7..14 Smíšený součin Předpoklady: 713 Je dán ronoběžnostěn LMNOPR. R O P N M L Jeho objem umíme spočítat stereometrikým zorem: V = S. p Ronoběžnostěn je také určen třemi ektory a, b a R O P b N M a L jeho objem musí jít spočítat i pomoí těhto tří ektorů. Prní krok už íme: S p = a b (elikost ektoroého součinu a b se roná obsahu ronoběžníku ABC lastnost ektoroého součinu) V = a b. Musíme určit ýšku (kolmou zdálenost mezi roinami LMN a OPR) pomoí ektoru. 1
R T O P N M b a L Nakreslíme si praoúhlý trojúhelník OT. T O Z obrázku je idět, že platí = osα. osadíme: V = a b = a b osα jsme skoro hotoí, zbýá pomoí ektorů yjádřit úhel α. Přímka T je kolmá na ronoběžník LMN má stejný směr jako ektor a b úhel α je úhel mezi ektory a b a ztah a b osα je ztah pro ýpočet skalárního a b = a b. součinu z elikosti ektorů osα ( ) Jsme hotoí: V = ( a b) Malý zádrhel: Vektory a, b a na našem obrázku toří praotočiou bázi proto směřuje ektor a b do stejného poloprostoru jako ektor. dyby ektory a, b a tořily leotočiou bázi, ektor a b by směřoal do opačného poloprostoru než ektor ýsledek by byl záporný museli byhom ho ynásobit mínusem, abyhom získali kladné číslo. Objem ronoběžnostěnu, který je určen ektory a, b a určíme ze zore V = ( a b) (absolutní hodnota řeší případné problémy s mínusem). a b nazýáme smíšený součin ektorů a, b,. Číslo ( ) Př. 1: Rozhodni, kdy se smíšený součin tři nenuloýh ektorů a, b, roná nule. ě možnosti řešení: a) z lastností skalárního součinu: skalární součin se roná nule:
jeden z ektorů je roen nule ektor a b je nuloý ektory a a b jsou ronoběžné ektory jsou na sebe kolmé ektor je kolmý na ektor a b ektor leží roině určené ektory a a b. smíšený součin je nuloý, práě když ektory a, b, leží jedné roině (jsou lineárně záislé) b) z ýznamu smíšeného součinu Absolutní hodnota smíšeného součinu se roná objemu ronoběžnostěnu. Objem je nuloý, když ektory a, b, neurčují ronoběžnostěn pokud ektory a, b, leží jedné roině. Př. : Objem ronoběžnostěnu nezáisí na tom, kterou ze stěn zolíme za podstau. teré další smíšené součiny můžeme použít pro ýpočet jeho objemu (a ronají se součinu a b )? ( ) za podstau bereme obdélník NRO V = ( b ) a za podstau bereme obdélník LPO V = ( a) b Pro každé tři ektory a, b, prostoru platí: ( a b) = ( b ) a = ( a) b. odatek: Pomoí předhozí ronosti se dokazuje distributinost ektoroého součinu a jeho asoiatinost při násobení reálným číslem. Máme smíšený součin liboolnýh ektorů a, b + a x. a b + x ( [ ]) proedeme posunutí ektorů podle zore ( a b) = ( a) b : ( a [ b + ] ) x = ( x a) [ b + ] skalární součin je distributiní: ( x a) [ b + ] = ( x a) b + ( x a) proedeme posunutí ektorů podle zore ( a b) = ( b ) a = ( a) b : ( x a) b + ( x a) = ( a b) x + ( a ) x ytkneme x: ( a b) x + ( a ) x = ( a b + a ) x Platí tedy: ( a [ b + ] ) x = ( a b + a ) x a tedy a [ b + ] = a b + a - ektoroý součin je distributiní zhledem ke sčítání ektorů 3
