2.3. DETERMINANTY MATIC V této kpitole se dozvíte: definici determinntu čtvercové mtice; co je to subdeterminnt nebo-li minor; zákldní vlstnosti determinntů, používné v mnoh prktických úlohách; výpočetní formule pro výpočet determinntu prvního, druhého třetího řádu včetně Srrusov prvidl; přesné znění věty o rozvoji determinntu podle řádku nebo sloupce její prktický význm při výpočtech determinntů vyšších řádů. Klíčová slov této kpitoly: determinnt, subdeterminnt (minor), Srrusovo prvidlo, vlstnosti determinntů, rozvoj determinntu podle dné řdy. Čs potřebný k prostudování učiv kpitoly: 0,5 + 0,5 hodiny (teorie + řešení příkldů)
Definice. Determinntem čtvercové mtice A = ( ) řádu n nzýváme číslo det A z( P) 1k 1 2k... 2 nk n, kde sčítáme přes všechny permutce P = ( k1, k2,..., k n ) P množiny { 1, 2,..., n }. Veličin z( P ) je znménko permutce P. Poznámk. ) Znménko permutce P je dáno vzthem z( P ) = ( 1) r, kde r je počet tzv. inverzí v permutci P. Inverzí v permutci P = ( k k k ) nzýváme kždou dvojici ( ki, k j), pro kterou pltí ( i j) ( ki kj),,..., n 1 2 < >. Pokud je číslo r sudé, hovoříme o sudé permutci její znménko je rovno 1, pokud je r liché, jedná se o lichou permutci její P = 3, 1, 2, 5, 4 je lichá, protože obshuje 3 znménko je rovno 1. Npř. permutce ( ) inverze: ( 3, 1 ), ( 3, 2 ), ( 5, 4 ). b) Kromě uvedeného znčení pomocí symbolu det se v prxi čsto používá tké řeckého písmene (většinou s nějkým rozlišujícím indexem, npř. 1 nebo x pod.). Jinou možností je zápis nlogický zápisu mtice, kdy kulté závorky nhrzují svislé čáry jko u bsolutní hodnoty. Npř. symbol 1 2 oznčuje determinnt mtice 1 2 3 0 3 0 c) Sčítnce ( ) 1 2. z P 1 k 2 k... nk n se nzývjí členy determinntu. Z definice determinntu je zřejmé, že kždý člen determinntu det A obshuje součin n prvků mtice A, přičemž z kždého řádku sloupce mtice A je vybrán právě jeden prvek. Definice. Mtice, jejíž determinnt je různý od nuly, se nzývá regulární. V opčném přípdě hovoříme o mtici singulární. Definice. Subdeterminntem (minorem) k -tého řádu mtice A typu (, ) mn nzýváme determinnt mtice, která vznne z mtice A vypuštěním tol řádků sloupců, by z ní zbyl čtvercová mtice k-tého řádu. Vlstnosti determinntů. Vět. ) det E = 1 ( E je čtvercová jednotková mtice). T b) det A= det A ( A je libovolná čtvercová mtice). c) det ( AB) = det A det B (pro čtvercové mtice A, B téhož řádu). d) Změníme-li v mtici nvzájem dv řádky nebo dv sloupce, změní determinnt znménko. e) Společného nenulového činitele jednoho řádku nebo sloupce lze vytknout před determinnt. f) Determinnt je roven nule právě tehdy, jestliže prvky lespoň jednoho řádku (sloupce) jsou rovny nule nebo jestliže nějký řádek (sloupec) je lineární kombincí osttních řádků (sloupců).
g) Determinnt se nezmění, přičteme-li k libovolnému řádku (sloupci) jkoukoliv lineární kombinci osttních řdků (sloupců). Výpočet determinntů. Pro mtici prvního řádu ( ) prvku této mtice. A pltí: det A = 11. Determinntem je tedy hodnot jediného 11 11 12 Determinnt mtice druhého řádu: det A =. 21 22 11 22 12 21 Pro výpočet determinntu mtice třetího řádu se používá schém zvné Srrusovo prvidlo: K mtici A připíšeme první dv sloupce (obdobně je možné formulovt toto prvidlo pro řádky) pk provádíme součiny po přímých čárách tk, jk je nznčeno n obrázku, přičemž ve směru zlev doprv je znménko kldné, ve směru zprv dolev záporné. Výpočet determinntů mtic čtvrtého vyšších řádů není vhodné provádět přímo podle definice (ni v počítčových progrmech), protože počet členů je příliš velký výpočetní čs rychle roste s řádem mtice. Proto se používá jiných metod, zložených n vybrných vlstnostech determinntů. Rozvoj determinntu podle prvků jedné řdy. Definice. Algebrickým doplňkem prvku mtice A ( ) nzýváme číslo ( 1) i + A k = M, kde M je subdeterminnt (minor) vznlý z mtice A vynecháním i -tého řádku k -tého sloupce. Vět. Nechť = ( ) A je libovolná čtvercová mtice, A lgebrický doplněk prvku. Pltí: ) rozvoj determinntu podle i-tého řádku: b) rozvoj determinntu podle k-tého sloupce: det A = A ; n k = 1 det A = A. Poznámk. Vět převádí výpočet determinntu n-tého řádu n výpočet n subdeterminntů (n-1)-ho řádu. V prxi je výhodné počítt determinnt rozvojem podle prvků té řdy, která obshuje nejvíce nulových prvků. Pk se totiž nemusí počítt příslušné determinnty nižšího řádu to vede k význmnému urychlení výpočtu. Nvíc, před vlstním výpočtem determinntu je možné ve vybrné řdě vynulovt co nejvíce prvků použitím úprv, které nemění hodnotu determinntu (viz výše). Mximálním progrmem je převést mtici n trojúhelníkovou, tzn. vynulovt všechny prvky pod nebo nd hlvní digonálou. n i= 1
