Poslouposti řdy
Poslouposti řdy Obsh. Poslouposti... 8. Úvod do posloupostí... 8. Aritmetická geometrická posloupost... 9. Limit poslouposti... 9. Řdy... 0. Nekoečá geometrická řd... 0 Strák 7
Poslouposti řdy. Poslouposti. Úvod do posloupostí. Posloupost je dá vzorcem pro -tý čle. Npište prvích pět čleů dé poslouposti črtěte grf. ) b) c) d) Řešeí: ) Vypočítáme prvích pět čleů poslouposti pro,,,, 7 b),,,, 0 8 Strák 8
Poslouposti řdy c) 7 d). Posloupost je dá rekuretě. Vypočítejte prvích čleů dé poslouposti., ) b), Řešeí: ), Vypočítáme prvích čleů dé poslouposti pro,,,, 9 0 Strák 9
b), Poslouposti řdy Vypočítáme prvích čleů dé poslouposti pro,,,, 9 9. Posloupost je dá rekuretě. Vypočítejte prvích 6 čleů dé poslouposti.,, ) b),, Řešeí: ),, Vypočítáme prvích 6 čleů dé poslouposti pro,,,,,6 0 0 9 9 0 8 8 9 9 6 b),, Vypočítáme prvích 6 čleů dé poslouposti pro,,,,,6 6 6 9 9 6 9. Rozhoděte, zd je dá posloupost rostoucí, klesjící, přípdě i rostoucí i klesjící. Zkreslete grf poslouposti pro prvích 6 čleů. ) b) log0 c) d) e) f) Strák 0
Poslouposti řdy Řešeí: ) Nejdříve vypočítáme prvích 6 čleů této poslouposti 6 9 9 6 6 6 Z prvích šesti čleů poslouposti je ptré, že by se mohlo jedt o posloupost rostoucí. Dokážeme, že: N : N 7 : Z posledího řádku je erovost zřejmá. Bylo tedy dokázáo, že tto posloupost je rostoucí. Strák
b) log0 Poslouposti řdy Nejdříve vypočítáme prvích 6 čleů této poslouposti. log0 6 log0 log0 log0 log0 6 log0 6 Z prvích šesti čleů poslouposti je ptré, že by se mohlo jedt o posloupost klesjící. Dokážeme, že: N : N : log0 log0 log0 log0 v Z posledího řádku je erovost zřejmá. Bylo tedy dokázáo, že tto posloupost je klesjící. Strák
Poslouposti řdy c) Nejdříve vypočítáme prvích 6 čleů této poslouposti. 6 6 8 0 Vzhledem k oscilci hodot je zřejmé, že se jedá o posloupost, která eí i rostoucí i klesjící. Tto situce je způsobe střídjící se lichou sudou mociou čísl. d) Nejdříve vypočítáme prvích 6 čleů této poslouposti. 7 6 7 6 8 6 6 7 Strák
Poslouposti řdy Z prvích šesti čleů poslouposti je ptré, že by se mohlo jedt o posloupost klesjící. Dokážeme, že: N : N : / 8 8 Z posledího řádku je erovost zřejmá. Bylo tedy dokázáo, že tto posloupost je klesjící. e) Nejdříve vypočítáme prvích 6 čleů této poslouposti. 9 6 6 6 6 Z prvích šesti čleů poslouposti je ptré, že by se mohlo jedt o posloupost rostoucí. Dokážeme, že: N : N : Z posledího řádku je erovost zřejmá. Bylo tedy dokázáo, že tto posloupost je rostoucí. Strák
Poslouposti řdy f) Nejdříve vypočítáme prvích 6 čleů této poslouposti. 0 9 6 8 6 6 6 9 Z hodot prvích šesti čleů této poslouposti je ptré, že je posloupost pro =,,, klesjící. Hodoty dlších čleů poslouposti (pro > ) jsou pro kždé dlší větší, proto je tto posloupost pro > rostoucí. Je tedy zřejmé, že tto posloupost eí rostoucí i klesjící pro N. Strák
Poslouposti řdy. Rozhoděte, zd je posloupost omezeá shor, zdol ebo zd je omezeá. ) b) 0 c) cos0 d) e) f) g) Řešeí: ) h) tg i) j) k) e l Posloupost ( ) = je omezeá (shor omezeá, zdol omezeá), jestliže je moži všech jejích čleů omezeá (shor omezeá, zdol omezeá), tedy jestliže eistuje tkové K R : K K, K, N Z hodot prvích čleů poslouposti 6 7 6 8 je zřejmé, že je tto posloupost zdol omezeá. Eistuje totiž K :, N. Strák 6
b) 0 Z hodot prvích čleů poslouposti 0 9 6 0 0 7 0 0 6 0 06 Poslouposti řdy vidíme, že je posloupost zdol omezeá. K 9 R :, N. c) cos0 Z hodot prvích čleů poslouposti cos0 0,98 6 7 8 9 0 cos 0 0,9 cos 0 0,87 cos 0 0,77 cos0 0,6 cos0 0,... cos70 0,99 cos80 cos90 0, 77 cos 00 0,9 cos 0 0,87 cos 0 0,77 Z výčtu vybrých hodot poslouposti můžeme usuzovt posloupost omezeou. Tké z grfu fukce f cos0. je vidět, že se jedá o fukci omezeou to čísly K = ±. Jelikož poslouposti jsou vlstě fukce defiové možiě přirozeých čísel, lze říct, že jsme lezli tkové K = R:. Posloupost je tedy omezeá. Strák 7
Poslouposti řdy d) e) Z hodot prvích čleů poslouposti 9 6 6 6 je zřejmé, že se jedá o posloupost rostoucí, jejíž prví čle doshuje ejmeší hodoty to. Posloupost je tedy omezeá zdol hodotou shor hodotou 0, ke které se jedotlivé hodoty čleů poslouposti blíží. Pltí tedy: N: < 0 posloupost je tedy omezeá. Z hodot prvích čleů poslouposti pro N, 7 9 6 6 6 je vidět, že zdá posloupost je shor omezeá hodotou K =. Hodoty čleů poslouposti se pro N, blíží hodotě. Je tedy zřejmé, že posloupost je omezeá, pltí: N, :. Strák 8
f) g) Poslouposti řdy Z hodot prvích čleů poslouposti pro N: 0 7 6 7 6 6 6 0 je zřejmé, že se jedá o posloupost rostoucí. Nejmeší hodotu doshuje tto posloupost pro =. Posloupost je tedy omezeá zdol hodotou K =. Pltí tedy: N:. Z hodot ěkolik čleů poslouposti 6 6 6 6 6 7 je zřejmé, že tto posloupost eí omezeá i shor i zdol. Pro lichá hodoty čleů poslouposti klesjí, pro sudé hodoty pk hodoty čleů poslouposti rostou. Posloupost (( ) ( ) + ) = eí omezeá. Pro ilustrci uveďme grf poslouposti pro prvích šest čleů. Strák 9
h) tg Z hodot ěkolik čleů poslouposti 0,08 0,0 0,0 0,070 0,088 Poslouposti řdy 6 0,0 ze zřejmé, že se jedá o posloupost rostoucí zdol omezeou hodotou prvího čleu poslouposti. Posloupost je tedy omezeá zdol hodotou K = 0,08. Pltí tedy: N: 0,08. f Pro ilustrci si uveďme grf fukce tg i) Z hodot ěkolik čleů poslouposti 0 0 6 6 je zřejmé, že ejmeší hodot, kterou tto posloupost bývá je 0, to pro prví Strák 0
Poslouposti řdy čle poslouposti. Posloupost je tedy omezeá shor, eboť je klesjící. Při sledováí hodot čleů poslouposti zjišťujeme, že se blíží limití hodotě. Posloupost je tedy omezeá pltí: N: < 0. Pro ilustrci ukžme grf prvích 0 čleů této poslouposti. j) e Z hodot ěkolik čleů poslouposti e 0 e e e e e e e e 6 6 e 6 e 6 6 6 je zřejmé, že jde o posloupost rostoucí. Nejmeší hodotu doshuje tto posloupost pro =, = 0. Z dlších hodot čleů poslouposti je vidět, že tto posloupost eí shor omezeá. Jde tedy o posloupost zdol omezeou hodotou K = 0 pltí: N: 0. Strák
Poslouposti řdy Grf poslouposti pro prvích šest čleů: k) l Vypočítáme ejdříve pár čleů poslouposti: l l l l 6 l 7 l 8 l 6 6 9 po výpočtu zokrouhleí: 0, 0,, 0,8, 0,98, 0, 0, 6 0,99 Z uvedeých hodot vyplývá, že posloupost doshuje své miimálí hodoty pro = to = 0. Dále hodoty čleů poslouposti rostou. Mimálí hodotu doshuje tto posloupost pro = to = 0,0. Dále čley poslouposti klesjí limitě se blíží hodotě 0. Je tedy zřejmé, že je tto posloupost omezeá pltí: N: 0 l. 8 Strák
