Velké prostory Anička Doležalová Abstrakt. Budeme si hrát s vektorovými prostory, které mají nekonečnou dimenzi. Cílemjesijetrochuosahatazískatzákladníintuici.Ktomunámposloužíhlavně prostory posloupností. Prerekvizity Pokud byste rádi přišli na přednášku, ale nemáte potřebné znalosti z vektorových a metrických prostorů, odchyťte si mě v průběhu sousu a probereme to. Porozumění pojmůmzdeuvedenýmjenezbytné 1 propochopenípřednášky. Úmluva. Píšeme-li x mávlastnost x 0,mámetímnamysli,žetato nerovnost platí pro všechna x z příslušné množiny X. Definice. Vektorovým prostorem nad tělesem T (zkráceně v. p. nad T) nazveme neprázdnoumnožinu V spolusoperacemi+:v V V a :T V V,pokud splňujenásledujícíaxiomy(kde x,y, V,λ,ϑ T): (1) x+y= y+x,(x+y)+z= x+(y+z), (2) existuje x 0 takové,že x 0 +x=x(typickyznačíme0), (3) prokaždé xexistujeopačnýprvek y: x+y=0(značíme x), (4) λ (ϑ x))=(λϑ) x,1 x=x, (5) (λ+ϑ) x=λ x+ϑ x, λ (x+y)=λ x+λ y. Znak pro násobení často vynecháváme. V přednášce budeme uvažovat pouze v. p. nad R. Lineárním obalem vektorů z množiny M rozumíme množinu všech(konečných!) lineárníchkombinacítěchtoprvků,tj. { n i=1 λ ix i,λ i T,x i M}.Množinuvektorů nazveme lineárně nezávislou, pokud se žádný z nich nedá vyjádřit jako lineární kombinace ostatních. Příklad. R n,kde njepřirozenéčíslo.operaceseprovádějíposložkách,nanich sechovajíjakostandardnísoučetasoučin.nulovývektorjevektor(0,...,0). 1 Alenikolivpostačující. 11
VELKÉ PROSTORY Příklad. Prostorvšechmatic2 2nad R.Sčítáníinásobeníseprovádějípo složkách. Nulový vektor je nulová matice(všechny složky jsou nula). Příklad. Prostor všech funkcí R R s operacemi prováděnými bodově. Definice. Dvojici(X, ) nazveme normovaný vektorový prostor, pokud X je vektorovýprostorazobrazení :X Rsplňuje (1) x 0, x =0 x=0, (2) λx = λ x (λ R), (3) x+y x + y. Zobrazení nazvemenorma. Příklad. X= Rs x = x jenormovanýv.p. Příklad. Propřirozenéčíslo nuvažujme X= R n (tj. x Xjetvaru(x 1,...,x n ), kde x i R)s x 1 = x 1 +... x n, x 2 = x 1 2 + + x n 2 nebo x = max{ x 1,..., x n }.Vkaždémztěchtopřípadůsejednáonormovanýv.p.Tyto prostory pro nás budou důležité, neboť z nich budeme v přednášce vycházet. Příslušné normy se nazývají postupně součtová, eukleidovská a supremová. Příklad. Prostor všech spojitých funkcí[0, 1] R se supremovou normou definovanoujako f = max x [0,1] f(x) tvořínormovanýv.p. Poznámka. Spojitá funkce na uzavřeném intervalu nabývá maxima, norma je tedy dobře definovaná. Definice. Mějmedvanormovanév.p. X, Y (nad R).Zobrazení L : X Y nazveme lineární, pokud splňuje (1) L(x+ x)=l(x)+l( x), (2) L(λx)=λL(x). Příklad. Vynásobení konstantou je lineární zobrazení. Přičtení nenulové konstanty ne. Definice. Dvojici(X, ρ) nazveme metrický prostor, pokud X je neprázdná množinaaρjezobrazení X X Rsplňující (1) ρ(x,y) 0, ρ(x,y)=0 x=y, (2) ρ(x,y)=ρ(y,x), (3) ρ(x,z) ρ(x,y)+ρ(y,z). Zobrazení ρsenazývámetrika.okolímbodu x 0 Xopoloměru εnazvememnožinu U(x 0,ε)={x X: ρ(x 0,x) < ε}.množinunazvemeotevřenou,pokudprokaždý jejíbodležívmnožiněinějakéjehookolí. Příklad. Každýnormovanýv.p.,kdeza ρ(x,y)vezmeme x y.tétometrice říkáme metrika indukovaná normou. Například tedy R se vzdáleností x y. Dále se nám bude hodit(alespoň) intuitivní představa limity posloupnosti v metrickém prostoru. Pro úplnost tedy uveďme její formální definici: 12
