. cvičení http://www.karlin.mff.cuni.cz/ kuncova/, kytaristka@gmail.com Příklady Najděte primitivní funkce k následujícím funkcím na maimální možné podmnožině reálných čísel a tuto množinu určete.. f() = 2 + ( 2)( + 5) Rozkladem na parciální zlomky můžeme postupovat následovně: hledáme koeficienty A, B tak, aby 2 + ( 2)( + 5) = A 2 + B + 5 Přenásobením této rovnice ( 2)( + 5) dostaneme rovnost 2 + = A( + 5) + B( 2) Rovnost platí pro každé. Dosazením = 2 dostaneme, že 7 = 7A + 0, a tedy A =. Dosazením = 5 dostaneme, že 7 = 7B, a tedy B =. Odtud vyplývá, že 2 + ( 2)( + 5) d = 2 d + Výsledky jsou totožné (podle pravidla o součtu logaritmů). 2. f() = Platí, že 4 4 + 5 2 + 4 + 5 d = ln 2 + ln + 5 4 4 + 5 2 + 4 = (4 + 5 2 + 4) 5 2 4 4 + 5 2 = 52 + 4 + 4 4 + 5 2 + 4 = 5 2 + 4 ( 2 + )( 2 + 4) Obecně bychom měli hledat rozklad ve tvaru zde ale postačí hledat jej ve tvaru 5 2 + 4 ( 2 + )( 2 + 4) = A + B 2 + + + d 2 + 4 5 2 + 4 ( 2 + )( 2 + 4) = A 2 + + 2 + 4 Matematika 2, 206/7, Kristýna Kuncová
Je to z toho důvodu, že ve zlomku není nikde přítomno v první mocnině. Možná bude lépe vidět, proč to funguje, pokud namísto 2 budeme psát t. 5t + 4 (t + )(t + 4) = A t + + t + 4 Poznamenejme, že jde o substituci do výrazu za účelem hledání rozkladu, nikoliv substituci do integrálu. Substituce nám bude užitečná i v tom, že za t lze dosazovat záporná čísla, což zjednoduší postup získávání koeficientů A, B. Každopádně, přenásobením jmenovatelem dostaneme vztah 5t + 4 = A(t + 4) + (t + ) Dosazením t = 4 a t = dostaneme, že 6 = = = 6 = A = A = Odtud tedy máme, že 5t + 4 (t + )(t + 4) = t + + 6 t + 4 a tedy 5 2 + 4 ( 2 + )( 2 + 4) = 2 + + 6 2 + 4 Nyní už můžeme provést integraci. 4 ( 4 + 5 2 + 4 d = + 2 + 6 ) 4 (/2) 2 + d =. f() = = + arctan 4 /2 arctan 2 = + arctan 8 arctan 2 + 2 Protože stupeň polynomu v čitateli je menší než stupeň polynomu ve jmenovateli, není potřeba zlomek před rozkladem na parciální zlomky upravovat. ) Poznamenejme, že zde hledáme rozklad platný pro všechna t reálná. Pokud by někdo namítl, že t = 2 a není tedy možné dosazovat záporná čísla, pak na tuto namítku odpovězme, že pokud najdeme obecnější rovnost platnou pro všechna reálná čísla, pak jistě platí i pro všechna nezáporná reálná čísla která již lze psát ve tvaru druhé mocniny. Matematika 2, 206/7, Kristýna Kuncová 2
Nejprve najděme rozklad jmenovatele. Uhodneme, že číslo je kořenem polynomu + 2. Potom platí, že a tedy platí, že ( + 2) : ( ) = 2 + 2 = ( + 2)( ) ( + 2) = ( ) 2 ( + 2) Rozklad na parciální zlomky budeme hledat ve tvaru ( ) 2 ( + 2) = A ( ) 2 + B + + 2 = A( + 2) + B( )( + 2) + ( ) 2 Dosazením = a = 2 dostaneme, že = A = A = 2 = 9 = = 2 9 Nakonec třeba dosazením = 0 dostaneme, že 0 = 2A 2B + = B = A + 2 = 9 = 2 9 Odtud vyplývá, že platí ( ( )( + )( + 2) d = ( ) 2 + 2 9 2 ) d = 9 + 2 = ( ) + 2 9 ln 2 9 ln + 2 = ( ) + 2 9 ln + 2 4. f() = 2 + 2 ( )( 2 + + ) 2 Rozklad na parciální zlomky hledáme ve tvaru 2 + 2 ( )( 2 + + ) 2 = A + B + 2 + + + D + E ( 2 + + ) 2 2 + 2 = A( 2 + + ) 2 + (B + )( 2 + + )( ) + (D + E)( ) Matematika 2, 206/7, Kristýna Kuncová