Poslouposti řdy 6. Vypočítejte limitu poslouposti, určete dlší vlstosti, rozhoděte, zd je dá posloupost kovergetí. ) 0 b) c) Řešeí: ) 6 d) 0 Vypočítáme ěkolik hodot čleů poslouposti 0 0 0 0 0 0 0 6 6 Z prvích šesti čleů poslouposti je zřejmé, že se jedá o posloupost klesjící, eboť N: < + > +. Posloupost je shor omezeá hodotou prvího čleu poslouposti tedy pro = to hodotou = 0. Určíme limitu Strák
Poslouposti řdy 0 0 0 poslouposti lim lim 0. Z hodoty limity poslouposti je zřejmé, že se hodoty čleů poslouposti budou pro blížit hodotě 0. Posloupost je tedy omezeá kovergetí s limitou 0. b) Ze zdáí příkldu, je zřejmé, že pro N budou všechy hodoty čleů poslouposti stejé to =. Jedá se tedy o posloupost kosttí. Tto c) posloupost je jistě kovergetí, eboť: lim Jelikož je kždá kovergetí posloupost omezeá, můžeme říct, že se tedy jedá o posloupost omezeou. 6 Nejdříve si určíme hodoty ěkolik prvích čleů poslouposti: 6 6 0 6 6 6 6 6 8 7 66 7 6 6 8 Z těchto hodot je zřejmé, že jde o posloupost rostoucí. Zdá se, že se hodoty čleů poslouposti blíží k jisté hodotě. Vypočítáme limitu 6 6 6 0 lim lim 6 0 Eistuje tedy vlstí limit, ke které se hodoty čleů poslouposti blíží. Posloupost je kovergetí tedy i omezeá (zdol hodotou, tedy hodotou prvího čleu poslouposti, shor hodotou limity poslouposti, tedy hodotou 6). Strák
Poslouposti řdy d) Nejdříve si určíme hodoty ěkolik prvích čleů poslouposti: 6 9 6 6 6 6 9 U jedotlivých hodot čleů poslouposti dochází ke střídáí zméek, vzhledem ke střídjícím se sudým lichým mociám čísl ( ). Jedá se tedy o posloupost lterující. Alterující posloupostí rozumíme libovolou posloupost ( ) =, kterou lze zpst jko = ( ) b, kde b = R + 0. Posloupost je shor i zdol omezeá to hodotou prvího čleu =, respektive druhého čleu. Pro výpočet limity poslouposti si zjedodušíme situci tk, že budeme předpokládt, že všech zmék hodot čleů poslouposti jsou kldá. Tedy počítáme limitu poslouposti 0 lim lim 0 Posloupost je tedy lterující, kovergetí omezeá. 7. Rozhoděte, zd je posloupost ritmetická ebo geometrická. V přípdě ritmetické poslouposti určete difereci, v přípdě geometrické poslouposti určete kvociet. ) b) 6 c) d) e) log f) e 0 g) Strák
Řešeí: ) Poslouposti řdy Nejdříve si vypočítáme ěkolik hodot prvích čleů poslouposti 0 7 6, 6, 8 7, 7 6 9 Je zřejmé, že hodot ásledujícího čleu je vždy o větší ež hodot čleu předcházejícího. Jedá se tedy zřejmě o ritmetickou posloupost s diferecí d, eboť: 6 6 d. b) 6 Nejdříve si vypočítáme ěkolik hodot prvích čleů poslouposti: 6 6 6,, 6 6 6 6, 6, 6 9 6 9 7 6 0, 7, 7 6 6 6 8 6 8 8 Je zřejmé, že hodot ásledujícího čleu je vždy o větší ež hodot čleu předcházejícího. Jedá se tedy zřejmě o ritmetickou posloupost s diferecí d, eboť: 6 6 6 6 d 6 6 6 6 6 6 8 6 6 8 6 Strák 6
c) d) Poslouposti řdy Nejdříve si vypočítáme ěkolik hodot prvích čleů poslouposti:, 7,,, 8 8 Je zřejmé, že hodot ásledujícího čleu je vždy o meší ež hodot čleu předcházejícího. Jedá se tedy zřejmě o ritmetickou posloupost s diferecí d, eboť: d 6 7 6 9, 7, Nejdříve si vypočítáme ěkolik hodot prvích čleů poslouposti 8,, 9, 6 8 6 7, 6 Z těchto hodot je vidět, že kždý ásledující čle vzike z předcházejícího vyásobeím číslem. Jedá se tedy o geometrickou posloupost s kvocietem q. Určíme hodotu kvocietu z, resp. + čleu: q e) log Nejdříve si vypočítáme ěkolik hodot prvích čleů poslouposti: log log log log, log log log, tedy log log log log, log Z těchto hodot je zřejmé, že se kždý ásledující čle poslouposti liší o hodotu log. Tedy kždý ásledující čle získáme z předcházejícího přičteím hodoty log. Určíme hodotu diferece z, resp. + čleu: d log log log log log log Strák 7
Poslouposti řdy Strák 8 f) e Nejdříve si vypočítáme ěkolik hodot prvích čleů poslouposti:,, e e e e e e 6 6 7 7 6,, 8 8 e e e e e e Z těchto hodot je vidět, že kždý ásledující čle vzike z předcházejícího vyásobeím číslem e. Jedá se tedy o geometrickou posloupost s kvocietem e q. Určíme hodotu kvocietu z, resp. + čleu: e e e q e g) 0 Nejdříve si vypočítáme ěkolik hodot prvích čleů poslouposti: 0, 0 0, 0 0 0, 0 00 6 6 7 7 8 8 0 00 0, 0 000, 0 000 0, 0 0000 Z těchto hodot je vidět, že kždý ásledující čle vzike z předcházejícího vyásobeím číslem 0. Jedá se tedy o geometrickou posloupost s kvocietem 0 q. Určíme hodotu kvocietu z, resp. + čleu: 0 0 0 0 0 0 q.
Poslouposti řdy. Aritmetická geometrická posloupost. Určete ěkolik čleů rekuretě zdé poslouposti. Rozhoděte, zd jde o posloupost ritmetickou či geometrickou. Zpište tuto posloupost pomocí vzorcem pro -tý čle. 7, ) b) c) Řešeí: ),, 7, Nejdříve vypočítáme hodoty ěkolik prvích čleů poslouposti b) 7, 7 0, 0, 6 6 9, 9, 6 6 Z hodot prvích 7 čleů poslouposti je vidět, že kždý ásledující čle poslouposti získáme z předcházejícího čleu přičteím. Jedá se tedy o posloupost ritmetickou s diferecí d. Vzorec pro -tý čle lze v tomto přípdě odhdout, přípdě užijeme ásledující metodu: 7... Z těchto rovostí vytvoříme součet... 7... 7 posuutím ideu získáváme vzorec pro -tý čle 7 7., Nejdříve vypočítáme hodoty ěkolik prvích čleů poslouposti:, 9,, 6, 0 Z hodot prvích čleů poslouposti je vidět, že kždý ásledující čle poslouposti získáme z předcházejícího čleu přičteím. Jedá se tedy o posloupost ritmetickou s diferecí d. Strák 9
Poslouposti řdy c) Vzorec pro -tý čle lze v tomto přípdě odhdout, přípdě užijeme ásledující metodu:... Z těchto rovostí vytvoříme součet...... posuutím ideu získáváme vzorec pro -tý čle., Nejdříve vypočítáme hodoty ěkolik prvích čleů poslouposti:, 7,, 8, 9, 6 Z hodot prvích 6 čleů poslouposti je vidět, že kždý ásledující čle poslouposti získáme z předcházejícího čleu vyásobeím číslem. Jedá se tedy o posloupost geometrickou s kvocietem q. Vzorec pro -tý čle lze v tomto přípdě odhdout:, přípdě užijeme ásledující metodu:... Z těchto rovostí vytvoříme souči:...... jsou-li všech i eulová, můžeme psát:... posuutím ideu získáváme vzorec pro -tý čle. Strák 60
Poslouposti řdy. Určete reálé číslo R tk, by čísl,, tvořil tři ásledující čley ritmetické poslouposti. ),, 6 b) log, log, log c) si, si, si Řešeí: ),, 6 Z těchto čleů ritmetické poslouposti vyjádříme difereci d: d d 6 6 Musí pltit: 7 8 0 78 0 D 9 8 9 8, 8 9 7 9 7 9 7 9,, 8 Pro, 8 tvoří čísl,, tři po sobě jdoucí čley ritmetické poslouposti. b) log, log, log Z těchto čleů ritmetické poslouposti vyjádříme difereci d: log log log log log d log log log d Musí pltit: log log log log 0 8 6 Pro tvoří čísl,, tři po sobě jdoucí čley ritmetické poslouposti. c) si, si, si Z těchto čleů ritmetické poslouposti vyjádříme difereci d: si si d si si d Strák 6
