VYSOKÉ ČENÍ TECHNCKÉ V BRNĚ FKLT STVEBNÍ NG. JŘÍ KYTÝR CSc. NG. ZBYNĚK KERŠNER CSc. NG. ROSTSLV ZÍDEK NG. ZBYNĚK VLK ZÁKLDY STVEBNÍ MECHNKY MODL BD-MO PRŮŘEZOVÉ CHRKTERSTKY STDJNÍ OPORY PRO STDJNÍ PROGRMY S KOMBNOVNO FORMO STD
Průřezové charakerk Jří Kýr Zběk Keršer Rolav Zídek Zběk Vlk Bro 4 - (3) -
Obah OBSH Úvod...5. Cíle...5. Požadovaé zalo...5.3 Doba pořebá ke udu...5.4 Klíčová lova...5 Těžšě rových geomerckých úvarů...7. Těžšě rových čar...7.. Obecá rová křvka...7.. Složeá rová čára...8. Těžšě rových obrazců...8.. Obecý rový obrazec...9.. Složeý rový obrazec...9..3 Obrazec ohračeý polgoem... 3 Kvadracké mome rových obrazců...3 3. Mome ervačo jedoduchých obrazců...3 3. Devačí mome jedoduchých obrazců...3 3.3 Traformace k pouuým oám...5 3.3. Mome ervačo k rovoběžým oám...5 3.3. Devačí mome k pouuým oám...6 3.4 Traformace k pooočeým oám...6 3.4. alcké řešeí...7 3.4. Hlaví mome ervačo...8 3.4.3 Mohrova kružce...9 3.5 Poloměr a elpa ervačo... 3.6 Polárí mome ervačo... 3.6. Polárí mome ke dvěma lbovolým bodům... 3.7 Kvadracké mome ložeých obrazců...3 3.7. Obrazec ohračeý polgoem...3 4 Sudjí prame...3 4. Sezam použé leraur...3 4. Sezam doplňkové udjí leraur...3 4.3 Odkaz a další udjí zdroje a prame...3-3 (3) -
Průřezové charakerk - 4 (3) -
Úvod Úvod. Cíle Základ avebí mechak pokračují v omo druhém modulu opě vužím pozaků z fzk ýkajících e vekorů l a jejch půobeí momeu íl rovováh apod. Pro pořeb avebí mechak je aké v omo modulu rozšíříme a úroveň pořebou ke zvláduí avazujících éma v předměech Saka a Pružo a pevo. Jak je jž uvedeo v prvím modulu Základů avebí mechak je aším koečým cílem výpoče oých avebích korukcí z hledka jejch dmezováí podle jedolvých maerálů. Ve druhém modulu e zaměříme a výpoče poloh ěžšě a kvadrackých momeů rových obrazců. Ve řeím a čvrém modulu Základů avebí mechak e budeme zabýva řešeím ack určých korukcí v předměu Saka pak řešeím ack eurčých korukcí.. Požadovaé zalo Základ avebí mechak avazují a zalo obecé fzk. Sude b měl bý obezáme pojm kalár vekor a jaké jou m defovaé maemacké operace co je íla jaké jou Newoov záko a jaké je jejch uží co je ouava čác a její ěžšě co je mome íl a co zameá rovováha l a momeů l. Z maemackého aparáu vužjeme opě goomercké fukce vekorový poče dferecálí a egrálí poče včeě ázorého výzamu dervace jako měrce fukce a egrálu jako plošého obahu pod grafem fukce..3 Doba pořebá ke udu Modul obahuje láku probíraou ve dvou ýdech emeru. Doba pořebá k audováí jedolvých kapol č odavců e ed lší od ěkolka mu do ěkolka deíek mu. Záleží jedak a předchozí průpravě udea v přílušé obla jedak a obížo daého émau. Pořebá doba ke udu celého eu čí až 5 hod..4 Klíčová lova mechaka aka íla acký mome íl dvojce l lová ouava ekvvalece rovováha ěžšě kvadracké mome mome ervačo devačí mome raformace hlaví mome ervačo poloměr ervačo elpa ervačo ložeý obrazec - 5 (3) -
Průřezové charakerk - 6 (3) -
