Řešeí písemé zkoušky z Matematické aalýzy a ZS008-09,0..009 Příklad : Spočtěte itu poslouposti 75 + 60 ) 75 60 + ) 0 + ) 0 +) 70 ) 70. 5 bodů) Řešeí:Ozačíme a : 75 + 60 75 60,dále b : + ) 0 + ) 0,akoečě c :+) 70 ) 70.Rozdílva rozšířímesvyužitímvztahu A B AB)A +AB+B ) pro A 75 + 60, B 75 60,adostaeme: a 60 75 + 60 ) + 75 + 60 ) 75 60 )+ 75 60 ) 0 + ) + 5 + ) ) 5 + ) 5 5 0 A, kde A. Použilijsmefaktu,že 0pro a >0,větuoaritmeticeitaspojitosttřetíodmociy. a Výrazyvb i c upravímepodlebiomickévěty: b + ) 0 + ) 0 0 59 + k0 c +) 70 ) 70 40 69 + k0 60 +0 9+ + γ k k, α k, β k, γ k Z, 70 +70 69 + ϑ k k, δ k, γ k, ϑ k Z. k0 k0 δ k k ) Celkem tedy máme, opět podle věty o aritmetice it, 0 69 + 58 γ k k+0 a b k0 c A 40 69 + 68 k0 ϑ k k α k k ) 70 70 69 + 60 +0 9+ + k0 0+ 58 γ k k+069 k0 40+ 68 ϑ k k69 k0 λ k k ) k0 β k k ) 0 40. úprava a... 5body úprava b... 5bodů úprava c... 4body dopočítáí...bod uvedeí,že 0pro a >0... bod a spojitostodmoci... bod aritmetikait... bod Bodová srážka za um. chybu, která eměí charakter výpočtu, je podle závažosti - body.
Příklad : Spočtěte itu fukce x si x x cos x). 5bodů) Řešeí:Limitajetypu 0 0,lzetedypoužítl Hospitalovopravidloopětskovecí,že l H zameá rováse,pokudexistujeitavpravo ).Před bezmyšlekovitým použitíml Hospitalova pravidla však itu upravíme, abychom derivovali jedodušší výraz: x si x x cos x) x si x } x{{ } : fx) gx) x cos x } {{ } :hx) Platí hx),aa fx) gx) použijeme zaseboul Hospitalovopravidlo 0 0,protože: fx) x si x,. f0)0, f x) x log si x log cos x, f 0)0, f x)log x log si x log cos x+ si x six), f 0)0, f x)log x log si x log cos x+ si x log cos x six+ + si x log cos x six+ si x cos x), f 0)log. Vboděspojitostifukcelzepočítatitudosazeímfukčíhodoty.)Evidetě, g0)g 0) g 0)0, g 0)6,tedycelkově,podlevětyoaritmeticeit, x si x x cos x) log log. 6 l Hospitalčíslo...4body l Hospitalčíslo...4body l Hospitalčíslo...4body úpravy,dopočet... body ověřeí,žejdeol Hospitalatypu 0 0... bod itavboděspojitosti...bod větaoaritmeticeit...bod Bodová srážka za um. chybu, která eměí charakter výpočtu, je podle závažosti - body.
Příklad : Vyšetřete kovergeci řady!+ +)!+. 5bodů) Řešeí:Použijemeitísrovávacíkritérium,čleyvyšetřovaéřadybudemesrovávats. Pro velká se totiž!+! a : chovájako +)!+ +)! cožse chovájako +)+) : b. Nyí je potřeba teto áš odhad odůvodit. Počítejme: a b!+) +)!+ + +! ) + ) +!, ) svyužitímfaktu,že 0,! 0apodlevětyoaritmeticeit. Protožeitav)jevlastíaeulová,aprotožeoběsrovávaéřadyjsouřadyskladými čley,kovergujeámivyšetřovaářadaprávětehdy,kdyžkovergujeřada.tatořada všakkovergujepodlevěty,žeřada jekovergetíprávětehdy,když α >. α Závěr: ámi vyšetřovaá řada tedy koverguje. Bodováí při použití tohoto postupu výpočtu: odhadsjakouřadousrovat...5bodů číselývýpočetityv)...5bodů závěr... 5bodů uvedeí,že 0apod.... bod aritmetikait... bod itísrováí:řadysezáporýmičley,itavlastíaeulová...bod uvedeí,že α jekovergetíprávětehdy,když α >...bod Bodová srážka za um. chybu, která eměí charakter výpočtu, je podle závažosti - body.
Příklad 4: Vyšetřete průběh fukce defiovaé předpisem x fx) x +. 5bodů) Řešeí: Defiičí obor: druhá odmocia je defiovaá pro ezáporá reálá čísla, a jmeovatel zlomkumusíbýteulový,tedy Df),+ ). f jespojitáacelém Df)jesoučtem,součiem,podílemasložeímspojitýchfukcí), eísudá,lichá,periodická.platí,že f 0acelémdefiičímoboru,přičemž f >0právě když x Df) \ {0}, fx)0právěkdyž x0. Limity v krajích bodech defiičího oboru, obor hodot, asymptota: x x fx) x + x + + 0, fx) x x + x + x + +. Protožeje fspojitáa,+ ),af0)0,dávávětaoabýváímezihodot,žeoborem hodot fjsouvšechaezáporáreáláčísla, Hf) 0,+ ).Limitavýšezároveňříká, že a: x + fx)/x0.protože b: x + fx) a x) x + fx)0, existujeasymptotav+,asice y0. Prvíderivace:pro x,+ ) \ {0}je f x) x x + xx +) x x x +) x x + x x +) x ) sg x x ) x +) /. Protožefukce fjespojitámimojiéi)vbodě0,aprotožeížeuvedeéityexistují, platí: f ±0) ± f x)±, tedy f 0)eexistuje. Fukce f tedyrostea0, )aklesáa,0)aa,+ ).Vbodě0jelokálíi globálí)miimum0,avbodě jelokálímaximumhodoty 4 0.77.Fukce emá globálí maximum. Druháderivace:pro x,+ ) \ {0}dostaeme f x) sg xx )x +) x )x +) x x +) x sg x x +)+ x ) x +) 5 x 8 x )sg x. 4x +) 5 Fukcejetedykokávíaitervalu0,),akovexíaitervalech,0)a,+ ). Fukcemáiflexíbod xf ) 9 ).
Graf: 5 4 y 0 4 x 6 8 defiičíobor...bod spojitost... bod oborhodot...bod ityvkrajíchbodechdef.oboru...bod asymptota...bod výpočetprvíderivace... bod jedostraáderivacev0ityderivace)... bod mootoie,lokálíextrémy... body výpočetdruhéderivace... body kovexita,kokávita...bod iflexíbod... bod graf... body