metodou vážených reziduí: součin vhodné váhové funkce w rezidu R integrovný přes nlyzovnou olst < > musí ýt nulový [5]. Pokud pro váhování postupně použijeme různých váhových funkcí získáme soustvu lineárních rovnic pro neznámých koeficientů c n

w m(z)r(z)dz = 0 m = 01... ( 4.1A.5 ) cn w m(z) f n =1 n (zdξdz = w m(z)g(z)dz. ( 4.1A.5 ) Jk váhové funkce tk funkce ázové musejí ýt lineárně nezávislé n intervlu <>. II. Bázové funkce Bázové funkce mohou gloální neo lokální povhu. Gloální ázové funkce jsou definovány přes celou nlyzovnou olst <>. př. soustv funkcí f n (z) = cos πnz h ( 4.1A.6 ) je lineárně nezávislá n <> koeficienty c n f (z) f (z) = cn f n = cn cos πnz n = 1 n = 1 h ( 4.1A.7 ) zde mjí význm Fourierových koeficientů proudového rozložení. Aproximci zloženou n gloálních ázových funkcích nzýváme jednoázovou proximcí. Lokální ázové funkce jsou definovány přes celou nlyzovnou olst tké všk pouze n určité podolsti nývjí nenulové funkční hodnoty (or. 4.1A.3). Pokud jsou ázové funkce normovány (tzn. pokud se jejich funkční hodnot mění od nuly do jedničky) pk koeficienty c n mjí význm uzlových hodnot (vzorků) hledné funkce f (or. 4.1A.3). Aproximci zloženou n lokálních ázových funkcích nzýváme víceázovou proximcí. Or. 4.1A.3 Víceázová proximce ) po částech konstntní ) po částech lineární III. Váhové funkce Mezi nejčstěji používné přístupy k minimlizci rezidu ptří kolokční metod metod Glerkinov. Kolokční metod využívá k váhování Dircovy impulsy umístěné do odů v nichž počítáme hodnoty neznámého proudového rozložení w m( z) = δ(z z m). ( 4.1A.8 ) Kolokční metod vykzuje velmi nízké výpočetní nároky jelikož díky filtrční vlstnosti Dircových impulsů je jedn integrce eliminován cn f n = 1 n (z m dξ = g(z m). ( 4.1A.9 ) druhou strnu je minimlizce rezidu vztžen pouze k odům z m do nichž yly umístěny váhovcí impulsy. Glerkinov metod využívá k váhování funkce které jsou identické s funkcemi ázovými w m( z) = f m (z). ( 4.1A.10 ) Glerkinov metod vykzuje ve srovnání s metodou kolokční vyšší výpočetní nároky protože v jejím přípdě k eliminci jednoho integrování nedochází. druhou strnu jsou všk do procesu minimlizce rezidu zhrnuty všechny ody nlyzovné olsti z <>. IV. Drátové ntény Uvžujme drátovou nténu z or. 4.1A.1. Potom můžeme vyzřovné elektromgnetické pole popst pomocí vektorového potenciálu A

(popisuje půsoení proudů n nténě) sklárního potenciálu φ [2] 2 Az(z) z 2 + k 2 A z( z) = µ 0 J z( z) ( 4.1A.11 ) 2 φ(z) z 2 + k 2 φ(z) = ρ(z) ε. ( 4.1A.11 ) 0 Zde J z znčí z-ovou složku proudové hustoty [A.m -2 ] vnucenou nténě zdrojem ρ je ojemová hustot náoje [C.m -3 ] n nténním vodiči A z znčí z-ovou složku vektorového potenciálu φ je sklární potenciál k=2π/λ znčí vlnové číslo λ vlnovou délku. Elektrony které přitékjí do ntény jko proud se hromdí n nténním vodiči jko náoj. V druhé polovině periody se směr proudu otočí náoje