Těžšě rových geomerckých úvarů Těžšě rových geomerckých úvarů Podle fzk [3] je ěžšě ělea ebo ouav ěle defováo jako bod kerý e pohbuje ak jakob v ěm bla ouředěa veškerá hmoa ělea č ouav a půobl v ěm všech vější íl půobící a ěleo. Rověž e azývá řed hmoo eboť je jedozačě urče rozložeím hmoo v ouavě. Za ěžšě e ozačuje bod vůč ěmuž je mome výledé íhové íl ejý jako ouče všech momeů l půobících a jedolvé čáce ělea. Pro určeí ěžšě rových geomerckých úvarů vužjeme v ašch úvahách acký řed ouav fkvích rovoběžých l v rově (od. 3.6 prvího modulu) keré jou úměré velkoem elemeů č jedoduchých čáí geomerckého úvaru. Sekáme e zde pojmem ackého (leárího) momeu úvaru u ěhož je eleme (délkový d č plošý d) áobe délkou.. Těžšě rových čar V áledujících dvou odavcích probereme výpoče ouřadc ěžšě rové čár a o obecé křvk a čár ložeé z jedoduchých přímých eve. zakřveých čáí. Lze o aplkova apř. př aoveí poloh ěžšě pruové (příhradové) korukce apod... Obecá rová křvka V ouřadcové ouavě počákem o je defováa obecá rová homogeí křvka (obr..) kerá je v ervalu a b popáa fukcí f(). Rozdělme křvku a dferecálí eleme d o ouřadcích. Pro eleme d plaí d d d + d + d + d (.) d akže celková délka je b + a d. (.) Obr..: Obecá rová křvka - 7 (3) -
Průřezové charakerk - 8 (3) - Defujme acký mome d (rep. d ) elemeu křvk k oe (rep. ) jako ouč délk elemeu d a vzdáleo (rep. ) elemeu od éo o d d d d. (.3) Sacké mome celé křvk pak jou + b a d d d + b a d d d. (.4) Souřadce ěžšě křvk podle rovce (3.37) prvího modulu jou d d + + b a b a + + b a b a d d. (.5).. Složeá rová čára Složeá rová čára eává z jedoduchých přímých č zakřveých čáí délek a má celkovou délku. Mají-l ěžšě jedolvých čáí ouřadce ( ) ( ) pak pro ouřadce ěžšě ložeé čár plaí vzah. (.6) Specálím případem ložeé čár je lomeá čára. Její jedolvé čá jou voře pouze úečkam jejchž ěžšě leží ve ředech úeček.. Těžšě rových obrazců Polohu ěžšě pořebujeme zá u průřezů pruů z chž jou eavová pruové korukce. K oám procházejícím ěžšěm e vzahují další velč ouřadce ěžšě proo paří k základím průřezovým charakerkám. V áledujících odavcích budeme obecě hovoř o obrazcích.
Těžšě rových geomerckých úvarů.. Obecý rový obrazec važujme rový obrazec lbovolého varu (obr..) umíěý v ouřadcové ouavě. Obrazec rozdělíme a dferecálí eleme o obahu dd d. Celkový plošý obah obrazce je d d d. (.7) Obr..: Obecý rový obrazec Polohu dferecálího elemeu d určují ouřadce a. Sacký mome d (rep. d ) elemeu d k oe (rep. ) je defová jako ouč obahu elemeu a vzdáleo (rep. ) elemeu od přílušé o d d d d. (.8) Pro celý obrazec jou acké mome d d d d d d d d. (.9) Souřadce ěžšě obrazce e určí ze vzahů d d d d d d d d. (.) Zoožěím počáku o ouřadcové ouav ěžšěm obrazce vjde akže v omo případě muí bý. Z oho vplývá že acký mome rového obrazce k lbovolé oe jdoucí ěžšěm je rove ule... Složeý rový obrazec Všeřovaý ložeý rový obrazec rozdělíme a jedoduchých čáí (dílů) apř. obdélík čverec rojúhelík kruh půlkruh apod. u chž záme plošé obah a ouřadce ěžšť ( ). Celkový plošý obah ložeého obrazce je - 9 (3) -
