VEKTORY A ANALYTICKÁ GEOMETRIE PAVLÍNA RAČKOVÁ JAROMÍR KUBEN

VEKTORY A ANALYTICKÁ GEOMETRIE PAVLÍNA RAČKOVÁ JAROMÍR KUBEN Brno 2014 Verze 30. listopadu 2014

1 Volné a vázané vektory v rovině a prostoru 1.1 Kartézská soustava souřadnic, souřadnice bodu, vzdálenost bodů Trojici přímek x, y, z v prostoru, které jsou k sobě po dvou navzájem kolmé a procházejí společným bodem O, nazýváme kartézskou soustavou souřadnic a označujeme ji Oxyz. Bod O se nazývá počátek, přímky x, y, z se nazývají souřadnicové osy. Na všech osách zvolíme stejnou jednotku délky a číslo nula umístíme do bodu O. Kladné poloosy zvolíme tak, aby tvořily pravotočivý systém. Nechť je dána kartézská soustava souřadnic Oxyz a libovolný bod A v prostoru. Kolmé průměty tohoto bodu na osy x, y, z (v tomto pořadí ) nám určí čísla a 1, a 2, a 3, která udávají vzdálenosti na osách od počátku. Tato čísla nazýváme (kartézské) souřadnice bodu A a zapisujeme je jako trojici [a 1, a 2, a 3 ]. Píšeme rovněž A = [a 1, a 2, a 3 ]. Tento zápis se běžně používá, i když není přesný (A je bod, tj. geometrický objekt, takže se nerovná trojici čísel), je třeba ho chápat tak, že bodu A přísluší souřadnice [a 1, a 2, a 3 ]. Pro vzdálenost dvou bodů A = [a 1, a 2, a 3 ] a B = [b 1, b 2, b 3 ] v prostoru platí vzorec d(a, B) = (b 1 a 1 ) 2 + (b 2 a 2 ) 2 + (b 3 a 3 ) 2. Obdobně lze postupovat v rovině resp. na přímce, souřadnice bodů však budou dvojice čísel resp. jedno číslo. Také další pojmy, které budou vysvětleny níže, lze budovat zcela analogicky i v rovině a na přímce, my se však omezíme na (trojrozměrný) prostor. 1.2 Volné a vázané vektory v prostoru Vektor je standardně chápán jako orientovaná úsečkaab, která má počáteční bod A a koncový bod B. Takto zavedené vektory využíváme především ve fyzice při popisu fyzikálních veličin, u kterých je třeba určit nejenom velikost, ale i směr a orientaci. Takové veličiny se nazývají vektorové. Předpokládejme nejprve, že body A a B jsou různé. Velikostí orientované úsečky AB rozumíme vzdálenost bodů A, B. Směrem rozumíme přímku, někdy jí říkáme nositelka, která je body A a B určená. Říkáme, že dva vektory mají stejný směr, jestliže jsou jejich nositelky rovnoběžné. Orientace je určena tím, že bod A prohlásíme za počáteční a bod B za koncový bod. U vektorů majících stejný směr, má smysl mluvit o souhlasné a opačné orientaci. Jestliže počáteční bod A splývá s koncovým bodem B, má tento vektor velikost nula, avšak ani směr ani orientaci mu nepřiřazujeme. Takto zavedené vektory budeme nazývat vázané vektory (vektory vázané k danému počátečnímu a koncovému bodu). Pro naše účely však budeme uvažovat kromě těchto vektorů ještě vektory, které nejsou vázány k žádné konkrétní dvojici bodů. Takovéto vektory budeme označovat jako volné vektory a budeme je obvykle značit malými tučnými skloněnými písmeny. Dvě orientované úsečkyab acd určují týž volný vektor u, pokud lze jednu z druhé obdržet (rovnoběžným) posunutím; přitom počáteční bod přejde v počáteční a koncový v koncový. To lze (u úseček nenulové délky), právě když mají stejnou velikost, stejný směr a stejnou orientaci. V případě úseček nenulové délky budeme volný vektor u tedy chápat jako množinu všech orientovaných úseček, které mají stejnou velikost, stejný směr a stejnou orientaci. Všechny úsečky nulové délky budou tvořit tzv. nulový vektor, který označujeme o. 2

Jestliže vázaný vektor AB určuje volný vektor u, platí AB u. Říkáme, že vázaný vektor AB je umístěním volného vektoru u. Je zřejmé, že k tomu, abychom znali volný vektor u, stačí znát jedno jeho umístění. Proto používáme i zápis AB = u. 1.2.1 Souřadnice vektoru, velikost vektoru Je-li volný vektor u určen orientovanou úsečkouab, kde A = [a 1, a 2, a 3 ] a B = [b 1, b 2, b 3 ], lze ověřit, že rozdíly u 1 = b 1 a 1, u 2 = b 2 a 2, u 3 = b 3 a 3, nezávisí na volbě konkrétního umístěníab u. Trojici čísel (u 1, u 2, u 3 ) nazýváme souřadnice volného vektoru u, a píšeme u = (u 1, u 2, u 3 ). Tento zápis opět není přesný, množina orientovaných úseček není rovna trojici čísel, zápis je třeba chápat tak, že volnému vektoru u přísluší souřadnice (u 1, u 2, u 3 ). Používáme rovněž zápis AB = B A = (b 1 a 1, b 2 a 2, b 3 a 3 ). Opět nejde o nějaké odčítání bodů, ale o rozdíl trojic, které jsou souřadnicemi bodů A a B. Velikostí neboli normou volného vektoru u rozumíme velikost libovolného zástupce z množiny všech orientovaných úseček. Označujeme ji u. Pro velikost volného vektoru u = = (u 1, u 2, u 3 ) platí: u = u 2 1 + u2 2 + u2 3. Je-li u = 1, pak se vektor u nazývá jednotkový vektor. 1.2.2 Součet vektorů Operaci sečítání zavádíme pro volné vektory. Součtem vektorů u a v je opět volný vektor w = u + v. Vektor w určíme následovně: 1. Zvolíme libovolné umístění AB vektoru u. 2. Zvolíme umístění vektoru v, které má za počáteční bod B, tj. BC, kde C je vhodný bod. 3. Vázaný vektor AC je umístěním volného vektoru w. Lze ověřit, že výsledný volný vektor w nezávisí na volbě umístění AB. Pro souřadnice součtu volných vektorů u = (u 1, u 2, u 3 ) a v = (v 1, v 2, v 3 ) platí 1.2.3 Násobení vektoru číslem u + v = (u 1 + v 1, u 2 + v 2, u 3 + v 3 ). Operaci násobení číslem zavádíme pro volné vektory. Násobek volného vektoru u reálným číslem k je opět volný vektor v = ku. Vektor v určíme následovně: 1. Je-li u nulový vektor, je pro libovolné k výsledkem zase nulový vektor, tj. ko = o. 2. Je-li k = 0, je pro libovolný vektor u výsledkem nulový vektor, tj. 0u = o. 3. Je-li u nenulový vektor, zvolíme jeho libovolné umístěníab. Vektor v bude určen vázaným vektorem AC, který určíme takto: a) Bude platit AC = k AB. b) Pro k > 0 budou AB a AC souhlasně orientované. c) Pro k < 0 budou AB a AC nesouhlasně orientované. Lze ověřit, že výsledný volný vektor v nezávisí na volbě umístění AB. 3

Pro souřadnice násobku volného vektoru u = (u 1, u 2, u 3 ) číslem k platí ku = (ku 1, ku 2, ku 3 ). Vektor ( 1)u se značí u a nazývá se vektor opačný k vektoru u. Rozdíl vektorů u a v pak definujeme jako součet vektoru u a vektoru opačného k v, tj. u v = u + ( v). 1.2.4 Kolineární a komplanární vektory Nechť u a v jsou dva volné vektory. Zvolme jejich umístění AB = u a AC = v, která začínají ve stejném bodě A. Vektory u, v se nazývají kolineární, jestliže jejich umístění AB aac leží na téže přímce. V opačném případě se nazývají nekolineární. Jestliže dva nenulové vektory jsou kolineární a mají stejnou orientaci, tj. jeden je kladným násobkem druhého, nazývají se souhlasně kolineární, v opačném případě, tj. když jeden je záporným násobkem druhého, se nazývají nesouhlasně kolineární. Nechť u, v a w jsou tři volné vektory. Zvolme jejich umístěníab = u, AC = v, AD = w, která začínají ve stejném bodě A. Vektory u, v a w se nazývají komplanární, jestliže jejich umístění AB, AC a AD leží v jedné rovině. V opačném případě se nazývají nekomplanární. O normě vektoru lze dokázat, že má následující vlastnosti: 1. u 0, přičemž u = 0 právě tehdy, když u je nulový vektor. 2. ku = k u pro libovolný volný vektor u a libovolné číslo k. 3. u + v u + v pro libovolné volné vektory u a v. Tato vlastnost se nazývá trojúhelníková nerovnost. Rovnost nastane v této nerovnosti právě tehdy, když jeden z vektorů je nezáporným násobkem druhého. Tedy buď jsou vektory nenulové a souhlasně kolineární, nebo je aspoň jeden z nich nulový. 2 Vektorové prostory V 1, V 2 a V 3 2.1 Pojem vektorového prostoru Množinu všech volných vektorů v prostoru budeme značit symbolem V 3. Obdobně značíme V 2 volné vektory v rovině a V 1 volné vektory na přímce. O množině volných vektorů V 3 a operacích sčítání a násobení číslem lze dokázat, že pro libovolné vektory u, v, w V 3 a libovolná čísla k, l R platí: 1) u + v = v + u (komutativní zákon), 2) u + (v + w) = (u + v) + w (asociativní zákon), 3) u + o = o + u = u (existence nulového vektoru), 4) u + ( u) = u + u = o (existence opačného vektoru), 5) k(lu) = (k l)u, 6) k(u + v) = ku + kv (distributivní zákon), 7) (k + l)u = ku + lu (distributivní zákon), 8) 1 u = u. 4