Pomocí součtových vzorců získáváme: Poslouposti řdy si si si cos cos si si si cos si d si si si cos cos si si cos cos si cos si cos d Musí pltit: si cos si cos si cos si cos si cos si cos 0 si cos 0 si cos 0 si si 0 si si si si si si si k, k, k Z 0 7 si, k, k, k Z 7 Pro k, k pro k, k, k Z tvoří čísl,, tři po sobě jdoucí čley ritmetické poslouposti.. Určete reálé číslo Rtk, by čísl,, tvořil tři ásledující čley geometrické poslouposti. ),, log, log, log b) Řešeí: ),, Z těchto čleů geometrické poslouposti vyjádříme kvociet q q q Strák 6
Poslouposti řdy b) Musí pltit: 0 0 / subst. : z z z D D 0 6 6 8 6 8 8 z, z 6, z Návrtem k substituci 6 log 6 NŘ Pro log 6 tvoří čísl,, tři po sobě jdoucí čley geometrické poslouposti. log, log, log Z těchto čleů geometrické poslouposti vyjádříme kvociet q: log q log log q log Musí pltit: log log log log log log log log log log log 9 log 6 log 9 log 6 log log 6log log 7log log 9 log 6log 7log log log log 6 0 / subst.: y log y y 6 0 D 96 6 6 D 6 y, y, y 8 8 Návrtem k substituci: y log log 00 y log log 0 0 Strák 6
Poslouposti řdy Podmíky: 7log log 0 / subst.: z log z 7z 0 D 9 D 7 z, z, z z log 0 log 0 0 0 z log 000 log 0 0, 00 Pro 00, 0 tvoří čísl,, tři po sobě jdoucí čley geometrické poslouposti.. V ritmetické poslouposti pltí 0, d. Kolikátý čle této poslouposti je rove: ) b) 00 Řešeí: ) V ritmetické poslouposti pltí: d dosdíme do vzthu vyjádříme ezámou 0 0 0. čle dé poslouposti má hodotu. b) 00 V ritmetické poslouposti pltí: d dosdíme do vzthu vyjádříme ezámou 00 0 00 0 8 7 7. čle dé poslouposti má hodotu 00. Strák 6
Poslouposti řdy. V geometrické poslouposti pltí 6, q. Kolikátý čle této poslouposti je rove 787 8. Řešeí: V geometrické poslouposti pltí, že ezámou 787 6 8 7 7 87 7 8 7 8 8. čle uvedeé poslouposti je rove 787 8. q. Dosdíme do vzthu vyjádříme 6. V geometrické poslouposti pltí, q. Kolikátý čle této poslouposti je rove 79. Řešeí: V geometrické poslouposti pltí, že ezámou 79 q. Dosdíme do vzthu vyjádříme 79 79 6 6 Hodot. čleu uvedeé geometrické poslouposti je rov 79. 7. Určete prví čle difereci ritmetické poslouposti, ve které 9, 0 7. r s d r s r s. Doszeím: Řešeí: V ritmetické poslouposti pltí, že r s,, : d 0 0 7 9 6d d 8 Pro prví čle poslouposti pltí: d 98 V dé ritmetické poslouposti je, d 8. Strák 6
Poslouposti řdy 8. Určete prví čle difereci ritmetické poslouposti, ve které,. r s d r s r s. Doszeím: Řešeí: V ritmetické poslouposti pltí, že r s,, : d 8d 9 8d 9 9 d 8 6 Pro prví čle poslouposti pltí: 9 8 8 d 6 6 6 6 6 8 9 V dé ritmetické poslouposti je, d. 8 6 9. Určete prví čle difereci ritmetické poslouposti, ve které: 0. 9 Řešeí: Vyjádříme si všechy čley v této soustvě rovic pomocí prvího čleu diferece, eboť pltí: d Tedy: d d 0 d 9 d d 0 d 9 0 d 9 0 80 d 9 d d Prví čle diferece zdé poslouposti je 0, d. Strák 66
Poslouposti řdy 0. Určete prví čle difereci ritmetické poslouposti, ve které pltí:. Řešeí: 8 d 0 d d d 7d d 0 / 8d 0 8d 0 / 8d 0 0 0 R d d Prví čle diferece zdé poslouposti je R, d.. Určete prví čle difereci ritmetické poslouposti, ve které pltí: 0 7 8 Řešeí:. 0d d 0 0 0 0 d d 6d 7d 0 0d 0d 0 / 0d / 0d 0 0d Strák 67
Poslouposti řdy Prví čle diferece zdé poslouposti je, d. 0. Určete prví čle difereci ritmetické poslouposti, ve které pltí:. Řešeí: d d d d d d d d d d d d d 0d d d d d / 0d d 0d d d 6 d d, d d, Prví čle diferece zdé poslouposti je, d,, d.. Určete prví čle difereci ritmetické poslouposti, ve které pltí: 8. Řešeí: d d 8 d d d d 0 6d 8 d d 8 d 6d 6d 8 Strák 68
8 6d d d d d 6d d d 6d d Poslouposti řdy d 6 0 Prví čle diferece zdé poslouposti je 0, d.. Určete prví čle kvociet geometrické poslouposti, ve které pltí: 6, ) b) 0 0 c) 8 60 7 d) 60 Řešeí: ) 6, rs V geometrické poslouposti pltí, že r sq, r, s N, r s Pltí tedy: q 6q q 6 q Pro prví čle poslouposti pltí: q q 6 6 q 6 6 V dé geometrické poslouposti je prví čle kvociet rove b) 0 0 6, q q q 0 q q q 0 Strák 69
q q 0 q q q 0 0 q q, 0 0 q 0 0q 0 q 8 0 0 Poslouposti řdy V dé geometrické poslouposti je prví čle kvociet rove, q c) 8 60 7 q q 7 q q 6 60 q ( q ) 60 q ( q ) q q q 60 q q q q q 60 q q q q q q q 0 D 6 9 D q, q, q Doszeím hodot kvocietů do příslušé rovice získáváme hodoty prvích čleů 60 8 6 60 8 6 0 60 60 8 V dé geometrické poslouposti pltí:, q ;, q. Strák 70
Poslouposti řdy d) 60 Čley poslouposti přepíšeme pomocí prvího čleu: q q 60 q q( q) 60 ( q ) 60 q( q) 60 ( q) q q q q ( )( ) 60 q q 60 q q q q 60q 60q 60 q 0 60q q 60 0 q 6q 0 D 676 00 76 D 6 q, q, q 0 Doszeím hodot kvocietů do příslušé rovice získáváme hodoty prvích čleů: 60 60 0 V dé geometrické poslouposti pltí:, q ; 0, q.. Tři čísl, která tvoří tři ásledující čley ritmetické poslouposti, mjí součet 60 souči 700. Určete tto čísl. Řešeí: 60 700 Čley poslouposti přepíšeme pomocí prvího čleu: d d 60 d d 700 Strák 7
d 60 d 0 0 d d d 700 d d d d d d d d 0 0 0 700 0 0 0 700 0 d 0 0 d 0 Získáváme dvě poslouposti:, 0,, 0, Poslouposti řdy 00 d 0 700 8000 0d 700 0d 00 d d 6. Určete tři reálá čísl větší ež 8 meší ež 68 tk, by spolu s dými čísly tvořil pět ásledujících čleů ritmetické poslouposti. Řešeí: V této poslouposti musí pltit: 8 68 d 8 d d 68 8 d 60 Získáváme tedy dvě poslouposti: Pro = 8, d = 60 pltí: 8, 68, 8, 88, 68 Pro = 68, d = 60 pltí: 68, 88, 8, 68, 8 7. Určete tři reálá čísl větší ež 8 meší ež 68 tk, by spolu s dými čísly tvořil pět ásledujících čleů geometrické poslouposti. Řešeí: V této poslouposti musí pltit: 8 68 q 68 8q q, 8 Získáváme tedy poslouposti: 8,, 7, 6, 68 Strák 7
Poslouposti řdy Pro = 8, q = pltí: 8,, 7, 6, 68 Pro = 8, q = pltí: 8,, 7, 6, 68 Pro = 68, q = pltí: 68, 6, 7,, 8 Pro = 68, q = pltí: 68, 6, 7,, 8 8. V geometrické poslouposti je dáo, q. Určete N tk, by pltilo: 6 800. Řešeí: q q 800 800 6 6 800 6 6 800 0 / 8 8 6 09600 0 D 9800 980 D 09 09 y, y 0, y 0 Návrt k substituci 0 0 0 Druhá rovice emá řešeí. Nlezli jsme tedy hledou hodotu = 0. 9. Mezi kořey kvdrtické rovice 0 + 6 = 0 vložte čtyři čísl tk, by spolu s vypočteými kořey tvořil šest po sobě jdoucích čleů ritmetické poslouposti. Řešeí: 0 6 0 D 00 6 6 D 6 0 6, 8, Pltí tedy, že, 6 8 tké 8, 6 d 6 6 8 d d Tké d 6 6 8 d d Strák 7