z konců nténního vodiče odtékjí zpět do zdroje. Jelikož náoje proudy n nténě spolu souvisejí musíme vzájemně je svázt. Činíme tk podmínkou kontinuity [2] Jz(z) z + jωρ(z) = 0. ( 4.1A.12 ) Pokud je poloměr nténního vodiče mnohem menší než vlnová délk << λ potom můžeme předpokládt že proudy náoje jsou soustředěny n ose vodiče. Tento předpokld je smozřejmě nesprávný (v důsledku povrchového jevu jsou náoje proudy soustředěny n povrchu vodiče) všk metod i přes tento nesprávný předpokld dává překvpivě dosttečně přesné výsledky [5]. Řešíme-li (s uvážením uvedeného chyného předpokldu) soustvu (4.1A.11) dostáváme [2] A z( z) = µ I z( ξ) exp [ jkr(z] dξ ( 4.1A.12 ) 2h R(z φ(z) = 1 exp[ jkr(z] ε σ(ξ) dξ. ( 4.1A.12c ) 2h R(z Zde I z (ξ) znčí proud [A] tekoucí v ose nténního vodiče σ(ξ) je délková hustot náoje [C.m -1 ] n ose nténního vodiče R(zξ) je vzdálenost mezi pozicí ξ zdroje pole I z (ξ) σ(ξ) dále z je místo v němž počítáme potenciály A(z) φ(z). Známe-li potenciály A(z) φ(z) můžeme vypočíst intenzitu vyzřovného elektrického pole [2] Es z ( z) = jωa z( z) φ(z). ( 4.1A.12d ) z Elektrická intenzit musí splňovt okrjovou podmínku n povrchu dokonle elektricky vodivého nténního vodiče S i i + Ez s = 0 n S. ( 4.1A.12e ) znčí z-ovou složku (tj. složku tečnou k povrchu nténního vodiče) vektoru elektrické intenzity dopdjící vlny. Dopdjící vln je vytvořen zdroji mimo vlstní nténu. Když nlyzujeme nténu jko vysílcí je i intenzit vytvořená npájecím zdrojem v udicí štěrině ( v or. 4.1A.2). Když nlyzujeme nténu jko přijímcí je i intenzit přijímného vlnění (po celé délce vodiče). Chceme-li určit rozložení proudu n nténě musíme vyřešit soustvu (4.1A.12). Aychom se mohli postrt o splnění okrjové podmínky (4.1A.12e) musíme počítt elektrickou intenzitu ( tudíž i potenciály A φ) n povrchu nténního vodiče. Proto můžeme vzdálenost mezi zdroji pole (n ose) místy pozorování (n povrchu vodiče) vyjádřit jko R(z = 2 + (z ξ) 2. ( 4.1A.13 ) V dlších odstvcích udeme předpokládt po částech konstntní ázové funkce Dircovy funkce váhové. S využitím těchto funkcí udeme hledt řešení soustvy (4.1A.12). V prvém kroku musíme nlyzovnou nténu diskretizovt. Tto diskretizce je nznčen n or. 4.1A.4. Dolní hrnice segmentů je oznčen indexem - horní hrnice indexem +. Dolní hrnice prvního segmentu horní hrnice posledního segmentu jsou posunuty o polovinu segmentu z konec nténního vodiče y ylo možno modelovt uzel proudu I(-h)=I(h)=0 n koncích ntény. Délk všech segmentů je stejná = 2α. Dosdíme-li po částech konstntní proximci do (4.1A.12c) dostáváme A z( z) µ exp[ jkr(z] dξ n = 1 R(z ( 4.1A.14 ) Or. 4.1A.4 Po částech konsttní proximce