Vět. Determinnt trojúhelníkové (horní nebo dolní) mtice ( tedy i libovolné mtice digonální) je roven součinu jejích hlvních prvků. Důkz. Uvžujme npř. dolní trojúhelníkovou mtici ( ) A řádu n. V prvním řádku této mtice může být pouze jediný nenulový prvek, digonální prvek 11. Rozvoj jejího determinntu podle prvního řádku má tedy pouze jeden člen: det A = 11A11. Algebrický doplněk ( 1) 11 + A11 M11 = M11 je roven determinntu mtice vznlé z mtice A odstrněním prvního řádku prvního sloupce. Tto mtice je řádu o jedn menšího je rovněž dolní trojúhelníková. Můžeme tudíž provést nlogický rozvoj jejího determinntu podle prvního řádku. Opkováním provedených úvh dojdeme ž k jednoprvkové mtici ( nn ) (jejíž determinnt je roven jejímu jedinému prvku) odtud k závěrečnému vyjádření det A = 1122... nn. Cbd. Shrnutí kpitoly: Kždé čtvercové mtici A můžeme přiřdit číslo, zvné determinnt, které znčíme většinou deta nebo A nebo svislými črmi (jko u bsolutní hodnoty). Definice determinntu je poměrně bstrktní, je všk třeb ji znát, i když se ve výpočetní prxi bez ní zprvidl obejdeme. Mtice, jejichž determinnt je různý od nuly, nzýváme regulárními mticemi, osttní pk singulárními. Subdeterminntem (minorem) nzýváme determinnt mtice, která vznne z výchozí mtice odebráním určitého počtu řádků nebo sloupců. Determinnty se vyznčují mnoh zjímvými vlstnostmi. Npříkld hodnot determinntu se nezmění, přičteme-li k libovolnému řádku (sloupci) mtice jkoukoliv lineární kombinci osttních jejích řádků (sloupců). Výpočet determinntů je sndný u mtic prvního druhého řádu, při použití Srrusov prvidl tké u mtic třetího řádu. Výpočet determinntů čtvrtého vyššího řádu je již zntelně náročnější. Nejpoužívnější metodou je rozvoj determinntu podle řdy, ve které vystupuje nejvíce nulových prvků. Tuto řdu si můžeme připrvit pomocí vhodných opercí, které nemění hodnotu determinntu. Jednoduchý je výpočet determinntů trojúhelníkových digonálních mtic, kdy je determinnt roven součinu prvků n hlvní digonále.
Otázky: Jk zní definice determinntu čtvercové mtice? Co je to permutce množiny { 1, 2,..., n }? Co je to inverze v permutci, znménko permutce jk poznáme sudou lichou permutci? Objsněte pojem subdeterminnt nebo-li minor. Jké zákldní vlstnosti determinntů znáte? Jk vypdá determinnt jednotkové mtice, mtice trnsponovné součinu mtic? Kdy je determinnt roven nule? Jk se změní hodnot determinntu, když vyměníme dvě řdy nebo když libovolnou řdu vynásobíme konstntním činitelem? Jk se změní hodnot determinntu, přičteme-li k libovolnému řádku nebo sloupci jkoukoliv lineární kombinci osttních řdků nebo sloupců? Podle jké výpočetní formule byste počítli determinnt prvního, druhého třetího řádu? Jk zní Srrusovo prvidlo kdy lze upltnit? Formulujte přesně větu o rozvoji determinntu podle řádku nebo sloupce. Jký má tto vět prktický význm? Příkld 1. Vypočtěte determinnt druhého řádu: ) 1 2 4 7 Příkld 2. ; b) 2 3 5 4 ; c) 1 4 3 2 ; d) 1 1 1 1. Vypočtěte determinnt třetího řádu: 2 1 2 ) 1 1 1 ; b) 3 5 3 2 7 1 0 12 4 ; c) 2 13 3 1 3 4 2 2 1; d) 1 3 3 3 1 1 2 2 2. 8 0 8 Příkld 3. Vypočtěte determinnt čtvrtého řádu rozvojem podle libovolné řdy: 1 1 1 3 1 4 3 2. 3 5 3 2 0 1 2 1 Poznámk. Řešte jednk přímo, jednk po předchozím použití úprv, které nemění determinnt, kterými převedete determinnt n tkový tvr, kdy ve vybrné řdě je co nejvíce nul.
Řešení příkldů. 1) 1; 1b) 11; 1c) 2 ; 1d) 0. 2) 8 ; 2b) 64 ; 2c) 56 ; 2d) 96. 3) 50. Dlší zdroje: 1. POLÁK, J. Přehled středoškolské mtemty. 6. vyd. Prh: Prometheus, 1997. 2. POLÁK, J. Středoškolská mtemt v úlohách I. 1. vyd. Prh: Prometheus, 1996. 3. POLÁK, J. Středoškolská mtemt v úlohách II. 1. vyd. Prh: Prometheus, 1996. 4. REKTORYS, K. spol. Přehled užité mtemty. 6. přepr. vyd. Prh: Prometheus, 1995. ZÁVĚR: [Tdy klepněte pište]