Přitom: i) Nulový vektor o je jediný vektor v takový, že pro něj platí u + v = v + u = u pro každý vektor u. ii) Pro libovolný vektor u je vektor u jediný vektor v, pro nějž platí u + v = v + u = o. iii) Pro libovolný vektor u platí 0u = o. Říkáme, že množina V 3 s operacemi sčítání a násobení čísly tvoří vektorový prostor. Tytéž vlastnosti mají i operace na V 2 a V 1 a také tyto množiny s příslušnými operacemi nazýváme vektorové prostory. Později se seznámíme s dalšími příklady vektorových prostorů. 2.2 Lineární kombinace vektorů Předpokládejme, že je dáno n volných vektorů u 1, u 2,..., u n V 3, kde n 1 je přirozené číslo, a stejný počet reálných čísel α 1, α 2,..., α n R. Pak vektor u = α 1 u 1 + α 2 u 2 + + α n u n nazýváme lineární kombinace vektorů u 1,..., u n s koeficienty α 1,..., α n. Příklad 2.1 Vektor u = ( 5, 2, 0) zapište jako lineární kombinaci vektorů u 1 = (1, 1, 3), u 2 = (2, 0, 4) a u 3 = ( 2, 3, 5). Řešení. Hledáme čísla α 1, α 2, α 3 tak, aby bylo splněno Pro souřadnice daných vektorů má tedy platit u = α 1 u 1 + α 2 u 2 + α 3 u 3. ( 5, 2, 0) = α 1 (1, 1, 3) + α 2 (2, 0, 4) + α 3 ( 2, 3, 5), takže po úpravě dostaneme (se souřadnicemi zacházíme jako s řádkovými maticemi) ( 5, 2, 0) = (α 1 + 2α 2 2α 3, α 1 + 3α 3, 3α 1 + 4α 2 + 5α 3 ). Porovnáním složek trojic na pravé a levé straně předchozí rovnosti získáme následující systém lineárních rovnic: α 1 + 2α 2 2α 3 = 5, α 1 + 3α 3 = 2, (1) 3α 1 + 4α 2 + 5α 3 = 0. Řešení nalezneme pomocí Gaussovy eliminační metody. Všimněte si, že souřadnice daných vektorů zapsané do sloupců tvoří sloupce rozšířené matice soustavy systému (1). Matici soustavy nejprve upravíme na schodovitý tvar. 1 2 2 5 1 0 3 2 3 4 5 0 1 2 2 5 0 2 1 3 (2) + (1) 0 2 11 15 (3) 3(1) 1 2 2 5 0 2 1 3 0 0 12 12 (3) + (2) 5

Z posledního řádku obdržíme 12α 3 = 12 α 3 = 1. Postupně najdeme i α 2 a α 1. 2α 2 + α 3 = 3 2α 2 + 1 = 3 α 2 = 2, α 1 + 2α 2 2α 3 = 5 α 1 6 = 5 α 1 = 1. Tedy u = u 1 2u 2 +u 3. Toto vyjádření je jediné, protože soustava (1) měla jediné řešení. Vektory z V 3, které mají (kartézské) souřadnice (1, 0, 0), (0, 1, 0) a (0, 0, 1), značíme po řadě i, j a k. Tedy i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1). Libovolný vektor u V 3, jehož souřadnice jsou (u 1, u 2, u 3 ), pak můžeme zapsat jako lineární kombinaci u = u 1 i + u 2 j + u 3 k. Vektory i, j a k jsou jednotkové. Jejich umístění do počátku O leží na kladných souřadnicových poloosách x, y a z. 2.3 Lineární závislost vektorů Pro danou n-tici vektorů u 1, u 2,..., u n V 3, n 1, uvažujme rovnici α 1 u 1 + α 2 u 2 + + α n u n = o (2) s neznámými α 1, α 2,..., α n R. Tato rovnice má vždy tzv. triviální řešení α 1 = α 2 = = α n = 0. Pokud rovnice (2) jiné než triviální řešení nemá, nazývají se vektory u 1, u 2,..., u n lineárně nezávislé. Má-li tato rovnice i jiné řešení, tj. takové, že aspoň jeden z koeficientů α i = 0, nazývají se vektory lineárně závislé. Obdobně definujeme lineární nezávislost a závislost v prostorech V 2 a V 1. Poznámka 2.2 Nechť V značí kterýkoli z vektorových prostorů V 1, V 2 nebo V 3. 1. Je-li alespoň jeden z vektorů u 1, u 2,..., u n V nulový, pak jsou tyto vektory lineárně závislé. 2. Je-li některý z vektorů u 1, u 2,..., u n V násobkem jiného z těchto vektorů, pak jsou tyto vektory lineárně závislé. To nastane zejména, když jsou dva vektory stejné. 3. Obecně platí, že vektory u 1, u 2,..., u n V jsou lineárně závislé právě tehdy, když některý z nich je lineární kombinací ostatních vektorů. Podíváme se, jak velký počet vektorů ve V 1, V 2 nebo V 3 může být lineárně nezávislý a kdy tomu tak bude. 1) Jeden vektor u V 1 je lineárně nezávislý, právě když je nenulový. Dva a více vektorů jsou ve V 1 vždy lineárně závislé. 6

2) Jeden vektor u V 2 je lineárně nezávislý, právě když je nenulový. Dva vektory u, v V 2 jsou lineárně nezávislé, právě když jsou nekolineární. Tři a více vektorů jsou ve V 2 vždy lineárně závislé. 3) Jeden vektor u V 3 je lineárně nezávislý, právě když je nenulový. Dva vektory u, v V 3 jsou lineárně nezávislé, právě když jsou nekolineární. Tři vektory u, v, w V 3 jsou lineárně nezávislé, právě když jsou nekomplanární. Čtyři a více vektorů jsou ve V 3 vždy lineárně závislé. Příklad 2.3 Rozhodněte, zda jsou vektory u = (1, 1, 2), v = (2, 3, 1) a w = (4, 2, 2) z vektorového prostoru V 3 lineárně nezávislé nebo ne. Řešení. Máme rozhodnout, zda lineární kombinace zadaných vektorů je rovna nulovému vektoru pouze v případě, že všechny koeficienty jsou nulové, nebo ne. Tedy v našem případě, zda α 1 u + α 2 v + α 3 w = o pouze pro α 1 = α 2 = α 3 = 0 nebo ne. Do rovnice dosadíme souřadnice vektorů. Všimněte si, že ve V 3 platí o = (0, 0, 0). α 1 (1, 1, 2) + α 2 (2, 3, 1) + α 3 (4, 2, 2) = (0, 0, 0). Porovnáním složek vektorů z levé a pravé strany předchozí rovnice dostaneme homogenní soustavu rovnic. α 1 + 2α 2 + 4α 3 = 0, α 1 + 3α 3 2α 3 = 0, 2α 1 + α 2 + 2α 3 = 0. Soustavu vyřešíme pomocí Gaussovy eliminační metody. Nejprve matici soustavy převedeme na schodovitý tvar. 1 2 4 0 1 2 4 0 1 2 4 0 1 3 2 0 0 5 2 0 (2) + (1) 0 1 2 0 1 3 (3) 2 1 2 0 0 3 6 0 (3) 2(1) 0 5 2 0 (2) 1 2 4 0 0 1 2 0 0 0 8 0 (3) 5(2) Zpětným dosazením obdržíme, že řešením jsou čísla α 1 = α 2 = α 3 = 0. Tedy vektory u, v a w jsou lineárně nezávislé. 2.4 Báze a dimenze vektorového prostoru Nechť V značí kterýkoli z vektorových prostorů V 1, V 2 nebo V 3. Bází vektorového prostoru V nazveme takové vektory e 1, e 2,..., e n V, pro které platí: 1) Jsou lineárně nezávislé. 2) Každý vektor u V lze napsat jako jejich lineární kombinaci, tj. u = α 1 e 1 + α 2 e 2 + + α n e n pro vhodná čísla α 1, α 2,..., α n. Říkáme, že vektory e 1, e 2,..., e n mající tuto vlastnost tvoří systém generátorů V. 7

