Reprezentovatelnost částek ve dvoumincových systémech

Reprezentovtelnost částek ve dvoumincových systémech Jn Hmáček, Prh Astrkt Máme-li neomezené množství mincí o předepsných hodnotách, může se stát, že pomocí nich nelze složit některé částky Pro jednoduchost se omezíme n přípd, kdy máme k dispozici mince pouze dvou různých hodnot V tkovém přípdě je totiž možné poměrně sndno odvodit vzorce pro největší nereprezentovtelnou částku zjistit počet všech tkových částek Ukážeme, jk lze ke stejnému cíli dospět různými postupy: nejprve odvodíme vzorec pro zjištění počtu všech nereprezentovtelných částek z pomoci rovinné geometrie Ve druhé části dokážeme o zmíněné vzorce užitím dělitelnosti Ve třetí části použijeme ke stejnému účelu vytvořující funkce Řekneme, že částk n N 0 je reprezentovtelná v systému mincí o hodnotách, N, pokud existují x, y N 0, pro která pltí rovnost n = x y Jsou-li čísl, soudělná d je jejich největší společný dělitel, pk v dném systému mohou ýt reprezentovtelné pouze násoky d Konkrétně pltí, že částk kd je reprezentovtelná v systému, právě tehdy, když částk k je reprezentovtelná v systému /d, /d Bez újmy n oecnosti se tedy můžeme omezit n systémy mincí o nesoudělných hodnotách, Ukážeme, že v tkových systémech existuje pouze konečně mnoho nereprezentovtelných částek, njdeme jejich počet vzorec pro největší nereprezentovtelné číslo (tzv Froeniovo číslo) Geometrické odvození Nejprve zjistíme počet nereprezentovtelných částek v systému mincí o dvou nesoudělných hodnotách, N Čerpáme přitom z [3, kp 3] Počet reprezentcí částky n v systému mincí o hodnotách, je roven počtu dvojic x, y N 0 tkových, že n = x y Jednoduchými úprvmi získáme ekvivlentní vyjádření y = x n, což je rovnice přímky protínjící souřdnicové osy v odech A = [n/, 0] B = [0, n/] Mgr Jn Hmáček, Ktedr softwru výuky informtiky, MFF UK v Prze, Mlostrnské náměstí 5, 8 00 Prh, e-mil: hmcekh@gmilcom Pokroky mtemtiky, fyziky stronomie, ročník 6 (07), č 33

Částk n je proto v systému mincí reprezentovtelná právě tehdy, když n úsečce AB leží od s celočíselnými souřdnicemi [x, y] N orázku je příkld reprezentovtelné částky n = 9 v systému mincí s = 5 = 7 N úsečce AB leží jediný od X s celočíselnými souřdnicemi [, ], neoť částku 9 lze reprezentovt jedině pomocí jedné mince o hodnotě 5 dvou mincí o hodnotě 7 y 3 9 7 B X 0 0 3 9 4 A 5 x Or Příkld reprezentovtelné částky 9 v systému mincí = 5, = 7 Lemm Leží-li od X = [x, y] s celočíselnými souřdnicemi n přímce p : n = x y, kde, N jsou nesoudělná, pk n stejné přímce leží i ody Y = [x, y ] Y = [x, y ] Mezi ody X Y ni mezi ody X Y n přímce p neleží žádný dlší od s celočíselnými souřdnicemi Důkz Bod Y leží n přímce p, protože (x ) (y ) = x y = x y = n Podoně od Y leží n přímce p, protože (x ) (y ) = x y = n Druhou část tvrzení dokážeme sporem Nechť mezi ody X Y leží od Q = [x u, y v] s celočíselnými souřdnicemi Konstnty u, v proto musí splňovt u, v N, u < v < Pltí (x u) (y v) = x y u v = n 34 Pokroky mtemtiky, fyziky stronomie, ročník 6 (07), č