Př. 3: Jsou dány body A[ ; ;1], C [ 1;1;3 ], [ 3;;] a [ 3;1; ] ronoběžnostěnu ABCEFGH. F. Urči objem H G E F b a A B Nejdříe určíme ektory a, b,. = C = 4; 1;1 C Z obrázku je idět: a ( ) b = A = ( 1;4;1 ) = F B - souřadnie bodu B musíme určit ýpočtem: B = A + a = [ ; 3;] = F B = [ 1;4; 4] Počítáme smíšený součin V = ( a b) a b = ( 1 4;1+ 4; 16 + 1) = ( 5;5; 15) ( a b) ( )( ) V = = 5;5; 15 1; 4; 4 = 5 + 0 + 60 = 85 Ronoběžnostěn má objem 85. Pedagogiká poznámka: Příklad by mohl být předpřipraenější. Studenti musí ektory najít na jiném místě, než na kterém byly nakresleny pří odozoání smíšeného součinu. U některýh studentů se opět objeují problémy s tím, že ektory jsou někde jinde (studenti mají poit, že když jsou jiné souřadnie bodů, musí být jiné i souřadnie ektorů. Vraí se tím opět problém z úodu kapitoly, kdy je těžké studentům ysětlit, že u ektorů na umístění nezáleží). oporučuji strategii pro ýběr ektorů po hile probrat společně. Př. 4: Jsou dány ektory u = ( 1;;3 ), = ( 1;1;1 ) a = ( 1;3;1 ) w. Rozhodni, zda ektory u,, w leží jedné roině. Pokud jedné roině neleží, rozhodni, zda toří leotočiou nebo praotočiou bázi. Spočteme smíšený součin ektorů u,, w a z hodnoty ýsledku budeme moi odpoědět na otázky. u = 3;3 1;1 = 1; ; 1 ( ) ( ) ( u ) w ( ) ( ) = 1; ; 1 1;3;1 = 1+ 6 1 = 4 Smíšený součin ektorů u,, w je kladné číslo ektory u,, w neleží jedné roině ektory u,, w toří praotočiou bázi. 4
Př. 5: Je dán čtyřstěn ABC, A[ ; 1; ], B [ 1;4;0 ], C [ 1;1;3 ] a [ ;5;3]. Urči: a) obsah stěny BC b) délku ýšky této stěně ) objem čtyřstěnu d) délku ýšky čtyřstěnu kolmé na stěnu BC a) obsah stěny BC yužijeme elikost ektoroého součinu ektorů dou stran trojúhelníku, který stěnu toří = C B = 0; 3;3 = B = 1;1;3 u ( ) ( ) u = ( 9 3;3 0;0 + 3) = ( 1;3;3 ) ( ) u = 1 + 3 + 3 = 16 = 9 Stěnu toří trojúhelník, má tedy poloiční obsah než je elikost ektoroého součinu 9 S BC =. b) délka ýšky e stěně BC aa S Obsah trojúhelníku můžeme určit planimetriky ztahem S = a =. a Výška je kolmá na stranu BC. Určíme její délku, obsah trojúhelníku známe. ( ) BC = u = + + = = 9 SBC = = = 3 BC 3 ) objem čtyřstěnu z obrázků je idět: F 0 3 3 18 3 F A E A E w R w B u C obsah trojúhelníku BC je poloinou obsahu odpoídajíího ronoběžníku BCR objem čtyřstěnu je šestinou smíšeného součinu ( ) w = A B = ( 3; 3; ) ( u ) w = ( 1;3;3 )( 3; 3; ) = 36 9 6 = 1 Objem čtyřstěnu ABC je 1 6. d) délku ýšky čtyřstěnu kolmé na stěnu BC B u C objem čtyřstěnu BCA je třetinou objemu odpoídajíího hranolu BCAEF (obené praidlo pro objem jehlanu) u w 5
1 3V Objem čtyřstěnu můžeme také spočítat stereometriky ztahem V = S =. S Objem čtyřstěnu i obsah podstay BC známe. osadíme: 1 3 3V 6 1 7 7 = = = = =. S p 9 9 3 6 Výška čtyřstěnu kolmá na stěnu BC má délku 7 6. 3 p p Př. 6: Petákoá: strana 103/ičení 56 strana 104/ičení 58 strana 104/ičení 59 b) Shrnutí: 6