φ(z) 1 exp[ jkr(z] ε σn dξ. n =1 R(z ( 4.1A.14c ) Ve výše uvedených vztzích jsou I n σ n uzlové hodnoty proudu náojové hustoty. Jelikož první derivce po částech konstntní proximce je nulová n konstntní části funkce neexistuje n hrnicích derivce v (4.1A.12) (4.1A.12d) jsou nhrzeny konečnými diferencemi. Uvážíme-li že I n = I z (-h+n) můžeme rovnici kontinuity přepst do tvru vzth pro výpočet intenzity elektrického pole přechází n Iz( h+(n+1)) Iz( h+n) + jωσ( h + (n + 05)) 0 ( 4.1A.15 ) Es z ( h + n) jωa z( h + n) φ[] φ[]. ( 4.1A.15d ) Vzthy (4.1A.15) (4.1A.15d) odpovídjí skutečnosti že Dircovy impulsy jsou při váhování umístěny do středu segmentu u vektorového potenciálu A z( h + m) µ exp[ jkr( h + m] dξ n =1 R( h + m ( 4.1A.15 ) do krjů segmentů u potenciálu sklárního h+(n+1) φ[ h + (m + 05)] 1 ε exp{ jkr[ h + (m + 05) ξ]} σn + dξ. ( 4.1A.15c ) n =1 R[ h + (m + 05) ξ] h+n Ve vzthu (4.1A.15c) σ n+ = σ [-h+(n+0.5)]. Vzth (4.1A.15) může ýt přepsán do kompktnějšího tvru σ n + 1 jω I n+1 I n ( 4.1A.16 ) µ A z(m) exp[ jkr(m] dξ n =1 R(m n φ(m + ) 1 ε exp[ jkr(m + ] σn + n = 1 R(m + dξ n + ( 4.1A.16 ) ( 4.1A.16c ) Při odvození (4.1A.16d) yl uvážen okrjová podmínk (4.1A.12e). Ei z( m) jωa z( m) φ(m + ) φ(m ). ( 4.1A.16d ) yní se podroněji podívejme n rovnici kontinuity (4.1A.16). Tto podmínk vyjdřuje skutečnost že jednotlivé segmenty ntény mohou ýt nhrzeny elementárními elektrickými dipóly (or. 4.1A.5). Uvážíme-li tento fkt můžeme vyjádřit příspěvek n-tého segmentu (elementárního dipólu) k hodnotě sklárního potenciálu n prvé hrnici m-tého segmentu díky (4.1A.16c) jko φ(m + ) = 1 jωε I n n + exp( jkr) dξ I n R n exp( jkr) R Doszením (4.1A.17) (4.1A.16) do (4.1A.16d) vynásoením oou strn rovnice délkou segmentu dostáváme Pro prvky Z mn impednční mtice Z pltí: 1 dξ. ( 4.1A.17 ) i = Z I. ( 4.1A.18 )

Z mn = jωµ exp[ jkr(m] dξ + R(m n + 1 exp[ jkr(m + ] jωε R(m + dξ exp[ jkr(m + ] 1 R(m + dξ ξ) n + n 1 exp[ jkr(m ] jωε R(m dξ exp[ jkr(m ] 1 R(m dξ ξ) n + n ( 4.1A.19 ) Z mn popisuje příspěvek proudu náoje n segmentu n k npětí indukovnému n segmentu m. Jelikož složk elektrické intenzity tečná k nténnímu vodiči je nulová n všech segmentech vyjm npájecí štěriny prvky sloupcového vektoru npětí (levá strn rovnice 4.1A.18) jsou nulové vyjm přípdu npájecí štěriny (n štěrince jsme předpokládli npětí 1 V). Z rovnice (4.1A.18) tedy můžeme vyjádřit sloupcový vektor uzlových hodnot rozložení proudu n nténě I. Poměr vstupního npětí vstupního proudu je potom roven vstupní impednci ntény. Jko příkld si uveďme výsledek nlýzy symetrického dipólu s délkou rmene h = λ s poloměrem nténního vodiče = 0.001588 λ. Rozložení proudu n nténě získné pomocí popsné metody je nkresleno n or. 4.1A.6. Or. 4.1A.5 Antén jko souor elementárních elektrických dipólů Ve vrstvě C uvádíme uživtelský popis progrmu s jehož pomocí je možno dosáhnout uvedeného výsledku. Ve vrstvě D pk čtenář nlezne informce o tom jk je možno progrm efektivně sestvit v Mtlu. Or. 4.1A.6 Rozložení proudu n symetrickém dipólu. Po částech konstntní proximce Dircovo vážení. Délk dipólu 2λ průměr 0001588λ 64 segmentů.