Průřezové charakerk. (.) Po určeí ackých momeů a jedolvých čáí k oám lze aov ouřadce ěžšě celého ložeého rového obrazce ze vzahů. (.) Obahuje-l ložeý obrazec ovor (ebo výřez č odraňovaou čá) poom všech hodo (plošý obah a acké mome) ýkající e ovoru muíme ve výpoču uvažova záporě. Oázk. Jak určujeme ěžšě rových čar a rových obrazců?..3 Obrazec ohračeý polgoem Je-l ložeý rový obrazec ohračeý polgoem j. má var obecého mohoúhelíku (obr..3) lze ouřadce ěžšě obrazce urč pomocí vzahů (.) vjádřeím dílčích obahů a ackých momeů lchoběžíků vvořeých pod každou ohračující úečkou kocovým bod + (obr..4). Dodržíme-l čílováí vrcholů mohoúhelíku pro měru chodu hodových ručček vjdou hodo velč podle obr..4 kladé v případě opačé oreace ohračující úečk vjdou hodo záporé. Obr..3: Rový obrazec ohračeý polgoem Obr..4: Lchoběžík + Každý lchoběžík omezeý ohračující úečkou kocovým bod + (obr..4) můžeme rozděl a obdélík a rojúhelík. Pro jejch plošé obah a ouřadce ěžšť zíkáme výraz ( + ) ( + + ) ( + ) ( ) ( + + ) ( + + ) 3 3 (.3) + - (3) -
Těžšě rových geomerckých úvarů kde jou ouřadce bodu ohračujícího polgou a +. Sacké mome jou + +. (.4) Pro celý ložeý obrazec ohračeý polgoem pak odvodíme výraz ( + ) ( + + ) 6 ( + ) ( + + + + ) 6 ( [( + ) + ( ] + ) + + + ) + (.5) keré lze přímo doad do vzahů (.). Pokud bchom zvoll základí lchoběžík od ohračující úečk kolmo k oe zíkal bchom výraz pro v jedodušším varu (podobě jako je odvoze pro ). Popaý algormu lze velm jedoduše použí pro obrazce vřím ovorem kerý má rověž var polgou. Příklad. Zadáí Saove polohu ěžšě ložeého obrazce olabeého kruhovým ovorem podle obrázku.5; délkové rozměr jou v merech. Řešeí Obr..5: Zadáí příkladu. Všeřovaý ložeý obrazec (obr..6) e kládá z obdélíku z rojúhelíků a 3 a z kruhového ovoru 4. Počáek ouřadcové rov volíme apř. v levém dolím rohu obdélíku podle obrázku.6. Výpoče zahájíme aoveím obahů a ouřadc ěžšť jedolvých čáí: Obdélík 7 7 m (5; 85)m. Trojúhelík 3 9 35 m ( ;4)m. - (3) -
Průřezové charakerk Trojúhelík 3 Kruh 4 9 9 45 m 3 3 4 π 3 87 m ( 3; 4) m. (5;)m 4. Obr..6: Řešeí příkladu. Proože kruhová čá 4 voří ovor budeme v áledujících umách čle odpovídající éo čá odečía. Celkový obah ložeého obrazce určíme podle vzahu (.) 3 4 7 35 45 87 9573 m Souřadce ěžšě určíme ze vzahů (.): + + + +. + + 3 3 4 4 7 5 + 35 ( ) + 45 3 87 5 64 m 9573 + + 3 3 4 4 7 85 + 35 4 + 45 4 87 95 m 9573 Poloha ěžšě ložeého obrazce je azačea a obr..6. Jak je paré z výpoču je ué u všech mezvýledků pracova doaečým (věším) počem plaých cfer ab e ezrala přeo výledku. Shruí Meodka aoveí ackého ředu rové ouav rovoběžých l e uplala př všeřováí poloh ěžšě rových čar a obrazců. Bl zavede pojem ackého momeu geomerckého úvaru. Nejprve jme e zabýval výpočem ěžšě obecé rové křvk a ložeé rové čár včeě čár lomeé. Poléze bla pozoro měřováa k všeřováí poloh ěžšě obecého a ložeého rového obrazce včeě obrazce ohračeého polgoem. - (3) -