Dlšími úprvmi této rovnice získáme n u v = n, = v u Zlomek je v zákldním tvru, protože jsou nesoudělná Všechny zlomky vyjdřující stejné rcionální číslo jsou proto ve tvru m m, kde m Z, m 0 Zlomek v u všk v tomto tvru není, neoť v < u < Stejným způsoem ychom mohli dokázt, že mezi ody X Y n přímce neleží od Q = [x u, y v], kde opět u, v N, u < v < Víme-li, že n přímce p z lemmtu leží lespoň jeden od s celočíselnými souřdnicemi, pk opkovným užitím tohoto lemmtu ověříme, že jich n přímce p leží nekonečně mnoho Vět Jsou-li, N nesoudělná n N 0, pk n přímce p : n = x y leží nekonečně mnoho odů s celočíselnými souřdnicemi Vzdálenost kždých dvou sousedních odů s celočíselnými souřdnicemi n přímce p je rovn s = Důkz Nejprve dokážeme, že n přímce p leží lespoň jeden od s celočíselnými souřdnicemi Jelikož jsou, nesoudělná, existují n zákldě Bézoutovy věty [6, vět 33] celá čísl x, y Z tková, že x y = Vynásoením této rovnosti číslem n N vznikne nx ny = n Bod [nx, ny ] proto leží n přímce p Podle lemmtu leží n přímce p nekonečně mnoho odů s celočíselnými souřdnicemi v prvidelných intervlech Vzdálenost dvou sousedních odů X = [x, y] Y = [x, y ] je s = (x x ) (y y ) = Ke stejnému závěru dojdeme i při volě sousedních odů X Y = [x, y ] N orázku je znázorněn přímk p odpovídjící volě n = 30, = 5 = 7 Vyznčené ody X, X X 3 n přímce p jsou tři po soě jdoucí ody s celočíselnými souřdnicemi Jejich vzdálenosti jsou podle věty X X = X X 3 = 5 7 = 74 Vět 3 Mějme systém mincí s nesoudělnými hodnotmi, Částk n = je v tomto systému reprezentovtelná dvěm způsoy Všechny částky n > jsou reprezentovtelné Částky n < jsou reprezentovtelné nejvýše jedním způsoem Pokroky mtemtiky, fyziky stronomie, ročník 6 (07), č 35

y 6 X 4 0 4 6 8 0 4 X x 4 X 3 6 Or Přímk s vyznčenými ody s celočíselnými souřdnicemi pro = 5, = 7 n = 30 Důkz Pokud je úsečk AB s krjními ody A = [n/, 0] B = [0, n/] delší než, pk n ní podle věty leží lespoň jeden od s celočíselnými souřdnicemi Délk úsečky AB přitom roste s n lineárně, neoť pro n 0 pltí AB = (n ) ( n ) = n ( ) ( ) Pro n = je A = [, 0], B = [0, ] AB = Podle věty n této úsečce leží nejvýše dv ody s celočíselnými souřdnicemi Jsou právě dv jsou jimi ody A, B Pro n > je odpovídjící úsečk delší než vzdálenost sousedních odů s celočíselnými souřdnicemi, leží n ní proto lespoň jeden z nich Pro n < je odpovídjící úsečk krtší než vzdálenost sousedních odů s celočíselnými souřdnicemi, proto n ní leží nejvýše jeden z nich V následujících odstvcích popíšeme vzth mezi počtem odů s celočíselnými souřdnicemi počtem reprezentovtelných nereprezentovtelných částek Oznčíme ody A = [, 0], B = [0, ] počátek O = [0, 0] Body A B jsou krjními ody úsečky pro n = Z věty 3 vidíme, že kždé reprezentovtelné částce n menší než odpovídá úsečk s krjními ody A = [n/, 0] B = [0, n/], n které leží právě jeden od s celočíselnými souřdnicemi Odtud plyne, že reprezentovtelných 36 Pokroky mtemtiky, fyziky stronomie, ročník 6 (07), č

částek n menších než je nejvýše tolik, jko odů s celočíselnými souřdnicemi, které leží uvnitř trojúhelníku OA B neo n jeho ovodu, nepočítáme-li ody A B Počet reprezentovtelných částek y yl ostře menší než počet popsných odů, kdyy existovl od s celočíselnými souřdnicemi, který neleží n žádné z úseček V následující větě dokážeme, že tomu tk není Počet odů s celočíselnými souřdnicemi je proto roven počtu reprezentovtelných částek N orázku 3 jsou n příkldu systému mincí s = 5 = 7 znázorněny všechny úsečky odpovídjící číslům n {,,, 5 7 = 35} Úsečky, n kterých leží od s celočíselnými souřdnicemi, odpovídjí tedy reprezentovtelným částkám, jsou znázorněny plnou črou Úsečky, n kterých žádný od s celočíselnými souřdnicemi neleží, odpovídjí tedy nereprezentovtelným částkám, jsou znázorněny čárkovně y 5 B C 4 3 O 3 4 5 6 7 A x Or 3 Úsečky AB pro = 5, = 7 n {0,,, 35} Vět 4 Mějme nesoudělná, N Pro kždý od X = [x, y] se souřdnicemi x, y N 0 existuje n N 0 tkové, že X leží n úsečce s krjními ody A = [n/, 0], B = [0, n/] Důkz Výrz x y je jistě celočíselný Zvolíme proto n = x y () Pokud se n vzth () udeme dívt jko n rovnici přímky, sndno ověříme, že protíná Pokroky mtemtiky, fyziky stronomie, ročník 6 (07), č 37