Poslouposti řdy Dostáváme tedy ásledující ritmetickou posloupost: =, = 6, =, = 8, =, 6 = 8 Dlší posloupostí je posloupost: = 8, =, = 8, =, = 6, 6 = 8 0. Mezi kořey kvdrtické rovice 0 + 6 = 0 vložte čtyři čísl tk, by spolu s vypočteými kořey tvořil šest po sobě jdoucích čleů geometrické poslouposti. Řešeí: 0 6 0 D 00 6 6 D 6 0 6, 8, Pltí tedy, že, 6 8 tké 8, 6 q 6 8 q q Tké: q 6 8q q Dostáváme tedy ásledující ritmetickou posloupost: =, =, =, =, =, 6 = 8 Dlší posloupostí je posloupost: = 8, = 8, = 8, = 8, = 8, 6 =. V ritmetické poslouposti záme prví čle difereci = 8, d =. Určete N tk, by pltilo, že + + = 89. Řešeí: Čley poslouposti zpíšeme pomocí prvího čleu diferece: d d 89 8 8 89 8 8 0 89 0 Uvedeá rovost je splě, je-li =.. Určete dvě reálá čísl, y tk, by čísl,, y tvořil tři ásledující čley geometrické poslouposti čísl, y, 8 tvořil tři ásledující čley ritmetické poslouposti. Strák 7
Poslouposti řdy Řešeí: Pltí: GP:, = q, y = q AP:, y = + d, 8 Vytvoříme soustvu rovic: y d 8 d q q d 8 qd 8 d q 8 d q 6 d 6 d 6 d d 6 d d 8 d d 9 08 d d 8 d d d 90 0 d 69d 70 0 D 76 0 D 69 d, d, d 6 8 90 7 90 q 6 6 q 6 6 6 Pro geometrickou posloupost pltí:, = 9, ( ) = 7 = 9, y = 7, 6, = 6, y = Pro ritmetickou posloupost pltí: 9, 7, 8 = 9, y = 7 6,, 8 = 6, y =. Určete čtyři čísl tk, by prví tři tvořil tři ásledující čley ritmetické poslouposti s diferecí d = posledí tři tvořil ásledující čley geometrické posloupostí s kvocietem q =. Strák 7
Poslouposti řdy Řešeí: Pro prví tři čley, které tvoří ritmetickou posloupost, pltí: d d 6 Pro čley geometrické poslouposti pltí: q q Získáváme soustvu: 6 6 9 Dá čtveřice čísel je tedy: 9, 6,,. Délky str prvoúhlého trojúhelíku tvoří tři po sobě jdoucí čley ritmetické poslouposti. Obvod trojúhelík je 96 cm. Vypočítejte délky str. Řešeí: V zdém prvoúhlém trojúhelíku o strách,,, kde je odvěs, pltí: 96 d d 96 d d d 96 / : d d d d d d d d 0 d d d d 0 0 6d d 6d d d 0 8d 0 d 8 8 Strák 76
Poslouposti řdy Pro stry prvoúhlého trojúhelík tedy pltí: =, =, = 0 o 0 9 cm. V ritmetické poslouposti je =, d =. Kolik čleů této poslouposti musíme sečíst, by byl součet větší ež 0? lze Řešeí: Ze vzorce pro součet prvích -čleů ritmetické poslouposti s získt ásledující erovici: 0 d 0 d d 0 6 / 00 00 0 0 0 D 000 00 D 0 0, Kvdrtický trojčle lze tedy rozložit: 0 0 0 Řešeím této erovice je itervl: 0 0,, Jelikož je N, pk řešeím je prví přirozeé číslo větší ež 0. Přibližá hodot tohoto čísl je 0,9. Je třeb vzít tedy lespoň čleů této poslouposti, by jejich součet byl větší ež 0. 6. V ritmetické poslouposti záme = 8. Určete podmíku pro difereci tk, by pltilo s9 0. Řešeí: Ze vzorce pro součet prvích -čleů ritmetické poslouposti s 9 s9 d 6d Neboť: d, 6d 9 plye Strák 77
Doszeím: 9 0 d 9 0 6 d / 00 6d 6d d 6 Poslouposti řdy Diferece tkovéto ritmetické poslouposti musí být d. 7. Určete, jkou podmíku musí splňovt prví čle ritmetické poslouposti s diferecí d =, by pltilo s 0 000. plye Řešeí: Ze vzorce pro součet prvích -čleů ritmetické poslouposti s 0 0 s0 0 9d 0 9 000 0 90 000 0 0 0 0 Prví čle dé ritmetické poslouposti musí splňovt podmíku 8. Určete součet všech sudých čísel, která vyhovují erovici 0 0. Řešeí: Vyřešíme erovici: 0 0 D 809 600 09 D 7 7, 0, Uvedeá erovost je splě, jestliže,0. V tomto itervlu se cházejí ásledující sudá čísl:, 6, 8, 0,,, 6,, 8, 0 Počet sudých čísel v tomto itervlu je. Součet těchto sudých čísel: s = ( + 0) = 68 Součet všech sudých čísel vyhovující příslušé erovici je 68. Strák 78
Poslouposti řdy 9. V ritmetické poslouposti určete prví čle difereci, jestliže pltí: 6 6, s6 0. Řešeí: d 6 d 6 6 d tedy: d d / 6 s6 6 d 6 d 0 d d 6 d 0 0d 0 / 6 d 0 6 9d 0 6 d 0 0d 0 0 d 0 0 0 6 V dé ritmetické poslouposti pltí: 6, d. 0. V ritmetické poslouposti určete prví čle difereci, jestliže pltí: s 60, s0 70. Řešeí: d 0 9d tedy: s d d 60 0 s0 0 9d 9d 70 Strák 79
d 60 / 9d 70 0 0d 0 0 d 70 / d 0 d 0 0 0 0 80 Poslouposti řdy 8 V dé ritmetické poslouposti pltí = 8, d =.. V ritmetické poslouposti určete prví čle difereci, jestliže pltí: s 0 = s = 6. Řešeí: 0 9 d, 0d tedy: 0 s0 0 9d 9d 6 s 0d 0d 6 9d 6 0 d 6 9d d 6 9d d / 9d 0d 0 d d 9 7 60 0 V dé ritmetické poslouposti pltí = 0, d =. Strák 80
Poslouposti řdy. V ritmetické poslouposti je prví čle diferece = 0, d =. Vypočítejte čle, který je rove jedé šestiě součtu všech čleů předchozích. Řešeí: Pro hledý čle poslouposti musí pltit, že s 6 d 6 d d 6 d d 6 d d 0 0 0 0 / 0 68 0 8 0 D 6 6 89 D 7 7,, Jedá se tedy o čtvrtý dvcátý prví čle poslouposti: = + d = 0 6 =, = + 0d = 0 0 = 0 Strák 8
Poslouposti řdy. V geometrické poslouposti s prvím čleem = 6 určete kvociet tk, by pltilo, že s. q Řešeí: Pro součet prvích čleů geometrické poslouposti pltí, že s q q 7 7 q q q q 6 q 7 q 70 q q s q 0 6 7q 0 q q 7q6 0 q Rozložeím čittele získáváme: qq6 0 q q 60 q 6 Řešeím této erovice je: q,6. Tedy:. V geometrické poslouposti s kvocietem q = vypočítejte, kolik čleů dává součet 86, jestliže posledí sčítec je = 96. Řešeí: 86 Jelikož: q q Pk: Strák 8
86 96 Poslouposti řdy 96 86 / q q 86 96 96 9 96 96 9 96 96 9 96 96 96 Příslušý součet dává právě čleů dé geometrické poslouposti.. V geometrické poslouposti pltí s6 9s. Určete, q. Řešeí: 6 q q s 9 9s q q Po úprvě: 6 q q 9 q q 6 q 9 q 6 q 9 9q 6 6 6 q q q q 9 8 0 9 8 0 Rovici řešíme pomocí substituce q u u D D u 9 8 0 8 9, 7 9 7 u, u 8, u Návrtem k substituci získáme kořey původí rovice: q 8 q q q q = 8 q = q = q = Druhý koře všk evyhovuje podmíce q. Jediým kořeem je tedy: q =. Hodot prvího čleu poslouposti pk může bývt: R {0}. 6. Prví dv čley ritmetické poslouposti jsou 7,. ) Vypočítejte šedesátý čle poslouposti. b) Vypočítejte součet prvích 0 čleů poslouposti. c) Kolik prvích čleů poslouposti je potřeb sečíst by byl součet rove 6? Strák 8
Poslouposti řdy Řešeí: Nejdříve vypočítáme difereci ritmetické poslouposti: d 7 Pro šedesátý čle poslouposti pltí: 60 9d 7 9 0 Pro součet prvích 0 čleů ritmetické poslouposti je potřeb ejdříve vypočítt čtyřicátý čle poslouposti: 0 9d 7 9 60 Pro součet pk pltí: 0 s s0 7 60 60 Pro výpočet počtu čleů, které je potřeb sečíst vyjdeme opět ze vzorce pro součet prvích -čleů ritmetické poslouposti s d 6 7 7 7 9 7 7 9 0 D 689 088 60 7 D, 8, 6 Součet prvích, respektive prvích 8 čleů je rove 6. 7. Dv čley ritmetické poslouposti jsou, 0 0. ) Vypočítejte dvcátý čle poslouposti. b) Vypočítejte součet prvích 0 čleů poslouposti. c) Kolik prvích čleů poslouposti je potřeb sečíst by byl součet rove -60. Řešeí: Nejdříve vypočítáme difereci ritmetické poslouposti 0 7d 7d 0 0 d Pro dvcátý čle poslouposti pltí: 0 7d 7 0 Pro součet prvích 0 čleů ritmetické poslouposti je potřeb ejdříve vypočítt prví pdesátý čle poslouposti d 7 0 0 0d 00 60 Pro součet pk pltí: 0 s s0 60 7 Pro výpočet počtu čleů, které je potřeb sečíst vyjdeme opět ze vzorce pro součet prvích -čleů ritmetické poslouposti Strák 8