Kvadracké mome rových obrazců 3 Kvadracké mome rových obrazců Kvadracké mome (mome druhého upě) rových obrazců paří k důležým geomerckým charakerkám mž e ekáváme př acké aalýze pruových korukcí. Jedá e o mome ervačo a devačí mome D rových obrazců keré předavují průřez reálých pruů. Ozačeí kvadrackých momeů vchází z oho že e u ěcho velč áobí plošý prvek d kvadráem délk ebo oučem dvou délek. 3. Mome ervačo jedoduchých obrazců Vzáheme-l obecý rový obrazec (obr. 3.) k lbovolým ouřadcovým oám ležícím v rově obrazce jou mome ervačo dferecálího plošého elemeu d dd ke každé éo oe defová výraz d d d d. (3.) Obr. 3.: Obecý rový obrazec Mome ervačo celého rového obrazce k přílušým ouřadcovým oám jou d d d d. (3.) Velko momeu ervačo je vzhledem k defc vžd růzá od ul. Zaméko záví pouze a zaméku plošého obahu obrazce (ovoru přuzujeme záporé zaméko). Základí měrovou jedokou momeu ervačo je m 4. Mome ervačo k ěžším oám e ozačují jako cerálí mome ervačo a přílušé o jako cerálí o ervačo. 3. Devačí mome jedoduchých obrazců Vzáheme-l obecý rový obrazec (obr. 3.) oučaě ke dvěma lbovolým ouřadcovým oám ležícím v rově obrazce je devačí mome dferecálího plošého prvku d d d k ěmo oám defová výrazem - 3 (3) -
Průřezové charakerk d d. (3.3) D Devačí mome celého rového obrazce k ouřadcovým oám pak je D d D d. (3.4) Hodoa devačího momeu (kladá záporá č ulová) záví a zamécích ouřadc popř. obahu obrazce ovoru. Základí měrovou jedokou devačího momeu je m 4. Dvojce ouřadcových o k mž má devačí mome ulovou hodou ozačujeme jako hlaví o ervačo. Jedá-l e o o procházející ěžšěm obrazce hovoříme o hlavích cerálích oách ervačo. Obr. 3.: Rový obrazec jedou oou mere Devačí mome rového obrazce alepoň jedou oou mere (obr. 3.) je k éo oe a k další lbovolé oe a kolmé rove ule. Vplývá o z oho že dva ouměrě umíěé dferecálí eleme mají k uvedeým oám devačí mome ejé hodo ale opačého zaméka. Obr. 3.3: Traformace př rovoběžém pouuí o - 4 (3) -
Kvadracké mome rových obrazců 3.3 Traformace k pouuým oám 3.3. Mome ervačo k rovoběžým oám V ouřadcové ouavě počákem o uvažujme lbovolý obecý rový obrazec (obr. 3.3). Př rovoběžém pouuí o z původí poloh do ové poloh o délk c d plaí pro ouřadce plošého elemeu d vzah + d + c. (3.5) Po doazeí výrazů (3.5) do (3.) zíkáme vzah pro mome ervačo k pouuým oám ( + c) d d + c d + c d + c + d c ( + d) d d + d d + d d + d + d d (3.6) kde jou vuž velč defovaé v rovcích (3.) (.9) a (.7). Obecě pak můžeme vzah (3.6) apa ve varu ± c c + ± d d +. (3.7) Záporé zaméko u druhého čleu plaí je-l < eve. < j. vjdou-l délk c d podle (3.5) záporé. Zooží-l e o ěžším oam pak acké mome a vzah (3.7) přejdou a var + c + d (3.8) keré e ozačují jako Seerova věa: Mome ervačo rového obrazce k lbovolé (mmoěžší) oe je rove momeu ervačo k rovoběžé ěžší oe zvěšeému o ouč plošého obahu obrazce a čverce vzdáleo obou o. Jakob Seer (796 863) švýcarký maemak jede z ejvěších přpěvaelů v oboru projekví geomere. - 5 (3) -