Lze ukázat, že následující vlastnosti jsou ekvivalentní: e 1, e 2,..., e n V je báze. e 1, e 2,..., e n V je maximální (co do počtu) lineárně nezávislá množina vektorů. e 1, e 2,..., e n V je minimální (co do počtu) systém generátorů. Číslo n, tedy počet prvků báze, nazýváme dimenze neboli rozměr vektorového prostoru V a značíme dim V. Z předchozího výkladu vyplývají následující důležité vlastnosti: 1) dim V 1 = 1 a bází je libovolný nenulový vektor. 2) dim V 2 = 2 a bází je libovolná dvojice nekolineárních vektorů. 3) dim V 3 = 3 a bází je libovolná trojice nekomplanárních vektorů. Libovolný z prostorů V 1, V 2 a V 3 má tedy nekonečně mnoho bází, které obsahují vždy stejný počet vektorů. Jednou z bází ve V 3 je např. trojice i, j a k. 2.5 Souřadnice vektoru vzhledem k bázi Nechť e 1, e 2,..., e n je báze ve V. Bázi budeme chápat jako uspořádanou n-tici vektorů a budeme ji značit E = e 1, e 2,..., e n. Podle definice báze víme, že každý vektor u V lze vyjádřit ve tvaru u = α 1 e 1 + α 2 e 2 + + α n e n. Je snadné ověřit, že díky lineární nezávislosti vektorů tvořících bázi jsou koeficienty v předchozí lineární kombinaci určeny jednoznačně. Koeficienty α 1, α 2,..., α n se nazývají souřadnice vektoru u vzhledem k bázi E = e 1, e 2,..., e n, což zapisujeme u = (α 1,..., α n ) E. Souřadnice vektoru tudíž závisí na volbě báze. Souřadnice vektorů ve V 3, které jsme zavedli v kapitole 1, jsou vlastně souřadnice vzhledem k bázi i, j, k. V dalším textu budeme pracovat právě s těmito souřadnicemi. Příklad 2.4 Ověřte, že vektory e 1 = (2, 1, 0), e 2 = (1, 1, 1), e 3 = (1, 2, 3) tvoří bázi ve vektorovém prostoru V 3. Dále najděte souřadnice vektoru u = (3, 2, 1) vzhledem k této bázi. Řešení. Dimenze vektorového prostoru je dim V 3 = 3. Stačí tedy ověřit, že vektory jsou lineárně nezávislé, tj. že rovnice α 1 e 1 + α 2 e 2 + α 3 e 3 = o je splněna jen pro α 1 = α 2 = = α 3 = 0. Obdobně jako v příkladu 2.3 dostaneme soustavu homogenních rovnic 2α 1 + α 2 + α 3 = 0, α 1 α 2 + 2α 3 = 0, α 2 + 3α 3 = 0. Použijeme Gaussovu eliminační metodu. Matici soustavy upravíme na schodovitý tvar: 2 1 1 0 1 1 2 0 (2) 1 1 2 0 1 1 2 0 0 3 3 0 (1) 2(2) 0 1 3 0 (3) 0 1 3 0 0 1 3 0 0 0 12 0 (2) 3(3) Zpětným dosazením dostaneme, že systém má jen triviální řešení α 1 = α 2 = α 3 = 0. Vektory e 1, e 2, e 3 tedy tvoří bázi prostoru V 3. Označme ji E, tj. E = e 1, e 2, e 3. 8

Dále máme nalézt souřadnice vektoru u vzhledem k bázi E. Hledáme konstanty β 1, β 2 a β 3 takové, aby platilo β 1 e 1 + β 2 e 2 + β 3 e 3 = u. Získáme pro ně nehomogenní soustavu rovnic 2β 1 + β 2 + β 3 = 3, β 1 β 2 + 2β 3 = 2, β 2 + 3β 3 = 1. Všimněte si, že matice soustavy je stejná jako u předchozí homogenní soustavy, která sloužila k ověření lineární nezávislosti. Soustavu budeme opět řešit Gaussovou eliminační metodou. Matici soustavy upravíme na schodovitý tvar: Jejím řešením získáme 2 1 1 3 1 1 2 2 (2) 1 1 2 2 0 3 3 1 (1) 2(2) 0 1 3 1 0 1 3 1 1 1 2 2 0 1 3 1 (3) 0 0 12 4 (2) 3(3) 12β 3 = 4 β 3 = 1 3, β 2 + 3β 3 = 1 β 2 = 0, β 1 2β 2 + 2β 3 = 2 β 1 = 4 3. Souřadnice vektoru u vzhledem k bázi E jsou u = ( 4 3, 0, 1 ) 3 E. 3 Skalární, vektorový a smíšený součin vektorů 3.1 Skalární součin vektorů Nechť u, v V 3 jsou dva nenulové volné vektory. Jejich úhel definujeme takto: Zvolme jejich umístění u = AB a v = AC, která začínají ve stejném bodě A. Označme ϕ úhel, jehož ramena jsou určena vázanými vektory AB a AC, pro nějž platí 0 ϕ π. Tento úhel nezávisí na volbě konkrétních umístění volných vektorů u a v. Proto můžeme definovat (u, v) = = ϕ. Zřejmě platí, že jsou-li u, v souhlasně kolineární, je (u, v) = 0 a jsou-li nesouhlasně kolineární, je (u, v) = π. Pokud je některý z vektorů u, v nulový, jejich úhel nedefinujeme. Jsou-li u, v dva nenulové vektory a ϕ úhel, který svírají, pak skalární součin vektorů u, v je číslo u v = u v cos ϕ. Je-li některý z vektorů (nebo oba) u, v nulový, definujeme, že u v = 0. 9

Algebraické vlastnosti skalárního součinu Pro skalární součin platí následující pravidla (u, v, w V 3 jsou libovolné vektory a k R je libovolné číslo): 1) u v = v u (skalární součin je komutativní), 2) (u + v) w = u w + v w (skalární součin je distributivní vzhledem k součtu vektorů), 3) k (u v) = (ku) v, 4) u u 0, přičemž u u = 0, právě když u = o. V pravé straně vztahu 2) není nutné dávat závorky, předpokládáme, že skalární součin má přednost před sčítáním resp. odčítáním (čísel). Aplikace skalárního součinu 1. Pro velikost libovolného vektoru u platí: 2. Pro každé dva nenulové vektory u, v platí: u = u u. u v = 0, právě když u, v jsou k sobě kolmé (značíme u v). Protože o v = 0 pro každý vektor v, považujeme nulový vektor za kolmý (v širším slova smyslu) ke každému vektoru. 3. Pro velikost úhlu ϕ nenulových vektorů u, v platí: cos ϕ = u v u v, 0 ϕ π. Skalární součin v kartézské soustavě souřadnic Protože vektory i, j a k jsou jednotkové a po dvou kolmé, platí: i i = j j = k k = 1, i j = j i = i k = k i = j k = k j = 0. Odtud a z vlastností skalárního součinu se snadno odvodí vyjádření skalárního součinu vektorů pomocí jejich kartézských souřadnic. Je-li u = (u 1, u 2, u 3 ) = u 1 i + u 2 j + u 3 k, v = (v 1, v 2, v 3 ) = v 1 i + v 2 j + v 3 k, platí: u v = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3. Poznámka 3.1 Zcela analogicky se definuje skalární součin volných vektorů z V 1 a V 2 a má tytéž vlastnosti. Nenulové vektory ve V 1 mohou mít ovšem pouze úhly ϕ = 0 nebo ϕ = π. Jsou-li u = (u 1, u 2 ) = u 1 i + u 2 j, v = (v 1, v 2 ) = v 1 i + v 2 j volné vektory ve V 2, platí u v = u 1 v 1 + u 2 v 2. Jsou-li u = (u 1 ) = u 1 i, v = (v 1 ) = v 1 i volné vektory ve V 1, platí u v = u 1 v 1. 10