Poslouposti řdy s d 60 8 70 8 8 70 0 D 706 760 96 8 6 D 6, 0, Součet prvích 0, respektive prvích čleů je rove -60. 8. Dv čley ritmetické poslouposti jsou 6, 78. ) Vypočítejte stý čle poslouposti. b) Vypočítejte součet prvích 000 čleů poslouposti. c) Kolik prvích čleů poslouposti je potřeb sečíst by byl součet rove 090? Řešeí: Nejdříve vypočítáme difereci ritmetické poslouposti: 6 6d 6d 6 78 66 d Pro stý čle poslouposti pltí: 00 78d 78 78 96 Pro součet prvích 000 čleů ritmetické poslouposti je potřeb ejdříve vypočítt prví tisící čle poslouposti: 6 d 000 999d 999 086 Pro součet pk pltí: 000 s s000 086 00 Pro výpočet počtu čleů, které je potřeb sečíst vyjdeme opět ze vzorce pro součet prvích -čleů ritmetické poslouposti s d 090 7 080 7 7 080 0 D 0089 900 006009 7 00 686 D 00, 0, Druhý koře kvdrtické rovice emá smysl, eboť N. Součet prvích 0 čleů poslouposti je rove 090. 9. Dv čley ritmetické poslouposti jsou 8, 0 8. ) Vypočítejte třicátý čle poslouposti. b) Vypočítejte součet prvích čleů poslouposti. c) Kolik prvích čleů poslouposti je potřeb sečíst by byl součet rove -? Strák 8
Poslouposti řdy Řešeí: Nejdříve vypočítáme difereci ritmetické poslouposti: 0 8 d d 0 8 8 6 d Pro třicátý čle poslouposti pltí: 0 0 0d 8 0 Pro součet prvích čleů ritmetické poslouposti je potřeb ejdříve vypočítt prví ptáctý čle poslouposti: 8 7d 7 7, d 7, 0, Pro součet pk pltí s s 7, 0, 0 Pro výpočet počtu čleů, které je potřeb sečíst vyjdeme opět ze vzorce pro součet prvích -čleů ritmetické poslouposti: s d 7, 7,, 0, 0, 0, 00 7 7 00 0 D 0 080 96 7 D, 0, 0 Součet prvích 0, respektive prvích 0 čleů je rove -. 0. Dv čley ritmetické poslouposti jsou 9 7, 7. ) Vypočítejte třiáctý čle poslouposti b) Vypočítejte součet prvích dvceti čleů poslouposti c) Kolik prvích čleů poslouposti je potřeb sečíst by byl součet rove 767. 6 Řešeí: Nejdříve vypočítáme difereci ritmetické poslouposti: 7 7 9 8d 8d 7 9 7 d Pro třiáctý čle poslouposti pltí: 7 9 d 7 Pro součet prvích 0 čleů ritmetické poslouposti je potřeb ejdříve vypočítt prví dvcátý čle poslouposti: Strák 86
Poslouposti řdy 7 9 8d 7 8 7 0 0 9d 9 Pro součet pk pltí: 0 0 9 s s0 Pro výpočet počtu čleů, které je potřeb sečíst, vyjdeme opět ze vzorce pro součet prvích -čleů ritmetické poslouposti: s d 767 7 0 7 7 7 7 6 7 7 767 068 7 7 7 7 068 0 D 0889 086 7 6 D,, 7 767 Součet prvích čleů poslouposti je rove, eboť prví koře edává smysl. 6. Dv čley geometrické poslouposti jsou,. ) Vypočítejte sedmý čle poslouposti b) Vypočítejte součet prvích čleů poslouposti c) Kolik prvích čleů poslouposti je potřeb sečíst by byl součet rove 0700. Řešeí: Nejdříve vypočítáme kvociet geometrické poslouposti: q q Pro sedmý čle poslouposti pltí: 6 6 7 q 78 Pro součet prvích čleů geometrické poslouposti pltí: q s s 90 q Pro výpočet počtu čleů, které je potřeb sečíst vyjdeme opět ze vzorce pro součet prvích -čleů geometrické poslouposti: q s q 0700 8880 Strák 87
9766 9766 log 9766 0 Poslouposti řdy Součet prvích 0 čleů geometrické poslouposti je rove 0700.. Dv čley geometrické poslouposti jsou,. ) Vypočítejte desátý čle poslouposti. b) Vypočítejte součet prvích 8 čleů poslouposti. c) Kolik prvích čleů poslouposti je potřeb sečíst by byl součet rove? Řešeí: Nejdříve vypočítáme kvociet geometrické poslouposti prví čle: q q q 8 8 q Pro desátý čle poslouposti pltí: 8 8 0 q 6 6 Pro součet prvích 8 čleů geometrické poslouposti pltí: 8 q 6 0 76 s s8 8 q 6 6 6 Pro výpočet počtu čleů, které je potřeb sečíst vyjdeme opět ze vzorce pro součet prvích -čleů geometrické poslouposti: q s q 8 8 6 Součet prvích čleů geometrické poslouposti je rove. Strák 88
Poslouposti řdy. Dv čley geometrické poslouposti jsou, 7. ) vypočítejte sedmý čle poslouposti b) vypočítejte součet prvích 0 čleů poslouposti Řešeí: Nejdříve vypočítáme kvociet geometrické poslouposti prví čle: 7 7 q q q q, q q 6 q 6 Pro sedmý čle poslouposti pltí: 7 7 q, q Pro součet prvích 0 čleů geometrické poslouposti pltí: 0 q s s0 0 6 q 6 6 s 0 0 0 6 6 6 6. Dv čley geometrické poslouposti jsou, 6. 7 ) vypočítejte čtvrtý čle poslouposti b) vypočítejte součet prvích čleů poslouposti Řešeí: Nejdříve vypočítáme kvociet geometrické poslouposti prví čle: 6 7 6 q q q 7 7 7 q 9 Pro čtvrtý čle poslouposti pltí: q 7 Pro součet prvích čleů geometrické poslouposti pltí: 0 q 7700 s s, 7 q 76 Strák 89
Poslouposti řdy. Dv čley geometrické poslouposti jsou, 7 8. ) vypočítejte ptáctý čle poslouposti b) vypočítejte součet prvích 7 čleů poslouposti Řešeí: Nejdříve vypočítáme kvociet geometrické poslouposti prví čle: 8 q q 9 q 9 7 7 q Pro ptáctý čle poslouposti pltí: 7 87 8 q Pro součet prvích 7 čleů geometrické poslouposti pltí: 7 q 66 s s7 q s 966 966 66 6 7 6. Klády skládáme sebe do vrstev (viz obrázek). Posledí vrstv obshuje 0 klád. Kolik klád můžeme tkto skládt sebe? Řešeí: Z obrázku je vidět, že posledí vrstv klád má 0 kusů, předposledí vrstv 9 kusů, td. Jedá se tedy o ritmetickou posloupost s diferecí d =. Počet čleů této poslouposti je, jelikož se klády skládjí do řd. Řešíme tedy součet prvích čleů ritmetické poslouposti, pro kterou pltí: 0, d Pro prví čle poslouposti pltí: d 0 09 Pro součet prvích čleů je pk: s s 09 0 7 Celkový počet klád je 7. Strák 90
Poslouposti řdy 7. Střech má tvr čtyřbokého jehlu se čtvercovou zákldou. Počet střeších tšek, které se chází zákldě jedoho ze čtyř trojúhelíků, je 8. V kždé ásledující řdě je o jedu tšku méě. Vypočítejte počet řd střeších tšek celkový počet tšek střeše. Řešeí: Z obrázku je vidět, že posledí vrstv střeších tšek má 8 kusů, předposledí vrstv 7 kusů, td. Jedá se tedy o ritmetickou posloupost s diferecí d =. Počet čleů této poslouposti je, jelikož jsou tšky poskládáy do řd. Pro tuto posloupost pltí:, 8, d Mezi prvím tým čleem pltí: d 8 8 Jk bylo zřejmé již z obrázku, počet řd tšek je rove 8. Pro součet prvích 8 čleů je pk: 8 s s8 8 Jelikož je střech tvoře čtyřmi tkovými trojúhelíky, je celkový počet tšek střechu rove: 6.. Vypočítejte, d. Dále vypočítejte součet prvích deseti čleů součet druhých deseti čleů poslouposti. 8. Aritmetická posloupost je dá vzorcem pro tý čle Řešeí: Pro prví čle poslouposti pltí: Difereci ritmetické poslouposti vypočítáme z prvího druhého čleu poslouposti: d Pro součet prvích deseti čleů poslouposti pltí: 9 8 7 0 9d 9 0 7 6 s0 0 0 Strák 9