Průřezové charakerk 3.3. Devačí mome k pouuým oám Ze zámého devačího momeu D obrazce k pravoúhlým oám určeme devačí mome obrazce k oám rovoběžě pouuým o délk c d. Př vuží výrazů (3.5) zíkáme D d ( + d) ( + c) d D + d + c + cd. (3.9) V případě že o e zooží ěžším oam abývají acké mome ulových hodo a vzah (3.9) přechází a var D D cd (3.) + kerý je aalogí ke Seerově věě. Plaí: Devačí mome rového obrazce k lbovolým (mmoěžším) pravoúhlým oám je rove devačímu momeu k rovoběžým ěžším oám zvěšeému o ouč plošého obahu obrazce a vzdáleoí přílušých rovoběžých o. 3.4 Traformace k pooočeým oám Záme-l kvadracké mome rového obrazce pro pravoúhlou dvojc o počákem o (obr. 3.4) můžeme pomocí ch urč hodo kvadrackých momeů pro jou dvojc pravoúhlých o pooočeou od původích o o úhel α. Řešeí lze prové aalck ebo grafck (pomocí Mohrov kružce). Obr. 3.4: Pooočeí ouřadcových o - 6 (3) -
Kvadracké mome rových obrazců Oo Mohr (835 98) parě ejvýrazější oobo avebí mechak 9. oleí. 3.4. alcké řešeí Plošý eleme d (obr. 3.4) má v pooočeé ouřadcové ouavě ouřadce coα + α α + coα. (3.) Kvadracké mome obrazce k pooočeým oám vjádříme d ( α + coα) d co α + α D α d ( coα + α) d α + co α + D α D d ( coα + α) ( α + coα) d ( ) α + D coα. (3.) Změou úhlu α ve vzazích (3.) e měí hodo kvadrackých momeů k pooočeým oám. Pro určou polohu o pooočeou o úhel α mají mome ervačo erémí hodo. Velko úhlu α zjíme z erému fukce; dervac výrazu (3.) pro podle proměé velč α položíme rovu ule a zíkáme rovc d coα α + α coα co dα α D (3.3) kerá po úpravě a doazeí α α abývá var ( ) + D coα D α. (3.4) Porováím poledí rovcí (3.) zjíme že mome ervačo abývají erémích hodo k akovým oám k mž má devačí mome ulovou hodou. Pro hledaý úhel α úpravou (3.4) zíkáme vzah g D α. (3.5) Téo rovc vhovují dva úhl α a α +π / keré určují polohu dvou o avzájem kolmých. - 7 (3) -
Průřezové charakerk Erémí hodo momeů ervačo předavují zv. hlaví mome ervačo přílušející hlavím oám ervačo. rčíme je ze vzahů (3.) doazeím zámého úhlu α podle (3.5) akže zíkáme co + D α α α +. (3.6) α co α α + D 3.4. Hlaví mome ervačo Vzah (3.6) ejou přílš vhodé pro umercké výpoč eboť obahují růzé áobk úhlu α. vážíme-l proo geomercké závlo co α ( + coα ) α ( co α ) zíkáme (3.6) jako fukce pouze dvojáobého úhlu ve varu ( ) ( )coα α + + D ( )co ( ) α α + + D. (3.7) Po uplaěí vzahů α g α + g α coα + g α do rovc (3.7) a vužím (3.5) obdržíme po úpravě výhodější var + ma m ± ( ) + 4D. (3.8) Obr. 3.5: Rozlšeí hlavích o ervačo Hlaví mome ervačo odpovídají hlavím oám ervačo. Je-l devačí mome D obrazce k původím oám kladý (obr. 3.5a) prochází oa ervačo jíž příluší mamálí (mmálí) mome ervačo druhým a čvrým (prvím a řeím) kvadraem. Př záporém D (obr. 3.5b) je omu právě aopak. Mez mome ervačo k původím oám a k pooočeým oám a rověž ma m k hlavím oám ervačo plaí závlo + + ma + m (3.9) - 8 (3) -