ANIČKA DOLEŽALOVÁ Definice. Mějmevmetrickémprostoru(X,ρ)posloupnostjehoprvků(x n ) 1.Řekneme,žetatoposloupnostkonvergujekbodu x X(bodxjejejílimitou),pokudpro každé ε >0existujeindex n 0 takový,ževšechnyprvkyposloupnosti(x n ) n 0 užleží v U(x,ε).Řekneme,žeposloupnostjecauchyovská,pokudprokaždé ε >0existuje index n 0 takový,žeprovšechnyindexy m,nvětšínež n 0 užplatí ρ(x m,x n ) < ε. Tvrzení. Každá konvergentní posloupnost je cauchyovská. Opačná implikace neplatí. Důkaz. Náznak: Pokudužjsouvšechnyčleny(x n ) n 0 v U(x,ε),pakpročlenytétoposloupnosti platí ρ(x m,x n ) <2ε. Naopak budeme-li uvažovat jako metrický prostor Q s absolutní hodnotou, pak (z hustoty racionálních čísel v reálných) umíme najít cauchyovskou posloupnost, kteránemálimitu(v Q). Přednáška! Definice. Mějme normovaný v. p., na kterém uvažujeme metriku indukovanou normou. Pokud platí, že každá cauchyovská posloupnost je konvergentní(tedy má v daném prostoru limitu), nazveme tento prostor Banachův. Poznámka. Obecně metrický prostor, ve kterém platí, že každá cauchyovská posloupnost je konvergentní, nazveme úplný. Budeme brát jako fakt, že reálná čísla s absolutní hodnotou jsou Banachův prostor. Příklad. Prostor R n slibovolnouzvýšeuvedenýchtřínoremjebanachův. Příklad. Prostor R n slibovolnou p-normoujebanachův,kde x p =( x 1 p + + x n p ) 1/p,p [1, ). (Pro p= sejednáosupremovounormu.) Příklad. Prostor všech spojitých funkcí[0, 1] R se supremovou normou je Banachův. Poznámka. Pojem supremovánorma sezdábýtnadužívaný,vjistémsmyslu sealejednáostáletutéžnormu vezmese(vabsolutníhodnotě)největšíhodnota z nějaké množiny. V případě konečného vektoru je to jeho největší složka, v případě funkce největší funkční hodnota. Definice. Označme X= R N (tedyprostornekonečných spočetných posloupnostísesložkamizr).jednáseovektorovýprostor.pro p [1, )definujeme ( ) 1/p l p = x X: x p= x n p <. 13 n N
VELKÉ PROSTORY Podobně definujeme prostor omezených posloupností l = {x X: x =sup x n < } n N a prostor posloupností konvergujících k nule c 0 = {x X:(x n ) 1 konvergujek0} sesupremovounormou(tj.toutéžjakovl ). Posloupnosti, které mají n-tou složku rovnou jedné a všechny ostatní nulové, značíme e n. Poznámka. Všechny tyto prostory jsou Banachovy. Úloha1. Zkustesipředstavit c 0 a l p.:) Úloha2. Jakseintuitivněliší c 0, l p (p [1, ))al? Úloha3. Jakvypadá U(0,ε)vc 0, l 1, l 2, l? Úloha4. Najděteconejvětšímnožinulineárněnezávislýchvektorůvl p. Úloha5. Jakvypadálineárníobalmnožiny {e n,n N}vtěchtoprostorech? Úloha6. Dokažte,že l 1 jeseparabilní 2 (obecnětoplatípro p [1, )). Úloha7. Najdětenějakélineárnízobrazení l p l p, l p l 1, l 1 R. Věta.(Riesz,neformálně) Nechť p (1, ).Každélineárnízobrazení l p Rse dájednoznačněztotožnitsprvkem l q,kde 1 p + 1 q =1.Totoztotožněníjeprostéa na. Poznámka. Obecně množina všech lineárních zobrazení z jednoho Banachova prostoru do druhého tvoří také Banachův prostor. Prostoru lineárních zobrazení z Banachovaprostoru Xdo Rseříkáduálníprostoraznačíse X.Příslušnánormaje odvozená z norem obou prostorů. Úloha 8. Najdětelineárnízobrazení l 1 R,kterénenídobředefinovanéjako l 2 R. Definice. Naprostoru l 2 definujemeskalárnísoučinjako x,y = n Nx n y n. Kolmost a ortogonální doplněk definujeme analogicky jako v konečném případě (např.ur 2 ),tedydvaprvkyjsounasebekolmé,pokudjejejichskalárnísoučin nula, ortogonální doplněk množiny M jsou všechny prvky, které jsou kolmé na každý prvek M. 2 Tj.najdětespočetnouhustoupodmnožinu. 14
ANIČKA DOLEŽALOVÁ Úloha9. Jakvypadáortogonálnídoplněkposloupnosti e 1? Úloha10. Najdětedvarůznépodprostoryl 2,jejichžortogonálnídoplněkjestejný. Další směry, kterými se můžeme ubírat, jsou Banachovy algebry(můžeme násobit vektorymezisebou!),duályaslabétopologie(prosilnějšínátury,kteréznají alespoňzákladytopologie)nebosvět L p prostorů(kdežijílebesgueovskyintegrovatelné funkce). Literatura a zdroje [1] O. Kalenda: Úvod do funkcionální analýzy, Funkcionální analýza 1, MFF. 15