osy v odech A = [n/, 0] B = [0, n/] Bod X n této přímce leží Leží i n úsečce AB, neoť se nchází v prvním kvdrntu Vět 5 Počet všech nereprezentovtelných částek v systému mincí o nesoudělných hodnotách, N je ( )( ) Důkz Počet všech částek menších než, včetně nuly, je Zvolme A = [, 0], B = [0, ], O = [0, 0] C = [, ] Z vět 3 4 plyne, že počet reprezentovtelných částek menších než je roven počtu odů s celočíselnými souřdnicemi, které leží uvnitř trojúhelníku OA B neo n jeho ovodu, vyloučíme-li o ody A B Těch je polovin z počtu odů s celočíselnými souřdnicemi ležících v odélníku OA CB, vyloučíme-li o ody A B Počet reprezentovtelných částek menších než je proto ( )( ) Počet nereprezentovtelných částek menších než vypočítáme odečtením počtu reprezentovtelných od počtu všech: ( )( ) = ( )( ) = Z věty 3 víme, že kždá částk větší neo rovná je reprezentovtelná, proto tyto částky neovlivní počet nereprezentovtelných částek Počet všech nereprezentovtelných částek je tedy ( )( ) Počet nereprezentovtelných částek pomocí dělitelnosti V této části udeme nejprve hledt odpověď n stejnou otázku jko v části předchozí Britský mtemtik Jmes Joseph Sylvester použil k popisu prolému známky dvou hodnot nmísto mincí dvou hodnot Náš postup vychází z jeho myšlenek V litertuře proto můžeme prolémy popsné v této kpitole nlézt pod názvem The Stmp Prolem, viz npř [5] V následujícím textu vycházíme z [4, kp 6] Otázk Máme neomezené množství mincí o hodnotách, přičemž čísl, jsou nesoudělná Kolik různých částek menších než nedokážeme pomocí těchto mincí reprezentovt? Oecnější verze této otázky neoshuje omezení n částky menší než Ve větě 3 jsme všk ukázli, že všechny částky větší neo rovné jsou v systému mincí, reprezentovtelné; tuto skutečnost později odvodíme i pomocí dělitelnosti Vytvoříme tulku oshující všechny reprezentovtelné částky menší než Hodnotou v u-tém řádku v-tém sloupci ude u v Pro hodnoty = 5 = 9 tkto vznikne tulk 38 Pokroky mtemtiky, fyziky stronomie, ročník 6 (07), č

v u 0 3 4 5 6 7 8 9 0 0 5 0 5 0 5 30 35 40 45 9 4 9 4 9 34 39 44 49 54 8 3 8 33 38 43 48 53 58 63 3 7 3 37 4 47 5 57 6 67 7 4 36 4 46 5 56 6 66 7 76 8 5 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 T Reprezentovtelné částky pro hodnoty = 5, = 9 Definice 6 Mějme nesoudělná, N Uvžujme mtici o řádcích sloupcích, kde pro u, v N 0, u, v, je prvek mtice v u-tém řádku v-tém sloupci roven u v Tuto mtici oznčme A, Prvek mtice A, v u-tém řádku v-tém sloupci udeme znčit A, (u, v) Tulk podle této definice odpovídá mtici A 5,9 Počet všech nereprezentovtelných částek menších než můžeme spočítt pomocí počtu všech reprezentovtelných Pltí totiž rovnost ( počet reprezentovtelných ) ( počet nereprezentovtelných ) = ( počet všech ) () Zývá zjistit, kolik je v tulce (mtici A, ) různých reprezentovtelných částek menších než Tulk oshuje tři části V levé horní části jsou hodnoty menší než = 45 V prvé dolní části jsou hodnoty větší než 45 Ve zylých dvou rozích jsou potom právě dvě hodnoty 45 Nvíc pltí, že hodnot menších než 45 je v tulce stejný počet jko hodnot větších než 45 Ověříme, že uvedená tvrzení pltí nejen pro hodnoty = 5 = 9, le i v oecném přípdě Z následující věty plyne, že v mtici A, je částek menších než stejně jko částek větších než Vět 7 Nechť, N jsou větší než Potom pro u, v N 0, u, v pltí A, (u, v) A, ( u, v) = Důkz Rozepsáním levé strny rovnosti pomocí definice 6 dostneme tvrzení věty Vět 8 Jsou-li čísl, N nesoudělná, pk se v mtici A, žádná hodnot kromě nevyskytuje více než jednou Hodnot se v mtici vyskytuje právě dvkrát Důkz Ay se hodnot n vyskytovl v mtici A, více než jednou, musí se vyskytovt v řádku u sloupci v zároveň v řádku u sloupci v Musí tedy existovt u, u, v, v N 0 tková, že pltí u, u, v, v n můžeme vyjádřit dvěm způsoy n = u v, n = u v Pokroky mtemtiky, fyziky stronomie, ročník 6 (07), č 39