Řešené příklady Příklad 3.2 Vypočtěte skalární součin vektorů u, v, je-li dáno: u = 4, v = 3, (u, v) = = ϕ = π 6. Řešení. Z definice skalárního součinu u v = u v cos ϕ dostaneme: u v = 4 3 cos π 6 = 12 3 2 = 6 3. Příklad 3.3 Vypočtěte skalární součin vektorů u a v, je-li u = ( 1, 3, 4) a v = ( 1, 2, 3). Řešení. Vektory jsou zadány souřadnicemi, proto pro výpočet využijeme vztah u v = u 1 v 1 + + u 2 v 2 + u 3 v 3. Tedy u v = 1 ( 1) + 3 ( 2) + 4 3 = 7. Příklad 3.4 V prostoru jsou dány body A = [1, 2, 3], B = [ 1, 2, 2] a C = [0, 2, 1]. Určete úhel vektorů u = AB a v = AC. Řešení. Souřadnice vektorů jsouab = B A = ( 2, 4, 5), AC =C A = ( 1, 0, 2). Úhel nenulových vektorů vypočteme ze vztahu cos ϕ = u v u v. Tedy cos ϕ = = 2 ( 1) + ( 4) 0 + ( 5) ( 2) ( 2) 2 + ( 4) 2 + ( 5) 2 ( 1) 2 + 0 2 + ( 2) 2 = 12 = 12 45 5 15 = 4 5. Pomocí kalkulačky dopočteme ϕ = arccos 4 5. = 36 52. = 0,6435 rad. Příklad 3.5 Určete číslo t R tak, aby vektory u = (t, 6, 4), v = (2, t, 3) byly navzájem kolmé. Řešení. Aby vektory byly kolmé, musí být splněna podmínka u v = 0. Tedy v našem případě 2t 6t 12 = 0, tedy t = 3. Vektory budou kolmé pro t = 3. Příklad 3.6 Ukažte, že vektory u = 2i 5j + k, v = 3i + 2j + 4k jsou k sobě kolmé. Řešení. Souřadnice vektorů jsou u = (2, 5, 1) a v = (3, 2, 4). Skalární součin vypočteme ze vztahu u v = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3. V našem případě dostaneme u v = 6 10 + 4 = 0. Vektory jsou tedy kolmé. 11

3.2 Vektorový součin vektorů Vektorový součin je definován pouze pro vektory ve V 3. Vektorovým součinem dvou nenulových vektorů u a v nazveme vektor w = u v, který má následující vlastnosti: i) Velikost vektoru w je dána vztahem w = u v sin ϕ, kde ϕ je úhel vektorů u a v. ii) Vektor w je kolmý k vektoru u i k vektoru v. iii) Pokud je w nenulový, vektory u, v a w v tomto pořadí tvoří pravotočivý systém. Je-li některý z vektorů nulový, definujeme u v = o. Algebraické vlastnosti vektorového součinu Pro vektorový součin platí následující pravidla (u, v, w V 3 jsou libovolné vektory a k R je libovolné číslo): 1) u v = (v u) (vektorový součin je antikomutativní). 2) (ku) v = u (kv) = k(u v). 3) (u + v) w = u w + v w (vektorový součin je distributivní vzhledem k součtu vektorů). V pravé straně vztahu 3) není nutné dávat závorky, předpokládáme, že vektorový součin má přednost před sčítáním resp. odčítáním (vektorů). Aplikace vektorového součinu 1. Pro dvojici vektorů u a v platí: u v = o, právě když jsou u a v kolineární. 2. Vektorový součin používáme při určování vektoru kolmého ke dvěma daným nekolineárním vektorům. 3. Pomocí vektorového součinu lze určit obsah rovnoběžníku ABCD a trojúhelníka ABC. Položíme-li u = AB a v = AC, pak pro obsah S rovnoběžníku a obsah S trojúhelníka platí: S = u v, S = 1 u v. 2 4. Pro úhel nenulových vektorů u, v platí: sin ϕ = u v u v, 0 ϕ π. Protože však funkce sinus není na intervalu 0, π prostá, nelze z předchozího vztahu úhel ϕ jednoznačně určit. 12

Vektorový součin v kartézské soustavě souřadnic Vektorový součin dvou vektorů u = (u 1, u 2, u 3 ), v = (v 1, v 2, v 3 ) lze určit pomocí symbolického determinantu, který rozvineme podle prvního řádku: i j k u v = u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 = i u 2 u 3 v 2 v 3 j u 1 u 3 v 1 v 3 + k u 1 u 2 v 1 v 2 = = i(u 2 v 3 u 3 v 2 ) j(u 1 v 3 u 3 v 1 ) + k(u 1 v 2 u 2 v 1 ). Řešené příklady Příklad 3.7 Vypočtěte vektorový součin vektorů u = (2, 4, 2), v = (1, 2, 5) a určete jeho velikost. Řešení. Vektorový součin u v určíme následovně: i j k u v = 2 4 2 1 2 5 = i 4 2 2 5 j 2 2 1 5 + k 2 4 1 2 = = i( 20 4) j(10 ( 2)) + k( 4 ( 4)) = 24i 12j + 0k, takže u v = ( 24) 2 + ( 12) 2 + 0 2 = 720 = 12 5. Tedy u v = ( 24, 12, 0) a jeho velikost je u v = 12 5. Příklad 3.8 Vypočtěte obsah rovnoběžníku ABCD, víte-li, že platí A = [ 1, 1, 5], B = = [ 6, 5, 10] a C = [1, 2, 3]. Dále určete velikost výšky v na stranu AB. Řešení. Označme u = AB = B A = ( 5, 4, 5), v = AC = C A = (2, 3, 2). Obsah rovnoběžníku určíme jako velikost vektorového součinu vektorů u a v. Platí: i j k u v = 5 4 5 = i(8 15) j( 10 ( 10)) + k(15 8) = 2 3 2 = 7i 0j + 7k. Obsah rovnoběžníku bude: S = u v = ( 7) 2 + 0 2 + 7 2 = 98 = 7 2. Obsah rovnoběžníku lze také vypočítat ze vztahu S = v AB, kde v je výška na stranu AB. S Odtud v =. V našem případě je v = u. Tedy S AB v = 7 2 ( 5) 2 + (4) 2 + ( 5) = 7 2 = 7 33 2 66 33. 13

3.3 Smíšený součin tří vektorů Smíšený součin je definován pouze pro vektory ve V 3. Smíšeným součinem tří vektorů u, v, w nazýváme skalární součin vektoru w s vektorovým součinem u v. Obvykle ho značíme [u, v, w]. Tedy [u, v, w] = (u v) w. Algebraické vlastnosti smíšeného součinu Pro smíšený součin platí následující pravidla (u, v, w V 3 jsou libovolné vektory): 1) [u, v, w] = [v, w, u] = [w, u, v]. 2) [u, v, w] = [v, u, w] = [w, v, u] = [u, w, v]. Aplikace smíšeného součinu 1) Trojice nekomplanárních vektorů u, v, w určuje v prostoru těleso, tzv. rovnoběžnostěn. Ten obdržíme takto: Zvolíme umístění AB = u, AD = v a AA = w vycházející ze stejného bodu A. Zbývající vrcholy C, B, C, D doplníme tak, aby BC = v, BB = w, CC = w a DD = w. Objem V tohoto rovnoběžnostěnu je roven absolutní hodnotě smíšeného součinu. Tedy: V = [u, v, w] = (u v) w. 2) Trojice nekomplanárních vektorů u, v, w určuje v prostoru čtyřstěn ABCD. Ten obdržíme takto: Zvolíme umístění AB = u, AC = v a AD = w vycházející ze stejného bodu A. Objem V tohoto čtyřstěnu (trojbokého jehlanu) je roven jedné šestině absolutní hodnoty smíšeného součinu vektorů u, v a w. Tedy: V = 1 6 [u, v, w] = 1 (u v) w. 6 3) Pro trojici vektorů u, v a w platí: [u, v, w] = 0, právě když jsou u, v a w komplanární. Smíšený součin v kartézské soustavě souřadnic Ze vzorců pro výpočet skalárního a vektorového součinu se snadno zjistí, že smíšený součin tří vektorů u = (u 1, u 2, u 3 ), v = (v 1, v 2, v 3 ) a w = (w 1, w 2, w 3 ) lze vypočítat ze vztahu u 1 u 2 u 3 [u, v, w] = (u v) w = v 1 v 2 v 3 w 1 w 2 w 3. 14