Kvadracké mome rových obrazců kerá vjadřuje koaí hodou ouču momeů ervačo rového obrazce ke dvěma lbovolým vzájemě kolmým oám vedeým ejým bodem o. Vzah (3.9) e ozačuje jako prví (leárí) vara momeů ervačo. Jak dokážeme v od. 3.6 je aké rove polárímu momeu ervačo obrazce pro bod o. 3.4.3 Mohrova kružce Hlaví mome ervačo lze urč aké grafck pomocí Mohrov kružce (obr. 3.6). Vchází e ze zámých hodo kvadrackých momeů k původím oám. Obr. 3.6: Mohrova kružce Zvolíme lbovolě dvě o D (obr. 3.6) avzájem kolmé ezávlé a oách. Od počáku O veeme a ou hodo momeů ervačo O a OV. V bodech V kolmo k oe veeme hodou D X VY ak že př kladém D vášíme X ad ou a VY pod ou. Kružce erojeá ad průměrem XY je Mohrovou kružcí e ředem S a oe ve vzdáleo OS ( + ) (3.) a poloměr ρ má velko S + X + D ( ) + ρ 4D. (3.) - 9 (3) -
Průřezové charakerk Bodem X vedeme rovoběžku původí oou a bodem Y rovoběžku oou. Obě o rovoběžk e proou a Mohrově kružc v bodu P (pólu Mohrov kružce). Ozačíme-l průečík Mohrov kružce oou bod a pak přímk P a P udávají měr hlavích o ervačo jmž příluší hlaví mome ervačo o velkoech ma O OS + ρ m O OS ρ. (3.) Doazeím vzahů (3.) a (3.) do (3.) zíkáme ejé výraz jako v (3.8). Pooáčeím pravoúhlých ouřadcových o v pólu P můžeme grafck urč odpovídající hodo kvadrackých momeů. Oázk. Co jou hlaví mome ervačo rového obrazce a jak e určují?. Co rozumíme devačím momeem obrazce (k daým oám) jak e aoví kd je rove ule? 3.5 Poloměr a elpa ervačo Poloměr ervačo (rep. ) rového obrazce k oe (rep. ) je defová jako druhá odmoca z podílu momeu ervačo k přílušé oe a plošého obahu obrazce ed. (3.3) Poloměr ervačo má délkový rozměr (apř. mer). Ze vzahů (3.3) aopak můžeme urč mome ervačo ze ouču obahu obrazce a čverce poloměru ervačo:. (3.4) Obr. 3.7: Poloměr ervačo k rovoběžým oám Úpravou vzahů (3.8) přhléduím k (3.4) zíkáme vzah mez poloměr ervačo k mmoěžší a ěžší oe (obr. 3.7) + c + d. (3.5) - (3) -
Kvadracké mome rových obrazců Poloměr ervačo obrazce k jeho hlavím oám azýváme hlaví poloměr ervačo a hlavím cerálím oám pak příluší hlaví cerálí poloměr ervačo. Servačé vlao rového obrazce umíěého v ouřadcové ouavě k počáku o grafck vjadřuje elpa ervačo. Zíkáme j ak že uvažujeme v počáku o růzé pravoúhlé dvojce o ervačo odpovídajícím mome ervačo a poloměr ervačo. Vedeme-l rovoběžk oam ervačo ve vzdáleo přílušého poloměru ervačo (obr. 3.8) obalí o přímk křvku kerá je elpou ervačo pro bod o. Elpa ervačo má v ouřadcové ouavě rovc D + D. (3.6) Obr. 3.8: Elpa ervačo obrazce pro bod o Hlaví o elp jou hlavím oam ervačo obrazce a přílušé hlaví poloo a b elp jou předavová hlavím poloměr ervačo pro ěž plaí vzah ma m a b. (3.7) Elpa ervačo erojeá pro ěžšě obrazce e azývá cerálí elpa ervačo a její poloo voří hlaví cerálí poloměr ervačo. 3.6 Polárí mome ervačo Vzáheme-l mome ervačo rového obrazce k lbovolému bodu o v rově obrazce (obr. 3.9) jedá e o zv. polárí mome ervačo (paří rověž mez kvadracké mome). Polárí mome ervačo je defová vzahem o r d (3.8) kde r je vzdáleo plošého elemeu d d d od daého bodu o přčemž plaí vzah. r + - (3) -