Bez újmy n oecnosti předpokládejme, že u < u Musí proto pltit v > v Odečtením předchozích rovností dostneme (u u ) = (v v ) (3) Odtud plyne, že dělí (u u ) Hodnoty jsou nesoudělné Pltí proto, že dělí u u To můžeme interpretovt tk, že čísl řádků u, u se musí lišit o násoek Stejným způsoem z rovnosti (3) plyne, že dělí (v v ), tedy dělí v v Čísl sloupců v, v se proto musí lišit o násoek V mtici A, jsou tkové hodnoty pouze čtyři v rozích mtice Rozorem přípdů zjistíme, že jediné stejné hodnoty v mtici jsou rovny jsou to prvky A, (, 0) A, (0, ) Nyní můžeme využít vzorec () k určení počtu všech nereprezentovtelných částek menších než Vět 9 Jsou-li, N nesoudělná, pk je počet všech nereprezentovtelných částek menších než roven ( )( ) Důkz V mtici A, je celkem ( )( ) hodnot Dvě z nich jsou podle předchozí věty rovny Polovin ze zylých hodnot je podle věty 7 menší než Tyto hodnoty jsou nvíc podle věty 8 různé Počet všech různých reprezentovtelných částek menších než je tedy ( )( ) = Počet všech nereprezentovtelných částek menších než je proto = ( )( ) K tomuto závěru dospěl i Sylvester [4, str 7] Z předchozí části víme, že všechny větší částky jsou reprezentovtelné Odtud plyne, že kždá nereprezentovtelná částk je menší než Nlezením největší z nich se udeme zývt v následující kpitole 3 Největší nereprezentovtelná částk pomocí dělitelnosti Nyní odvodíme vzorec pro výpočet Froeniov čísl ve dvoumincovém systému pomocí dělitelnosti Postup si nejprve ukážeme n konkrétním přípdě pro systém mincí o nesoudělných hodnotách = 5, = 9 Z tulky vypustíme poslední řádek sloupec Nvíc od kždého čísl většího než = 45 odečteme 45 Výsledkem ude tulk Tulk oshuje všechn čísl mezi 0 včetně Jsou v ní proto všechny reprezentovtelné i nereprezentovtelné částky menší než Žádné číslo se v ní nvíc neopkuje V levé horní části tulky (světle šedá pole) jsou všechny reprezentovtelné částky V prvé dolní části tulky (tmvě šedá pole) tedy musí ýt všechny nereprezentovtelné částky Největší nereprezentovtelná částk menší než se nchází v prvém 40 Pokroky mtemtiky, fyziky stronomie, ročník 6 (07), č

v u 0 3 4 5 6 7 8 0 0 5 0 5 0 5 30 35 40 9 4 9 4 9 34 39 44 4 8 3 8 33 38 43 3 8 3 3 7 3 37 4 7 7 4 36 4 6 6 6 3 T Reprezentovtelné nereprezentovtelné částky pro hodnoty = 5, = 9 dolním rohu Je jí hodnot 3 Mezi 3 = 45 je 4 reprezentovtelných částek Přičtením vhodného násoku pěti k nějké z nich tk můžeme reprezentovt liovolnou částku vyšší než 45 Nyní zopkujeme tento postup pro liovolný systém mincí o nesoudělných hodnotách, Definice 0 Nechť, N jsou nesoudělná čísl Uvžujme mtici o řádcích sloupcích, kde pro čísl u, v N 0 tková, že u < v <, je prvek mtice v u-tém řádku v-tém sloupci roven { u v pro u v <, u v pro u v Tuto mtici udeme oznčovt A, Hodnotu v jejím u-tém řádku v-tém sloupci udeme znčit A, (u, v) Mtice A, odpovídá oshu tulky Vět Jsou-li, N nesoudělná, pk jsou v mtici A, všechn čísl různá Důkz Z věty 8 plyne, že v mtici A, ez posledního řádku sloupce jsou všechn čísl různá N pozicích (u, v), kde u v <, se mtice A, od A, neliší Žádná dvojice čísel z této části proto není stejná N pozicích (u, v), kde u v, je v mtici A, hodnot u v = A, (u, v) Žádná dvojice čísel z této části proto tké není stejná Zývá zjistit, jestli nemůže existovt číslo z první části stejné jko číslo z druhé části Tkové číslo n y muselo ýt v první části n pozici (u, v ) s reprezentcí n = u v Zároveň y muselo ýt n pozici (u, v ) v druhé části s reprezentcí Odečtením těchto rovností dostneme: n = u v (v v ) = (u u ) (4) Pokroky mtemtiky, fyziky stronomie, ročník 6 (07), č 4