Řešené příklady Příklad 3.9 Jsou dány body K = [2, 3, 1], L = [8, 4, 2], M = [0, 6, 0], O = [2, 1, 4]. a) Vypočítejte objem rovnoběžnostěnu KLMNOP QR. b) Vypočtěte výšku na stěnu určenou body K, L, M, N. Řešení. 1) Označme vektory u = KL, v = KM a w = KO. Pak u = (6, 1, 1), v = ( 2, 3, 1) a w = (0, 2, 5). Objem rovnoběžnostěnu vypočteme pomocí smíšeného součinu těchto vektorů: 6 1 1 [u, v, w] = (u v) w = 2 3 1 0 2 5 = 108. Objem rovnoběžnostěnu je tedy V = (u v) w = 108. 2) Označme d výšku ke stěně určené body K, L, M, N. Její velikost vypočteme ze vztahu V = d S, kde S je obsah stěny KLMN. S využitím předchozího označení vektorů platí S = u v. Tedy: i j k u v = 6 1 1 = 4i 4j + 20k. 2 3 1 Obsah stěny KLMN je a výška d na tuto stěnu S = 4 2 + ( 4) 2 + 20 2 = 432 = 12 3 d = V S = 108 12 3 = 3 3. Příklad 3.10 Rozhodněte o komplanárnosti vektorů u = (1, 3, 1), v = (0, 1, 2) a w = = (2, 4, 1). Řešení. Stačí zjistit, zda je jejich smíšený součin roven nule: 1 3 1 [u, v, w] = (u v) w = 0 1 2 2 4 1 = 3. Protože smíšený součin je nenulový, vektory nejsou komplanární. 4 Rovnice roviny v prostoru 4.1 Vektorová rovnice roviny Je-li rovina ρ určena bodem A a dvěma nekolineárními vektory u a v, pak pro libovolný bod X roviny ρ platí AX = su + tv, s, t R, a pro žádný jiný bod tento vztah neplatí. Uvedená rovnice se nazývá vektorová rovnice roviny. 15

Poznámka 4.1 Vyjádříme-li vektor AX pomocí polohových vektorů r A = OA a r = OX bodů A a X vzhledem k počátku O, platí AX = r r A, takže lze vektorovou rovnici roviny zapsat ve tvaru r = r A + su + tv, s, t R. 4.2 Parametrické rovnice roviny V kartézské soustavě souřadnic lze parametrické rovnice roviny ρ, která je určená bodem A = = [x 0, y 0, z 0 ] a dvěma nekolineárními vektory u = (u 1, u 2, u 3 ) a v = (v 1, v 2, v 3 ), zapsat ve tvaru x = x 0 + su 1 + tv 1, y = y 0 + su 2 + tv 2, s, t R. z = z 0 + su 3 + tv 3, Zápis roviny v parametrickém vyjádření je sice jednoduchý, ale pro řešení řady příkladů zcela nepraktický. Proto si zavedeme další vyjádření roviny, a to obecnou rovnici roviny. 4.3 Obecná rovnice roviny Je-li rovina ρ určena bodem A a normálovým vektorem n, tj. nenulovým vektorem kolmým k dané rovině, pak pro všechny body X, které v rovině leží, platí n AX = 0. V kartézské soustavě souřadnic po dosazení za A = [x 0, y 0, z 0 ], X = [x, y, z] a n = = (a, b, c), dostaneme (a, b, c) (x x 0, y y 0, z z 0 ) = 0 a(x x 0 ) + b(y y 0 ) + c(z z 0 ) = 0, ax + by + cz (ax 0 + by 0 + cz 0 ) = 0. Označíme-li d = (ax 0 + by 0 + cz 0 ), pak rovnice se nazývá obecná rovnice roviny. Poznámka 4.2 Každá rovnice tvaru ax + by + cz + d = 0, ax + by + cz + d = 0, kde (a, b, c) = (0, 0, 0), je rovnicí nějaké roviny. Je-li v obecné rovnici roviny i) koeficient a = 0, je rovina rovnoběžná s osou x, tj. kolmá k rovině yz, ii) koeficient b = 0, je rovina rovnoběžná s osou y, tj. kolmá k rovině xz, iii) koeficient c = 0, je rovina rovnoběžná s osou z, tj. kolmá k rovině xy. Jsou-li v obecné rovnici roviny i) koeficienty a = 0 a b = 0, je rovina rovnoběžná s rovinou xy, tj. kolmá k ose z, ii) koeficienty a = 0 a c = 0, je rovina rovnoběžná s rovinou xz, tj. kolmá k ose y, iii) koeficienty b = 0 a c = 0, je rovina rovnoběžná s rovinou yz tj. kolmá k ose x. 16

4.3.1 Obecná rovnice roviny dané třemi body Rovina ρ je daná třemi body A = [x 0, y 0, z 0 ], B = [x 1, y 1, z 1 ], C = [x 2, y 2, z 2 ], které neleží na jedné přímce. Zvolíme si další libovolný bod roviny X = [x, y, z]. Pak vektory AX, AB, AC jsou komplanární, tedy jejich smíšený součin je roven nule. Obecnou rovnici roviny dostaneme po úpravě determinantu x x 0 y y 0 z z 0 ρ : x 1 x 0 y 1 y 0 z 1 z 0 x 2 x 0 y 2 y 0 z 2 z 0 = 0. 4.3.2 Obecná rovnice roviny dané dvěma body a vektorem Rovina je daná dvěma body A = [x 0, y 0, z 0 ], B = [x 1, y 1, z 1 ] a nenulovým vektorem u = (u 1, u 2, u 3 ), který je nekolineární s AB. Zvolíme si další libovolný bod roviny X = = [x, y, z]. Vektory AX, AB a u jsou komplanární, tedy jejich smíšený součin je roven nule a obecnou rovnici roviny dostaneme po úpravě determinantu x x 0 y y 0 z z 0 ρ : x 1 x 0 y 1 y 0 z 1 z 0 u 1 u 2 u 3 = 0. 4.3.3 Obecná rovnice roviny dané bodem a dvěma vektory Rovina je daná bodem A = [x 0, y 0, z 0 ] a dvěma nekolineárními vektory u = (u 1, u 2, u 3 ), v = (v 1, v 2, v 3 ). Opět zvolíme další libovolný bod X = [x, y, z] ležící v rovině. Pak vektory AX, u a v jsou komplanární, a jejich smíšený součin je roven nule. Obecnou rovnici roviny dostaneme po úpravě determinantu x x 0 y y 0 z z 0 ρ : u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 = 0. Poznámka 4.3 Ve všech předchozích případech lze určit normálový vektor roviny jako vektorový součin dvou nekolineárních vektorů z dané roviny a dosadit jeho souřadnice do obecné rovnice roviny. Parametr d pak dopočítáme dosazením libovolného bodu ležícího v rovině. Řešené příklady Příklad 4.4 Napište obecnou rovnici roviny, je-li rovina ρ určena třemi body A = [1, 1, 2], B = [3, 0, 4], C = [ 2, 2, 1]. Řešení. Zvolíme si další bod X = [x, y, z], který leží v rovině ρ. Potom vektory AX = = (x 1, y + 1, z 2), AB = (2, 1, 2) a AC = ( 3, 1, 1) jsou komplanární, a jejich smíšený součin ( AB AC ) AX = 0. Tedy x 1 y + 1 z 2 ρ : 2 1 2 3 1 1 = 0. Po výpočtu determinantu a úpravě dostaneme ρ : x 4y + z 7 = 0. 17

Příklad 4.5 Napište obecnou rovnici roviny ρ, která prochází body A = [1, 1, 2], B = = [3, 1, 1] a je rovnoběžná s přímkou určenou body C = [0, 2, 1] a D = [1, 4, 3]. Řešení. Body A a B leží v rovině ρ, tudíž vektor AB = (2, 0, 3) je s rovinou rovnoběžný. Další vektor, který je s hledanou rovinou rovnoběžný, je směrový vektor přímky u = CD = = (1, 2, 4). Rovnice roviny ρ je tedy určena dvěma vektory a např. bodem A. Zvolme si opět obecný bod X = [x, y, z], který leží v rovině. Její rovnici získáme výpočtem determinantu x 1 y + 1 z 2 ρ : 2 0 3 1 2 4 = 0. Po výpočtu determinantu a úpravě dostaneme ρ : 6x + 5y + 4z 19 = 0. Příklad 4.6 Napište obecnou rovnici roviny ρ, je-li rovina dána parametrickými rovnicemi ρ : x = 1 + 3s + 2t, y = 4t, s, t R. z = 1 + 2s t, Řešení. Z parametrického vyjádření je zřejmé, že rovina je určena bodem A = [ 1, 0, 1] a vektory u = (3, 0, 2) a v = (2, 4, 1), které jsou s rovinou rovnoběžné. Označme X = = [x, y, z] obecný bod roviny ρ. Pak obecnou rovnici roviny dostaneme výpočtem determinantu x + 1 y z + 1 ρ : 3 0 2 2 4 1 = 0. Obecná rovnice je ρ : 8x + 7y + 12z + 4 = 0. Příklad 4.7 Napište obecnou rovnici roviny ρ, která prochází počátkem soustavy souřadnic, bodem A = [1, 2, 3] a je kolmá k rovině dané osami x a y. Řešení. Rovina ρ je určená bodem A = [1, 2, 3] a počátkem O = [0, 0, 0], tedy vektor OA je s rovinou rovnoběžný. Dále je ρ kolmá k rovině dané osami x a y, tedy vektor u = (0, 0, 1) je s ní rovnoběžný. Hledáme tedy rovnici roviny určenou např. bodem O a vektory OA a u. x y z ρ : 1 2 3 0 0 1 = 0. Po úpravě dostaneme obecnou rovnici roviny ρ : 2x y = 0. 4.4 Úsekový tvar rovnice roviny Jsou-li v obecné rovnici roviny ax + by + cz + d = 0 všechny parametry a, b, c, d nenulové, lze tuto rovnici převést na úsekový tvar. Rovina má v tomto případě rovnici x p + y q + z r = 1, kde p = d a, q = d b, r = d c. Čísla p, q, r jsou po řadě úseky, které rovina vytíná na osách x, y, z. Úsekový tvar rovnice roviny je vhodný především pro její znázornění v kartézské soustavě souřadnic a k nalezení průsečíků roviny se souřadnicovými osami. 18