Průřezové charakerk Po jeho doazeí do (3.8) obdržíme o ( + ) d d + d +. (3.9) Rovce (3.9) dokládá že polárí mome ervačo o rového obrazce k bodu o je rove ouču dvou aálích momeů ervačo a ke dvěma lbovolým vzájemě kolmým oám a procházejícím bodem o. Podle prvího varau momeů ervačo (3.9) eí velko polárího momeu o závlá a měrech vzájemě kolmých o vedeých všeřovaým bodem o. 3.6. Polárí mome ke dvěma lbovolým bodům Záme-l polárí mome ervačo o k ěkerému bodu o rov obrazce (obr. 3.9) můžeme pomocí ěj aov polárí mome ervačo o k lbovolému jému bodu o. Vzdáleo dferecálího elemeu r určíme ze vzahu ( + d) + ( c) (3.3) r + a po doazeí do (3.9) zíkáme [( + d) + ( + c) ] d + c + d + ( c d. o o + ) (3.3) Obr. 3.9: Polárí mome ervačo V případě že bod o je ěžšěm obrazce budou mí acké mome v (3.3) ulové hodo a vzah e zjedoduší a var o + ( c + d ) + p (3.3) kde p je vzdáleo bodů o a o podle výrazu p c + d. Rovce (3.3) je aalogcká Seerově věě (3.8) a lově j lze vjádř: Polárí mome ervačo rového obrazce k lbovolému bodu rov obrazce je rove polárímu momeu ervačo obrazce k jeho ěžš zvěšeému o ouč obahu obrazce a čverce vzdáleo obou bodů. - (3) -
Kvadracké mome rových obrazců 3.7 Kvadracké mome ložeých obrazců V pra e velm čao vkují průřez ložeé z geomerck jedoduchých čáí u chž záme (vz apř. abulku 3.) polohu ěžšě a kvadracké mome přílušé jejch vlaím ěžším oám. plkací prcpu uperpozce účků a raformačích vzahů (3.8) a (3.) můžeme apa pro výledé kvadracké mome ložeého rového obrazce k oám vzah ( + ) + c ) ( ( + ) + d ) ( D kde začí D D + c d D + ) ( ) obah -ého dílčího obrazce ( (3.33) D D kvadracké mome -ého dílčího obrazce k jeho vlaím ěžším oám rovoběžým oam c d ouřadce ěžšť dílčích obrazců v ouřadcové ouavě. ovoru ebo odraňovaé čá v rámc celého ložeého obrazce e pro plošý obah kvadracké mome uvažuje záporé zaméko. 3.7. Obrazec ohračeý polgoem S vužím vzahů (.3) pro plošé obah a ouřadce ěžšť obou čáí každého lchoběžíku omezeého ohračující úečkou kocovým bod + (obr..4) určíme přílušé kvadracké mome lchoběžíku + 3 36 3 3 ( + ) + ( + )( + ) + 36 3 3 ( + ) + + ( + )( + ) D + ( + ) ( + ) +. (3.34) 7 Po doazeí za obah čáí a ouřadce ěžšť podle (.3) po úpravě a umac obdržíme výledé výraz pro kvadracké mome ložeého obrazce ohračeého polgoem ve varu 3 3 [ ( + )( + + + + + + ) ] - 3 (3) -
Průřezové charakerk { ( + )[ (3 + + ) + + ( + + ) + + ( + 3+ ) ] } D [(3 ) + ( 3 ) + ( ) + + + + + + 4 )] + + ( +. (3.35) Popaý algormu e hodí pro obrazce vřím ovorem kerý má rověž var polgou. Přdáím čáí obrazce (rep. odraěím ovorů) př zalo jejch ěžšť plošých obahů a ěžších kvadrackých momeů (vz ab. 3.) můžeme ado pomocí vzahů (3.8) a (3.) dopl var obrazce vmkající e polgou. Příklad 3. Zadáí Saove mome ervačo a devačí mome ložeého obrazce (obr. 3.) z příkladu. k jeho ěžším oám hlaví mome ervačo měr hlavích o a poloměr ervačo. Vkrelee elpu ervačo obrazce. Řešeí Obr. 3.: Zadáí příkladu 3. Z příkladu. převezmeme plošé obah a poloh ěžšť jedolvých čáí ložeého obrazce celkový obah 9573 m a polohu ěžšě (64; 95) m a aovíme mome ervačo a devačí mome jedolvých čá k ěžším oám ložeého obrazce podle vzahů (3.8) a (3.). Obdélík ( ) 7 + 7 85 95 4683 m 3 4 ( ) 7 + 7 5 64 6789 m 3 4-4 (3) -