Vidíme, že dělí (u u ) Protože, jsou nesoudělná, dělí u u, řádkové indexy u u se tedy liší o násoek Protože mtice A, má řádků, musí ýt tento násoek roven 0, je tedy u = u Z rovnosti (4) tké vidíme, že dělí (v v ) Protože, jsou nesoudělná, tk dělí v v Odtud dělí v v, sloupcové indexy v v se tedy liší o násoek Protože mtice A, má sloupců, musí ýt tento násoek roven 0, v v jsou proto stejné O prvky rovné témuž číslu n tedy leží v mtici A, n stejné pozici, což je všk ve sporu s předpokldem, že leží v různých částech mtice V mtici A, proto nejsou dvě stejná čísl Mtice A, oshuje čísel Všechn jsou menší než Podle věty jsou nvíc všechn čísl v mtici různá Mtice A, proto oshuje všechny reprezentovtelné i nereprezentovtelné částky menší než Vět Mějme, N nesoudělná Částk n pozici (u, v) v mtici A, je reprezentovtelná právě tehdy, když pltí u v < Důkz N pozici (u, v) tkové, že u v <, je částk u v, je proto reprezentovtelná Ukážeme nopk, že žádná částk n pozici (u, v) splňující uv není reprezentovtelná Mtice A, oshovl všechny reprezentovtelné částky menší než Oderáním posledního řádku sloupce jsme žádnou z nich neodstrnili Odečtením od hodnot u v jsme částky menší než nijk nezměnili Mtice A, proto stále oshuje všechny reprezentovtelné částky menší než Podle věty jsou nvíc v mtici A, všechny hodnoty různé N pozicích (u, v), kde u v, proto nemůže ýt reprezentovtelná částk Vět 3 V systému mincí o nesoudělných hodnotách, N je největší nereprezentovtelná částk menší než rovn Důkz Největší nereprezentovtelná částk menší než je v prvém dolním rohu mtice A,, tedy n pozici (, ) Její hodnot je A,(, ) = ( ) ( ) = Nyní jsme se dostli do stejné situce jko v předchozí části Nšli jsme řešení s omezením n částky menší než Ve větě 3 jsme už dokázli, že všechny větší částky jsou reprezentovtelné Pro zjímvost to dokážeme ještě jednou použitím pozntků z této části Vět 4 V systému mincí o nesoudělných hodnotách, N jsou všechny částky větší neo rovné reprezentovtelné Důkz Mezi největší nereprezentovtelnou částkou je reprezentovtelných částek Přičtením vhodného násoku čísl k některé z nich získáme reprezentci liovolné částky větší neo rovné 4 Pokroky mtemtiky, fyziky stronomie, ročník 6 (07), č

Příkld 5 Ve dvoumincovém systému mincí o hodnotách,, kde <, je 35 nereprezentovtelných částek, z nichž jedn je 58 Jké jsou hodnoty,? [3, kp 3] Řešení Hodnoty, jsou nesoudělné Kdyy tomu tk neylo, pk y existovlo nekonečně mnoho nereprezentovtelných částek Dále víme, že ( )( ) = 35, (5) tedy ( )( ) = 70 Hledáme tedy čísl k, l N tk, y pltilo kl = 70 k < l Řešením úlohy je dvojice (, ) tková, že = k = l,, jsou nesoudělná částk 58 není reprezentovtelná v systému mincí o hodnotách, Číslo 70 můžeme rozložit n součin dvou přirozených čísel pomocí rozkldu n součin prvočísel: 70 = 5 7 Všechny dvojice přirozených čísel (, ), pro které pltí rovnice (5) <, jsou tedy: (, 7), (3, 36), (6, 5) (8, ) Dvojice (3, 36) (6, 5) vyřdíme, neoť jde o dvojice soudělných čísel Dvojici (, 7) vyřdíme, neoť 58 = 9, částk 58 je tedy reprezentovtelná V reprezentci částky 58 v systému (8, ) musíme použít sudý počet mincí, neoť jde o sudou částku Rozorem všech možností zjistíme, že částk 58 je v systému (8, ) nereprezentovtelná Dvojice (8, ) proto splňuje všechny poždvky jediným řešením je = 8 = 4 Metod vytvořujících funkcí V této části pomocí metody vytvořujících funkcí vyřešíme následující oecný prolém: Pro liovolnou částku n zjistíme, kolik způsoy ji lze reprezentovt v systému dvou mincí Jko důsledky pk opět získáme vzorce pro počet nereprezentovtelných částek hodnotu největší z nich Čerpáme přitom z [, kp ] Připomeňme, že vytvořující funkce posloupnosti { n } n=0 je mocninná řd definovná předpisem f(x) = n x n n=0 Pro systémy s jedinou mincí je zjištění posloupnosti { n } n=0 počtu způsoů reprezentce částky n jednoduché Posloupnost počtu způsoů, jk reprezentovt částky npříkld pro systém s jedinou mincí o hodnotě 3, je (, 0, 0,, 0, 0,, 0, 0,, 0, 0, ) První jedničk (nultý člen) přitom vyjdřuje, že částku 0 lze složit jediným způsoem Oecně pro systémy s jedinou mincí o hodnotě c ude pro posloupnost počtu způsoů reprezentce { n } n=0 pltit { pokud c dělí n, n = 0 jink Pokroky mtemtiky, fyziky stronomie, ročník 6 (07), č 43