Řešené příklady Příklad 4.8 Určete souřadnice bodů P, Q a R, ve kterých rovina ρ : 3x 2y 4z + 2 = 0 protíná osu x, y a z. Řešení. Rovnici si přepíšeme do úsekového tvaru ρ : x 2 3 + y 1 + z 1 2 = 1. Čísla ve jmenovatelích jednotlivých zlomků jsou úseky vyťaté na osách x, y, z. Souřadnice hledaných bodů jsou P = [ 2 3, 0, 0], Q = [0, 1, 0] a R = [0, 0, 1 2 ]. 5 Rovnice přímky v prostoru 5.1 Vektorová rovnice přímky Je-li přímka p určena bodem A a směrovým vektorem u = o, pak pro libovolný bod X přímky p platí AX = tu, kde t R, a pro žádný jiný bod tento vztah neplatí. Uvedená rovnice se nazývá vektorová rovnice přímky p a t se nazývá parametr. Poznámka 5.1 Vyjádříme-li vektor AX pomocí polohových vektorů r A = OA a r = XO bodů A a X vzhledem k počátku O, platí AX = r r A, takže lze vektorovou rovnici přímky zapsat ve tvaru r r A = tu. 5.2 Parametrické rovnice přímky V kartézské soustavě souřadnic parametrické rovnice přímky určené bodem A = [x 0, y 0, z 0 ] a směrovým vektorem u = (u 1, u 2, u 3 ) zapisujeme ve tvaru x = x 0 + tu 1, y = y 0 + tu 2, t R. z = z 0 + tu 3, Poznámka 5.2 Je-li přímka p určena dvěma body A a B, pak vektor AB je jejím směrovým vektorem. Poznámka 5.3 Jsou-li dány dva různé body A = [x 0, y 0, z 0 ], B = [x 1, y 1, z 1 ], pak parametrické rovnice přímky určené body A a B jsou x = x 0 + t(x 1 x 0 ), y = y 0 + t(y 1 y 0 ), t R. z = z 0 + t(z 1 z 0 ), Omezíme-li t, pak 1. pro t 0, ) jsou to parametrické rovnice polopřímky s počátečním bodem A, která obsahuje bod B, 2. pro t 0, 1 jsou to parametrické rovnice úsečky AB. 19

5.3 Kanonické rovnice přímky Je-li přímka p určena bodem A = [x 0, y 0, z 0 ] a směrovým vektorem u = (u 1, u 2, u 3 ) a jsou-li všechny souřadnice směrového vektoru u nenulové, lze vypočtením parametru t ze všech tří parametrických rovnic přímky získat kanonické rovnice přímky p 5.4 Obecné rovnice přímky x x 0 u 1 = y y 0 u 2 = z z 0 u 3. V kartézské soustavě souřadnic lze přímku p zapsat jako společnou přímku (průsečnici) dvou rovin. V tomto případě říkáme, že přímka je určena obecnými rovnicemi { a1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 = 0, p : a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 = 0. Poznámka 5.4 Aby předchozí rovnice určovaly přímku, je třeba, aby normálové vektory n 1 = = (a 1, b 1, c 1 ) a n 2 = (a 2, b 2, c 2 ) byly nekolineární. Pro další výpočty bude potřeba umět převést obecné rovnice přímky na parametrické. Budeme postupovat následovně: 1. Směrový vektor přímky p vypočteme pomocí vektorového součinu normálových vektorů daných rovin: přímka musí současně ležet v obou rovinách, tudíž její směrový vektor u musí být kolmý k oběma normálovým vektorům daných rovin n 1 = (a 1, b 1, c 1 ) a n 2 = = (a 2, b 2, c 2 ). Tedy u = n 1 n 2. 2. Libovolný bod A ležící na přímce p musí vyhovovat oběma rovnicím. Hledáme tedy řešení soustavy dvou rovnic pro tři neznámé. Taková soustava má v tomto případě nekonečně mnoho řešení, nám stačí pouze jedno z nich. Postupujeme tedy tak, že jednu neznámou x, y nebo z si zvolíme a zbylé dvě dopočteme tak, aby vyhovovaly zadaným rovnicím. Řešené příklady Příklad 5.5 Napište parametrické rovnice přímky p, která prochází bodem A = [ 1, 2, 8] a je rovnoběžná s osou y. Řešení. Směrový vektor osy y je např. vektor u = (0, 1, 0). Parametrické rovnice přímky p jsou x = 1, y = 2 + t, t R. z = 8, Příklad 5.6 Napište parametrické rovnice úsečky AB, jestliže platí A = [ 2, 4, 8] a B = = [3, 1, 2]. Řešení. Sestrojíme vektor AB = (5, 3, 10). Parametrické rovnice úsečky AB pak jsou x = 2 + 5t, y = 4 3t, t 0, 1. z = 8 10t, 20

Příklad 5.7 Napište parametrické rovnice přímky p určené obecnými rovnicemi p : { x 3y + 2z 8 = 0, 2x + 5y 3z + 4 = 0. Řešení. 1. Nejprve si určíme souřadnice normálových vektorů daných rovin n 1 = (1, 3, 2) a n 2 = = (2, 5, 3). Směrový vektor u vypočteme pomocí jejich vektorového součinu, tedy i j k u = n 1 n 2 = 1 3 2 = i(9 10) j( 3 4) + k(5 + 6) = i + 7j + 11k. 2 5 3 Souřadnice směrového vektoru přímky p jsou u = ( 1, 7, 11). 2. Určíme souřadnice libovolného bodu A ležícího na přímce p. Zvolme např. y = 0, zbylé dvě souřadnice jsou řešením soustavy. x + 2z 8 = 0, 2x 3z + 4 = 0. Řešením soustavy dostaneme x = 16 7 a z = 20 7. Tedy souřadnice hledaného bodu jsou A = [ 16 7, 0, 20 ] 7. Parametrické rovnice přímky p určené bodem A a směrovým vektorem u jsou x = 16 7 t, y = 7t, t R. z = 20 7 + 11t, Příklad 5.8 Napište rovnici přímky, která prochází bodem Q = [2, 6, 3] a je rovnoběžná s přímkou p : x + 1 5 = y 2 3 = z 1. Řešení. Směrový vektor přímky p je u = ( 5, 3, 1). Hledaná přímka má být s přímkou p rovnoběžná, tedy vektor u je jejím směrovým vektorem, dále na ní leží bod Q. Parametrické rovnice této přímky tedy jsou x = 2 5t, y = 6 + 3t, t R. z = 3 t, 21