Poslouposti řdy Pro součet druhých deseti čleů je potřeb vypočítt dvcátý čle poslouposti: 9 8 7 0 9d 9 0 7 7 s0 0 0 0 9. Určete, jkou podmíku musí splňovt prví čle ritmetické poslouposti s diferecí d =, by pltilo s0 000. Řešeí: Pro součet ritmetické poslouposti pltí, že s 000 d 0 000 0 000 0 9 000 0 90 0 0 0 0 Pro prví čle tkto zdé ritmetické poslouposti pltí uvedeá erovost, tedy: 0. 0 0. Určete součet všech přirozeých čísel, která vyhovují erovici 0 0. Řešeí: Nejdříve vyřešíme tuto erovici: 0 0 0 60 0 00 /. 80 0 0 00 7 9 Prví čle poslouposti je tedy, posledí čle poslouposti 8 8. Diferece této 8 s8 8 7. ritmetické poslouposti je d =. Pro součet pltí, že Strák 9
Poslouposti řdy. Určete součet všech sudých čísel, která vyhovují erovici 0 0. Řešeí: Nejdříve vyřešíme příslušou erovici: 0 0 D 809 600 09 7 D 7, 0, 0 0 Kvdrtický trojčle rozložíme tvr Pokud si uvědomíme, že grf kvdrtické fukce f 0 protíá osu v bodech 0 ve svém vrcholu bývá miim je zřejmé, že této erovici vyhovují,0. Nejmeší sudé číslo z tohoto itervlu je prvím čleem poslouposti, posledí čle poslouposti 0. Počet všech sudých čísel v tomto itervlu je. Pro součet pk pltí: 8 s8 0 76.. Poločs rozpdu jder izotopu Fr je miut. Kolik tohoto izotopu zůste bez přeměy z mg po hodiách? Řešeí: Z mg rdioktivího izotopu frci zbude z miut 0, mg. Z dlších miut to bude: mg Z dlších miut: mg 8 Číselé hodoty hmotosti rdioktivího izotopu tvoří geometrickou posloupost s prvím čleem kvocietem q. Poločs rozpdu ( miut) je v hodiách obsže třicetkrát. Zmeá to, že posledím čleem této geometrické poslouposti bude čle 0. Pltí: 9 9 9 0 q,86 0 mg 9 Po hodiách zbyde z rdioktivího izotopu frci,86 0 mg.. Poločs rozpdu jder izotopu 60 Co je,7 let. Kolik tohoto izotopu zůste bez přeměy ze 00 mg po 0 letech? Řešeí: Ze 00 mg rdioktivího izotopu kobltu zbude z,7 let 0 mg. Z dlších,7 let to bude: 0 mg Z dlších,7 let, mg Strák 9
Poslouposti řdy Číselé hodoty hmotosti rdioktivího izotopu tvoří geometrickou posloupost s prvím čleem 00 kvocietem q. Poločs rozpdu (,7 let) je v 0 letech obsže dvěstěkrát. Zmeá to, že posledím čleem této geometrické poslouposti bude čle 00. Pltí: 99 99 8 00 q 00, 0 mg 9 Po 0 letech zbyde z rdioktivího izotopu frci,86 0 mg.. Poločs rozpdu jder izotopu Th je 0,9 sekud. Kolik tohoto izotopu zůste bez přeměy z kg po miutách? Řešeí: Z kg rdioktivího izotopu thori zbude z 0,9 s 00 mg. Z dlších 0,9 s to bude: 00 0 mg Z dlších 0,9 s 0 mg Číselé hodoty hmotosti rdioktivího izotopu tvoří geometrickou posloupost s prvím čleem 000 kvocietem q. Poločs rozpdu (0,9 s) je ve miutách, tedy ve 80 sekudách obsže dvěstěkrát. Zmeá to, že posledím čleem této geometrické poslouposti bude čle 00. Pltí: 99 99 7 00 q 000, 0 mg 7 Po 0 letech zbyde z rdioktivího izotopu frci, 0 mg. Strák 9
Poslouposti řdy. Limit poslouposti. Určete limitu dé poslouposti. Rozhoděte, zd se jedá o posloupost kovergetí ebo divergetí. ) b) c) d) e) Řešeí: ) f) g) h) 7 8 6 7 7 i) j) log Nejdříve vypočítáme příslušou limitu poslouposti: lim lim 0 eboť pltí: lim 0 Posloupost má hodotu limity 0 tedy je kovergetí. b) Jedá se o posloupost kosttí. Nejdříve vypočítáme příslušou limitu c) poslouposti lim Posloupost má hodotu limity tedy je kovergetí. Nejdříve vypočítáme příslušou limitu poslouposti: lim lim lim lim lim lim 0 eboť pltí: lim 0 Posloupost má hodotu limity tedy je kovergetí. Strák 9
d) Poslouposti řdy Nejdříve vypočítáme příslušou limitu poslouposti: lim Neboť je zřejmé, že se hodoty čleů poslouposti budou eustále zvyšovt. Posloupost má tedy evlstí limitu pro to. Jedá se tedy o posloupost divergetí. e) Nejdříve vypočítáme příslušou limitu poslouposti tk, že vydělíme, kždý čle ve vyjádřeí -tého čleu, s ejvětším epoetem: lim lim lim lim eboť pltí: lim 0 Posloupost má hodotu limity tedy je kovergetí. f) 7 Nejdříve vypočítáme příslušou limitu poslouposti tk, že vydělíme, kždý čle ve vyjádřeí -tého čleu, s ejvětším epoetem: lim lim lim lim 7 7 7 7 7 eboť pltí: lim 0 Posloupost 7 g) má hodotu limity 7 tedy je kovergetí. 8 Nejdříve vypočítáme příslušou limitu poslouposti tk, že vydělíme, kždý čle ve vyjádřeí -tého čleu, s ejvětším epoetem: 8 8 8 8 8 lim lim lim lim eboť pltí: Strák 96
lim 0, lim 0, k N k 8 Posloupost h) 6 7 i) Poslouposti řdy má hodotu limity 8 tedy je kovergetí. 7 Nejdříve vypočítáme příslušou limitu poslouposti tk, že vydělíme, kždý čle ve vyjádřeí -tého čleu, s ejvětším epoetem: 6 7 6 7 7 7 7 6 lim lim lim lim 7 7 7 7 eboť pltí: lim 0, lim 0, k N k 6 7 Posloupost 7 Z ěkolik prvích hodot čleů poslouposti má hodotu limity tedy je kovergetí.,,, 6, 7... vyplývá, že se jedá o posloupost rostoucí shor eomezeá. Pltí tedy: lim. Posloupost posloupost divergetí. j) log Uvědomíme-li si, že fukce f log má tedy evlstí limitu pro to. Jedá se tedy o je fukcí rostoucí, pk tké dá posloupost musí být posloupostí rostoucí. Z této iformce z hodot prvích čleů posloupostí log 0, log 0,, log 0, 8, log 0,6 lim log Posloupost log má tedy evlstí limitu pro to. Jedá se tedy o posloupost divergetí.. Určete limitu dé poslouposti. Rozhoděte, zd se jedá o posloupost kovergetí ebo divergetí. ) 6 b) c) Strák 97
Poslouposti řdy d) e) f) 7 8 7 g) h) i) j) Řešeí: ) b) 6 Vypočítáme limitu poslouposti: 6 6 6 lim lim lim lim 6 6 0 lim lim lim 0 eboť pltí, že lim 0 6 Posloupost má hodotu limity tedy je kovergetí. Nejdříve vypočítáme příslušou limitu poslouposti tk, že vydělíme, kždý čle ve vyjádřeí -tého čleu. 0 lim lim lim 0 eboť pltí, že lim 0, N Posloupost má hodotu limity tedy je kovergetí. Strák 98
c) d) Poslouposti řdy Nejdříve vypočítáme příslušou limitu poslouposti: 0 lim lim 0 eboť pltí, že lim 0 Posloupost má hodotu limity tedy je kovergetí. Nejdříve vypočítáme příslušou limitu poslouposti: 0 0 lim lim lim lim 0 0 lim 0 0 eboť pltí, že lim 0, lim 0, N Posloupost e) 7 má hodotu limity 0 tedy je kovergetí. Nejdříve vypočítáme příslušou limitu poslouposti: 6 lim7 lim7 lim7 lim 7 00 lim 7 7 9 eboť pltí, že Posloupost lim 0, lim 0, k N k 7 má hodotu limity 9 tedy je kovergetí. Strák 99