Vytvořující funkce této posloupnosti je i=0 x ic = x c Mějme systém mincí o nesoudělných hodnotách, Posloupnost počtu reprezentcí částek pro tento systém mincí oznčíme {c n } n=0 K nlezení členů této posloupnosti využijeme součin vytvořujících funkcí posloupností jednomincových systémů s mincemi o hodnotách, Oznčíme { n } n=0 posloupnost počtu reprezentcí částek v jednomincovém systému Anlogicky oznčíme { n } n=0 posloupnost počtu reprezentcí částek v jednomincovém systému Počet způsoů, jk reprezentovt částku n ve dvoumincovém systému, je potom n c n = i n i i=0 To odpovídá koeficientu u x n v součinu vytvořujících funkcí oou jednomincových systémů Pltí tedy: ( ) ( ) c n x n = n x n n x n = ( x )( x ) n=0 n=0 n=0 Nyní udeme hledt jednodušší vyjádření koeficientů c 0, c, c, N 0 Nechť p N 0 je liovolné pevně zvolené číslo Hledání koeficientu c p můžeme zjednodušit tk, že udeme hledt konstntní člen rozvoje funkce f(x) = ( x )( x )x p = c 0 x p c x p c p c p x c p x Zčneme rozkldem n prciální zlomky K nlezení rozkldu funkce f potřeujeme nejprve njít všechny kořeny polynomu ( x )( x )x p v ooru komplexních čísel Kořeny polynomu x q jsou všechny q-té odmocniny z, tedy komplexní čísl, ξ q, ξq,, ξq q, kde ξ q = cos π q i sin π q (6) Všechny kořeny polynomu ( x )( x )x p jejich násonosti jsou tedy kořen x = 0 s násoností p, kořen x = s násoností, kořeny ξ, ξ,, ξ s násoností, kořeny ξ, ξ,, ξ s násoností Kořeny ξ k ξl jsou pro všechn k {,,, } l {,,, } různé, protože jsou nesoudělná čísl Pro nlezení rozkldu funkce f n prciální zlomky hledáme konstnty A, A,, A p, B, B, C, C,, C, D, D,, D 44 Pokroky mtemtiky, fyziky stronomie, ročník 6 (07), č

tkové, že ( x )( x )x p = A x A x A p x p B x B (x ) C x ξ C x ξ D x ξ D x ξ C x ξ D x ξ Z rozvoje funkce f plyne, že pltí A = c p, A = c p,, A p = c 0 Uvidíme, že pro nlezení c p nejsou hodnoty těchto konstnt podsttné Njdeme konstntu B Oě strny rovnosti (7) vynásoíme výrzem (x ), čímž získáme (x ) p ( x )( x )x p = k= A k (x ) k= x k B (x ) B C k (x ) x ξ k Limit prvé strny pro x jdoucí k je B Pltí proto B = lim x (x ) ( x )( x )x p = D k (x ) x ξ k = lim x (x ) ( x)( x x )( x)( x x )x p = Konstntu B získáme podoným způsoem Oě strny rovnice (7) vynásoíme x, čímž získáme x p ( x )( x )x p = k= k= A k (x ) x k B B x k= C k (x ) x ξ k k= D k (x ) x ξ k Po odečtení B /(x ) od oou strn rovnosti je limit prvé strny pro x jdoucí k rovn B Pltí proto ( x )( x )x p B = lim x x x = lim x (x ) ( x )( x )x p ( x )( x )(x )x p = (x ) = lim ( x)( x x )( x)( x x )x p x ( x) ( x x )( x) ( x x )(x ) x p }{{}}{{}}{{} Zkrátíme (x ) pomocí prvidel pro počítání limit získáme B = lim x ( x x )( x x )x p x (7) Pokroky mtemtiky, fyziky stronomie, ročník 6 (07), č 45

Definujme funkci h předpisem Pltí h() =, tedy h(x) = ( x x )( x x )x p B = lim h(x) h() = x x h () Vypočítáme derivci funkce h podle prvidl o derivování součinu: h (x) = [ ( x 3x ( )x )( x x x 3 x )x p ( x x x 3 x )( x 3x ( )x )x p ( x x x 3 x )( x x x 3 x )px p ] Hodnot B je tedy B = ( ( ( )) = ( ( ( )) ) p = p p ) = Koeficienty C,, C získáme nlogicky Budeme hledt koeficient C l Vynásoením oou strn rovnosti (7) výrzem x ξ l získáme x ξ l p ( x )( x )x p = k= l A k (x ξ) l x k B (x ξ) l B (x ξ) l x (x ) k= C k (x ξ l ) x ξ k C l k=l Limit prvé strny pro x jdoucí k ξ l je C l Pltí proto C k (x ξ l ) x ξ k x ξ l C l = lim x ξ l ( x )( x )x p = ξ lp ( ξ l) lim x ξ l l H = x ξ l x ξ lp ( ξ l k= D k (x ξ) l x ξ k ) ξ l( ) V posledním kroku výpočtu jsme použili l Hospitlovo prvidlo Pltí, že ξ =, neoť ξ je -tá odmocnin z jedné Proto Použitím popsných úprv získáme Stejným postupem zjistíme, že ξ lp ξl( ) = ξ l ξlp l = ξ l(p ) C l = D l = ξ l(p ) ( ξ l) ξ l(p ) ( ξ l) 46 Pokroky mtemtiky, fyziky stronomie, ročník 6 (07), č