Kvadracké mome rových obrazců 4 D + 7 ( 85 95) ( 5 64) 37 m Trojúhelík ( ) 3 9 + 35 4 95 337 m 36 3 4 3 ( ) 4 3 9 + 35 64 748 m 36 D 3 9 + 35 ( 4 95 ) ( 64 ) 7 4 4489 m Trojúhelík 3 Kruh 4 ( ) 3 9 9 + 45 4 95 998 m 36 3 4 3 ( ) 4 3 9 9 + 45 3 64 39 m 36 D 3 + 9 9 + 45 ( 4 95 ) ( 3 64 ) 7 4 395 m 4 4 4 π 3 + 87 ( 95) 386 m 4 4 4 π 3 + 87 ( 5 64) 7 m 4 4 4 D 4 + 87 ( 95) ( 5 64) 874 m Kruhová čá 4 voří ovor proo v omo příkladu budeme v áledujících umách čle odpovídající éo čá odečía. Celkové mome ervačo a devačí mome ložeého obrazce určíme podle vzahů (3.33): + + 3 4 4683+ 337 + 998 386 5364 m + + 3 4 6789 + 748 + 39 7 4384 m D D + D + D D 3 4 ( ) ( ) 37 + 4489 + 395 874 77 m Hlaví cerálí mome ervačo k hlavím oám určíme ze vzahu (3.8) 4 4 4-5 (3) -
Průřezové charakerk mam ma + ± ( ) + 4 D 5364 + 4384 ± (5364 4384) 66 m ; 3557 m. 4 4 m Směr hlavích o určíme ze vzahu (3.5) D 77 g α 489. 4384 5364 Tomu odpovídají dva úhl α 33 4 a α 56986 + 4 77 keré určují polohu hlavích cerálích o a ke kerým jou vzaže hlaví cerálí mome ervačo. Proože devačí mome k původím ěžším oám ložeého obrazce je kladý prochází oa ervačo jíž příluší mamálí mome ervačo ma druhým a čvrým kvadraem (vz obr. 3.). Poloměr ervačo určíme podle vzahů (3.3) a (3.7) 5364 533 m 9573 4384 4697 m 9573 ma 66 9573 559 m ma 3557 9573 463 m m m. Pomocí vpočeých poloměrů ervačo pak erojíme elpu ervačo (vz obr. 3.). Obr. 3.: Hlaví cerálí o ervačo - 6 (3) -
Kvadracké mome rových obrazců Obr. 3.: Elpa ervačo Shruí Pro účel acké aalýz pruových korukcí bl zavede a ověle pojem kvadrackých momeů rových obrazců. Defoval jme pojm mome ervačo a devačí mome jedoduchých obrazců. Zabýval jme e pak jejch raformacem k pouuým oám (Seerova věa) a k pooočeým ouřadcovým oám abchom aalck grafck (pomocí Mohrov kružce) mohl všeř hlaví rep. hlaví cerálí mome ervačo. Pojedáo blo aké o poloměru ervačo a elpe ervačo. Defová bl éž polárí mome ervačo. - 7 (3) -
Průřezové charakerk Tab. 3.: Geomercké charakerk rových obrazců - 8 (3) -
Kvadracké mome rových obrazců Tab. 3.: Geomercké charakerk rových obrazců (pokračováí) - 9 (3) -
Průřezové charakerk Tab. 3.: Geomercké charakerk rových obrazců (pokračováí) - 3 (3) -
Sudjí prame 4 Sudjí prame 4. Sezam použé leraur [] Kadlčák J. Kýr J. Saka avebích korukcí. Základ avebí mechak. Sack určé pruové korukce. Druhé vdáí. VT- M Bro [] Novoá H. Ca S. Páček M. Teorecká mechaka. SNTL/LF Praha 983 4. Sezam doplňkové udjí leraur [3] Hallda D. Reck R. a Walker J. Fzka. VTM Bro [4] Julš K. Brepa R. Mechaka. Saka a kemaka. Techcký průvodce 65. SNTL Praha 986 [5] Meram J. L. Egeerg Mechac. Sac ad Damc. Joh Wle & So New York 978 [6] Ca S. Saka avebích korukcí Děj avebí mechak. Doplňková krpa. ČVT Praha 99 [7] Novák O. Hořejší J. a kol. Sacké abulk pro avebí pra. Techcký průvodce 5. Druhé přepracovaé vdáí SNTL Praha 978 4.3 Odkaz a další udjí zdroje a prame [8] hp://www-gap.dc.-ad.ac.uk/~hor/mahemaca - 3 (3) -
Průřezové charakerk Pozámk - 3 (3) -