f) g) Poslouposti řdy 8 Nejdříve vypočítáme příslušou limitu poslouposti tk, že vydělíme, kždý čle ve vyjádřeí -tého čleu 8. 8 8 8 8 0 0 lim lim lim 0 8 8 0 8 8 8 Posloupost 8 má hodotu limity 0 tedy je kovergetí. 7 Nejdříve vypočítáme příslušou limitu poslouposti: 7 7 lim lim lim lim 0 0 0 6 eboť pltí, že lim 0, lim 0, k N k Posloupost 7 má hodotu limity 6 tedy je kovergetí. h) Nejdříve vypočítáme příslušou limitu poslouposti: lim lim lim lim lim lim lim 0 0 0 0 6 0 0 eboť pltí, že lim 0, lim 0, k N k Posloupost kovergetí. má hodotu limity 6 tedy je Strák 00
i) Poslouposti řdy Nejdříve vypočítáme příslušou limitu poslouposti: lim lim lim lim lim lim 0 Posloupost j) má hodotu limity tedy je kovergetí. Nejdříve vypočítáme příslušou limitu poslouposti: lim lim lim 0 0 eboť pltí: k lim 0, lim, lim 0, k N k Posloupost má tedy evlstí limitu pro to. Jedá se tedy o posloupost divergetí.. Určete limitu dé poslouposti. Rozhoděte, zd se jedá o posloupost kovergetí ebo divergetí. ) b) 7 si c) d) e) Řešeí: ) 7 Nejdříve vypočítáme příslušou limitu poslouposti: 7 7 7 lim lim lim lim 7 0 0 0 eboť pltí: lim 0, lim, lim k 0, k N k Strák 0
Poslouposti řdy b) c) 7 Posloupost má tedy evlstí limitu pro to. Jedá se tedy o posloupost divergetí. si Nejdříve vypočítáme příslušou limitu poslouposti: si si si 0 lim lim lim 0 eboť pltí: si lim 0, lim 0 si Posloupost má hodotu limity tedy je kovergetí. Nejdříve vypočítáme příslušou limitu poslouposti pomocí rozšířeí zlomkem: lim lim lim lim lim lim lim lim 0 eboť pltí: lim 0 Posloupost má hodotu limity tedy je kovergetí. Strák 0
d) Poslouposti řdy Nejdříve vypočítáme příslušou limitu poslouposti pomocí rozšířeí zlomkem: lim lim lim lim lim lim lim lim lim 0 eboť pltí: lim 0 Posloupost má hodotu limity e) Nejdříve vypočítáme příslušou limitu poslouposti: lim lim lim 0 eboť pltí: k lim,lim 0, k N k tedy je kovergetí. Posloupost má tedy evlstí limitu pro to. Jedá se tedy o posloupost divergetí. Strák 0
Poslouposti řdy. Řdy. Nekoečá geometrická řd. Dou ekoečou geometrickou řdu zpište pomocí sumy. ) 6... g)... b) 9 7 8... 7 c) y y y y... 8 h)... 7 7 7 9 9 7 6 8 d) y y y y... 9 7 i)... e e e e e) y y y... 6 j) y 7 y y... f)... Řešeí: ) 6... Jelikož se jedá o mociy čísl, lze dou ekoečou geometrickou řdu zpst jko: 6.... b) 9 7 8... Jelikož se jedá o mociy čísl, u kterých se střídá zméko lze dou ekoečou geometrickou řdu zpst jko:. 9 7 8... c) y y y y... 8 Jelikož se jedá o mociy čísl vyásobeé ezámou y, lze dou ekoečou geometrickou řdu zpst jko: y y y y... y 8. y y y y... 9 7 d) 6 8 Jelikož se jedá o mociy čísl vyásobeé sudými mocimi ezámé y se střídjícími zméky, lze dou ekoečou geometrickou řdu zpst jko: 6 8 y y y y... y 9 7. y y y... Jelikož se jedá o mociy výrzů y, lze dou ekoečou geometrickou řdu zpst jko: e) y y y... y. Strák 0
Poslouposti řdy f)... Jelikož se jedá o mociy čísl se střídjícími se zméky, lze dou ekoečou geometrickou řdu zpst jko:.... g)... 7 Jelikož se jedá o mociy čísl dou ekoečou geometrickou řdu zpst jko:... 7. h)... 7 7 7 9 9 7 i) vyásobeé lichými mocimi čísl, lze Jelikož se jedá o mociy čísl vyděleé příslušými mocimi čísl 7, lze dou ekoečou geometrickou řdu zpst jko:.... 7 9 7 7 9 7 7... e e e e Jelikož se jedá o záporé mociy čísl e, respektive kldé mociy čísl e se střídjícími se zméky, lze dou ekoečou geometrickou řdu zpst jko:... e. y 7 y y... Jelikož se jedá o liché mociy výrzu vyásobeé sudými mocimi y, lze dou ekoečou geometrickou řdu zpst jko: e e e e e j) 6 6 y 7 y y... y.. Dou geometrickou řdu, která je zpsá pomocí sumy, rozepište pomocí součtů. Určete prví čle kvociet. ) e) h) log b) y f) i) y c) g) d) Strák 0
Řešeí: ) b) c) d) e) Poslouposti řdy Nejdříve řdu rozepíšeme pomocí součtů: 7... Prví čle ekoečé geometrické řdy je. Pro kvociet řdy pltí: q. Nejdříve řdu rozepíšeme pomocí součtů:... 9 7 Prví čle ekoečé geometrické řdy je. Pro kvociet řdy pltí: q. Nejdříve řdu rozepíšeme pomocí součtů:... Prví čle ekoečé geometrické řdy je q. Nejdříve řdu rozepíšeme pomocí součtů:.... Pro kvociet řdy pltí: Prví čle ekoečé geometrické řdy je. Pro kvociet řdy pltí:. q Nejdříve řdu rozepíšeme pomocí součtů: Strák 06
... Poslouposti řdy Prví čle ekoečé geometrické řdy je. Pro kvociet řdy pltí: q. f) y y Nejdříve řdu rozepíšeme pomocí součtů: y y y y 6... y y y y Prví čle ekoečé geometrické řdy je y y y y y q y y y y y g) Nejdříve řdu rozepíšeme pomocí součtů: h) 8... Prví čle ekoečé geometrické řdy je q. log Nejdříve řdu rozepíšeme pomocí součtů:. y y. Pro kvociet řdy pltí:. Pro kvociet řdy pltí: 6 log log log log... log log log... Prví čle ekoečé geometrické řdy je log q. log 6 log. Pro kvociet řdy pltí: Strák 07
Poslouposti řdy i) Nejdříve řdu rozepíšeme pomocí součtů:... 9 7 8 Prví čle ekoečé geometrické řdy je. Pro kvociet řdy pltí: q.. U dé ekoečé geometrické řdy určete prví čle kvociet. Určete, zd je dá řd kovergetí ebo divergetí. V přípdě kovergece určete součet. ) b) c) Řešeí: ) d) e) Pro prví čle ekoečé geometrické řdy dosdíme z tedy: Pro kvociet ekoečé geometrické řdy pltí: q Aby dá ekoečá geometrická řd byl kovergetí měl součet, musí pltit: q Tto erovost je splě řd je tedy kovergetí. Pro součet pltí: s. q Strák 08
Poslouposti řdy b) c) Pro prví čle ekoečé geometrické řdy dosdíme z tedy: Pro kvociet ekoečé geometrické řdy pltí: q Aby dá ekoečá geometrická řd byl kovergetí měl součet, musí pltit: q Tto erovost je splě řd je tedy kovergetí. Pro součet pltí: s q. Pro prví čle ekoečé geometrické řdy dosdíme z tedy: Pro kvociet ekoečé geometrické řdy pltí: q Aby dá ekoečá geometrická řd byl kovergetí měl součet, musí pltit: q Tto erovost je splě, řd je tedy kovergetí. Pro součet pltí: s. q Strák 09
Poslouposti řdy d) e) Pro prví čle ekoečé geometrické řdy dosdíme z tedy: Pro kvociet ekoečé geometrické řdy pltí: q Aby dá ekoečá geometrická řd byl kovergetí měl součet, musí pltit: q Tto erovost je splě řd je tedy kovergetí. Pro součet pltí: s. q Pro prví čle ekoečé geometrické řdy dosdíme z tedy: Pro kvociet ekoečé geometrické řdy pltí: q Aby dá ekoečá geometrická řd byl kovergetí měl součet, musí pltit: q Tto erovost eí splě řd je tedy divergetí emá součet.. Určete součet ekoečé geometrické řdy: ) b) Řešeí: ) Nejdříve si rozepíšeme sumu pomocí součtů: c) d) Strák 0