Roznásobením pravé strany máme 2 + 2 = A E+2A B D+E+A 2 +D 2 +2A + +A 4 +B 4 odkud porovnáním koeficientů dostaneme, že Hledaný rozklad má tedy tvar A = 2 9, B = 2 9, = 4 9, D =, E = 8 2 + 2 ( )( 2 + + ) 2 = 2 9 2 + 2 9 2 + + + + 8 ( 2 + + ) 2 Jednotlivé zlomky budeme integrovat zvlášt. Platí, že 2 9 d = 2 ln 9 2 + 2 9 2 + + d = 2 + 9 2 + + d a nakonec + 8 ( 2 + + ) 2 d = 6 = 9 ln(2 + + ) 2 2 + 2 + ( 2 + + ) 2 d + 5 2 2 + + d = ( 2 + + ) 2 d = (Druhý integrál počítáme převedením jmenovatele na kanonický tvar (+ 2 )2 + 4 = 2+ 4 [( ) 2 + ] a substitucí 2+ = tg t.) = 5 2 + 6 2 + + + 0 2 + Dohromady dostaneme po úpravě 2 + 2 ( )( 2 + + ) 2 d = 5 + 2 2 + + + 8 ( 5. f() = 2 + 2 ) 2 Nejprve najdeme rozklad jmenovatele. Platí, že 2 + 2 = ( )( 2) 2 + ( )2 + ln 2 + + Matematika 2, 206/7, Kristýna Kuncová 4
Hledáme tedy rozklad výrazu Ten je potřeba obecně hledat ve tvaru 2 ( ) 2 ( 2) 2 2 ( ) 2 ( 2) 2 = A ( ) 2 + B + ( 2) 2 + D 2 2 = A( 2) 2 + B( )( 2) 2 + ( ) 2 + D( 2)( ) 2 Dosazením = a = 2 dostaneme, že = A, 4 = Zbylé koeficienty B, D určíme dosazením dvou libovolných hodnot, třeba = 0 a =. Dostaneme, že 0 = 4A 4B + 2D = 4 4B + 4 2D = 8 = 4B 2D 9 = A + 2B + 4 + 4D = + 2B + 6 + 4D = 8 = 2B + 4D Odtud snadno vyplývá, že D = 4 a B = 4. Odtud vyplývá: ( ) 2 ( 2 = + 2 ( ) 2 + 4 + 4 ( 2) 2 4 ) = 2 = 4 2 + 4( ) + 4 ln 4 ln 2 = 2 ( )( 2) + 4 ln 2 = 5 6 2 + 2 + 4 ln 2 6. f() = 2 + 5 + 4 4 + 5 2 + 4 Jmenovatel je kvadratický trojčlen v 2. Podle Viètových vztahů platí, že 4 + 5 2 + 4 = ( 2 + )( 2 + 4) Hledáme rozklad na parciální zlomky ve tvaru 2 + 5 + 4 ( 2 + )( 2 + 4) = A + B 2 + + + D 2 + 4 Matematika 2, 206/7, Kristýna Kuncová 5
Přenásobením jmenovatelem dostaneme, že 2 + 5 + 4 = (A + B)( 2 + 4) + ( + D)( 2 + ) 2 + 5 + 4 = A + 4A + B 2 + 4B + + d 2 + + D Odtud máme soustavu rovnic která má řešení A + = 0 B + D = 4A + = 5 4B + D = 4 A = 5, B =, = 5, D = 0 Rozklad na parciální zlomky má tedy tvar 2 5 + 5 + 4 ( 2 + )( 2 + 4) = + 2 + + 5 2 + 4 po roztržení prvního zlomku na dva a vhodném rozšíření dostaneme 2 + 5 + 4 ( 2 + )( 2 + 4) = 5 2 6 2 + + + 2 5 2 6 2 + 4 Odtud vyplývá, že (integrál z prvního a třetího zlomku řešíme třeba substitucí t = jmenovatel příslušného zlomku) 7. f() = Platí, že 2 + 5 + 4 ( 2 + )( 2 + 4) d = 5 6 ln( + 2 ) + arctan 5 6 ln(4 + 2 ) ( 2 4 + 4)( 2 4 + 5) ( 2 4 + 4)( 2 4 + 5) = ( 2) 2 ( 2 4 + 5) přičemž druhý kvadratický trojčlen je nerozložitelný (nemá reálné kořeny). Hledáme tedy rozklad ve tvaru ( 2 4 + 4)( 2 4 + 5) = A 2 + B ( 2) 2 + + D 2 4 + 5 = A( 2)( 2 4 + 5) + B( 2 4 + 5) + ( + D)( 2) 2, Matematika 2, 206/7, Kristýna Kuncová 6