Uvžujme nyní funkci g definovnou předpisem g(x) = c pn x n n=0 Nším cílem je njít hodnotu c p = g(0) Pro x 0 pltí g(x) = f(x) c 0 x p c p x = B x B (x ) C x ξ C x ξ D x ξ D x ξ C x ξ D x ξ (8) Funkce g je spojitá v odě nul Limitním přechodem pro x 0 tedy dospějeme k rovnosti c p = g(0) = B B C ξ C ξ C ξ Doszením z konstnty B i, C j, D k získáme c p = g(0) = p k= D ξ D ξ ξ kp ( ξ k ) k= ξ kp D ξ (9) ( ξk) Nšli jsme výrz udávjící počet způsoů reprezentce c p částky p v systému s nesoudělnými hodnotmi, Pokusíme se nlezený vzorec (9) dále zjednodušit Zčneme hledáním jednoduššího způsou zápisu pro k= ξ kp (0) ( ξ k ) Podíváme se n systém mincí o hodnotách Počet způsoů, jk reprezentovt částku p, oznčíme c p Kždá reprezentce částky p použije k-krát minci o hodnotě zytek částky doplní mincemi o hodnotě Počet způsoů reprezentce p je tedy roven počtu možností, jk zvolit k N 0, y k < p, tedy i k < p/ Proto pltí c p = p () Symol x přitom oznčuje dolní celou část x R, tj největší celé číslo menší neo rovné x Počet způsoů reprezentce částky p můžeme získt tké doszením = do vzthu (9): c p = p k= ξ kp () ( ξ k ) Pokroky mtemtiky, fyziky stronomie, ročník 6 (07), č 47

Ze vzthů () () vyjádříme k= ξ kp ( ξ k ) = { p } (3) Znčení {x} zde má význm desetinné části čísl x, tedy {x} = x x Hledný výrz (0) stále není ve stejném tvru jko (3) Předtím, než ho do podoného tvru uprvíme, dokážeme následující lemm Lemm 6 Pro liovolnou funkci h : C C nesoudělná čísl, m N pltí kde ξ je dáno vzthem (6) h (ξ) j = h (ξ jm ), j= j= Důkz Zorzení f : N 0 C s předpisem f(j) = ξ jm dokázt, že To plyne z nesoudělnosti, m {,,, } = {mj (mod ); j {,,, }} Zvedeme funkci h předpisem Hledný výrz (0) je pk roven h(x) = x p ( x ) h(ξ k ) k= má periodu Stčí proto Volme nyní N nejmenší tkové, že (mod ) Existence tkového plyne z nesoudělnosti, z Eulerovy věty [6, vět 30] Čísl, jsou nvíc nesoudělná Podle lemmtu 6 pltí h(ξ k ) = k= k= h(ξ k ) = k= ξ kp ( ξ k ) Použitím vzthu (3), kde místo p píšeme p, získáme jednodušší vyjádření vzthu (0): k= ξ kp ( ξ k) = { } p k= ξ kp ( ξ k) = (4) Stejným způsoem můžeme zjednodušit druhou sumu z výrzu (9): zkoumáním systému mincí o hodnotách, ychom došli k závěru, že k= ξ kp { p ( ξk ) = } (5) Doszením získných výrzů (4) (5) do (9) održíme následující větu 48 Pokroky mtemtiky, fyziky stronomie, ročník 6 (07), č