6 Polohové úlohy v prostoru V následující kapitole budeme vyšetřovat vzájemnou polohu dvou geometrických útvarů. 6.1 Vzájemná poloha bodu a roviny Je dán bod A = [x 0, y 0, z 0 ] a rovina ρ : ax + by + cz + d = 0. Bod A leží v rovině ρ, jestliže po dosazení jeho souřadnic do rovnice roviny dostaneme identitu. V opačném případě bod v rovině neleží. Řešené příklady Příklad 6.1 Zjistěte, zda bod M = [1, 2, 4] leží v rovině ρ : 3x 2y 3z + 5 = 0. Řešení. Do rovnice roviny ρ dosadíme souřadnice bodu M. 3 1 2 ( 2) 3 4 + 5 = 0 0 = 0, tedy bod M ρ. Příklad 6.2 Určete parametr d tak, aby bod K = [ 3, 2, 1] ležel v rovině ρ : 2x + 6y 3z + d = 0. Řešení. Souřadnice bodu K dosadíme do rovnice roviny ρ a vypočteme parametr d. 2 ( 3) + 6 2 3 ( 1) + d = 0 d = 9. 6.2 Vzájemná poloha bodu a přímky x = x 1 + tu 1, Je dán bod A = [x 0, y 0, z 0 ] a přímka p : y = y 1 + tu 2, t R. z = z 1 + tu 3, Po dosazení souřadnic bodu A do parametrických rovnic přímky p dostaneme soustavu tří lineárních rovnic pro t. Jestliže má tato soustava řešení, bod A na přímce p leží, v opačném případě na ní neleží. Tedy všechny tři rovnice musí dávat pro neznámou t tutéž hodnotu t 0! Zejména má-li vektor u nenulové složky, musí platit Řešené příklady t 0 = x 0 x 1 u 1 = y 0 y 1 u 2 = z 0 z 1 u 3. Příklad 6.3 Je dána přímka p o parametrických rovnicích x = 1 2t, y = 2+3t, z = 3+2t, t R. a) Rozhodněte, zda bod K = [ 1, 5, 4] leží na přímce p. b) Určete parametry r, s R tak, aby bod L = [r, 3r, s] ležel na přímce p. 22

Řešení. a) Dosadíme souřadnice bodu K do rovnice přímky a vypočteme ze všech rovnic parametr t. 1 = 1 2t t = 1, 5 = 2 + 3t t = 1, 4 = 3 + 2t t = 1 2. Protože parametr t nevyšel ze všech rovnic stejný, bod K neleží na přímce p. b) Postupovat budeme obdobně jako v bodě a). Do rovnice přímky dosadíme souřadnice bodu L a dostaneme tak soustavu tří lineárních rovnic pro tři neznámé. (Soustava může mít jedno, žádné, nebo nekonečně mnoho řešení. V našem případě jsou vždy v jedné rovnici svázány pouze dvě proměnné.) r = 1 2t, 3r = 2 + 3t, s = 3 + 2t. Řešením prvních dvou rovnic dostaneme t = 1 9 a r = 7 9, dosazením do třetí rovnice vyjde s = 27 9. Souřadnice bodu jsou L = [ 7 9, 7 3, 27 ] 9. 6.3 Vzájemná poloha dvou rovin Dvě roviny mají právě jednu z následujících tří poloh: 1. Nemají společný žádný bod (jsou rovnoběžné různé). 2. Jsou totožné (splývají). 3. Mají společnou právě jednu přímku (jsou různoběžné). Jsou dány roviny ρ : a 1 x+b 1 y+c 1 z+d 1 = 0 a σ : a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 = 0. Označme jejich normálové vektory n 1 = (a 1, b 1, c 1 ) a n 2 = (a 2, b 2, c 2 ). Pak roviny ρ a σ jsou: 1. Rovnoběžné různé, jestliže n 1 = λ n 2 (normálové vektory jsou kolineární), ale d 1 = λd 2. 2. Splývající neboli totožné, jestliže n 1 = λ n 2 a navíc platí, že d 1 = λd 2. 3. Různoběžné, jestliže n 1 = λ n 2 pro každé λ R (normálové vektory jsou nekolineární). Řešené příklady Příklad 6.4 Vyšetřete vzájemnou polohu rovin ρ a σ. a) ρ : 2x + y 2z + 6 = 0, σ : 4x + 2y 4z + 6 = 0, b) ρ : 2x + y 2z + 6 = 0, σ : 4x 2y 2z + 6 = 0. Řešení. a) Normálový vektor roviny ρ je n 1 = (2, 1, 2), normálový vektor roviny σ je n 2 = = (4, 2, 4). Vidíme, že vektor n 2 = 2n 1, ale parametr d 2 = 2d 1, takže roviny jsou rovnoběžné. b) Normálový vektor roviny ρ je n 1 = (2, 1, 2), normálový vektor roviny σ je n 2 = = (4, 2, 2). V tomto případě není jeden normálový vektor násobkem druhého, takže roviny jsou různoběžné. 23

Příklad 6.5 Určete hodnoty parametrů b, c R tak, aby roviny ρ : x + by z + 4 = 0 a σ : 4x + 12y + cz + 1 = 0 byly a) rovnoběžné, b) k sobě kolmé. Řešení. a) Normálový vektor roviny ρ je n 1 = (1, b, 1), normálový vektor roviny σ je n 2 = = (4, 12, c). Aby byly roviny rovnoběžné, musí platit n 2 = λn 1 pro vhodné λ R. Po rozepsání do složek dostaneme 4 = λ λ = 4, 12 = λb b = 3, c = λ c = 4. b) Aby byly roviny navzájem kolmé, musí být jejich normálové vektory rovněž kolmé, tj. jejich skalární součin musí být roven nule. Musí tedy platit 4 + 12b c = 0, tj. c = 4 + 12b. Úloha má tudíž nekonečně mnoho řešení. Příklad 6.6 Napište rovnici roviny ρ, ve které leží bod P = [3, 5, 2] a která je rovnoběžná s rovinou σ : x 2y + 3z 1 = 0. Řešení. Normálový vektor roviny σ je také normálovým vektorem roviny ρ. Rovina ρ je tedy určena bodem P a vektorem n = (1, 2, 3). Parametr d určíme dosazením bodu P do rovnice roviny σ. 3 2 ( 5) + 3 2 + d = 0 d = 19. Rovnice hledané roviny je ρ : x 2y + 3z 19 = 0. 6.4 Vzájemná poloha dvou přímek Dvě přímky v prostoru mají právě jednu z následujících čtyř poloh: 1. Mají společný právě jeden bod (jsou různoběžné). 2. Jsou totožné (splývají). 3. Nemají společný bod a leží v jedné rovině (jsou rovnoběžné různé). 4. Nemají společný bod a neleží v jedné rovině (jsou mimoběžné). Jsou dány přímky p(a, u), q(b, v). Přímka p je určena bodem A a směrovým vektorem u, přímka q je určena bodem B a má směrový vektor v. Přímky p, q jsou: 1. Rovnoběžné různé, jestliže u = λ v pro vhodné λ R a A / q. 2. Splývající neboli totožné, jestliže u = λ v pro vhodné λ R a navíc A q. 3. Různoběžné, jestliže u a v jsou nekolineární a AB, u a v jsou komplanární, tedy u = λ v pro každé λ R a AB (u v) = 0. 4. Mimoběžné, jestliže AB, u a v jsou nekomplanární, tedy AB (u v) = 0. Řešené příklady Příklad 6.7 Vyšetřete vzájemnou polohu přímek p, q, kde p : x = 1 + t, y = 2 2t, z = t, t R a q : x = 4 2s, y = 1 + 4s, z = 3 2s, s R. Jsou-li přímky různoběžné, určete souřadnice jejich průsečíku. 24

Řešení. Nejprve určíme směrové vektory přímek p, q. Směrový vektor přímky p je vektor u = (1, 2, 1), směrový vektor přímky q je vektor v = ( 2, 4, 2). Protože platí v = 2u, přímky mohou být rovnoběžné nebo splývající. Označme A = [1, 2, 0] bod ležící na přímce p. Pokud A q, jsou přímky splývající, v opačném případě jsou rovnoběžné. Dosadíme souřadnice bodu A do rovnice přímky q a vypočteme z každé rovnice hodnotu parametru s. 1 = 4 2s s = 3 2, 2 = 1 + 4s s = 1 4, 0 = 3 2s s = 3 2. Parametr s není stejný pro všechny rovnice, tedy přímky p a q jsou rovnoběžné různé. Příklad 6.8 Vyšetřete vzájemnou polohu přímek p, q, kde p prochází body A a B a q prochází body C a D. Přitom A = [1, 2, 1], B = [3, 0, 1], C = [2, 1, 2] a D = [5, 6, 7]. Jsou-li přímky různoběžné, určete souřadnice jejich průsečíku. Řešení. Směrový vektor přímky p je vektor AB = (2, 2, 2), směrový vektor přímky q je vektor CD = (3, 5, 5). Je zřejmé, že AB = λcb pro každé λ R. Přímky jsou tedy buď různoběžné nebo mimoběžné. Sestrojíme vektor AC = (1, 3, 3) a rozhodneme, zda je trojice vektorů AB, CD a AC komplanární. V případě, že budou vektory komplanární, leží v jedné rovině, a tudíž přímky p a q jsou různoběžné. V opačném případě jsou přímky mimoběžné. ( AB AC ) CD 2 2 2 = 1 3 3 3 5 5 = 0. Vektory jsou komplanární, jejich smíšený součin je roven nule, tedy přímky jsou různoběžné. Určíme průsečík P přímek p, q. Souřadnice průsečíku P musí vyhovovat parametrickým rovnicím obou přímek p : x = 1 + 2t, y = 2 2t, z = 1 + 2t, t R, q : x = 2 + 3s, y = 1 5s, z = 2 + 5s, s R. Odtud dostaneme následující rovnosti: 1 + 2t = 2 + 3s, 2 2t = 1 5s, 1 + 2t = 2 + 5s. Jejich řešením dostaneme t = s = 1. Souřadnice průsečíku P = [ 1, 4 3] pak získáme dosazením za t resp. s do parametrického vyjádření přímek. Příklad 6.9 Vyšetřete vzájemnou polohu přímek p, q, je-li p : x 1 3 = y 2 2 = z 1, q : x+1 = y 3 = z+2 2. Jsou-li přímky různoběžné, určete souřadnice jejich průsečíku. 1 = Řešení. Směrový vektor přímky p má souřadnice u = (3, 2, 1), směrový vektor přímky q má souřadnice v = ( 1, 3, 2). Protože u = λv pro každé λ R, jsou přímky buď různoběžné nebo mimoběžné. Na přímce p leží bod A = [1, 2, 0], na přímce q leží bod B = [ 1, 0, 2]. Vektor jimi určený je AB = ( 2, 2, 2). Pomocí smíšeného součinu zjistíme, zda je trojice u, v a AB 25