odkud dosazením = 2 dostaneme, že B =. Roznásobením v předchozím vztahu a porovnáním koeficientů na levé a pravé straně = A( 2)( 2 4 + 5) + ( 2 4 + 5) + ( + D)( 2) 2 = 5 0A+4D 4+A+4 4D+ 2 6A 2 4 2 +D 2 +A + dostaneme soustavu rovnic = 5 0A + 4D 0 = 4 + A + 4 4D 0 = 6A + 4 + D 0 = A + Ta má řešení A = 0, = 0, D =. Odtud máme, že hledaný rozklad má tvar ( 2 4 + 4)( 2 4 + 5) = ( 2) 2 2 4 + 5 Odtud vyplývá ( 2 4 + 4)( 2 4 + 5) d = 8. f() = = 2 ( + )( + + 2 ) ( 2) 2 d 2 4 + 5 d = + ( 2) 2 d = arctan ( 2) 2 Kvadratický trojčlen 2 ++ = (+ 2 )2 + 4 nemá reálné kořeny. Proto rozklad na parciální zlomky hledáme ve tvaru ( + )( + + 2 ) = A + B + + + D 2 + + = A( + )( + + 2 ) + B( + + 2 ) + ( + D)( + ) Dosazením = 0 dostaneme, že A =. Dosazením = dostaneme, že B =. Po dosazení a roznásobení dostaneme = ( + )( + + 2 ) ( + + 2 ) + ( + D)( + ) = + + 2 + + 2 + d 2 + d odkud vyplývá, že D = a = 0. Rozklad má tvar ( + )( + + 2 ) = + 2 + + Matematika 2, 206/7, Kristýna Kuncová 7
Integrací dostáváme ( + )( + + 2 ) d = ln ln + 9. f() = + ( + 2 )2 + 4 = ln 4 + arctan + 2 = ln + 2 arctan 2 + 4 Platí, že + = ( + )( 2 + ) = ( + )(( 2 )2 + 4 ). Druhý kvadratický trojčlen tedy nemá reálné kořeny, rozklad tedy hledáme ve tvaru + = A + + B + 2 + = A( 2 + ) + (B + )( + ) dosazením = dostaneme, že A =. Roznásobením pak dostaneme = = (2 + ) + B 2 + B + + odkud ihned vyplývá, že = 2 (porovnání koeficientů absolutních členů) a B = (porovnání koeficientů u druhé mocniny ). Rozklad má tedy tvar + = + 2 2 + Platí, že + d = ln + 2 2 + d = 2 2 6 2 + d 2 + d = = 6 ln(2 + ) 2 2 Odkud vyplývá, že + d = ln + 6 ln(2 + ) + 2 2 Matematika 2, 206/7, Kristýna Kuncová 8
0. f() = Platí, že = ( )( 2 + + ), přičemž druhý člen již nemá reálné kořeny. Rozklad tedy hledáme ve tvaru = A + B + 2 + + = A( 2 + + ) + (B + )( ) dosazením = dostaneme, že A =. dostaneme, že = 2 + + + B2 B +, Zpětným dosazením a roznásobením odkud vyplývá, že = (absolutní členy) a B = (koeficienty u 2 ). Rozklad má tedy tvar = 2 + + Platí, že d = ln 2 + + d = 2 + 2 6 2 + + d 2 2 + + d = 6 ln(2 + + ) 4 2 + Odtud vyplývá: d = ln 6 ln(2 + + ) + 4 2 +. f() = 4 + 2 + Polynom 4 + 2 + zjevně nemá žádné reálné kořeny, lze jej tedy rozložit na součin dvou ireducibilních kvadratických trojčlenů. Hledejme tento rozklad ve tvaru 4 + 2 + = ( 2 + P + Q)( 2 + R + S) Roznásobením pravé strany dostaneme 4 + 2 + = 4 + R + S 2 + P + P R 2 + P S + Q 2 + RQ + SQ Matematika 2, 206/7, Kristýna Kuncová 9
Odtud máme soustavu rovnic SQ =, RQ + P S = 0, S + Q + P R =, R + P = 0 Z poslední rovnice plyne, že R = P, z druhé potom plyne, že RQ = RS a tedy Q = S. Dosazením do zbylých dvou dostaneme, že S 2 = a 2S + R 2 =, odkud plyne, že S = Q = a R = P = ±. Tím dostáváme rozklad 4 + 2 + = ( 2 + + )( 2 + ) Rozklad na parciální zlomky tedy hledáme ve tvaru 4 + 2 + = A + B 2 + + + + D 2 + = (A + B)( 2 + ) + ( + D)( 2 + + ) roznásobením levé strany máme = B + D + A B + + D A 2 + B 2 + 2 + D 2 + A + a odtud dostáváme porovnáním koeficientů soustavu rovnic která má řešení = B + D 0 = A B + + D 0 = A + B + + D 0 = A + A = B = D = 2, = 2 Rozklad na parciální zlomky má tedy tvar Dalším rozkladem na tvar 4 + 2 + = + 2 2 + + 2 2 + 4 + 2 + = 2 + 4 2 + + + 4 2 + + 2 4 2 + 4 2 a následnou integrací dostaneme, že 4 + 2 + d = 4 ln 2 + + 2 + + 2 2 + + 2 2 Matematika 2, 206/7, Kristýna Kuncová 0