Poslouposti řdy b) c)... 9 7 Pro kvociet této ekoečé geometrické řdy pltí: 9 q Aby měl tto ekoečá geometrická řd součet, musí pltit: q Tto erovost je splě ekoečá geometrická řd má tedy součet: s q Nejdříve si rozepíšeme sumu pomocí součtů: 8... Pro kvociet této ekoečé geometrické řdy pltí: q 6 Aby měl tto ekoečá geometrická řd součet, musí pltit: q Tto erovost eí splě řd tedy emá součet. Nejdříve si rozepíšeme sumu pomocí součtů:... Pro kvociet této ekoečé geometrické řdy pltí: q Aby měl tto ekoečá geometrická řd součet, musí pltit: q Strák
Poslouposti řdy Tto erovost je splě ekoečá geometrická řd má tedy součet: s q d) Nejdříve si rozepíšeme sumu pomocí součtů:... Pro kvociet této ekoečé geometrické řdy pltí: q Aby měl tto ekoečá geometrická řd součet, musí pltit: q Tto erovost je splě ekoečá geometrická řd má tedy součet: s q. Určete součet ekoečé geometrické řdy: ) 7 b) Řešeí: ) 7 Nejdříve si rozepíšeme sumu pomocí součtů: c) d)... 7 7 9 Pro kvociet této ekoečé geometrické řdy pltí: 9 q 7 7 Aby měl tto ekoečá geometrická řd součet, musí pltit: e 7 7 Strák
b) Poslouposti řdy q 7 Tto erovost je splě ekoečá geometrická řd má tedy součet: 7 7 7 s q 6 7 6 6 7 7 Nejdříve si rozepíšeme sumu pomocí součtů:... Pro kvociet této ekoečé geometrické řdy pltí: q Aby měl tto ekoečá geometrická řd součet, musí pltit: q Tto erovost eí splě, proto řd emá součet. c) Nejdříve si rozepíšeme sumu pomocí součtů: 8 6... 9 7 Pro kvociet této ekoečé geometrické řdy pltí: 8 9 8 q 9 Aby měl tto ekoečá geometrická řd součet, musí pltit: q Tto erovost je splě ekoečá geometrická řd má tedy součet: s q d) e 7 7 Nejdříve si rozepíšeme sumu pomocí součtů: e e e e e e e 7 7 7 7 7 7 7...... 7 9 0 9 9 Pro kvociet této ekoečé geometrické řdy pltí: Strák
Poslouposti řdy e 7 e 7 9 e q e 7 e 7 7 9 Aby měl tto ekoečá geometrická řd součet, musí pltit: e q 7 Tto erovost eí splě ekoečá geometrická řd emá součet. 6. Určete součet ekoečé geometrické řdy: ) log b) c) d) Řešeí: ) log Nejdříve si rozepíšeme sumu pomocí součtů: b) 8 8 log log log log log... log log log log... log... 8 Pro kvociet ekoečé geometrické řdy... 8 pltí: q Aby měl tto ekoečá geometrická řd součet, musí pltit: q Tto erovost je splě ekoečá geometrická řd má tedy součet: s q Pro součet tedy pltí: s log log9 Nejdříve si rozepíšeme sumu pomocí součtů:... Pro kvociet ekoečé geometrické řdy pltí: Strák
Poslouposti řdy c) d) q Aby měl tto ekoečá geometrická řd součet, musí pltit: q Tto erovost je splě, jestliže: 0 0 ekoečá geometrická řd má tedy součet: s q Nejdříve si rozepíšeme sumu pomocí součtů:... Pro kvociet ekoečé geometrické řdy pltí: q Aby měl tto ekoečá geometrická řd součet, musí pltit: q Tto erovost je splě, jestliže: 0 0 0 0 ekoečá geometrická řd má tedy součet: s q Nejdříve si rozepíšeme sumu pomocí součtů:... Pro kvociet ekoečé geometrické řdy pltí: q Aby měl tto ekoečá geometrická řd součet, musí pltit: q Tto erovost je splě, jestliže: Strák
Poslouposti řdy 0 0 0 0 ekoečá geometrická řd má tedy součet: s q 7. Určete součet ekoečé geometrické řdy: ) 7 b) Řešeí: ) b) 7 Nejdříve si rozepíšeme sumu pomocí součtů: 7 7 7 7... Pro kvociet ekoečé geometrické řdy pltí: 7 q 7 7 7 c) d) Aby měl tto ekoečá geometrická řd součet, musí pltit: q 7 Tto erovost je splě, jestliže: 0 7 7 0 ekoečá geometrická řd má tedy součet: s 7 7 q 7 7 Nejdříve si rozepíšeme sumu pomocí součtů:... Pro kvociet ekoečé geometrické řdy pltí: q Aby měl tto ekoečá geometrická řd součet, musí pltit: Strák 6
Poslouposti řdy c) d) q Tto erovost je splě, jestliže: ) 0 : b) 0 : ekoečá geometrická řd má tedy součet: s q Nejdříve si rozepíšeme sumu pomocí součtů: 9 7... Pro kvociet ekoečé geometrické řdy pltí: q Tto erovost je splě, jestliže: 9 ekoečá geometrická řd má tedy součet: s q Nejdříve si rozepíšeme sumu pomocí součtů:... Pro kvociet ekoečé geometrické řdy pltí: q Tto erovost je splě, jestliže: Strák 7
Poslouposti řdy ) 0 : b) 0 : ekoečá geometrická řd má tedy pro součet: s q 8. Určete součet ekoečé geometrické řdy Řešeí: Nejdříve si rozepíšeme sumu pomocí součtů:.... Pro kvociet ekoečé geometrické řdy pltí, že q Tto ekoečá geometrická řd má součet, jestliže Tuto erovost vyřešíme pomocí ulových bodů, 0:,0 0,, ) jestliže 0, + + - - + + - + - 0 0 0 Tuto erovost vyřešíme pomocí ulových bodů,0:,0 0, + + - - + + - + -, Strák 8
, b) jestliže,0, Poslouposti řdy 0 0 0, Pro, je řd kovergetí má součet: s q 9. Určete součet ekoečé geometrické řdy: ) b) c) d) Řešeí: ) Nejdříve si rozepíšeme sumu pomocí součtů:...... Pro kvociet ekoečé geometrické řdy pltí: q Tto ekoečá geometrická řd má součet, jestliže:, ekoečá geometrická řd má tedy součet: s q b) Nejdříve si rozepíšeme sumu pomocí součtů:...... Pro kvociet ekoečé geometrické řdy pltí: Strák 9
Poslouposti řdy c) d) q Tto ekoečá geometrická řd má součet, jestliže:,, ekoečá geometrická řd má tedy součet: s q Nejdříve si rozepíšeme sumu pomocí součtů:... Pro kvociet ekoečé geometrické řdy pltí: q Tto ekoečá geometrická řd má součet, jestliže: 0 podm : 0,0 ekoečá geometrická řd má tedy součet: s q Nejdříve si rozepíšeme sumu pomocí součtů:... Pro kvociet ekoečé geometrické řdy pltí: q Tto ekoečá geometrická řd má součet, jestliže: 0 podm: 0 0, ekoečá geometrická řd má tedy součet: Strák 0
Poslouposti řdy s q 0. Určete součet ekoečé geometrické řdy: ) b) e c) si d) cos Řešeí: ) b) Nejdříve si rozepíšeme sumu pomocí součtů...... Pro kvociet ekoečé geometrické řdy pltí: q Tto ekoečá geometrická řd má součet, jestliže: Podmík pro druhou odmociu ám vymezuje itervl, ve kterém lze jít itervl kovergece. 0, Lze tedy psát: 0, Pro 0, je řd kovergetí má součet: s q e Nejdříve si rozepíšeme sumu pomocí součtů: e e e e... e e e... Pro kvociet ekoečé geometrické řdy pltí: q e Tto ekoečá geometrická řd má součet, jestliže: Strák
Poslouposti řdy c) d) e e,0 ekoečá geometrická řd má tedy součet: e s q e si Nejdříve si rozepíšeme sumu pomocí součtů: si si si si... Pro kvociet ekoečé geometrické řdy pltí: q si Tto ekoečá geometrická řd má součet, jestliže: si R ekoečá geometrická řd má tedy součet si s q si cos Nejdříve si rozepíšeme sumu pomocí součtů: cos cos cos cos... : Pro kvociet ekoečé geometrické řdy pltí: q cos Tto ekoečá geometrická řd má součet, jestliže: cos R ekoečá geometrická řd má tedy součet: cos s q cos. Řešte rovici s ezámou R: ) b) c) 0 0 8 d) 7 Řešeí: ) 0 Nejdříve si rozepíšeme sumu pomocí součtu: 8... 0 Strák