komplanární. Platí (u v) AB = 3 2 1 1 3 2 2 2 2 = 22. Smíšený součin je nenulový, vektory nejsou komplanární, tedy přímky p a q jsou mimoběžné. 6.5 Vzájemná poloha přímky a roviny Přímka je vzhledem k rovině právě v jedné ze tří poloh: 1. Leží v rovině. 2. Nemá s rovinou žádný společný bod (je s ní rovnoběžná, ale neleží v ní). 3. Má s rovinou společný právě jeden bod (je s ní různoběžná). Je dána rovina ρ : ax + by + cz + d = 0 a přímka p(a, u). Označme normálový vektor roviny n. Přímka je určena bodem A a směrovým vektorem u. 1. Přímka leží v rovině, jestliže n u = 0 a navíc A ρ. 2. Přímka je rovnoběžná s rovinou ale neleží v ní, jestliže n u = 0 a A / ρ. 3. Přímka je různoběžná s rovinou, jestliže n u = 0. Řešené příklady Příklad 6.10 Vyšetřete vzájemnou polohu přímky p : x = 1 + t, y = 1 2t, z = 3 t, t R a roviny ρ : 2x y + 3z + 1 = 0. V případě, že je přímka různoběžná s rovinou, určete souřadnice průsečíku. Řešení. Směrový vektor přímky p je u = (1, 2, 1), normálový vektor vektor roviny ρ je n = (2, 1, 3). Jejich skalární součin n u = (2, 1, 3) (1, 2, 1) = 2 + 2 3 = 1, tedy přímka je s rovinou různoběžná. Průsečík P přímky a roviny vypočteme následovně: parametrické rovnice přímky dosadíme do rovnice roviny a vypočteme hodnotu parametru t. Jeho dosazením do rovnic přímky získáme souřadnice průsečíku. 2(1 + t) (1 2t) + 3( 3 t) + 1 = 0 t = 7, a tedy P = [8, 13, 10]. Příklad 6.11 Určete hodnoty parametrů a, b tak, aby přímka p : x = a + 2t, y = 1 bt, z = 2 + t, t R, byla s rovinou ρ : x + 2y z + 2 = 0 a) různoběžná, b) rovnoběžná a ležela v ní, c) rovnoběžná, ale neležela v ní. Řešení. Ze zadání určíme směrový vektor u = (2, b, 1) přímky p, normálový vektor n = = (1, 2, 1) roviny ρ a bod A = [a, 1, 2], který leží na přímce p. 26

a) Aby byla přímka s rovinou různoběžná, musí platit n u = 0. V našem případě dostaneme 2 2b 1 = 0 b = 1 2. Hodnota parametru a může být libovolná, tedy a R. b) Aby přímka ležela v rovině, musí platit n u = 0 a A ρ. S ohledem na předchozí výsledek musí být parametr b = 1 2. Parametr a získáme vyřešením podmínky A ρ. Dosazením souřadnic bodu A do rovnice roviny ρ dostaneme a + 2 2 + 2 = 0 a = 2. Přímka leží v rovině, pokud a = 2 a b = 1 2. c) Aby byla přímka s rovinou rovnoběžná, ale neležela v ní, musí platit n u = 0 a zároveň bod A neleží v ρ. Což je splněno, pokud b = 1 2 a a = 2. 7 Metrické úlohy v prostoru V této kapitole budeme určovat vzdálenosti a odchylky dvou základních geometrických útvarů (bodů, přímek a rovin) v prostoru. Obecně vzdáleností dvou geometrických útvarů U 1 R 3 a U 2 R 3 rozumíme minimální vzdálenost mezi body obou útvarů, tj. d(u 1, U 2 ) = min{ X 1 X 2 : X 1 U 1, X 2 U 2 }. Dvojice nejbližších bodů nemusí vždy existovat (příkladem jsou dvě otevřené koule, které mají prázdný průnik). V tom případě je třeba v předchozím vzorci nahradit minimum infimem, které bude vždy existovat. Je zřejmé, že když U 1 U 2 =, pak d(u 1, U 2 ) = 0 (lze volit X 1 = X 2 = A, kde bod A leží v obou množinách; pak d(u 1, U 2 ) = AA = 0). 7.1 Vzdálenost dvou bodů Vzdálenost dvou bodů A, B je rovna délce vektoru AB resp. úsečky AB. 7.2 Vzdálenost bodu od roviny Vzdálenost bodu A od roviny ρ je vzdálenost bodu A a jeho pravoúhlého průmětu P do roviny ρ. Z geometrického hlediska je tedy potřeba sestrojit přímku kolmou k rovině ρ, která prochází bodem A, nalézt průsečík P této přímky s rovinou a vypočítat velikost úsečky AP. Je dán bod A = [x 0, y 0, z 0 ] a rovina ρ : ax + by + cz + d = 0. Vzdálenost bodu od roviny určíme v kartézské soustavě souřadnic ze vztahu d(a, ρ) = ax 0 + by 0 + cz 0 + d a 2 + b 2 + c 2. (3) 27

Řešené příklady Příklad 7.1 Určete vzdálenost bodu A = [ 4, 0, 2] od roviny ρ : x 3y + 2z 5 = 0. Řešení. Normálový vektor roviny ρ má souřadnice n = (1, 3, 2), parametr d = 5. Dosazením do vztahu (3) dostaneme 7.3 Vzdálenost bodu od přímky d(a, ρ) = 4 + 0 + 4 5 1 2 + ( 3) 2 + 2 2 = 5 14. Vzdálenost bodu B od přímky p můžeme určit jako vzdálenost bodu od přímky v rovině ρ, která je určena bodem B a přímkou p. Vzdálenost je pak rovna délce úsečky BP, kde P je pata kolmice k vedené v rovině ρ bodem B k přímce p. Je dán bod B a přímka p(a, u). Pak vzdálenost bodu B od přímky p určíme ze vztahu d(b, p) = u AB u kde u 0 je jednotkový vektor stejného směru jako vektor u. Řešené příklady = u 0 AB, (4) Příklad 7.2 Vypočítejte vzdálenost bodu B = [2, 1, 3] od přímky p : x = 1 2t, y = 3t, z = 4 + t, t R. Řešení. Přímka p je určena bodem A = [1, 0, 4] a směrovým vektorem u = ( 2, 3, 1). Sestrojíme vektorab = (1, 1, 1). Vypočteme velikost vektorového součinu u AB a velikost vektoru u. u AB i j k = 2 3 1 = i(3 1) j( 2 1) + k( 2 3) = 2i + 3j 5k. 1 1 1 Pak u AB = 2 2 + 3 2 + ( 5) 2 = 38 a u = ( 2) 2 + 3 2 + 1 2 = 14. Dosazením do rovnice (4) dostaneme d(b, p) = 38 19 = 14 7. Příklad 7.3 Vypočtěte velikost výšky v a v trojúhelníku ABC, je-li A = [3, 2, 2], B = = [6, 1, 3], C = [5, 6, 1]. Řešení. Velikost výšky v a je rovna vzdálenosti bodu A od strany a. Strana a je určena vrcholy B a C. Máme tedy určit vzdálenost bodu A od přímky p, která prochází body B a C. Označme BC směrový vektor přímky p; pak BC = ( 1, 7, 4). Dále uvažme např. vektor AB = = (3, 3, 1). Určíme velikost vektorového součinu vektorů BC a AB a velikost vektoru BC. BC AB i j k = 1 7 4 = i(7 12) j(1 12) + k( 3 + 21) = 5i + 11j + 18k. 3 3 1 28