Vět 7 Počet reprezentcí částky p v systému mincí o nesoudělných hodnotách, N je c p = p { } { } p p, kde, jsou nejmenší přirozená čísl tková, že (mod ), (mod ) Příkld 8 Zjistěte počet reprezentcí částky 4 v systému mincí o hodnotách 5 7 Řešení Příkld vyřešíme dvěm způsoy Nejprve odhdneme řešení prostým zkoušením Potom njdeme počet způsoů užitím věty 7 Po krátkém zkoušení zjistíme, že částku 4 můžeme reprezentovt pomocí šesti mincí o hodnotě 7, neo pomocí jedné mince o hodnotě 7 sedmi mincí o hodnotě 5 Nšli jsme tedy dv způsoy, jk částku reprezentovt Dlším zkoušením ychom jistě přišli i n to, že žádný jiný způso reprezentce neexistuje Ověříme tuto skutečnost ještě pomocí věty 7 Víme, že = 5, = 7 p = 4 Vypočítáme čísl, Podle Eulerovy věty pltí ϕ() ϕ() (mod ), (mod ) Protože ϕ(7) = 6 ϕ(5) = 4, dostáváme 5 5 3 (mod 7), 7 3 3 (mod 5) Zývá tedy dosdit do vzorce ve větě 7 vypočítt výsledek: c 4 = 4 { } { } 4 3 4 3 35 = 5 7 = 4 { } 6 35 {6 3} = 6 5 5 5 0 = Počet způsoů, jk reprezentovt částku 4, je roven Pomocí vzorce z věty 7 nyní zjistíme počet nereprezentovtelných částek největší nereprezentovtelnou částku v systému mincí o dvou nesoudělných hodnotách, Nejprve njdeme největší nereprezentovtelnou částku Vlstně znovu zformulujeme větu 3 Pro důkz le tentokrát použijeme pozntky z této kpitoly Vět 9 V systému mincí o nesoudělných hodnotách, N je největší nereprezentovtelná částk rovn Pokroky mtemtiky, fyziky stronomie, ročník 6 (07), č 49

Důkz Potřeujeme ukázt, že není reprezentovtelná že kždá větší částk reprezentovtelná je Pro počet reprezentcí c pltí c = { } { } ( ) ( ) Nejprve uprvíme { } ( ) = } { {( ) = ( ) k } Poslední rovnost využívá toho, že pro nějké k N 0 je = k To vyplývá přímo ze zvedení pomocí kongruence Dále si uvědomíme, že { ( ) k } { = } = Po doszení získáme c = = 0 Zývá dokázt, že kždá větší částk je reprezentovtelná, tedy že pro kždé n N pltí c n > 0 Využijeme toho, že pro m Z pltí { m } Nyní odhdneme c n n = n > 0 Dále njdeme počet nereprezentovtelných částek v systému mincí o nesoudělných hodnotách, Lemm 0 Mějme systém dvou mincí o nesoudělných hodnotách, N číslo n {,,, }, které není násokem ni Potom je právě jedn z částek n, n reprezentovtelná Důkz Dokážeme, že součet počtů reprezentcí čísel n n je, tedy c n c n = Budeme uprvovt výrz c n : c n = n { } { } ( n) ( n) = = n { } } n { n = = n { } } n { n = = n { } { } n n = c n Využili jsme skutečnosti, že pokud x není celé číslo, pk {x} = { x} 50 Pokroky mtemtiky, fyziky stronomie, ročník 6 (07), č

Nyní zopkujeme větu 9 dokážeme jí pomocí pozntků z této kpitoly Vět Jsou-li, N nesoudělná, pk počet všech nereprezentovtelných částek menších než je ( )( ) Důkz Všech částek n {,,, } je Z nich je násokem je násokem Z nesoudělnosti plyne, že žádná z částek není společným násokem i Částek n {,,, }, které nejsou násokem ni, je proto ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( )( ) Podle lemmtu 0 je právě polovin z nich nereprezentovtelná 5 Závěr Dokázli jsme, že v systému mincí o dvou nesoudělných hodnotách, je Froeniovo číslo Počet všech nereprezentovtelných částek je roven ( )( ) Tuto skutečnost jsme odvodili několik způsoy Podoné otázky má smysl řešit tké ve vícemincových systémech V diplomové práci utor [], ze které tento článek vychází, popisujeme npříkld lgoritmus nlezení Froeniov čísl neo lgoritmus pro zjištění počtu reprezentcí částky v oecných systémech Poděkování Rád ych poděkovl doc Antonínu Slvíkovi z cenné připomínky rdy při vyprcovávání diplomové práce, ze které tento článek vychází L i t e r t u r [] Beck, M, Roins, S: Computing the continuous discretely Integer-point enumertion in polyhedr Springer, New York, 007 [] Hmáček, J: Komintorické úlohy o mincích Diplomová práce MFF UK, Prh, 06 Dostupné z: http://kdmkrlinmffcunicz/diplomky/jn_hmcek_ dp/ulohy-o-mincichpdf [3] Honserger, R: Mthemticl gems II The Mthemticl Assocition of Americ, Wshington, DC, 976 [4] Michel, T: How to gurd n rt gllery nd other discrete mthemticl dventures Johns Hopkins University Press, Bltimore, 009 [5] Petković, M: Fmous puzzles of gret mthemticins Americn Mthemticl Society, Providence, 009 [6] Stnovský, D: Zákldy lgery MtfyzPress, Prh, 00 Pokroky mtemtiky, fyziky stronomie, ročník 6 (07), č 5